Развитие мыслительных операций в процессе обучения решению задач по системе Занкова Л.В.
статья по математике по теме

           Развитие мыслительных операций в процессе обучения решению задач по системе Занкова Л.В.

Выполнил

Учитель начальных классов

МБОУ СОШ №179

г.Нижнего Новгорода

Кабаева И.К.

Введение

               Проблемами обучения математике в начальной школе интересуются сейчас самые широкие круги общественности. Решение многих проблем, связанных со школьным обучением математике, приобретает сейчас особенно большое, общегосударственное значение.

Ведутся интенсивные поиски путей совершенствования школьного обучения, такого изменения школьного курса математики, которое позволило бы приблизить его к современному уровню развития математической науки.

Задача заключается в том, чтобы с первых шагов учебы ребенка в школе, занятия систематически и неуклонно вели к усвоению основных понятий, идей, методов современной математики, формировали соответствующие знания, умения, готовили к творческому использованию их при решении разнообразных вопросов и задач.

Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. Этот вопрос имеет немаловажное значение в методике.

С помощью решения задач в основном раскрывается весь начальный курс математики: формируются понятия о действиях, выясняются и конкретизируются другие математические понятия. Но задачи являются не только средством обучения математике, они составляют и значительную часть содержания начального курса.

Умение решать задачи во многом зависит от понимания учениками связей и зависимостей. Решение задач способствует математическому, и общему развитию детей. В то же время решение задач способствует развитию логического мышления.

Как обучать детей решению задач? Этот вопрос – центральный в методике обучению решения задач.

Особенности текста задачи могут определить ход мыслительного процесса при ее решении.

Решение задачи занимает в математическом образовании огромное место. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала.

В решении вопроса о реальных познавательных возможностях детей и об их развитии большую роль сыграли исследования, проводившиеся коллективом  лаборатории обучения и развития Института теории и истории педагогики АПН РСФСР, возглавляемой Занковым Л.В.

Экспериментальное исследование лаборатории Занкова Л.В. было начато в 1975 году. Главной его целью являлось раскрытие объективной связи между обучением и общем развитием школьников. Разработка этой проблемы оказала существенную помощь в деле научного обоснованного решения вопроса о том, как следует строить обучение с учетом уровня развития, которое характерно для поступающих в школу детей, с тем, чтобы обеспечить в школе наиболее благоприятные условия для дальнейшего развития учащихся.

При обучении математике учителя должны опираться на память и на мышление. Но речь идет не о механической памяти, а о памяти осмысленной, опирающейся на процессы мышления: соотнесения, выделения в материале смысловых опор и т.д. Таким образом, развитие операций мышления, а особенно анализ и синтез, имеет большое значение в обучении математике. Операция анализа связана со всеми остальными операциями мышления очень тесно.

В данной работе акцент сделан на логическую операцию анализа, но так как она неразрывно связана особенно с операцией синтеза, было принято решение рассматривать эти две операции в единстве.

Психолого-методические основы развития операций анализа и синтеза у младших школьников в процессе обучения математики.

1. Сущность и виды мышления.

Каждый человек, когда мыслит, самостоятельно делает открытие чего-то нового, неизвестного (пусть это открытие небольшое). Например, всякий школьник, решая учебную задачу, обязательно открывает для себя нечто новое.

Традиционные в психологической науке определения мышления обычно фиксируют два его существенных признака: обобщенность и опосредованность.

              Рассмотрим несколько определений мышления.

Мышление – процесс моделирования неслучайных отношений окружающего мира на основе аксиоматических положений.

Мышление – высший познавательный процесс, который представляет собой порождение нового знания, активную форму творческого отражения и преобразование человеком действительности [№31,с.274]

Мышление – это социально обусловленный, неразрывно связанный с речью психический процесс поисков и открытия существенно нового, процесс опосредованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза. Мышление возникает на основе практической деятельности из чувственного познания и далеко выходит за ее пределы.

              Познавательная деятельность начинается с ощущений и восприятия, затем может произойти переход к мышлению. Однако, любое мышление всегда сохраняет связь с чувственным  познанием, т.е. с ощущениями, восприятиями и представлениями. Весь свой материал мыслительная деятельность получает только из одного источника – из чувственного познания. Через ощущения и восприятия мышление непосредственно связано с внешним миром и является его отражением. Правильность (адекватность) этого отражения непрерывно проверяется в ходе практики, в ходе практического преобразования природы и общества.

В процессе мышления, используя данные ощущений, восприятий и представлений, человек вместе с тем выходит за пределы чувственного познания, то есть начинает познавать такие явления внешнего мира, их свойства и отношения, которые непосредственно вовсе не даны в восприятиях, и потому непосредственно вообще не наблюдаемы.

Таким образом, мышление начинается там, где оказывается уже недостаточным или даже бессильным чувственное познание. Мышление продолжает и развивает познавательную работу ощущений, восприятий и представлений, выходя далеко за их пределы. В реальной познавательной деятельности каждого человека чувственное познание и мышление непрерывно переходит друг в друга и взаимообуславливают одно другое.

Для мыслительной деятельности человека существенна ее взаимосвязь не только с чувственным познанием, но и с языком, речью.

Большую роль в этом процессе может играть и так называемая внутренняя речь: решая задачу. Человек рассуждает не вслух, а про себя, как бы разговаривая только с собой.

В течение всего периода школьного обучения перед ребенком выступает уже готовая, сложившаяся, известная система знаний, понятий и т.д., открытых и выработанных человечеством в ходе всей предшествующей истории. Но то, что известно человечеству и не является для него новым, неизбежно оказывается вначале неизвестным и новым для каждого ребенка. Поэтому усвоение всего исторически накопленного богатства знаний требует от ребенка больших усилий мышления, серьезной творческой работы, хотя он осваивает уже готовую систему понятий, причем осваивает под руководством взрослых.

Таким образом, мыслительная деятельность – необходимая основа и для усвоения знаний (например, детьми), и для добывания совсем новых знаний в ходе исторического развития человечества.

Специальность мышления заключается в том, что: мышление дает возможность познать глубинную сущность объективного мира, законы его существования; лишь в мышлении возможно познание становящегося, развивающего мира, мышление позволяет планировать практическую деятельность. Процесс мышления характеризуется следующими особенностями: носит опосредованный характер; всегда протекает с опорой на имеющиеся знания; исходит из живого созерцания, но не сводится к нему; в нем происходит отражение связей и отношений в словесной форме; связано с практической деятельностью человека.

Различают три основные формы мышления: понятие, суждение и умозаключение.

Понятие – это форма мышления, в которой отражаются общие и при том существенные свойства предметов и явлений. Понятия могут быть: общими и единичными; конкретными и абстрактными; эмпирическими и теоретическими. Содержание понятия раскрывается в суждении.

Суждение – это форма мышления, содержащая утверждение или отрицание какого-либо положения относительно предметов, явлений или их свойств.

Суждения бывают общими, частными, единичными, истинными, ложными.

