Особенности изучения арифметических действий в начальной школе
статья по математике (1, 2, 3, 4 класс)

Особенности изучения арифметических действий

в начальной школе

«Основной задачей обучения математике в общеобразовательной средней школе – обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения сложных дисциплин и продолжения образования» (Программы средней общеобразовательной школы, 1988).

Если говорить о курсе математики в I – VI классах, то основной целью на этом этапе обучения математике является систематическое развитие понятия числа, выработка умения выполнять устно и письменно арифметические действия над числами, переводить практические задачи на язык математики, подготовка учащихся к изучению систематических курсов алгебры и геометрии.

В «Малом энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона» арифметические действия представляются через арифметические знаки:  «Арифметические знаки, символические обозначения, при посредстве которых указываются арифметические действия над данными числами». Далее авторы излагают исторические аспекты возникновения арифметических знаков.  Знаки сложения + (плюс) и вычитания - (минус) начали употребляться в Германии во вторую половину XV в.; знак X в первой половине XVII в. Знак умножения в виде точки ∙ и знак деления : введены Лейбницем (XVII в.). В XVII в. дроби стали обозначаться чертой - между числителем и знаменателем. Кеплер предложил обозначать десятичные дроби при помощи запятой [, ]. Знак равенства = известен с XV в. Скобки () [ ] {} для обозначения порядка действия стали употребляться в XVIII в. Знаки > и < обозначают, что одно число больше или меньше другого числа (введено в XVII в.). Все эти знаки называются также алгебраическими (Малый энциклопедический словарь).

К арифметическим действиям относятся сложение, умножение, вычитание, деление. Сложение – это арифметическое действие, посредством которого несколько чисел соединяются в одно называемое суммой, которая содержит столько единиц, сколько все слагаемые, взятые вместе. Умножение - это арифметическое действие, по данным двум числам: множимому и множителю, находят произведение: a*b = c или a∙b = c. Вычитание – это арифметическое действие, обратное сложению. Деление – это арифметическое действие, обратное умножению.

Действующие сейчас программы по математике предусматривают изучения арифметических действий и формирование вычислительных навыков на основе сознательного использования приёмов вычислений, творческого подхода к усвоению. Это становится возможным благодаря тому, что в программу включено изучение арифметических действий и их свойств. Такой подход к изучению арифметических действий и формированию вычислительных навыков оправдал себя в практике школы.

 С арифметическими действиями учащиеся знакомятся при изучении нумерации чисел в пределах десяти. Изучение каждого из чисел первого десятка завершается изучением действий сложения и вычитания в пределах этого числа. Действия сложения и вычитания изучаются параллельно.

Одновременно на этом этапе организуется наблюдение учащихся над свойствами и вычислительными приемами арифметических действий.

Общеизвестно, что теоретической основой вычислительных приемов служат определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие из них.

Имея в виду и принимая во внимание методический аспект, можно выделить группы приемов в соответствии с их общей теоретической основой, предусмотренной действующей программой по математике для начальных классов, что дает возможность использовать общие подходы к методике формирования соответствующих навыков. Назовем эти группы приемов.

1. Приемы, теоретическая основа которых – конкретный смысл арифметических действий. К ним относятся: приемы сложения и вычитания чисел в пределах 10 для случая а2, а3, а4, а0; приемы табличного сложения и вычитания с переходом через 10 в пределах 20; прием нахождения табличных результатов умножения, прием нахождения результатов деления (только на начальной стадии) и деления с остатком, прием умножения 1 и 0. Это первые приемы вычисления, которые вводятся сразу после ознакомления учащихся с конкретным смыслом арифметических действий. Хотя в основе некоторых из названных приемов и лежат свойства арифметических действий, эти свойства учащимися не раскрываются. Названные приемы вводятся на основании выполнения операций над множествами.

        2. Приемы, теоретической основой которых служат свойства арифметических действий. К этой группе относится большинство вычислительных приемов. Это приемы сложения и вычитания для случаев вида 2+8, 5420, 273, 406, 457, 5023, 6732, 7418; аналогичные приёмы для случаев сложения и вычитания чисел больше или меньше 100, а также приёмы письменного сложения и вычитания; приёмы умножения и деления для случаев вида 14∙5, 5∙14, 81:3, 18∙40, 180:20,  аналогичные приёмы умножения и деления.

