МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ ИЗУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ГЕОМЕТРИИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
статья по математике (1, 2, 3, 4 класс)

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ

Точка

1.Знакомство через демонстрацию: нарисовать или проколоть стержнем ручки листок бумаги.

2.Нахождение точки пересечения прямых линий на разлинованном  листе тетради.

3.Готовясь к письму цифр, дети выполняют такие задания: поставьте точку в середине клеточки (в левом нижнем углу клетки, в середине левой стороны клетки и т.п.); соедините поставленные точки отрезком по образцу - воспроизводят бордюрные рисунки по заданным точкам.

4. После знакомства с элементами многоугольника учащиеся узнают о том, что вершины многоугольника - это точки. Позднее учащиеся знакомятся с обозначением точек заглавными латинскими буквами. Они упражняются в обозначении точек буквами и чтении обозначенных буквами точек.

Линия. Прямая и кривая линия

1. Использование «геометрии листа бумаги»: внимание детей обращается на линии в тетрадях, проведенные в различных направлениях.

2.Использование натянутой нитки для демонстрации прямой линии и ослабленной – для демонстрации кривой. Связанная нитка – модель  замкнутой кривой линии.

3.Линия как след от движущейся точки.

4.Сопоставление прямой и кривой линии: натягивание  нити (ленты), затем ослабление ее так, так чтобы она провисала или свободно располагалась; 5.Сравнение рисунков с прямыми дорогами и извилистыми тропинками;

6. Разрезание  листа бумаги по линии, полученной перегибанием листа с выяснением, какая получилась линия - прямая или кривая. Дети должны научиться узнавать прямую линию, начерченную в любом положении на плоскости, отличать ее от кривой, уметь проводить прямые линии, используя линейку.

7. Вычерчивание в тетрадях прямых и кривых линий, нахождение и показ их на окружающих предметах, а также среди линий, начерченных на доске. В процессе выполнения разнообразных упражнений дети обобщают свои наблюдения: через одну точку можно провести сколько угодно прямых или кривых линий; через две точки можно провести сколько угодно кривых линий и только одну прямую.

Отрезок

 1.Отрезание от туго натянутого шнура (аналога прямой)  некоторой  части с уточнением, что получили часть прямой. Затем, начертив прямую, дети отмечают на ней две точки и выделяют цветом часть прямой, заключенную между поставленными точками. Учитель вновь уточняет: «Что выделено на чертеже цветом и точками?» (часть прямой) и поясняет, что эту часть прямой от одной точки до другой называют отрезком прямой, или кратко - отрезком, а точки - концами отрезка. Дети ставят точки на других прямых, начерченных на доске, и показывают полученные отрезки и концы отрезков. После этого учитель показывает, как изображается на чертеже отрезок (концы отрезка отмечает точками или штрихами), сравнивает с изображением прямой. Учащиеся показывают на готовых чертежах отрезки и прямые, а затем и сами чертят прямые и отрезки прямых и постепенно осознают, что отрезок ограничен, а прямая не ограничена (мы изображаем на бумаге только часть прямой).

2. Закреплению понятия об отрезке способствуют такие упражнения:

– показать отрезки прямой на окружающих предметах;

– соединить отрезком две точки;

– провести отрезок через три точки, лежащие на одной прямой, показать все получившиеся при этом отрезки.

3.После знакомства с сантиметром, дециметром, метром и т.д. учащиеся выполняют большое количество упражнений в измерении и черчении отрезка. В этот период важно при работе с масштабной линейкой обращать внимание школьников на правильность положения линейки при измерении - один конец отрезка должен совпадать с нулевым делением на шкале линейки.

4. Решение задач с отрезками (на увеличение и уменьшение на несколько единиц или в несколько раз, на разностное и кратное сравнение). Постепенно школьники убеждаются, что равные отрезки содержат одинаковое число выбранных единиц длины, а неравные - неодинаковое число: в том отрезке содержится больше единиц, который длиннее. Таким образом, становится возможным судить о равенстве или неравенстве отрезков на основе сравнения их длин.

5.Выделяя элементы многоугольников, учащиеся устанавливают, что стороны многоугольников - отрезки.