Умозаключение – это такая форма мышления, в процессе которой человек, сопоставляя и анализируя различные суждения, выводит из них новое суждение.

Умозаключения бывают индуктивные, дедуктивные и по аналогии.

Индукция – это способ рассуждения от частных суждений  к общему, установление общих законов и правил на основании изучения отдельных фактов и явлений.

Дедукция – это способ рассуждения от общего к частному, познание отдельных фактов и явлений на основании знания общих законов и правил.

Аналогия – вид или способ рассуждения, в котором вывод делается на основании частичного сходства между явлениями, без достаточного исследования всех условий.

Психологически исследовать мышление как процесс – значит, изучить внутренние, скрытые причины, приводящие к образованию тех или иных познавательных результатов. Таковыми результатами, продуктами мышления являются, например, следующие факты: решил или не решил задачу данный ученик; возник у него или нет замысел, план решения, догадка; усвоил он или нет определенные знания, способы действия; сформировалось ли у него новое понятие и т.д.

Виды мышления

Немов Р.С. предложил следующую схему видов мышления

Петровский А.В.  предложил следующую простейшую и несколько условную классификацию видов мышления, которую мы и рассмотрим более подробно:

1) наглядно – действенное

              2) наглядно – образное

              3) отвлеченное (логическое)

Наглядно действенное мышление

Практическая и теоретическая деятельность человека неразрывно взаимосвязаны. Это и означает, что первичной является не чисто теоретическая, а именно практическая деятельность. Лишь по мере развития последней из нее выделяется как относительно самостоятельная теоретическая мыслительная деятельность.

Не только в историческом развитии человечества, но и в процессе психического развития каждого ребенка исходной будет не чисто теоретическая, а практическая деятельность. Внутри последней и развивается вначале детского мышление. В преддошкольном возрасте (до 3 лет) мышление, в основном, наглядно-действенное.

Наглядно – образное мышление

В простейшей форме этот вид мышления возникает преимущественно у дошкольников, т.е. в возрасте 4-7 лет, в ходе анализа и синтеза познаваемого объекта, ребенок необязательно и далеко не всегда должен потрогать руками заинтересовавший его предмет. Во многих случаях не требуется систематического практического манипулирования с объектом, но во всех случаях необходимо отчетливо воспринимать и наглядно представлять этот объект.

Отвлеченное мышление

На основе практического и наглядно-чувственного опыта у детей в школьном возрасте развивается сначала в простейших формах – отвлеченное мышление, т.е. мышление в форме абстрактных понятий.

Мышление выступает здесь не только в виде практических действий, и не только в форме наглядных образов (восприятий и представлений), а прежде всего в форме отвлеченных понятий и рассуждений. Даже самое отвлеченное мышление, далеко выходящее за рамки чувственного познания, никогда однако, полностью не отрывается от ощущений, восприятий и представлений. Эта непрерывная связь мыслительной деятельности с наглядно-чувственным опытом имеет еще большее значение в ходе формирования понятий у школьников.

Развитие отвлеченного мышления у детей (у школьников) в ходе усвоения понятий вовсе не означает, что их наглядно-действенное и наглядно-образное мышление перестает теперь развиваться или вообще исчезает. Наоборот, эти первичные и исходные формы всякой мыслительной деятельности по-прежнему продолжают изменяться и совершенствоваться, развиваясь вместе с отвлеченным мышлением и под его обратным влиянием.

Не только у детей, но и у взрослых постоянно развиваются – в той или иной степени – все виды и формы мыслительной деятельности.

Рассмотрим  индивидуальные особенности мышления , опираясь на подход Петровского А.А.

Индивидуальные особенности мышления у различных людей проявляются прежде всего в том, что у них по-разному складываются соотношение разных и взаимодополняющих видов и форм мыслительной деятельности. К индивидуальным особенностям мышления относятся также и другие качества познавательной деятельности: самостоятельность, гибкость, быстрота мысли.

Характеристика операций логического мышления

Мыслительная деятельность людей совершается при помощи мыслительных операций: сравнения, анализа, синтеза, абстракции, обобщения, конкретизации.

              Анализ – это выделение в объекте, тех или иных его сторон, элементов, свойств, связей, отношений и т.д.; это расчленение познаваемого объекта на различные компоненты.

В ходе анализа какого-либо предмета те или иные его свойства, являющиеся наиболее важными, значимыми, существенными, интересными, оказываются особенно сильными раздражителями и поэтому выступают на передний план. Такие раздражители вызывают активный процесс возбуждения (прежде всего головного мозга) и по физиологическому закону индукции тормозят дифференциацию других свойств того же предмета, являющихся слабыми раздражителями.

Таким образом, физиологической основой психического процесса анализа будет определенное соотношение возбуждения и торможения в высших отделах головного мозга.

Развитие анализа идет от практически действенного к чувственному, затем к умственному. У младших школьников преобладающим является практически-действенный анализ. Это означает, что учащиеся сравнительно легко решают те задачи, где можно использовать практические действия с самими предметами, или находить части предметов, наблюдая их в естественных условиях или на наглядном пособии.

Развитие анализа проходит ряд этапов: от частичного к комплексному и системному. Преобладающим видом у младшего школьника является частичный и комплексный. Очень часто ученики (особенно первоклассники) анализируют только отдельные части или свойства предмета. При этом выделенное они просто рядорасполагают, но не соотносят одно с другим. В результате усвоение учебного материала оказывается частичным, односторонним.

При комплексном анализе усвоение учебного материала более полное, т.к. учащиеся рассматривают более или менее все части или свойства изучаемого предмета, но взаимосвязи между ними еще не устанавливают, т.е. они просто перечисляют в определенной последовательности выделяемые части или свойства предметов.

На следующем этапе развития анализа младшие школьники проводят системный анализ изучаемых предметов и явлений. Они располагают части и свойства предметов в определенной системе, находят главные части и свойства, устанавливают их взаимосвязь и взаимозависимость.

              Синтез – это объединение выделенных анализом компонентов целого. В процессе синтеза происходит соединение, соотнесение тех элементов, на которые был расчленен познаваемый объект. Физиологическая основа синтеза – замыкание временных нервных связей в коре головного мозга. Развитие синтеза идет от простого, суммирующего, к более широкому и сложенному. Когда части целого соединяются вместе, сопоставляя простую сумму признаков, это суммирующий синтез.

              Анализ и синтез всегда взаимосвязаны. Характерно, что анализ для младших школьников является более легким мыслительным процессом,  и развивается значительно быстрее, чем синтез. Валон А.  по этому поводу пишет: «… ребенок показывает себя гораздо более способным отделить элементы от целого, которое дано ему сразу, чем объединить то, что встречалось в его опыте раздельным, и смело создать новую группировку!»

Анализ и синтез совершаются в единстве. Чем глубже анализ, тем полнее синтез. В свою очередь синтез оказывает влияние на качество анализа. Неразрывное единство между ними отчетливо выступает уже в познавательном процессе сравнения.

