Арифметические ребусы.
олимпиадные задания по математике (3 класс) на тему

Арифметические ребусы

В 3 классе рассматриваются арифметические ребусы, в которых разрешается поставить между цифрами знаки любых арифметических действий и скобки так, чтобы получилось верное равенство. Разберем несколько таких заданий.

Задача 1. Поставь знаки действий между некоторыми цифрами так, чтобы равенства стали верными:

а)  3    3    3 = 30

б)  3    3    3    3 = 30

в)  3    3    3    3    3 = 30

г)  3    3    3    3    3    3 = 30

Решение:

В равенстве а) достаточно поставить минус между второй и третьей тройками:

33-3 = 30.

В равенстве б) можно перемножить первые три тройки и к полученному результату прибавить четвертую тройку:

3 • 3 • 3 + 3 = 30.

Равенства в) и г) получаются из равенства а) и б) добавлением четного числа троек. Из четного числа троек можно получить выражение, значение которого равно нулю: 3-3 = 0, 3-3 + 3-3 = 0, и т. д. Поэтому из любого набора троек, большего двух троек, можно с помощью знаков действий получить выражение, значение которого равно 30:

33-3 + 3-3 = 30,

3•3•3 + 3+ 3-3 = 30

Задача 2. Поставь между всеми цифрами знаки действий так, чтобы равенства стали верными.

а)  1  2  3  4  5  6  7 = 8;

б)  1  2  3  4  5  6  7  8 = 9;

в)  1  2  3  4  5  6  7  8  9 = 10.

Решение:

Каждый из этих ребусов имеет несколько решений. Приведем одно решение для ребуса а), два — для ребуса б) и три решения для ребуса в):

а)  1 + 2-3 + 4 + 5 + 6-7 = 8;

б)  1 + 2-3-4 + 5-6-7-8 = 9;

1 + 2-3 + 4 + 5-6 + 7-8 = 9;

в)  1 - 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7-8-9 = 10;

1+2-3 + 4 + 5-6-7-8-9= 10;

 1-2-3-4-5:6 + 7-8-9 = 10.

Задача 3. С помощью четырех семерок, знаков арифметических действий и скобок составь выражения, значения которых равны 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

Решение:

В этом задании знаки арифметических действий можно ставить между некоторыми цифрами. Для некоторых из семи значений можно составить несколько выражений. Приведем по одному выражению для каждого значения от 1 до 7.

77: 77= 1;

7:7 + 7:7 = 2;

(7 + 7 + 7) : 7 = 3;

77 : 7 - 7 = 4;

7-(7+ 7): 7 = 5;

(7•7-7): 7 = 6;

7 + (7-7)•7 = 7.

Задача 4. Поставь между цифрами знаки действий так, чтобы равенства стали верными. Можно использовать скобки.

а) 1    2    3 = 5;

Задача 5. С помощью пяти двоек, знаков арифметических действий и скобок составь несколько различных выражений, значение каждого из которых равно 10.

Решение:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10;

 2•2 + 2 + 2 + 2 = 10;

2•2 + 2•2 + 2 = 10;

(2•2 + 2: 2) •2 = 10;

(2 + 2 + 2 : 2)•2 = 10;

(2 + 2 + 2) • 2 - 2 = 10;

(2•2+ 2) •2-2 = 10;

22 : 2-2 : 2 = 10;

 (22 + 2) : 2 - 2 = 10.

Задачи на переливание

Рассмотрим задачи двух типов: задачу, в которой требуется разлить поровну с помощью двух сосудов определенное количество жидкости, и задачу, в которой требуется с помощью двух сосудов набрать определенное количество воды из реки (то есть можно в процессе переливания любое количество воды вылить в реку и любое количество воды набрать из реки).

Задача 1. Степашка с Филей приготовили в кастрюле 8 л морса. С помощью трехлитровой и пятилитровой банок они разлили весь морс поровну. Как они смогли это сделать?

Решение:

Каждый шаг переливания фиксируем в таблице 1:

Таблица 1

После каждого переливания надо следить за тем, чтобы не возвращаться в прежнюю ситуацию. Скажем, если бы на четвертом шаге Степашка с Филей перелили 3 л морса из кастрюли в пятилитровую банку, то они вернулись бы в ситуацию, которая уже была после первого шага: в кастрюле осталось бы 3 л воды, пятилитровая банка была бы полной, а трехлитровая пустой. Поэтому на четвертом шаге надо перелить 2 л морса из пятилитровой банки в трехлитровую.

Задача 2. Как набрать из реки б л воды, если имеется 2 ведра: одно емкостью 4 л, а другое — 9 л?

Решение:

Решение оформляется в виде таблицы 2:

Таблица 2

Сумма трех чисел одна и та же

Задача 1. В ряду из 7 чисел сумма любых трех соседних чисел равна 15. Первое число равно 7. Чему равно последнее число?