6. Когда учащиеся ознакомятся с обозначением отрезка заглавными буквами латинского алфавита, даются письменные упражнения, которые закрепляют умения выделять отрезки, являющиеся частями других отрезков, а также отрезки, составленные из других отрезков. Например, школьникам предлагают упражнения: – записать все отрезки, которые имеются на чертеже;

– записать отрезки с началом в точке О;

– измерить с помощью линейки и выписать равные отрезки.

7.Постепенно учащиеся осознают, что отрезок может быть общей стороной нескольких многоугольников, и, опираясь на это, выполняют упражнения на построение отрезков внутри многоугольников, так, чтобы при этом образовывались новые фигуры (деление многоугольника диагоналями на заданные части). Учащиеся выполняют задание в тетрадях, а затем показывают на доске различные решения каждой задачи. Такие упражнения развивают у детей воображение и пространственные представления, а также закрепляют геометрические понятия.

Ломаная линия

1. Построение линии из палочек или бумажных полосок с введение ее названия.

2. Изготовление модели ломаной с помощью  проволоки.

3. Изображение ломаной с помощью цветной нити, натянутой между несколькими кнопками (магнитами) - «точками», не лежащими на одной прямой.

4. Учащиеся чертят ломаные линии на доске и в тетрадях: ставят 3 (4, 5 и т.д.) точки, не лежащие на одной прямой и соединяют их отрезками. Каждый раз дети подсчитывают, сколько отрезков содержит ломаная линия или сколько у нее звеньев.

5. С опорой на практические работы вводят понятие незамкнутой и замкнутой ломаной линии. Учащиеся строят из палочек (полосок бумаги, кусочков проволоки) ломаную линию, находят ее начало и конец. Учитель дает название такой ломанной - незамкнутая, а затем предлагает по образцу соединить начало и конец незамкнутой ломаной линии. Учащиеся сами догадываются, что такая ломаная линия называется замкнутой. При этом звенья соединяют так, чтобы они, кроме вершин, не имели общих точек.

6. В процессе упражнений устанавливают связь между замкнутой ломаной линией и многоугольником, для которого ломаная линия является границей: замкнутая ломаная линия из трех звеньев ограничивает треугольник, из четырех звеньев - четырехугольник и т.д.

7. Знакомство с измерением длины ломаной с помощью задания: измерить звенья ломаной и сложить полученные длины. Чтобы дети усвоили понятие длины ломаной линии, необходимо включить достаточное количество упражнений в нахождении длины незамкнутых и замкнутых ломаных линий, которые содержат различное число звеньев.

Периметр

 1.  Понятие о периметре многоугольника (без использования термина «периметр») дается в процессе решения конкретной задачи на нахождение длины замкнутой ломаной линии. Сначала включают задачи на нахождение периметра многоугольников с неравными сторонами, в процессе решения которых закрепляется понятие о длине ломаной линии. Например, учащимся предлагаются вырезанные из бумаги многоугольники или начерченные на карточках треугольники, четырехугольники и т.п. и дается задание найти сумму длин сторон этих фигур.

2. Построение  многоугольника по точкам, не лежащим на одной прямой, соединив их последовательно отрезками, обозначить и раскрасить полученный многоугольник, а потом измерить стороны и найти сумму их длин.

 3.Затем специально рассматривается нахождение периметров равносторонних многоугольников, а также нахождение периметра прямоугольника. Периметр этих фигур дети находят сначала, как и на предыдущем этапе: измеряют каждую сторону и складывают полученные числа. Обращается внимание учащихся на равенство сторон, и школьники сами догадываются, что при нахождении суммы длин сторон равностороннего треугольника, квадрата и других многоугольников с равными сторонами достаточно измерить одну сторону, а затем умножить ее длину на число сторон многоугольника. При нахождении периметра прямоугольника достаточно узнать его длину и ширину (т.е. основание и высоту или, другими словами, длины смежных сторон), затем умножить каждое из этих чисел на 2 и полученные произведения сложить. Здесь учащиеся кроме геометрических понятий, закрепляют также и арифметические знания.

4.Решение  задач на вычисление периметра, а также задачи, им обратные с выполнением чертежа на доске (схематически).