               Сравнение. На начальных этапах ознакомления с окружающим миром различные объекты познаются прежде всего путем сравнения. Начинается синтез. В ходе синтеза происходит анализ сравниваемых явлений, предметов, событий и т.д.- выделение в них общего и различного.

В ходе обобщения в сравниваемых предметах в результате их анализа выделяется нечто общее. Эти общие для объектов свойства бывают двух видов: 1) общие как сходные признаки и 2) общие как существенные признаки.

Следовательно, всякое существенное свойство является вместе с тем и общим для данной группы однородных предметов, но не наоборот: не всякое сходное свойство является существенным для данной группы объектов.

Дети одного и того же возраста сравнивают по-разному одни и те же предметы. Одни при сравнении находят только различие, другие и различие, и сходство. Признаки также неодинаковые. Одни сравнивают по ярким, бросающимся в глаза признакам, которые больше размером, четкостью, простой формы. Другие не только по ярким, но и по менее заметным признакам, указывают мелкие детали рисунка.

Во втором классе увеличивается количество детей, которые находят не только различие, но и сходство, пользуются обобщенным приемом сравнения. В психологической литературе обычно отмечалось, что школьнику легче находить различие, чем сходство.

Румянцева Л.И. на основе проведенных опытов делает вывод, что это относится к новым предметам, а при сравнении хорошо известных предметов дети находят значительно больше признаков сходства, чем различия. При этом обогащение опыта, развитие способности к наблюдению приводит к тому, что при повторном сравнении увеличивается количество упоминаний признаков сходства.

Особенностью сравнения младших школьников является то, что они часто подменяют сравнение простым рядоположением предметов. Особую трудность для них представляет сравнение предметов и явлений, с которыми нет возможности непосредственно действовать, а так же тех, которые обладают большим количеством признаков, или их признаки скрыты. Нередко младшие школьники затрудняются сравнивать предметы и явления потому, что они не могут самостоятельно составить план сравнения, поэтому необходимо вести целенаправленную работу по формированию у них приема сравнения.

              Абстракция – это мыслительное выделение существенных свойств и признаков предметов или явлений при одновременном отвлечении от существенных признаков и свойств. Выделенный в процессе абстрагирования признак предмета мыслится независимо от других признаков, и становится самостоятельным объектом мышления.

Одной из особенностей абстракции учащихся начальных классов является то, что за существенные признаки они порой принимают внешние, яркие, часто воспринимаемые признаки. Другая особенность заключается в том, что дети легче абстрагируют свойства предметов и явлений, чем связи и отношения, которые существуют между ними. Поэтому необходимо обращать внимание учащихся на скрытые, но существенные признаки.

Обобщение  . Как показывают исследования Блонского П.П., Выготского Л.С., Шиф Ж.И., Натадзе Р.Г., Менчинской Н.А. и других, учащиеся I и II класса выделяют как существенные наиболее заметные внешние признаки предметов. Это порой приводит к тому, что младшие школьники вместо обобщения синтезируют, т.е. объединяют, предметы не по их общим признакам, а по некоторым причинно-следственным связям и взаимодействию предметов.

Советскими психологами установлено 3 уровня развития обобщения у детей:

• чувственное, практически-действенное;
• образно-понятийное;
• понятийно-образное, научное.

Чувственное обобщение совершается при непосредственном соприкосновении с предметами и явлениями, в процессе их восприятия и практической деятельности с ними. Это обобщение является основным у школьника и в начале преобладает у младшего школьника. В процессе чувственного обобщения могут объединяться как существенные, так и несущественные свойства, связи и отношения предметов и явлений. В результате возникает сумма элементарных знаний в виде общих представлений.

Образно – понятийное обобщение – это обобщение как существенных, так и несущественных признаков в виде наглядных образов.

Понятийно – образное, научное обобщение – это обобщение сходных существенных признаков, предметов и явлений, их существенных связей и отношений. Результатом являются научные понятия, законы, правила.

Развитие обобщения у учащихся идет от широкого к более дифференцированному.

              Конкретизация – это мыслительный подход от общего к единичному, которое соответствует этому общему. В учебном процессе конкретизация связывает наши теоретические знания с жизнью и помогает правильно понять действительность.

В варьировании условий задачи психологически означает, что для мыслительной деятельности учащегося созданы благоприятные предпосылки. Варьирование условий способствует тому, чтобы ученик осуществил анализ предложенной ему задачи, выделил в ней наиболее существенные компоненты и произвел их обобщение. По мере того как он выделяет и обобщает существенные условия разных задач, он и совершенствует перенос решения с одной задачи на другую. Надо вскрыть то существенно общее, что между ними имеется.

Раскрытие этого общего принципа решения в результате анализа обеих задач и является внутренним, психологическим условием переноса.

Конкретизация протекает в тесном единстве с обобщением. Усвоение понятий, законов, правил происходит на основе рассмотрения отдельных предметов, фактов, знаков, схем и совершения конкретных действий с ними. Усвоенные понятия, законы, правила применяются к решению частных конкретных задач.

Психологи установили, что обобщение и конкретизация могут находиться в различном соотношении. Это зависит от характера содержания изучаемого материала, от методов обучения, от уровня развития мышления у детей.

Взаимная связь обобщения и конкретизации может быть неполной и конкретизация частичной.

Различные методические  подходы к формированию умения решать задачи

              В окружающей нас жизни возникает бесконечное множество таких жизненных ситуаций, которые связаны с числами, и требуют выполнения арифметических действий над ними – это задачи.

В математическом смысле слово задача – это любое математическое знание, в котором есть условие и требование (т.е. указание на то, что нужно найти).

Для выполнения каждого требования применяется определенный метод или способ действия, в зависимости от которого выделяют различные виды математических задач: на построение, доказательство, преобразование, комбинаторные задачи, арифметические и т.д.

В начальном курсе математики понятие «задача» обычно используется тогда, когда речь идет об арифметических задачах. Они формируются в виде текста, в котором находят отражение количественные отношения между реальными объектами. Поэтому их называют «текстовыми», «сюжетными», «вычислительными».

При обучении младших школьников математике, решению этих задач уделяется большое внимание.

Это обусловлено следующими моментами.

1. В сюжетах находят отражение практические ситуации, имеющие место в жизни ребенка. Это помогает ему осознать реальные количественные отношения между различными объектами (величинами) и тем самым углубить, и расширить свои представления о реальной действительности.
2. Решение этих задач позволяет ребенку осознать практическую значимость тех математических понятий, которыми он овладевает в начальном курсе математики.
3. В процессе их решения у ребенка можно формировать умения, необходимые для решения  любой математической задачи (выделять данные и искомое , условие и вопрос, устанавливать зависимость между ними, строить умозаключения, моделировать, проверять полученный результат).

Следует иметь в виду, что понятие «решения задачи» можно рассматривать с различных точек зрения: решение как результат, т.е. как ответ на вопрос, поставленный в задаче, и решение как процесс нахождения этого результата. С точки зрения методики обучения решению задач на первый план выступает процесс нахождения результата, который, в свою очередь, тоже можно рассматривать с различных точек зрения. Во-первых, как способ нахождения результата, во-вторых , как последовательность тех действий, которые входят в тот или иной способ.