        3. Приёмы, теоретическая основа которых – связи между компонентами и результатами арифметических действий. К ним относятся приёмы для случаев 21:3, 60:20, 54:18, 9:1, 0:6. При введении этих приёмов сначала раскрываются связи между компонентами и результатом соответствующего арифметического действия, затем на этой основе рассматривается вычислительный приём.

        4. Приёмы, теоретическая основа которых – изменение результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов. Приёмы округления при выполнении сложения и вычитания чисел (46+19, 512-202), приёмы умножения и деления на 0. Изучение этих приёмов также требует внимательного изучения соответствующих зависимостей.

        5. Приёмы, теоретическая основа которых – вопросы нумерации чисел. Это случаи вида а1, 16-10, 16-6, 57∙10, 1200:100, частные приёмы для больших чисел. Введение этих приёмов предусматривается после изучения соответствующих вопросов нумерации (натуральной последовательности, десятичного состава чисел, позиции принципа записи чисел).

        6. Приёмы, теоретическая основа которых – правила. К ним относятся приёмы для 2-х случаев: а∙0, а∙1. Поскольку правила умножение на единицу и нуль есть следствие из определения действия целых неотрицательных чисел, то они просто сообщаются учащимся и в соответствии с ними выполняются вычисления (Бантова, Бельтюкова, 1984).

Как мы видим, все вычислительные приёмы строятся на теоретической основе, причём в каждом случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительных приёмов. Общность подходов к раскрытию вычислительных приёмов каждой группы – залог овладения учащимися обобщенными вычислительными навыками.

В принятой сейчас системе изучения арифметических действий предусматривается такой порядок введения приёмов, при котором постепенно вводятся приёмы, включающие большее число операций, а ранее усвоенные приёмы включаются в качестве основных операций в новые приёмы. Например, при изучении сложения и вычитания в пределах 10, сначала вводятся приёмы для случаев вида а1, после их изучения и выработки соответствующих навыков вводятся приёмы для случаев вида а2, которые включают в качестве операций случаи а1 и т. д. Как видим, выполняя операции, составляющие новый приём, ученик не только усваивает этот приём, но и совершенствует навыки вычислений ранее рассмотренных случаев. Такая система включения приёмов создаёт благоприятные условия для выработки у учащихся прочных навыков.

В методике работы над каждым отдельным приёмом можно предусмотреть ряд этапов: подготовка к введению нового приёма, ознакомление с вычислительным приёмом, закрепление знания приёма и выработки вычислительного навыка (Приложение 2).

К моменту поступления в школу дети накапливают большой запас практических знаний, умений и навыков, необходимых для овладения программой по математике. Как правило, они знают названия чисел, их последовательность в пределах десяти в прямом и часто в обратном порядке. Некоторые дети могут сравнивать группы предметов способом взаимнооднозначного соответствия и овладевают способами их уравнивания, во многих случаях они знают отношения между смежными числами, умеют сравнивать два предмета по тем или иным параметрам. Этот практический опыт уточняется и обобщается в ходе изучения основ математики. Причём бывает достаточно незначительного количества упражнений с предметами-символами (Власова, Лубовский,1981).

Коррекционно-развивающее обучение математике следует начать иначе. В силу особой познавательной деятельности учащихся  элементарные знания, умения и навыки находятся на сравнительно низком уровне развития. Так, они недостаточно владеют умениями называть числа первого десятка в обратном порядке и счётом от заданного числа в прямом и обратном порядке, слабо дифференцируют порядковые и количественные числительные. Слабость счётных навыков, неустойчивость представлений о количестве, отсутствие элементарных практических навыков измерения в дальнейшем может помешать овладению арифметическими действиями (Власова, Лубовский, 1981).

Отсутствие специально организованной помощи может привести к тому, что в ходе последовательного обучения появятся новые трудности, будет расти количество полностью или частично неосвоенного материала. Вследствие этого для детей группы риска необходима особая подготовительная работа. В её задачи входит не только выявление, систематизация и уточнение имеющихся знаний, умений, навыков, но и формирование недостающих. После такой подготовительной работы дети оказываются в состоянии усваивать программный материал по математике.