5.Наряду с решением готовых задач  придумывание заданий на составление подобных задач с геометрическим содержанием (подобрать и вставить в условие пропущенные числовые значения; составить задачу, обратную решенной; составить задачу, по данному решению и т.п.). В процессе таких упражнений формируется понятие периметра многоугольника и умение находить его, а также развиваются пространственные геометрические представления.

Многоугольник

1. Использование многоугольников как дидактический материал, опираясь на который дети учатся считать, решать задачи, вычислять, составлять орнаменты, сравнивать, классифицировать и др. Попутно уточняются представления школьников об отдельных фигурах, запоминаются их названия: круг, треугольник, квадрат и др.

2.Далее приступают к изучению отдельных видов многоугольников, вычленяют элементы многоугольников (стороны, углы, вершины). Дети учатся правильно показывать элементы треугольника: вершины (показывают точки), стороны (показывают отрезки, проводя указкой от одного конца отрезка до другого), углы (показывают угол вместе с его внутренней областью веерообразным движением указки от одной стороны угла до другой, поместив один конец ее в вершину угла).

3. При изучении числа 3 рассматривают различные треугольники и при этом выполняют следующие упражнения:

– на моделях треугольников, изготовленных из цветной плотной бумаги, пластмассы, дерева и т.п., учащиеся показывают три стороны, три угла и три вершины в каждой фигуре;

– дети сами моделируют треугольники из палочек и кусочков пластилина или из полосок бумаги;

– обозначив вершины точками, ученики чертят и раскрашивают треугольники в тетрадях;

– дети находят предметы окружающего мира, имеющие форму треугольников;

– школьники выделяют треугольники среди других геометрических фигур.

 При этом учитель должен позаботиться, чтобы учащиеся рассматривали различные виды треугольников (равносторонние, равнобедренные и разносторонние, прямоугольные, тупоугольные и остроугольные). Это поможет формированию правильного представления о треугольнике.   Далее в таком же плане рассматривают четырехугольники, пятиугольники и т.д., приурочивая эту работу к изучению соответствующих чисел первого десятка. 4.Выделяя элементы многоугольника, учащиеся подмечают связь между числом элементов и названием фигуры (три стороны, три вершины, три угла - треугольник; четыре стороны, четыре вершины, четыре угла - четырехугольник и т.д.).

5. Кроме того, дети осознают, что у многоугольника одинаковое число углов, вершин и сторон. Все эти сведения дети усваивают практически при выполнении упражнений с готовыми моделями, при вырезывании, черчении и моделировании многоугольников. Для моделирования лучше использовать набор палочек или бумажных полосок различной длины, чтобы наблюдения не ограничивались равносторонними многоугольниками. Более того, при таком подходе дети будут сталкиваться с случаями, когда не из любых 3 (4, 5 и т.д.) палочек оказывается возможным построить соответствующий многоугольник. Понятие многоугольника вводится как обобщение рассмотренных видов многоугольников.

Угол

1.Угол как оторванный угол многоугольника. При получении модели угла демонстрируются оторванные углы треугольника и невыпуклого четырехугольника. Вершина многоугольника является и вершиной угла.

2.Формирование навыка показывать угол многоугольника. Для этого толстый конец указки нужно поместить в вершину угла, указку направить вдоль одной из сторон и веерообразным движением поворачивать указку до совпадения с другой стороной.

3. Использование модели малки, раздвижного угла. Учащимся сообщается, что чем ближе мы сдвигаем стороны угла, тем меньше он становится, и наоборот.

Прямой угол

1.Образование прямого угла перегибанием листа бумаги. Дети под руководством учителя изготавливают модель прямого угла: они дважды перегибают пополам лист бумаги произвольной формы и устанавливают, что получившиеся при этом две пересекающиеся прямые линии образуют четыре одинаковых угла. Учитель сообщает, что такие углы называются прямыми.

2.Затем дети наложением устанавливают, что, несмотря на различные листы бумаги, все получившиеся прямые углы равны.

3.Пользуясь моделью прямого угла, учащиеся находят прямые и непрямые углы на окружающих предметах, в частности на чертежном треугольнике.

