Методические приемы, позволяющие развивать основные операции мышления (анализа и сравнения) у младших школьников при решении задач.
статья по математике по теме

Методические приемы, позволяющие развивать основные операции мышления (анализа и сравнения) у  младших школьников при решении задач.

   Если говорить о мыслительной деятельности в самом общем плане, то она выступает, прежде всего, как процесс решения задач, возникающих перед человеком в том случае, когда имеются определенная цель и условия ее реализации, но еще не известны конкретные пути и средства достижения этой цели. Где нет вопроса, задачи, проблемы, там нет и целенаправленной мыслительной деятельности.

  Таким образом, процесс решения задач является наиболее эффективным средством развития мышления.

   Математику любят в основном те ученики, которые умеют решать задачи. Следовательно, научив детей владеть умением решать задачи, мы окажем существенное влияние на их интерес к предмету, на развитие мышления. Наибольший эффект при этом может быть достигнут в результате применения различных форм работы по решению задач.

   В данной главе мы рассмотрим методические приемы, которые способствуют развитию основных операций мышления (анализа и сравнения) при решении задач.

   Одним из таких приемов является прием моделирования.

   Решение любой задачи – процесс сложной умственной деятельности. Реальные объекты и процессы в задаче бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение и исследование модели как мощного орудия познания.

    Прием моделирования заключается в том, что для исследования какого-либо объекта ( в нашем случае текстовой задачи) выбирают (или строят) другой объект, в каком-то отношении подобный тому, который исследуют. Построенный новый объект изучают, с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результат переносят на первоначальный объект.

     Модели бывают разные, и поскольку в литературе нет единообразия в их названиях, уточним терминологию, которую будем использовать в дальнейшем.

    Все модели можно разделить на схематизированные и знаковые по видам средств, используемых для их построения.

    Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на вещественные и графические в зависимости от того, какое действие они обеспечивают. Вещественные (или предметные) модели текстовых задач обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут строится из каких-либо предметов (пуговиц, спичек, бумажных полосок и т. д.), они могут быть представлены разного рода инсценировками сюжета задач. К этому виду моделей причисляют и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче, в виде представлений.

  Графические модели используются, как правило, для обобщенного схематического воссоздания ситуации задачи. К графическим следует отнести следующие виды моделей: рисунок, условный рисунок, чертеж, схематичный чертеж (или просто схема).

   Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном, так и на математическом языке. К знаковым моделям, выполненным на естественном языке, можно отнести краткую запись задачи, таблицы. Таблица используется главным образом тогда, когда в задаче имеется несколько взаимосвязанных величин, каждая из которых  задана одним или несколькими значениями.

   Знаковыми моделями текстовых задач, выполненными на математическом языке, являются: выражение, уравнение, система уравнений, запись решения задачи по действиям. Поскольку на этих моделях происходит решение задачи, их называют решающими моделями. Остальные модели, все схематизированные и знаковые, выполненные на естественном языке, - это вспомогательные модели, которые обеспечивают переход от текста задачи к математической модели.

  Остановимся на использовании схематического чертежа при решении задач. В отличие от чертежа схема не предполагает ответа на вопрос задачи без выполнения арифметического действия над числами, что способствует формированию сознательного и прочного усвоения общего приема работы над задачей. Данная модель позволяет сформировать у ученика умение разъяснять, как он получил ответ на вопрос задачи. Но схематическая модель эффективна лишь в том случае, когда она понятна каждому ученику и выработаны умения переводить словесную модель на язык схемы.

  При обучении решению простых задач на сложение и вычитание вводят понятия: целое, часть и их соотношения.

   Чтобы найти часть, нужно от целого отнять часть.

   Чтобы найти целое, нужно сложить части.

   Данный подход к обучению решения позволяет отойти от старой классификации простых задач.

   Задача учителя состоит в том, чтобы тщательно продумывать наиболее рациональные формы построения схематической модели, стремясь выработать у учащихся чутье, подсказывающее им выбор наиболее удачной схемы. Важно изображать данные и искомое так, чтобы достаточно ясно выступали зависимости между величинами, рассматриваемыми в задаче, и их отношениями.

   Например.  На одной полке 8 книг, на другой – на 3 книги меньше. Сколько книг на второй полке?

   В ходе работы проводится беседа:

  - О чем говорится в задаче? (О книгах.)

  - Где они расположены? (На полках.)

  - О скольких полках идет речь в задаче? (О двух.)

  - Что известно о числе книг на второй полке? (Их на 3 меньше.)

  - Что значит на 3 меньше? (Это столько же, но без 3, т. е. 8 без 3.)

  - Как удобно расположить отрезки? (Друг под другом.)

 - Что известно про книги на первой полке? (На первой полке 8 книг.)

 - Изобразите это на отрезке произвольной длины и надпишите, что этот отрезок изображает 8 книг.

 - Построим второй отрезок, разъясняющий количество книг на второй полке. Как он будет располагаться? (Начертим под первым отрезком второй такой же длины, а затем отделим от него часть, которая будет изображать 3 книги, и покажем эту часть отрезка пунктиром.)

  - Что неизвестно в задаче? (Сколько книг на второй полке.)

  - Как это обозначить? (На втором отрезке над оставшейся частью поставим знак «?», так как она изображает искомое число.)

Когда схема готова, ученики повторяют по нему задачу, поясняя, что изображает каждое число и вопрос задачи. Полученная схема наглядно отражает данные, вопрос задачи и связи между ними.

   Схемы можно использовать и при решении составных задач.