Начиная работу по подготовке детей к обучению арифметических действий, особое внимание следует уделить формированию у них представления о множестве как о структурно-множественном единстве, состоящем одновременно из отдельных элементов. Это поможет в дальнейшем подвести детей к пониманию количественного значения числа и умению видеть состав числа из отдельных единиц, а также из двух меньших чисел.

Как советуют Т. А. Власова, В. И. Лубовский, познакомив детей с основными признаками предметов, нужно обратить их внимание на то, что множества могут образовываться не только из однородных, но и из разнородных предметов. Составляя множество из двух частей и выделяя затем эти составляющие части множества, учащиеся должны научиться видеть, с одной стороны, всё целое множество, обладающее общим признаком (форма), а с другой – его части, имеющие свой признак (цвет). Эти части являются также множеством, но они входят в состав большого множества как его части. Для определения большей или меньшей части множества необходимо научить детей сравнивать их способом взаимнооднозначного соответствия, выделяя при этом признаки, указывающие на то, что в одной части предметов больше, а в другой меньше. При этом дети также должны сказать, что больше: целое множество или его часть.

Обучая детей, необходимо показать, как нужно располагать сравниваемые множества и их элементы. Одновременно дети знакомятся с понятиями поровну, больше, меньше, каждый, все, несколько.

К пониманию количественных отношений и счёта предметов дети приходят в процессе выделения из любого множества одного и нескольких предметов.

В подготовку детей к усвоению начального курса математики входят упражнения в счёте разнообразных реальных предметов в классе, дома. Дети должны научиться ориентироваться в натуральном ряду, определять в нём место того или иного тела, понимать, что названному числу соответствует такое же количество предметов, правильно отвечать на вопрос «Сколько всего?».

Необходимо предусмотреть практические упражнения, направленные на формирование умения считать от заданного числа вперёд и назад. Последующее знакомство детей с последовательностью чисел происходит в процессе закрепления и уточнения навыков счёта, определения предметов из группы, а также сравнения равных и не равных по числам множеств. При работе со множествами следует готовить детей к счёту группами. Для этого они должны увидеть и понять, что числа 1, 2, 3 могут обозначать не только количество отдельных предметов, но и число групп предметов в едином множестве. Если дети увидят, что число состоит из определённого количества единиц, поймут, как оно образуется, каковы отношения между рядом стоящими числами, какое место занимает число среди других чисел, они легко усвоят, что всякое число можно разложить на единицы или на другие меньшие числа.

В имеющем место учебном материале в общеобразовательной школе предусмотрено выполнение детьми уже на первых уроках большого количества упражнений с использованием разнообразных предметов. Эти упражнения помогают формировать практическое обобщение и подготавливают учащихся к решению арифметических задач разных типов. Дети должны понять, что арифметическая задача связана с их повседневной жизнью, что она не является отвлечённой от реальной действительности абстракцией. На первых порах дети решают простые задачи на нахождение суммы и остатка. Практическая деятельность с предметами не только помогает детям осмыслить содержание задачи, но и способствует преодолению умственного переутомления, которое часто возникает у них на уроках математики. Такое утомление приводит к резкому снижению работоспособности и внимания; кроме того, у детей появляются импульсивные, необдуманные действия, в результате чего возникает множество ошибок. В таких случаях помогает переключение на иной вид деятельности – оперирование предметами. Полное понимание задачи достигается при соблюдении ряда условий. Выбор арифметического действия является важным этапом обучения. Для этого ученик должен представить конкретную жизненную ситуацию, о которой говориться в задаче и понять взаимосвязь между искомым и данным. С другой стороны, он должен  уметь отвлечься от сюжетной стороны и перевести её в логический и арифметический план. Эта сложная аналитико-синтетическая деятельность при решении задач вызывает серьёзные затруднения у детей с недостаточной сформированностью основных мыслительных процессов, а также со сниженной познавательной активностью (Власова, Лубовский, 1981)

Обычно используется наборное полотно, куда вставляются различные, плоские предметы, вырезанные из картона или плоской бумаги. Это могут быть ярко раскрашенные изображения фруктов, овощей и т. д. Многие учителя начальной школы готовят красочные сюжетные картины с прорезями, в которые вставляются различные изображения.

Только на самых ранних этапах знакомства с заданием следует иллюстрировать условие таким образом, чтобы был виден результат, так как это не стимулирует детей к постановке вопроса и не заставляет задуматься над выбором действия.