4.В дальнейшем для установления вида угла используют прямой угол чертежного треугольника (лучше из прозрачной пластмассы): если углы совпадают (т.е. совмещаются их стороны и вершины), то данный угол прямой, если не совпадают -- не прямой. Для закрепления представления прямого угла включают специальные упражнения:

– среди разнообразных данных углов предлагают найти прямые углы;

– начертить прямой угол в тетради, используя ее разлиновку;

– начертить треугольник (четырехугольник), имеющий прямой угол и др.

Прямоугольник

1.Среди нескольких четырехугольников дети с помощью модели прямого угла находят четырехугольники с одним-двумя прямыми углами, а также четырехугольники, у которых все углы прямые. Учитель сообщает, что в последнем случае четырехугольники называются прямоугольниками.

2.Учащиеся находят в окружающей их обстановке предметы прямоугольной формы, показывают прямоугольники среди других геометрических фигур, начерченных на доске или выставленных на наборном полотне, вырезают их из бумаги в клеточку, чертят по точкам в тетрадях и т.п. В процессе выполнения таких упражнений у детей формируется наглядный образ прямоугольника, запоминается его название.

3.На следующем этапе работы учащиеся знакомятся с одним из свойств прямоугольника: противоположные стороны прямоугольника равны между собой. Уточнив сначала, понимают ли дети, какие стороны прямоугольника можно назвать противоположными, учитель предлагает учащимся на бумажных моделях прямоугольника непосредственным наложением сравнить противоположные стороны. Дети подтверждают и обобщают свои наблюдения, измеряя противоположные стороны прямоугольников, данных в учебнике и на доске.

4.Знание этого свойства сторон прямоугольника закрепляется в дальнейшем, когда учащиеся чертят прямоугольники по двум заданным его сторонам (длине и ширине). В начальной школе дети выполняют построение прямоугольников с помощью линейки, т.е. чертят прямые углы, пользуясь разлиновкой тетрадей.

Квадрат

1.После того как учащиеся усвоят свойство противоположных сторон прямоугольника, из множества прямоугольников вычленяют квадраты - прямоугольники с равными сторонами. Работа на уроке организовывается так, чтобы учащиеся увидели, что квадрат - это частный случай прямоугольника. Детям предлагается, например, измерить стороны у нескольких прямоугольников, начерченных на доске или вырезанных из бумаги. Среди них обнаруживаются такие прямоугольники, у каждого из которых стороны равны между собой. Дети сами вспоминают их название - квадраты.

2.Чтобы подчеркнуть, что квадраты - это прямоугольники с равными сторонами, включают такие упражнения по готовым чертежам (на доске, в таблицах) или моделям:

– покажите прямоугольники, которые нельзя назвать квадратами;

– найдите среди данных четырехугольников прямоугольники;

– найдите среди указанных прямоугольников квадраты и т. п.

В подобных упражнениях дети должны обосновывать свои суждения, проверяя с помощью чертежного треугольника, являются ли все углы четырехугольника прямыми, а также устанавливая с помощью линейки, каково в нем соотношение сторон.

Окружность и круг

1.Дети учатся чертить окружности с помощью циркуля, знакомятся с элементами окружности и круга - центром и радиусом. Все эти сведения усваиваются детьми в процессе практических упражнений. Например, соединив точки, лежащие на окружности с центром и сравнив полученные отрезки, дети убеждаются в равенстве этих отрезков. Вводится название таких отрезков - радиус круга или окружности.

2.Сопоставив круг с многоугольником, учащиеся устанавливают, что границей многоугольника является замкнутая ломаная линия, а границей круга - замкнутая кривая линия - окружность.

3.Чтобы учащиеся не смешивали круг и окружность, дают специальные упражнения, например:

– проведите окружность и раскрасьте круг;

– отметьте центр круга или окружности;

– укажите точки, лежащие внутри круга, вне круга, на границе круга (окружности);

– отметьте точки, лежащие на окружности и лежащие вне окружности и т.п.

4.Затем в процессе упражнений у детей формируются умения чертить окружности указанного радиуса, а также делить с помощью циркуля окружность на 6, 3, 12 равных частей, делить перегибанием круг на 2, 4, 8 равных частей.