Итак, решение задач в широком смысле слова – весь процесс работы над задачей; в узком смысле этого слова – это результат, т.е. та запись, которая появляется в тетради и на доске.

Существуют различные методы решения задач: практический, арифметический, алгебраический. В рамках каждого метода могут существовать разные способы решения.

Вопрос о том, как научить детей устанавливать связи между данными и искомыми в текстовой задаче и в соответствии с этим выбрать, а затем выполнить арифметические действия, решается в методической науке по-разному.

Тем не менее, все многообразие методических рекомендаций, связанных с обучением младших школьников решению задач, целесообразно рассматривать с точки зрения двух принципиально отличающихся друг от друга подходов.

Один подход  нацелен на формирование у учащихся умение решать задачи определенных видов.

Ранее введение понятия «задача» также характерно для этого подхода. Сюда относятся программы Жикалкиной Т.К., Петерсон А.Г. и традиционная программа.

Цель другого подхода – научить детей выполнять семантический и математический анализ текстовых задач, выявить взаимосвязи между условием и вопросом , данным и искомым и представлять эти связи в виде схематических и символических моделей.

Понятие «задача» вводится достаточно поздно ( 2 класс 1-4). Это программы Истоминой Н.Б. и Аргинской И.И.

Различие представленных целей обуславливает различие методических подходов к обучению решению задач.

При одном подходе дети сначала учатся решать задачи простые, а затем составные, включающиеся в себя различные сочетания простых задач.

Процесс обучения решению простых задач является одновременно процессом формирования математических понятий.

Обучение решению задач каждого вида осуществляется в соответствии с логикой построения курса по УМК Моро М.И., т.е. дети знакомятся с соответствующими видами простых задач, приступая к изучению нового понятия. В связи с этим математические понятия усваиваются в процессе решения простых задач.

Но, как известно, процесс решения текстовой задачи предлагает прежде всего анализ ее текста. Целью анализа является выделение условия, вопроса, известных и неизвестных, выявление отношений между ними и выбор арифметического действия, выполнение которого позволит ответить на вопрос задачи.

Используя при решении каждой задачи аналитический и синтетический способ разбора, учитель в конечном итоге добивается того, что дети сами задают себе эти вопросы в определенной последовательности, и выполняют рассуждения, связанные с решение задач.

Но такая деятельность при решении задач каждого вида вряд ли может способствовать активизации мышления учащихся. Тем более, если речь идет о решении задач определенных видов, текстовые конструкции которых также отличаются однообразием: сначала всегда условие, затем вопрос. Если же вопрос сформулирован нестандартно, например, с него начинается  текст задачи, то это классифицируется как упражнение творческого характера. К таким упражнениям относятся также решение задач с недостаточными и лишними данными, упражнение на составление и преобразование задач.

Основным методом обучения решению составных задач при данном подходе является «показ способов решения определенных видов задач и значительная, порой изнурительная практика по овладению ими». Поэтому многие учащиеся решают задачи лишь по образцу.

При другом подходе процесс решения задач (простых и составных) рассматривается как переход от словесной модели к модели математической или схематической.

В основе осуществления этого перехода лежит семантический анализ текста и выделение в нем математических понятий и отношений (математический анализ текста). Естественно, учащиеся должны быть подготовлены к этой деятельности. Отсюда следует, что знакомству младших школьников с текстовой задачей должна предшествовать специальная работа по формированию математических понятий и отношений, которые они будут использовать при решении текстовых задач.

Таким образом, необходима длительная подготовка к введению понятия «задача». Она заключается в сформированности:

а)  навыков чтения;

б) представлений о смысле действий сложения и вычитания, их взаимосвязи, понятий «увеличить (уменьшить) на …», разностного сравнения;

в) основных мыслительных операций: анализ и синтез, сравнение;

     г) умение описывать предметные ситуации и переводить их на язык схем и      математических символов;

д) умение чертить, складывать, вычитать отрезки;

е) умение переводить текстовые ситуации в предметные и схематические модели.

Приемы развития анализа и синтеза при решении задач

Истомина Н.Б. и Артемов А.К. раскрывают в своих статьях следующие приемы, способствующие развитию анализа и синтеза:

• прием сравнения
• прием классификации
• прием аналогии
• прием обобщения.

Данные приемы используются не только при решении задач, но параллельно и при изучении геометрического материала и обучении вычислениям. Рассмотрим их подробнее.

1. Прием  сравнения  - это прием интеллектуальной деятельности, направленный на выявление сходного и различного в данных объектах.

Сравнение бывает

• неполным, когда ограничивается лишь фиксацией сходства или различия;
• полным, когда заканчивается определенными выводами

Сравнение по сходству обычно называют сопоставлением, по различию – противопоставлением.

В формировании умения пользоваться этим приемом Истомина Н.Б. выделяет этапы:

• выделение признаков или свойств одного предмета;
• установление сходства и различия между признаками двух объектов;
• выявление сходства и различия между признаками трех, четырех и более объектов.

Показатель сформированности приема сравнения – умение детей самостоятельно использовать его для решения различных задач, без указания: «сравни…», укажи признаки…, в чем сходство и различие …».

Артемов А.К. выделяет 5 операций в формировании умения пользоваться приемом сравнения:

• выделение признаков предметов;
• расчленение выделенных признаков на существенные и несущественные в данной ситуации;
• выделение признаков являющихся основанием сравнения;
• нахождение сходных и различных признаков объектов, т.е. осуществление неполного сравнения;
• формулировка вывода из проведенного сравнения – осуществление полного сравнения.

Отсюда он делает вывод, что обучение сравнению – длительный процесс и его необходимо разделить на два этапа: подготовительный и основной. Рассмотрим их на примерах, приведенных Артемовым А.К.

На подготовительном этапе отрабатываются операции, входящие в прием сравнения.

1.Выделение признаков одного предмета.

Пример.

1) Дана запись 2+3 =5. Какие признаки у этой записи можно выделить? ( В ней есть числа 2,3,5, знаки +, =, числа 2 и 3 – слагаемые, 5 – сумма и др.)

2. Дано число 72. Выделите все признаки, которые вы заметили у этого числа.

После овладения этой операцией переходят к выделению общих признаков двух и более предметов.

Пример.

Даны записи 6+3 и 6-3. Выделяем признаки в первой, и ищем их во второй записи. Это числа 6 и 3. Предлагаем найти такой признак, которого нет во второй записи (знак -)

2. Выделение  существенных признаков – это таких признаков, от которых зависит правильность ответа на заданный вопрос или поставленное задание.

Пример.

Число 19 представьте в виде суммы двух слагаемых. Здесь существенные следующие признаки: 1) число должно изображаться в виде суммы; 2) в этой сумме должно быть два слагаемых. В задании не говорится, какими должны быть слагаемые, значит это несущественный признак. Получаем 19=2+17, 19=8+11, 19=4+15 и т.д.