От реальных предметов необходимо переходить к использованию символов. Таким образом, наглядность используется лишь как основа для перехода к абстракции.

Учитель прилогает много сил, чтобы научить детей сделать краткую запись условия задачи на основе её тщательного анализа. Решить задачу – значит не только ответить на её вопрос, но и обосновать свои рассуждения, доказать правильность выбора арифметического действия.  В процессе рассуждения дети сравнивают, обобщают и делают умозаключения. Всё это способствует развитию словесно-логического мышления – самого слабого звена мыслительной деятельности.

Чрезвычайно важным приёмом обучения математике является самостоятельное составление детьми арифметических задач. Чаще всего в задачах фигурируют одни и те же предметы и жизненные ситуации. Сформулированные задачи обычно не соответствуют ни предметным, ни количественным отношениям, о которых говорится в задании. Характерная черта детей – отсутствие уверенности в собственных силах. Многие учащиеся даже не пытаются думать над предложенной задачей. Некоторые прекращают решение задачи после первых же затруднений. Учитель должен преодолеть эту неуверенность, давать им посильные задания, подбадривать и поощрять за малейший успех (Перова, 1999).

Конкретность мышления, слабость обобщения приводят к тому, что у школьников очень медленно формируются знания о числах, практические умения счёта. Число и цифра, место данного числа в числовом ряду, составление числа из двух групп и действия сложения и вычитания в пределах данного числа. Учащиеся должны понимать, что каждое число первого десятка образуется из предшествующего путём прибавления одной единицы, а если из числа вычесть единицу, то получится предшествующее число. Линейка, с нанесённой на неё сантиметровой шкалой является хорошим наглядным пособием при рассмотрении вопросов нумерации (в частности, получения чисел).

По мере изучения чисел первого десятка учитель не только знакомит учащихся с местом данного числа в натуральном ряду чисел, но и учит сравнивать это число с числами, стоящими рядом, а также другими числами. С арифметическими действиями учащихся знакомят сразу же после изучения числа 1. Изучение чисел из каждого десятка завершается изучением действий сложения и вычитания в пределах этого числа. Учащиеся знакомятся со знаками сложения – плюсом (+), вычитания – минусом (-) и знаком равенства – равно (=).

В основе сложения и вычитания в пределах 10 лежат операции с предметными совокупностями и некоторые вычислительные приемы. следовательно обучение учащихся арифметическим действиям сложения и вычитания необходимо начинать с этапа овладения всеми учащимися операциями над предметными совокупностями. Предметно-практическая деятельность детей должна сопровождаться счетом: «К одной книге прибавить еще одну книгу. Сколько получится книг?» это записывается так: 1+1=2. учащиеся на партах прибавляют к одному предмету еще один предмет и пересчитывают результат.

Запись примеров идет на доске и в тетрадях. Учащиеся учатся читать пример: «К одному прибавить один, получится два». На этом же уроке учащиеся знакомятся с решением и записью примеров на вычитание. Пример читается так: «От двух отнять один, получится (останится) один».

Далее дети учатся решать примеры вида 2+1, 1+2, 3-1, 3-2. Чтобы решить пример 2+1, надо отсчитать 2 предмета (2 красных круга), а потом отсчитать еще 1 предмет (зеленый круг), соединить их, пересчитать и записять ответ. Учитель обращает внимание на то, что когда прибавляют, то становиться больше, чем было.

При вычитании 3-2 ученик должен взять 3 предмета, отсчитать (удалить) 2, пересчитать оставшиеся предметы и записать ответ. Учитель обращает внимание на то, что когда вычитают, то становиться меньше, чем было.

Учащиеся должны овладеть вычислительными приёмами, получить прочные вычислительные навыки, заучить результаты сложения-вычитания в пределах 10, а также составления чисел первого десятка, узнавать и показывать компоненты и результаты двух арифметических действий (Перова,1999).

Обучение учащихся арифметическим действиям сложения-вычитания необходимо начать с этапа овладения учащимися операциями над предметными множествами. Одновременно на этом же этапе организуются наблюдения учащихся над свойством сложения. По мере овладения учащимися натуральной последовательностью чисел  и свойством этого ряда нужно знакомить их и с приёмом сложения и вычитания, опирающимися на это свойство натурального ряда чисел.