Площадь

1.Практические упражнения:

– вырезывание фигур из бумаги;

– черчение и раскрашивание фигур в тетради;

– составление фигур из заданных частей;

– вычленение различных фигур на заданном чертеже;

– деление фигуры на равные и неравные части;

– составление различных по форме фигур из одних и тех же заданных частей (например, игры «Пифагор», «Танграм») и др.

2.Учитель предлагает учащимся рассмотреть фигуры, прикрепленные на доске (различные квадраты и треугольники) и определить «на глаз» или наложением, какая фигура больше. Отвечая на вопрос учителя, дети испытывают затруднения при сравнении площадей отдельных фигур. Учитель переворачивает фигуры обратной стороной, где они разделены на квадраты. Разрешая проблемную ситуацию, учащиеся пересчитывают число квадратов, приходящихся на каждую фигуру, и делают вывод, о том какая же фигура имеет большую (меньшую) площадь. Здесь могут присутствовать фигуры различные по форме, но равные по площади. В процессе таких упражнений у школьников начинает формироваться понятие о площади как числе квадратных единиц, содержащихся в геометрической фигуре.

3.На следующем этапе учащихся знакомят с первой единицей площади - квадратным сантиметром. При введении каждой новой единицы измерения площади, формируется наглядный образ новой единицы. Дети чертят ее модель (квадрат с соответствующей длиной стороны) на клетчатой бумаге, затем вырезают ее и используют как мерку.

4.В дальнейшем наглядное представление о площади фигур закрепляется в упражнениях на нахождение площади фигур, разбитых на квадратные сантиметры. Учащимся полезно предложить при подсчете квадратных сантиметров группировать их по рядам или столбцам, чтобы ускорить нахождение их общего числа.

5.Следующим шагом является ознакомление школьников с нахождением приближенной площади фигуры таким способом: сосчитать все нецелые квадратные сантиметры и общее число их разделить на два, затем полученное число сложить с числом целых квадратных сантиметров, которые содержаться в данной фигуре. Для нахождения площади фигур, не разделенных на квадратные сантиметры, используют палетку - прозрачную пластинку, разбитую на равные квадраты. Полезно такую палетку изготовить с детьми на уроке труда. Для определения площади фигур, начерченных в тетрадях, в качестве палетки используют разлиновку тетрадей.

6.Особое внимание следует уделить сопоставлению площади и периметра многоугольников с тем, чтобы дети не смешивали эти понятия и в дальнейшем четко различали задачи нахождения площади и периметра прямоугольника. Выполняя практические упражнения с геометрическими фигурами, дети подсчитывают число квадратных сантиметров и тут же измеряют периметр многоугольника. Позднее школьники рассматривают прямоугольники, которые уже разделены на квадратные сантиметры. Их площадь находят путем подсчета квадратных сантиметров в одном ряду, а затем полученное число умножают на число рядов. Таким способом учащиеся приходят к методу вычисления площади прямоугольника: чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно знать его длину и ширину (в одинаковых единицах) и найти произведение этих чисел.

7.Закрепляется представление о площади в процессе решения разнообразных задач. При решении задач на вычисление площади и периметра прямоугольников следует показать, что фигуры, имеющие одинаковую площадь, могут иметь неодинаковые периметры, а фигуры, имеющие одинаковые периметры, могут иметь неодинаковые площади. Кроме того, дети легко подмечают, что наибольшую площадь при одинаковом периметре имеют прямоугольники с равными сторонами (квадраты).

Осевая симметрия

1.Практическая работа:нанести на лист каплю чернил/поставить точку фломастером. Перегнуть лист, чтобы линия сгиба прошла через каплю или близи нее. Плотно прижать друг к другу сложенные части листа бумаги. Раскройте листок. Обратите внимание на совершенно одинаковые фигуры по разные стороны от прямой линии. Такие фигуры называют симметричными относительно прямой линии (осью симметрии). Начертить ось симметрии получившейся фигуры.

2. Перегнуть лист плотной темной бумаги. С помощью булавки наколите какой-нибудь рисунок так, чтоб каждый раз игла прокалывала обе части сложенного листа. Раскройте листок. Как расположились фигуры относительно линии сгиба?Как можно назвать эту линию?

3.Перегнуть лист бумаги пополам. Отметьте две точки. Не раскрывая лист, вырежьте узор. Расправьте листок. Укажите ось симметрии.