3. Выделение сходных существенных признаков двух и более объектов. – Существенный признак должен быть обобщенным. Для того, чтобы заметить это, он должен повторяться в разных объектах, которые целесообразно показывать одновременно.

Пример.

Замените числа суммой по образцу:

28=20+8                

Какой существенный признак указан в условии задания? (Сумма двух слагаемых: видно в образцах). Какой существенный признак повторяется? (Сумма разрядных слагаемых).

Второй этап – обучение приему сравнения.

Сравнить – значит установить сходные и различные существенные признаки этих предметов, и сделать определенный вывод, если это возможно

Пример.

Сравните решение следующих примеров:

48+21=(40+8)+(20+1)=(40+20)+(8+1)=69

27+32=(20+7)+(30+2)=(20+30)+(7+2)=59

54+13=(50+4)+(10+3)=(50+10)+(4+3)=67

Что здесь будем сравнивать? (Способы Решения). Какие признаки сходны в примерах, существенны для способа решения? (Складываются двузначные числа). Какие признаки существенны в решении первого примера? (Представление данных чисел в виде суммы разрядных слагаемых, сложение отдельно десятков и единиц). Имеются ли сходные признаки в решении других примеров? (Да). Выделите их. Что мы узнали путем сравнения? (Как складывать двузначные числа…).

2. Прием  классификации

          Его основа состоит в умении выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство.

При формировании этого приема дети сначала выполняют задания на классификацию хорошо знакомых предметов и геометрических фигур, потом чисел. Задания обычно формулируются в таком виде:»Разбейте все круги на 2 группы по какому-то признаку». Если в задании не указано количество групп разбиения, то возможны различные варианты. Задания на классификацию применяются не только для продуктивного закрепления знаний, умений и навыков, но и при знакомстве с новыми понятиями.

               Истомина Н.Б. говорит, что при обучении математике можно использовать задания на классификацию различных видов:

• подготовительные задания.

К ним относятся: «Убери «лишний» предмет», «Нарисуй предметы того же цвета (формы, размера)», «Дай название группе предметов». Сюда же можно отнести задания на развитие внимания, наблюдательности: «Какой предмет убрали?», «Что изменилось?»;

• задания, которых на основание классификации указывает учитель;
• задания, при выполнении которых дети сами выделяют основание классификации.

3. Прием  аналогии  описывается Истоминой Н.Б.

Аналогия – сходство в каком-либо отношении между предметами, явлениями, понятиями, способами действий.  Обычно этим приемом пользуются с целью закрепления тех или иных действий, операций. Но возможен и другой вариант, когда, используя аналогию, ученики находят новые способы деятельности, и проверяют свою догадку. Например, усвоив алгоритм письменного сложения двузначных чисел, учитель предлагает выполнить сложение трехзначных, четырехзначных,… чисел. Возникает догадка – вероятно, можно складывать трехзначные числа так же поразрядно. Правильность догадки проверяется учителем или сравнивается с образом.

4. Прием обобщения - это выделение существенных признаков,математических объектов, их свойств и отношений (по Истоминой Н.Б.)

Следует различать результат и процесс обобщения. Результат фиксируется в понятиях, суждениях, правилах. Процесс же обобщения может быть организован по-разному. В зависимости от этого говорят о двух типах обобщения – теоретическом и эмпирическом.

В курсе начальной математики наиболее часто применяется эмпирический тип, при котором обобщение знания является результатом индуктивных рассуждений (умозаключений). Используя индуктивные умозаключения, учащиеся могут самостоятельно «открывать» математические свойства и способы действий, которые в математике строго доказываются.

Например, ученикам предлагается самостоятельно найти значение выражений, заменив умножение сложением

3*2        4*5

2*3        5*4 и т.д.

Выясняется, чем похожи, чем отличаются равенства в каждом столбике. В конце дети делают вывод: «От перестановки множителей значение произведения не изменяется».

Формируя у младших школьников умение, обобщать наблюдаемые факты индуктивным способом, полезно предлагать задания, при выполнении которых они могут сделать неверные обобщения.

Например, дано задание:

Сравни выражения, найди общее в полученных  неравенствах, и сделай соответствующие выводы:

2+3 … 2*3                4+5 … 4*5

3+4 … 3*4                5+6 … 5*6

Сравнив данные выражения, учащиеся, делают вывод: «сумма двух последовательных чисел всегда меньше произведения». Но высказанное обобщение ошибочно, т.к. не учтены случаи 

0+1 … 0*1

1+2 … 1*2

Можно попытаться сделать правильное обобщение, в котором будут учтены определенные условия: «сумма двух последовательных чисел, начиная с числа 2, всегда меньше произведения этих чисел».

В отличие от эмпирического, теоретическое обобщение осуществляется путем анализа данных об одном объекте с целью выявления существенных внутренних связей. Эти связи сразу фиксируются абстрактно (теоретически – с помощью слова, знаков, схем) становятся той основой, на которой в дальнейшем выполняются частные (конкретные) действия.

Наряду с эмпирическими и теоретическими обобщениями в курсе математики имеют место обобщения-соглашения. Примерами таких обобщений являются правилами умножения на 1 и на 0, справедливо для любого числа. Их обычно сопровождают пояснениями «в математике договорились …», «в математике принято считать …».

Артемов А.К. приводит ряд следующих (приемов) упражнений развития анализа и синтеза у учащихся при решении задач.

1) составление схем по текстам задач и наоборот, - текстов задач по данным схемам.

 2) выбор схемы к задаче.

3. использование обобщенных схем. В отличие от первых схем, в них вместо числовых данных используются геометрические фигурки

   4) сравнение   задач и запись решения в виде ٱ+∆=Ò – модель решения рассматриваемого  класса простых задач (на объединение данных в задачах предметов).

5. или по данной схеме придумать задачу.
6. выбор вопроса.
7. упражнения с равенствами: составить равенства по условию

34>22 на 12 ( 34-22=12; 12+22=34). Как записать это равенство по другому? ( 22<34 на 12).

8. превращение простой задачи в составную.
9. Применение схем, изображающих «дерево» рассуждений.

Пример: Незнайка задумал число, но забыл это число. Он помнит только, что оно состоит из двух чисел. Одно из которых равно 9, а другое он тоже не помнит, но вспомнил, что это другое число состоит из 5 и 7. Незнайка просит помочь ему восстановить забытое число.

Изобразим этот сюжет в виде схемы

Сначала восстанавливаем число в квадратике: оно получается сложением 5 и 7. ставим знак «+» между этими числами, слева отмечаем цифрой первое действие на пути к ответу: 5+7=12. Ставим число12 в квадратик. Затем ставим знак «+» и отмечаем второе действие относительно чисел 12 и 9. Выясняем вопросы: в каком порядке искать забытое число? Какое действие следует для этого выполнять? Сколько раз? Какие числа следует складывать вначале? Почему?

После выполнения нескольких таких заданий, переходят к формулировке общей задачи, охватывающей обе задачи.