Переходным этапом от операций над конкретными множествами к действиям над числами является знакомство учащихся (при выполнении сложения и вычитания) с приёмом присчитывания и отсчитывания нескольких единиц.

При использовании приёма присчитывания учащиеся пересчитывают первое множество, запоминают это число, к нему по одному присчитывают элементы второго множества и сразу говорят сумму. Если приёмом присчитывания ученики овладевают довольно быстро, то приёмом отсчитывания - намного медленнее.

При изучении каждого числа первого десятка учащиеся получают представление и о составе этих чисел. Состав чисел усваивается учащимися при объединении двух предметных совокупностей, а также разложением их на две группы и определении количества предметов в каждой группе.

Дети группы риска с большим трудом усваивают связь между сложением и вычитанием. Понимание этой связи достигается только практически. Необходимо чаще для отыскания ответа при вычитании отсылать учащихся к таблице сложения. Решение и сопоставление подобных примеров, а впоследствии и составление по одному примеру на сложение других трёх, не только способствует осознанию взаимосвязи между действиями по запоминанию табличного сложения и вычитания, но и играет огромную корректирующую роль. Анализ, сравнение будят мысль ребёнка, заставляют его сознательно подходить к выполнению действий.

Учитель своими заданиями по выделению признаков сходства, различия, организацией наблюдений над изменениями компонентов действий способствует активизации мыслительной деятельности, преодолению косности и формализма в знаниях.

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что складывать можно любые числа, а вычитать только из большего числа меньшее.

Знакомство с нулём проводится после изучения чисел в пределах 5. Подготовка ведётся на предметных пособиях, потом на картинках и, наконец, на числах. Нуль сравнивается с единицей. Устанавливается, что нуль меньше единицы, а единицы больше нуля, поэтому нуль должен стоять перед единицей. Нуль не относится к натуральным числам. Вводить число нуль в качестве вычитаемого, а потом слагаемого следует на большом числе упражнений. Смысл действий с нулём будет лучше понят учащимися, если нуль в качестве вычитаемого и нуль в качестве слагаемого будет вводиться неодновременно. Закреплению действий сложения и вычитания способствуют: составление примеров с данным ответом на сложение и вычитание, разложение любого числа на два слагаемых, дополнение любого однозначного числа до данного числа или до 10.

Учитель должен обращать внимание на то, что сумма всегда больше каждого из слагаемых, (или равна ему), а остаток всегда меньше уменьшаемого, уменьшаемое больше и равно вычитаемому, в противном случае вычитание произвести нельзя.

Овладение вычислительными приёмами сложения и вычитания в пределах 20 основано на хорошем знании сложения и вычитания в пределах 10, знания нумерации и состава чисел в пределах 20. Большое значение имеет наглядность и практическая деятельность с пособиями самих учащихся. Действия сложения, вычитания целесообразно изучать параллельно – после знакомства с определённым случаем сложения изучать соответственно случаи вычитания в сопоставлении со сложением: 10+7, 7+10, 17– 7, 17–10.

I. Приемы сложения и вычитания, основанные на знаниях десятичного состава числа (10+3, 13– 3, 13–10) и нумерации в пределах 20.

Закрепляется взаимосвязь сложения и вычитания, переместительные свойства сложения, называния компонентов и результатов действий. При этом учащиеся перестают пользоваться наглядными пособиями, но от них требуется пояснение действий.

II. Сложение и вычитание без перехода через десяток. Разложение компонентов на десятки и единицы:

а) к двузначным прибавляются однозначные. Из двузначных вычитаются однозначные. Объяснение сопровождается использованием наглядных пособий и подробной записью решения         13+2                10+3+2 = 10+5 = 15

При решении примеров на сложение закрепляются умения учащихся пользоваться переместительным законом сложения: решения примера 2+14 на основе 14+2;

б) получение суммы 20 и вычитание однозначного числа из 20:

15+5                17+3                20-5                20-3

Трудности: учащихся смущает то, что при сложении единиц в разряде единиц получается нуль. Разложив его на два десятка и вычтя из одного десятка заданное количество единиц, дети забывают этот результат прибавить к десятку и получают 20-3 = 7.