Решение:

Сумма первых трех чисел равна 15, первое число равно 7. следовательно, сумма второго и третьего чисел равна 8.

Сумма второго, третьего и четвертого чисел ряда равна 15, сумма второго и третьего чисел ряда равна 8, следовательно, четвертое число равно 7.

Сумма четвертого, пятого и шестого чисел ряда равна 15, четвертое число равно 7, следовательно, сумма пятого и шестого чисел равна 8.

И наконец, сумма пятого, шестого и седьмого чисел ряда равна 15, сумма пятого и шестого чисел ряда равна 8, следовательно, седьмое (последнее) число ряда равно 7 .

Задача 2. Вставь в квадратики такие числа, чтобы сумма любых трех, взятых подряд, чисел равнялась 20 .

Решение:

В ряду чисел первое число равно 3, а сумма любых трех, взятых подряд, чисел равна 20. Рассуждая тек же, как и при решении задачи 1, получим, что четвертое число равно 3 и седьмое число равно 3.

Сумма шестого, седьмого и восьмого чисел равна 20, восьмое число равно 9, седьмое число равно 3, следовательно, шестое число равно 20 - 9 - 3 = 8.

Сумма пятого, шестого и седьмого чисел равна 20, шестое число равно 8, седьмое число равно 3, следовательно, пятое число равно 20 - 8-3 = 9 Продолжая рассуждать таким: же способом, получим, что третье число ряда равно 8, а второе число ряда равно 9 .

Задача 3. В трех вазах стоят 27 тюльпанов. Когда из первой вазы переставили 5 тюльпанов во вторую, а из второй в третью — 3 тюльпана, то во всех вазах цветов стало поровну. Сколько тюльпанов было первоначально в каждой вазе?

Решение:

Количество всех тюльпанов не менялось в результате их перекладывания из одной вазы в другую, поэтому после всех перекладываний в каждой вазе стало 27:3 = 9 цветков. Следовательно, в третьей вазе первоначально было

 9-3 = 6 тюльпанов, во второй 9 + 3 - 5 = = 7 тюльпанов, а в первой 9 + 5 = 14 тюльпанов.

Задача 4. Трем Толстякам принесли 30 пирожных, поровну каждому. Первый Толстяк съел несколько пирожных, второй съел столько, сколько пирожных осталось у первого, а третий съел столько пирожных, сколько съели первый и второй вместе. Сколько всего пирожных осталось у Трех Толстяков?

Решение:

Трем Толстякам принесли 30 пирожных, поровну каждому. Следовательно, каждому Толстяку досталось 30 : 3 = 10 пирожных.

Первый Толстяк съел несколько пирожных, а второй съел столько, сколько пирожных осталось у первого. Следовательно, количество пирожных, которое съели первый и второй Толстяки вместе, равно количеству пирожных, которое досталось первому Толстяку, то есть 10 пирожных.

Третий Толстяк съел столько пирожных, сколько съели первый и второй вместе. Следовательно, третий Толстяк съел тоже 10 пирожных.

Таким образом, Три Толстяка съели всего 10 + 10  = 20 пирожных, и у них осталось 30 - 20 = 10 пирожных.

Задача 5. Каждый из трех мальчиков имеет некоторое количество яблок. Первый мальчик дает двум другим столько яблок, сколько яблок имеет каждый из них. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. В свою очередь, и третий мальчик дает каждому из двух других столько яблок, сколько яблок есть у каждого в этот момент. После этого у каждого мальчика оказалось 8 яблок. Сколько яблок было в начале у каждого мальчика?

Решение:

Задачу будем решать с конца. У каждого мальчика оказалось 8 яблок после того, как третий мальчик дал первому и второму столько яблок, сколько у каждого из них было. Следовательно, у первого и второго мальчиков к этому моменту было по 4 яблока, и по 4 яблока они получили от третьего. Третий мальчик к этому моменту имел 8 + 4 + 4 = 16 яблок (3 шаг в таблице 1).

Когда второй мальчик дал первому и третьему мальчику столько яблок, сколько у каждого из них было, то у первого мальчика оказалось 4 яблока, а у третьего 16 яблок. Следовательно, они получили от второго мальчика 2 яблока и 8 яблок соответственно. У второго мальчика осталось 4 яблока, значит, до этого момента у него было 4 + 2 + 8 = 14 яблок (2 шаг, таблица 1).

Итак, после того как первый мальчик дал второму и третьему мальчику столько яблок, сколько у каждого из них было, у второго мальчика оказалось 14 яблок, а у третьего 8 яблок.

Следовательно, они получили от первого мальчика 7 яблок и 4 яблока соответственно. У первого мальчика осталось 2 яблока, значит, до этого момента у него было 2 + 7 + 4 = 13 яблок (1 шаг, таблица 1).