Например: в двух коробках были карандаши, в одной коробке было 12 синих, в другой – 5 красных и 7 зеленых карандашей. Сколько всего карандашей в двух коробках?

Анализируя условие задачи, строят «дерево» рассуждений, а затем, используя его, решают задачу.

Ценность этого приема состоит в том, что его использование готовит учащихся к овладению аналитическим способом рассуждений при поиске плана решения составной задачи и, кроме того, учит детей анализировать ситуации, заданные в виде схемы.

 10) составление сюжетных задач по схемам, изображающим 2дерево» рассуждений, в том числе и по абстрактным схемам.

Пример.

?

В квадратик (если около него нет знака вопроса) и треугольник разрешается вставить любые числа.

10. переформулирование вопроса и условия задачи.

Суть этого приема состоит в том, что от учащегося требуется поставленный в задаче вопрос заменить на равносильный.

Возможно переформулирование и условия.

Пример.

В поселке 210 каменных домов, а деревянных на 70 меньше. Сколько всего домов?

Поставим вопрос: как можно по-другому прочитать задачу? Возможный вариант ответа: в поселке были деревянные и каменные дома. Каменными были 210 домов, а разность между числом деревянных и каменных домов равняется 70. Требуется узнать, сколько всего домов в поселке.

Решение сложной задачи расчленяется на простые задачи. Но в отличии от простых задач, предлагаемых сначала учащимся для решения, в простой задаче, вычленяемой из сложной нет заранее данного вопроса. Его учащиеся должны поставить сами и дать на него ответ

Многие авторы научных статей по обучению школьников решению текстовых задач описывают свои упражнения, направленные на развитие анализа и синтеза у учащихся.

Матвеева Н.А. вводит понятия: целое, часть, их соотношения на основании чертежа.

Чтобы найти часть, нужно от целого отнять часть. Чтобы найти целое, нужно сложить части.

Чтобы найти целое, нужно мерку умножить на количество мерок.

Чтобы найти мерку , нужно целое разделить на количество мерок.

Чтобы найти количество мерок, нужно целое разделить на мерку.

При обучении использованию схематического чертежа в моделировании простых задач на этапе ознакомления автор использует следующие приемы.

1. Разъяснение учителем каждой части модели.
2. Указания к построению модели – то есть выбрать слова, характеризующие предметы, о которых говорится в задаче. Затем определить, какое слово включает в себя общее понятие, какие слова являются частями.
3. Моделирование по наводящим вопросам учителя и поэтапное выполнение схемы.

На этом этапе осмысления схематического чертежа Матвеева Н.А. предлагает использовать следующие приемы.

1.  Формирование  текста задачи по предложенному сюжету и схематическому чертежу.

2.  По схеме объяснить, что обозначают данные выражения.

3.  Предлагается заготовка. Необходимо указать на схеме количественные характеристики объектов.

• точное указание модели
• выбор модели из числа предложенных

4.  Изменение модели или количественных характеристик.

5.  Дополнение к построению схемы. Предлагается часть схематического чертежа, ученик достраивает его до завершения.

6. Сравнение схем и результатов нахождения неизвестного.

• Что общего в этих схемах? (Количественная характеристика; решение задачи)
• В чем разница?

7.  Сравнение схем и текстов задач.

Пример. 1) Из танцевального кружка ушли 5 девочек, затем 3 мальчика. Сколько детей ушли из кружка?

        2) В танцевальный кружок пришли 5 девочек и 3 мальчика. Сколько детей пришли в кружок?

             Вспомогательные модели одинаковые. Сюжеты задач разные. Рассуждения и решения идентичны.

Матвеева Н.А. считает, что итогом обучения построению и осмыслению схематического чертежа является самостоятельное моделирование задач учащимися.

Кузнецов В.И. рассматривает некоторые вопросы обучения детей общим приемам решения любых математических задач.

Эти приемы учебной деятельности он представляет в виде схемы.

При обучении поиску решения задачи Кузнецов опирается на опыт липецких учителей, и предлагает иллюстрировать данные в задаче с помощью «картинок с точками», при этом учащиеся осуществляют операции объединения множеств и удаления множества из данного множества, при этом раскрывая смысл арифметических действий сложения и вычитания.

Когда дети усвоят содержание всех операций «решения задачи» их знакомят с инструкцией в виде «памятки», которая представлена как алгоритм умственных действий, что побуждает учеников выполнять все операции в определенной последовательности и усвоить образец рассуждения.

Рассуждать так:

1. Мне известно …
2. Надо узнать …
3. Рисую и объясняю …
4. Подумаю, надо объединять или  удалять …
5. Объясняю решение …
6. Решаю …
7. Отвечаю на вопрос задачи …

Позже появляется и пункт

8. Проверяю …

Матвеева Н.А. в своей статье «Различные арифметические способы решения задач» пишет о том, что если у учащихся нет навыка решения задач различными арифметическими способами или вызывает затруднение их нахождение, можно предложить следующие методические приемы:

1) разъяснение плана решения задачи. Планы решения предлагаются в различных формах: повелительной, вопросительной.  На ее основе необходимо составить арифметические действия к каждому способу. Например, согласно пояснениям арифметических действий решить задачу разными способами;

2) пояснение готовых способов решения;

3) соотнесение пояснения с решением;

4) продолжение начатых вариантов решения;

5) нахождение «ложного» варианта решения из числа предложенных.

Кандидат физико-математических наук Зиновьев П.М. говорит о приеме решения задач методом предположения. Решение задач этим методом основывается на логических рассуждениях. Таким методом решали задачи еще с глубокой древности, вплоть до тех пор, пока ее не вытеснили другие арифметические и алгебраические методы.

Пример.  На лыжную прогулку вышло 10 девочек, а мальчиков на 4 больше. Сколько мальчиков вышло на прогулку?

Предположим, что на прогулку вышло 14 мальчиков. Дальше нужно узнать, верно ли это предположение. Простая проверка (14-10=4) подтверждает правильность ответа.

При решении задач методом предположения хорошо усваиваются связи между компонентами арифметического действия и его результатом.

Предположение может оказаться и ложным.

Пример. Мама купила фруктов на 27 рублей. Сколько сдачи она получит 50 рублей?

Предположим, что ей дадут 25 рублей. Проверяем 27+25=52(р) – денег было у мамы. Это на два рубля больше, чем сказано в условии задачи. Одно слагаемое у нас по условию 27, следовательно, мы можем менять только число 25. чтобы сумму уменьшить на 2, нужно слагаемое 25 уменьшить на 2. Получим ответ 23 рубля, который при проверке удовлетворяет условию задачи.

Известно, что задачи на смекалку или нестандартные задачи решаются, как правило, нетрадиционными методами. Метод предположения может быть использован и при решении таких задач.

Пример. Коля сказал: «У меня 10 марок, а у тебя сколько, Саша? Саша ответил «У меня столько же марок, сколько у тебя и еще половина всех моих марок». Сколько марок у Саши?