Рассмотрим пример на вычитание 20-3 = 17

20 – два десятка (два пучка палочек) и нуль единиц. Занимаем один десяток и раздробляем его на 10 единиц (развязывается один пучок) 10 единиц минус 3 единицы получается 7 единиц. Всего остаётся 1 десяток и 7 единиц, 17;

в) вычитание из двузначного числа двузначного 15 – 12, 20-15

- разложить на десятки единицы и вычесть десятки из десяток, единицы из единиц;

- разложить вычитаемое на десятки и единицы. Вычесть из уменьшаемого десятки, а из полученного – единицы. Лучше отработать один приём и пользоваться им.

III. Сложение и вычитание с переходом через разряд. Трудности связаны с тем, что сразу происходит актуализация ранее полученных знаний, их упорядочение и последовательное выполнение ряда логических операций: а) уменьшаемое разложить на десятки и единицы; б) вычитаемое разложить на 2 числа, одно из которых равно числу единиц уменьшаемого; в) вычесть единицы; г) вычесть из десятка оставшееся число единиц.

Учащиеся затрудняются выполнять в) и г). Требуется большая подготовительная работа, тщательный подбор материала от лёгкого к трудному, использование достаточного количества упражнений.

Необходимо учить школьников планировать мыслительные действия, развивать ориентированную основу познавательной деятельности.

Вопросы: сколько действий надо выполнить? Какие это действия? С целью выяснения, возможно ли вычитание, предлагаются примеры 3-13, 12-15.

Подобные задания постепенно вырабатывают у учащихся привычку анализировать числа, прежде чем приступать к выполнению действий.

При обучении сложению, вычитанию в пределах ста соблюдаются все требования, которые предъявляются к обучению выполнения действий в пределах 20. Как показывает опыт, по-прежнему большие затруднения учащиеся испытывают при выполнении действия вычитания. Наибольшее количество ошибок возникает при решении примеров на сложение, вычитание с переходом через разряд. Характерно, что учащиеся долгое время не овладевают рациональными приёмами вычисления, задерживаясь на приёмах пересчитывания  конкретных предметов, пересчитывают по единицам.

Причина ошибок заключается в недостаточно твёрдом знании таблиц сложения и вычитания в пределах 10 и 20, в недостаточно твёрдом знании и понимании позиционного значения цифр в числе или в неумении использовать свои знания на практике, а также в особенностях мышления школьников группы риска. Следует отметить, что некоторые учащиеся долгое время не могут научиться проводить рассуждения при решении примеров, но с их решением на счётах легко справляются, не смешивают разряды.

1. Сложение и вычитание круглых десятков (30+20), (50-20), решение которыхосновано на знании нумерации круглых десятков.

2. Сложение и вычитание без перехода через разряд.

3. Сложение двузначного числа с однозначным, когда в сумме получаются круглые десятки. Вычитание из круглых десятков однозначного или двузначного числа         5+35 = 5+5+30,           40-23 = 40-20-3.

4. Сложение и вычитание с переходом через разряд 35+7, 7+35, 35+27.

Все действия 1, 2, 3 выполняются устными вычислениями с единиц высших разрядов десятков. Приёмы вычислений основываются на знании учащимися нумерации десятичного состава числа, таблиц сложения и вычитания в пределах 10. Объяснение каждого нового случая проводится на наглядных пособиях и дидактическом материале, с которым работают все ученики:

1) 30 – три десятка (три пучка палочек) 20 – два десятка (два пучка) 30+20 = 3 п.+2 п. = 5 п. (пять десятков – 50).

2) 30+26 (на пособиях абак, арифметический ящик, счёты) полезно показать подробную запись выполняемых действий

3) при рассмотрении случаев 50-5 надо указать на то, что необходимо занять один десяток, так как в числе 50 число единиц равно 0, раздробить десяток на  единицы, от десяти отнять пять, а оставшиеся десятки сложить с разностью.

В процессе обучения учащихся устным вычислительным приёмам необходимо каждый новый случай сложения и вычитания рассматривать в неразрывной связи с предыдущими, постепенно включая новые знания в уже имеющиеся, постоянно сопоставляя. Это позволит выработать обобщённый способ устных вычислений.

4) Сложение и вычитание с переходом через разряд выполняется приёмами письменных вычислений, то есть вычисление начинается с единиц низших разрядов за исключением деления.

5                5                4

     7                27                  7 

  4 2                62                35

Когда учащийся научится выполнять действия сложения, вычитания с переходом через разряд в столбик, их знакомят с выполнением этих действий приёмами устных вычислений на абаке, арифметическом ящике, счётах.