Таким образом, вначале у первого мальчика было 13 яблок, у второго 7 яблок, а у третьего 4 яблока.

Задачи на площади

■ Для решения задач, связанных с понятием площади, как правило, достаточно знать основные свойства площади:

■  одинаковые фигуры имеют одну и ту же площадь;

■  площадь всей фигуры равна сумме площадей частей, из которых она составлена.

Из этих свойств площади следует, что площади фигур, составленных из одних и тех же фигур, равны. На этом выводе основан метод решения трудных (для младших школьников) задач на площади. Для того чтобы найти площадь фигуры или сравнить ее площадь с площадью другой фигуры, полезно разбить фигуру на части, из которых можно составить фигуру, площадь которой дана или легко находится. Или, наоборот, разбить на части фигуру, площадь которой известна, и составить фигуру, площадь которой надо найти. Приведем несколько задач, при решении которых этот метод работает.

Задача 1. Площадь закрашенной части прямоугольника равна 5 см2. Найди площадь незакрашенной части прямоугольника (рис. 1).

Рис.1

Решение:

Введем обозначения для данного прямоугольника и закрашенного треугольника (рис. 2). Проведем вертикальный отрезок МN. Прямоугольник АВСВ разобьется на два прямоугольника АВМN и NМСВ.

Рис.2

Площади закрашенной и незакрашенной частей прямоугольника АВЫМ равны, так как диагональ прямоугольника делит его на два одинаковых треугольника, а площади одинаковых фигур равны. По той же причине равны площади закрашенной и незакрашенной частей прямоугольника МЫСВ. Следовательно, площадь незакрашенной части прямоугольника АВСВ равна площади его закрашенной части, то есть 5 см2.

Задача 2. Площадь прямоугольника равна 18 см2. Найди площадь закрашенной части прямоугольника (рис. 3).

Рис.3

Решение:

Обозначим данный прямоугольник буквами А, В, С и  D, а точку внутри него — буквой М (рис. 4). По решения задачи 1 становится понятно, что достаточно через точку М провести вертикальный и горизонтальный отрезки и закрашенная часть прямоугольника АВСD разобьется на части, из которых можно составить его незакрашенную часть.

Рис. 4

Следовательно, площадь закрашенной части данного прямоугольника равна его незакрашенной части, то есть 9 см2 — половине площади самого прямоугольника.

Задача 3. Дан прямоугольник АВСD. В нем проведены диагонали АС и ВD, пересекающиеся в точке О. Покажи, что площади всех четырех треугольников АОВ, ВОС, СОD и БОА равны (рис. 5).

Рис. 5

Решение:

Проведем те же построения, что и в задаче 2: через точку пересечения диагоналей О данного прямоугольника вертикальный и горизонтальный отрезки. Прямоугольник АВСD разобьется на 8 одинаковых треугольников. Каждый из треугольников АОВ, ВОС, СОD и ВО А состоит из двух таких треугольников. Следовательно, их площади равны (рис. 6).

Рис. 6

Задача 4. Найди площадь закрашенного на рисунке 95 треугольника, если сторона клетки равна 1 см.

Рис.7

Решение:

Заметим, что в этой задаче достаточно просто находятся площади незакрашенных треугольников АМD, ВМN, СND. Поэтому площадь закрашенного треугольника DМN можно найти, вычитая из площади квадрата АВСD площади треугольников АМD, ВМN, СND.

Площадь квадрата, длина стороны которого 4 см, равна 4•4 = 16 (см2).

    Площадь треугольника АМD равна половине площади прямоугольника, длины сторон которого 2 см и 4 см, то есть (2 • 4): 2 = 4 (см2).

    Площадь треугольника ВМN равна половине площади прямоугольника, длины сторон которого 2 см и 3 см, то есть (2 • 3) : 2 = 3 (см2).

   Площадь треугольника CND равна половине площади прямоугольника, длины сторон которого 1 см и 4 см, то есть (1 • 4) : 2 = 2 (см2).

Таким образом, площадь закрашенного треугольника МND равна

16-4-3-2=7 (см2).

Комбинаторика

Задача 1. Сколько существует двузначных записи, в записи которых все цифры нечетные?

Решение:

В разряде десятков может стоять любая из пяти нечетных цифр, и для каждой цифры десятков в разряде единиц может стоять тоже любая из пяти нечетных цифр. Таким образом, всего получается 5•5 = 25 чисел.

Задача 2. Сколько существует двузначных чисел, которые записываются различными нечетными цифрами?

Решение:

В разряде десятков может стоять любая из пяти нечетных цифр, и для каждой цифры десятков в разряде единиц может стоять любая из оставшихся четырех нечетных цифр. Всего получается 5 • 4 = 20 чисел.