Предположим, у Саши марок больше 10, и их количество выражается четным числом. Предположим 16 марок. Тогда по условию задачи у него должно быть 10+8=18 (марок ), что противоречит предположению. Так как 16≠18. Изменим предположение. Пусть у Саши 18 марок, тогда получим 10+9=19, что опять не соответствует условию, так как 18≠19. Предположим, у Саши 20 марок, теперь выполняются все условия задачи: 10+10=20.

Ответ: у Саши 20 марок.

Особенности методики работы над задачами по программе Аргинской И.И.

Чтобы перейти к рассмотрению методики работы над задачами у Занкова Л.В., вспомним, что в традиционной программе формирование умения решать задачи основан на их ранней типизации и формировании «банка» образцов решения типовых задач. В дальнейшем, сталкиваясь с задачей, ученик отыскивает в этом комплекте подходящий образец и использует его для ее решения. Если образец найден, верно, задача решается правильно, если он подобран неверно, решение оказывается ошибочным. Если же ученик не нашел нужного образца, он оказывается беспомощным перед задачей, и как правило, отказывается от ее решения, ссылаясь на то, что такие задачи еще не решали. Таким образом, успех ребенка зависит главным образом от его памяти и от умения ориентироваться в ее запасах.

Значительно более эффективным, хотя и не дающим быстрых внешних успехов, является косвенный путь, основанный на продвижении детей в развитие через постоянное включение их в продуктивно-исследовательскую, преобразующую, творческую деятельность, связанную с задачами.

В 1 классе (1-4) идет подготовительный этап к работе над задачами в течение всего года. Он включает:

1. Составление рассказов математического содержания к рисунку Это прямая подготовка.
2. Косвенная. Задания на развитие анализа, синтеза. Дорисуй так, чтобы все рисунки стали одинаковыми.
3. Чем отличается; чем похожи; найди подходящий к ним.
4. Найди закономерность между рисунками и точками на костях домино, и заполни пропуски в таблице.
5. Найди лишнее.
6. Упорядочивание предметов разными способами.
7. Лабиринт.
8. Раздели на группы.
9. Дорисуй или раздели на детали и раскрась рисунок так, чтобы в нем оказались все разбросанные детали. Если есть лишние детали – зачеркни, не хватает – нарисуй.

10. Нахождение 9го .
11. Найди номер закрытой части рисунка.
12. Найди закономерность и дорисуй или допиши.
13. На упорядочивание нескольких рисунков и создание по ним сюжета, включающего математические отношения

Чтобы перейти к работе над задачей во втором классе рассмотрим, что же такое решение задачи и из чего оно складывается. Хорошо известны выдвинутые Пойя Д. этапы решения задач: осознание постановки задачи; составление плана решения (гипотеза решения); осуществление выработанного плана; исследование полученного решения.

Во втором классе большая часть отводится работе над первым этапом – осознание постановки задачи, ее смысла. В это понятие мы включаем:

 - умение отличить текстовую задачу от других видов заданий,

 - знакомство с термином: задача. Здесь же формулируется первый признак задачи: в ней никогда не указывается, каким действием ее нужно решать. На третьем уроке вводится понятие наименования, которое записывают с результатом действия. Здесь же предлагается выбрать нужный схематический рисунок к задаче.

- предлагается после решения задачи придумать с теми же числами задание, которое не будет задачей,

- деление задачи на части, знакомство с терминами: условие, вопрос, вводятся понятие данное и искомое. Наряду с решением предложенной задачи есть задания творческого характера: придумай, и запиши свою задачу. Подчеркни в ней данные зеленым, а искомое – красным, в какой части задачи находятся данные и искомые числа. Второй важный признак задачи: вопрос и условие должны соответствовать друг другу. После этого работа осуществляется в трех направлениях

1. анализ текста с точки зрения его принадлежности к задачам (идет в течение всего года). Помимо учебника такие задания есть и в тетрадях на печатной основе.
2. Установление взаимосвязи между всеми найденными частями задачи (условия, вопроса, данных и искомого). Вывод: данные в условии, а искомое в вопросе. Такой вывод они делают по задачам, данных  в канонической формулировке (т.е. условие изложено в повествовательной форме, а затем вопрос в виде вопросительного предложения).

Любое отклонение от такой формы изложения  относятся к неканоническим. Таких форм пять (рассматриваются во 2 и 3 классе).

1. после условия задачи следует вопрос  в виде повествовательного предложения (Длина отрезка АВ 7 см, а отрезок СЕ на 5 см длиннее. Найди длину отрезка СЕ);
2. – часть условия в повествовательной форме стоит в начале текста, другая часть объединена с вопросом в вопросительное предложение (Длина отрезка АВ 7см. Какова длина отрезка СЕ, если он на 5 см длиннее.)
3. – часть условия в повествовательной форме стоит в начале текста, другая объединена с вопросом в повествовательное предложение. (Длина отрезка АВ 7см. Найди длину отрезка СЕ, если он на 5 см длиннее.)
4. – весь текст задачи объединен в одно сложное вопросительное предложение, начинающееся с вопроса (Чему равна длина отрезка СЕ, если он на 5 см длиннее отрезка АВ, длина которого равна 7 см?)
5. – весь текст задачи объединен в одно сложное повествовательное предложение, начинающееся  с ее вопроса (Найди длину отрезка СЕ, если он на 5см длиннее отрезка АВ, длина которого 7 см.)

Такие формулировки задачи не позволяют ученикам при анализе текста использовать внешние формальные признаки. Верно, выделить в них условие, и вопрос можно только опираясь на сущностные смысловые категории.

3. Направление: осознание роли каждой из частей в тексте задачи. Здесь выделяем 2 позиции:

• осознание того, что отсутствие хотя бы одной  из перечисленных частей задачи приводит к тому, что она перестает существовать как таковая;
• осознание связи между изменением любой части задачи и ее решением.

Первая из них реализуется в текстах, в которых отсутствует тот или иной элемент задачи. Задания: дополни текст, чтобы он стал задачей.

Вторая реализуется при работе над задачами:

а) с неизменным условием и разными вопросами

б) с неизменным вопросом и изменяющимся условием

в) задачи с изменяющимися данными (их нет в готовом виде, они возникают при дополнении текстов до задачи)

Легко заметить, что в обучении математике активно используется прием составления, сравнения рассматриваемых объектов. Особо важное значение имеет сопоставление задач при формировании внимания к каждому слову, каждому нюансу в тексте.

Например.

1.Маше подарили для коллекции 6 копеек несколькими монетами. Какие монеты она могла получить? (8 решений)

1+2+3,  1+1+1+1+1+1,  2+2+2,  3+3,  5+1,  1+1+1+3, 1+1+2+2,  1+1+1+1+2

2.Маше подарили для коллекции 6 копеек четырьмя монетами. Какие это могли быть монеты?  (2 решения)

1+1+1+3,  1+1+2+2

3. Девочка получила для коллекции 6 копеек тремя монетами. Какие это могли быть монеты?