Как при сложении, так и при вычитании надо разложить второе слагаемое или уменьшаемое на два числа. При сложении второе слагаемое раскладывается на два числа, чтобы одно было равно числу единиц уменьшаемого, то есть, чтобы при вычитании получилось круглое число. При выполнении действий трудность для учащихся заключается в правильном разложении числа, в выполнении последовательности нужных операций, запоминании и прибавления или вычитания оставшихся единиц.

Лучшему осознанию смысла действия умножения способствует подготовительная работа: счёт равными группами предметов, а также счёт по 2, 3, 4, 5 до 20. Пособиями служат учебные принадлежности, природный материал, игрушки, изображения предметов в виде трафаретов, разнообразные рисунки. Дети группы риска значительно больше нуждаются в практических упражнениях, при этом необходимо тщательно следить за тем, чтобы во время этих упражнений соблюдалась строгая последовательность действий. Вначале, как правило, возникает необходимость закрепить знание табличного сложения в пределах 20 и навыки счета группами. В процессе занятий дети начинают понимать сущность умножения. Учащиеся выкладывают равные по количеству группы предметов, считают количество предметов в группе, устанавливают количество таких групп. Дети записывают свои действия в виде примера на сложение. Теперь они самостоятельно способны установить закономерность повторения одного и того же слагаемого. С этой же целью детям можно предложить и другие упражнения: представить число в виде суммы одинаковых слагаемых, выразить несколько одинаковых слагаемых одним числом.

Пример: Ребята, вы будете кататься на лыжах. Каждому нужно надеть варежки. Сколько варежек нужно одному ученику? (вызывает пять человек). Считаем хором 2, 4, 6,8, 10. Счёт ведётся не только по два, но и другими равными числовыми группами, например, сосчитаем сколько колёс у этих машин. Сколько колёс у одной машины? Как будем считать, чтобы быстрее сосчитать у всех, по одному или по четыре? Если будет ещё одна машина, то сколько колёс ещё надо прибавить?

Понятие об умножении как сложении равных слагаемых учащимся показывается на первом уроке. Необходимо показать целесообразность замены сложения умножением, то есть 2+2+2+2+2 = 10. Сколько пар? (пять). Пример пишем: 2∙5 = 10. Какое число записываем первым? (Слагаемое). Какое вторым? (число слагаемых).

Необходимо дать понять, что умножение – это сложение одинаковых слагаемых. Подобные упражнения имеют не только обучающее и развивающее, но и коррекционное значение.

Учитель подготавливает к тому, что число, обозначающее слагаемое остается без изменений в качестве 1 множителя, а количество повторений этого слагаемого записывается в виде 2 сомножителя. В связи с подготовкой к выполнению действий умножения дети закрепляют понятие «больше в несколько раз». В то же время дети овладевают способами сравнения чисел и величин. На заключительном этапе обучения действию умножения дети уже в состоянии проводить во время решения задачи разностное и краткое сравнение. В результате проведения подготовительной работы дети овладевают понятием «умножение» на основе обобщения предметно-количественных отношений (Власова, Лубовский, 1981).

В процессе изучения арифметических действий в начальной школе предпочтение в основном отдается следующим методам обучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, проблемный рассказ и решение познавательных задач. Большое значение уделяется самостоятельной работе учащихся на этапе закрепления изученного материала.

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННОЙ  ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аматова Г.М., Аматов М.А. Математика. Учебное пособие для факультетов подготовки бакалавров образования в области начального образования и учителей начальных классов педагогических учебных заведений.-М.,1999. - 487 с.
2. Аргинская И.И., Дмитриева Н.Я., Полякова А.В., Романовская З.И. Обучаем в системе Занкова Л.В. М, Просвещение, 1991.
3. Аргинская Н.И. Математика.1класс.- М.: Просвещение,1994.
4. Бантова.М. А. Система формирования вычислительных навыков // Начальная школа. - 1993.-№11.
5. Истомина Н.Б., Нефедова И.Б. Математика. Учебник для 1 кл. трехлетней начальной школы. - Москва, 1996.
6. Кумарина Г.Ф., Паукова Т.Н. Компенсирующее обучение как новое направление в подготовке специалистов / Начальная школа. - 1999. -№ 3. - С.10-14.