Можно было сосчитать количество двузначных чисел, которые записываются различными нечетными цифрами, по-другому. Из количества всех двузначных чисел, в записи которых все цифры нечетные (их, как мы уже знаем, 25) вычесть количество двузначных чисел, записанных одинаковыми нечетными цифрами (их 5 — столько, сколько нечетных чисел). Получится тот же результат: 25 - 5 = 20.

Задача 3. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых все цифры четные?

Решение:

В разряде сотен может стоять любая четная цифра, кроме 0, и для каждой из четырех цифр сотен в разряде десятков может стоять любая из пяти четных цифр, получается 4 • 5 = 20 вариантов заполнения четными цифрами разрядов сотен и десятков трехзначного числа. Для каждого такого варианта в разряде единиц может стоять любая из пяти четных цифр. Таким образом, всего получается 4 • 5 • 5 = 100 чисел.

Задача 4. Сколько существует трехзначных чисел, которые записываются различными четными цифрами?

Решение:

В разряде сотен может стоять любая четная цифра, кроме 0, и для каждой из четырех цифр сотен в разряде десятков может стоять любая из оставшихся четырех четных цифр (включая 0). Получается 4 • 4 = 16 вариантов заполнения различными четными цифрами разрядов сотен и десятков. Для каждого такого варианта в разряде единиц может стоять любая из трех оставшихся четных цифр.

Всего получается 4 • 4 • 3 = 48 чисел.

Задача 5. Сколько существует трехзначных чисел, в записи каждого из которых присутствуют цифра 1 и 2 и какая-то цифра, отличная от них?

Решение:

Будем выполнять задание по такому плану:

1) сосчитаем количество трехзначных чисел, в разряде сотен которых стоит цифра, отличная от 0, 1 и 2, а в разряде десятков и единиц стоят цифры 1 и 2 или 2 и 1;

2)  сосчитаем количество трехзначных чисел, в разряде десятков которых стоит цифра, отличная от 1 и 2, а в разрядах сотен и единиц стоят цифры 1 и 2 или 2 и 1;

3)  точно такое же (как в пункте 2) будет количество трехзначных чисел, в разряде единиц которых стоит цифра, отличная от 1 и 2, а в разрядах сотен и десятков стоят цифры 1 и 2 или 2 и 1;

4)  найдем сумму этих трех чисел — искомое количество трехзначных чисел.

Переходим к осуществлению нашего плана.

1)  В разряде сотен трехзначного числа может стоять любая цифра, отличная от 0, 1 и 2, и для каждой цифры сотен в разрядах десятков и единиц могут стоять цифры 1 и 2 или 2 и 1. Получается 7 • 2 = 14 чисел.

2) В разряде десятков трехзначного числа может стоять любая цифра, отличная от 1 и 2 и для каждой из цифры десятков, в разрядах сотен и единиц могут стоять цифры 1 и 2 или 2 и 1. Получается 8 • 2 = 16 чисел.

3)  Столько же трехзначных чисел получается, когда в разряде единиц стоит любая цифра, отличная от

1  и 2, а в разрядах сотен и десятков стоят цифры 1 и

2 или 2 и 1.

4)  Складывая числа, полученные в пунктах 1)-3), найдем, что всего существует 14 + 16 + 16 = 46 трехзначных чисел, в записи каждого из которых присутствуют цифры 1 и 2 и какая-то цифра, отличная от них.

Задача 6. В 4 «Б» учится 25 детей. Сколькими способами можно назначить двух дежурных по классу?

Решение:

Одного дежурного можно выбрать 25 способами, второго к нему в пару можно выбрать любого из оставшихся 24 учеников. Получается 25 • 24 = 600 способов. Но при этом каждая пара дежурных была посчитана 2 раза: например, у Волкова был в паре Лисицын, а у Лисицына был в паре Волков. Следовательно, на самом деле, способов составить дежурные пары в 2 раза меньше, то есть 300 способов.

Задача 7. В понедельник у 4 «Б» на пяти уроках пять различных предметов. Сколькими способами можно для 4 «Б» составить расписание на понедельник?

Решение:                                                                                                                               На первом уроке может быть любой из пяти предметов, и каждый раз на втором уроке может изучаться любой из четырех оставшихся предметов. Следовательно, расписание на первые 2 урока может быть составлено

 5 • 4 = 20 способами, и для каждого такого способа на третьем уроке может быть любой из трех оставшихся предметов. Следовательно, расписание на первые три урока может быть составлено 5 • 4 • 3 = 60 способами, и для каждого такого способа на четвертом уроке может быть любой из двух оставшихся предметов, то есть расписание на первые 4 урока может быть составлено 5 • 4 • 3 • 2 - 120 способами.

На пятом уроке будет изучаться оставшийся пятый предмет.

Таким образом, расписание на понедельник для 4 «Б» можно составить 120 способами.