(2 решения)

       1+2+3,  2+2+2

4.Девочке подарили для коллекции 6 копеек тремя разными монетами. Какие это могли быть монеты? (1 решение)

        1+2+3

5. Девочке подарили для коллекции 6 копеек двумя монетами. Какие это могли быть монеты?

(2 решения)

        3+3,  5+1

Второе задание: Добавь в условие одно слово так, чтобы у нее было только одно решение. Найди два разных варианта (разными, одинаковыми) – Дети могут уже выполнить самостоятельно.

Есть в задачах изменения, не влияющие на решения (Маша – девочка) – являются первым шагом к предстоящей работе с краткой записью задачи.

Работа над краткой записью задачи.

Краткая запись задачи – это эффективное средство облегчения поиска путей решения задачи, в котором находит отражение глубина и полнота анализа математических связей, заложенных в задаче. Однако это происходит только в том случае, когда дети самостоятельно и сознательно проходят весь путь сокращения текста задач до полного исключения всех второстепенных деталей, не имеющих принципиального значения для ее решения.

Для этого специально составляется задача, где таких несущественных деталей так много, что они мешают осознанию смысла задачи и осознанию текста. Например, первая задача   может быть дополнена учителем так (запись на доске):

В густом тенистом саду на большой круглой клумбе среди других цветов расцвели 28 роз. Они были белые, розовые, красные, бордовые, желтые, чайные. Некоторые из них полностью раскрыли свои венчики, а у других только начали раскрываться тугие бутоны. Тихим и ясным летним утром в воскресенье к клумбе подошла девочка в нарядном голубом платье и с большим белым бантом с длинными русыми волосами. Большими острыми ножницами она срезала 11 роз и отнесла их маме. Сколько роз осталось на клумбе?

Текст сокращается коллективно (лишние слова закрываются полосками бумаги). Каждое предложение детей обсуждается. В результате останется текст, близкий к данному.

После коллективной работы можно предложить каждому ученику сократить текст самостоятельно.

Затем переходят к работе по сокращению обычных задач. Каждый выполняет сокращение текста настолько, насколько считает возможным. Когда ученики в основном освоят краткую словесную запись, начинается знакомство с условными обозначениями.

Вводится обозначение стрелкой указания на соотношения между рассматриваемыми в задаче величинами или числами, появляется обозначение искомого числа и  знак объединения – фигурная скобка.

Знакомство с условными обозначениями не следует воспринимать как сигнал к обязательному переключению на знаковую запись. Возможен словесный способ краткой записи. Ребенок выбирает тот способ, который ему больше нравится.

Одним из основных аспектов работы с текстом задачи является установление заложенных в ней связей между данными и искомым. Это осуществляется аналитическим путем, т.е. исследуем задачу, начиная с ее вопроса. Это предпочтение объясняется тем, что дети склонны «играть» числами – прочитав начало задачи, сразу предлагают выполнить то или иное действие. А при вопросе «Почему нужно это действие?»  тут же предлагают другое.

Работа над обратными задачами.

Одним из важных направлений в работе с задачами является сравнение задач, близких по сюжету, но значительно отличающихся по математическому смыслу (обратные задачи). Варианты работы могут быть разными: или как в учебнике, или задачи могут быть решены изолированно на разных уроках, и после этого проведено сравнение текстов, решений и сделан вывод о связи между задачами.

Затем  появляется еще одна задача, обратная задачам, уже решенным. Сравнение трех задач дает возможность осознать механизм их образования, связь между количеством данных исходной задачи и количеством обратных к ней. (2 данных – 2 обратных).

Позднее предлагается самостоятельно составить задачу, обратную данным. В дальнейшем задания подобного рода возникают неоднократно. У большинства учеников они не вызывают трудностей, т.к. была проведена большая подготовительная работа на установление связи между обратными действиями и детьми достаточно хорошо понята эта связь.

Работа над нестандартными задачами

В конце 2 класса  появляются тексты с недостающими или недостаточными данными. В отличие от текстов, где данные полностью отсутствуют, они требуют всестороннего анализа, составления плана решения для выявления недостаточных данных. При этом возникает необходимость в преобразовании исходного текста так, чтобы задача имела решение. Таких способа два:

1. дополнение условия недостающими данными
2.  изменение вопроса так, чтобы для ответа на него было достаточно данных исходного текста.
3. Рассмотрим некоторые варианты преобразования задачи с недостающими данными.

Исходный текст

Три хоккейные команды за игровой сезон забили 82 шайбы. Одна команда забила 34 шайбы. Сколько шайб забила третья команда?

1. Можно дополнить условие любыми данными о второй команде (Другая 25).
2. Более сложные варианты дополнения (Другая на 3 больше)
3. Замена вопроса: Сколько шайб забили остальные команды вместе?

- На сколько больше забили вторая и третья команды, чем первая?

4. преобразование условия и вопроса:

Две хоккейные команды за игровой сезон забили 82 шайбы. Одна команда забила 34 шайбы. Сколько шайб забила другая команда?

Основная ценность данной работы заключается в возможности получения большого количества вариантов преобразования задач в полноценные, разного уровня трудности. Наибольший эффект эта работа дает при самостоятельной работе по преобразованию, а затем коллективное обсуждение получившихся задач.

Работа над логическими задачами

Эта работа ведется с первого класса.

Например,  Лена веселее Маши, но грустнее Лизы. Вера веселее Лизы. Напиши имена девочек.

2 класс   У отца 3 сына. У каждого сына есть сестра. Сколько детей в семье? (4)

Два отца и три сына разделили между собой 3 апельсина так, что каждому достался целый апельсин. Как это могло получиться?

Решение таких задач формирует математическое мышление, вносит в урок яркую эмоциональную окраску, их решение будит фантазию и смекалку.

Работа над логическими задачами основывается на свободном общении детей друг с другом, их спорах, рассуждениях, попытках доказательства своей правоты.

Здесь главным является не конечный результат, а процесс его достижения. Если у детей появились признаки угасания интереса, работу над задачей надо необходимо прервать, и вернуться через некоторое время к ней на другом уроке. Часть учеников будут продолжать обдумывать пути ее решения, и при возвращении к ней смогут работать более продуктивно, помогая остальным включиться в обсуждение новых предложений.

В третьем классе вводятся задачи с избыточными данными. В четвертом классе вводится решение задач алгебраическим способом.

При работе над такими задачами происходит развитие логического мышления учащихся, в результате многократных изменяющихся и усложняющихся упражнений в решении логических задач ум ребенка становится острее, а сам он – находчивее и сообразительнее. у детей меняется подход и решению задач, он становится более гибким. особенно развивается способность решать задачи разными способами.

Рассуждения учащихся становятся более последовательными, доказательными, логичными, а речь – более четкой, убедительной, аргументированной. Повышается интерес к предмету, формируется неординарность мышления, умение анализировать, сравнивать, обобщать.

Развивать упорство в достижении поставленных целей, и, что очень ценно, развиваются навыки самоконтроля и самооценки.