Рассмотрим задачу: В куске было 15 м ткани. Одному покупателю продали 5 м, а другому 4 м. Сколько м ткани осталось в куске?

  Дети составляют схему:

  Такая модель вызывает конкретное представление ситуации, структуру связей между данными и искомым отражает в явном виде, т. е. прогнозирует ход ее решения (в зависимости от того, где поставлен второй знак вопроса, просматриваются разные способы решения).  Кроме того, данная модель явно подводит ученика к способу записи решения выражением: 15-(5+4) или (15-5)-4.

   Данная модель позволяет подняться на достаточно высокую ступеньку абстрактности: никаких соотношений кроме количественных эта схема не отражает, все второстепенные детали опущены, выбор действия производится без учета главного слова, а только исходя из логики происходящих изменений.

   Схема удовлетворяет также всем требованиям, предъявляемым к модели: отражает количественные отношения ситуации, предлагаемые в задаче; показывает в явном виде связи между данными и искомыми, что позволяет легко ориентироваться в выборе действия. Объясняя свои действия при составлении схемы, ученик постоянно привыкает описывать ход мысли словами, что является базой для формирования умения анализировать задачу.

   Используя схемы при решении задач, важно соблюдать следующее правило: схема составляется не после чтения и анализа задачи, а параллельно, по мере чтения текста. Например, ученик читает: У Коли 4 яблока, а у Миши на 2 яблока больше. Сколько всего яблок у мальчиков?

   Рассуждения при построении схематического чертежа:

   «С помощью произвольного отрезка изобразим количество яблок у Коли и надпишем над ним число 4. Так как у Миши на 2 яблока больше, то под первым отрезком начертим сначала отрезок, равный ему, а затем от правого его конца отложим отрезок, условно равный 2. Надпишем над этой частью второго отрезка, что он изображает 2 яблока, а под всем вторым отрезком поставим знак «?». Так как нам надо узнать, сколько всего яблок у мальчиков, поставим фигурную скобку и знак «?».».

   Разбор текста и анализ задачи выполняются с опорой на схему, что облегчает работу и занимает меньше времени. Особенно помогает схема слабым ученикам, тем, которые не могут решать задачу по представлению.

   Таким образом, схема несет двоякую нагрузку: с одной стороны, она является абстрактной моделью задачи, с другой – схема достаточно конкретна: зримо воспринимаемая, она воплощает фактически те мысленные действия, которые ученик проделывает, моделируя задачу, т. е. является внешним выражением внутренних действий. Возможность воплотить эти действия и их результат во внешнюю опору служит для многих учеников той самой необходимой ступенькой, поднявшись на которую они могут двигаться дальше.

   Целесообразно на уроках не только составлять схемы по текстам задач, но и выполнять специальные упражнения, которые способствуют формированию таких приемов умственной деятельности, как абстрагирование, анализ, синтез. К таким упражнениям можно отнести: соотношение моделей с текстом задачи, изменение схем или количественных характеристик, сравнение схем и результатов нахождения неизвестного. Рассмотрим данные упражнения более подробно.

1. Соотношение моделей с текстом задачи.

Например, В шкафу было 43 книги, 14 из них переложили на стол. Сколько книг осталось в шкафу?

К этой задаче даются три схемы:

Путем сравнения текста задачи со схемами выясняется, что только первая из них соответствует тексту задачи. Используя эту схему, учащиеся решают задачу.

 - Нам известно, что в шкафу было 43 книги – это целое. 14 из них переложили на стол – это часть. Нам надо узнать, сколько книг осталось, т. е. нам надо найти часть. Чтобы найти часть, мы должны из целого (43) вычесть часть (14) получится другая часть (29).

  Подобные задания можно использовать и при решении составных задач.

  Например, У Лены в коллекции 15 открыток с животными, а у Тани на 3 открытки больше, чем у Лены, а у Светы на 4 открытки меньше, чем у Тани. Сколько открыток у Светы?

А) Выбери схему, которая соответствует данной задаче.

Б) Вставь пропущенные в тексте слова и числа так, чтобы задача соответствовала первой схеме.

У Лены в коллекции … открыток с животными, у Тани на … открыток … , чем у Лены. А у Светы на … открыток … ,чем у Тани. Сколько открыток у Светы?

2. Изменение схем или количественных характеристик.

Задача. В понедельник у Маши 6 уроков, из них 2 урока в музыкальной школе. Сколько уроков у Маши в основной школе?

 Выясняется, что в первой схеме необходимо переставить количественные характеристики, а во второй не соблюден масштаб.

2. Сравнение схем и результатов нахождения неизвестного.

 Например, даны схемы:

 - Что общего в этих схемах? (Количественная характеристика, решение задачи.)

 - В чем разница? (На первой схеме требуется узнать, на сколько больше первый отрезок, чем второй; на второй – на сколько меньше второй отрезок, чем первый.) 

  Выполнение подобных заданий развивает умение соотносить данные с условием задачи, помогает глубже осмыслить связи между величинами, входящими в задачу, способствует формированию общих приемов, которыми мы пользуемся при решении задачи.

   Следующий прием – прием незавершенных задач.

   Он состоит в том, чтобы из текста задачи вычленить некоторые данные числа и отношения между ними и поставить к ним вопрос, на который можно ответить, т. е. вычленить простую задачу. При решении таких задач рассуждения носят синтетический характер: отправляясь от условия, ищется величина, достаточно определяемая условием. Ученикам приходится устанавливать причинно-следственные связи между величинами, а значит, упражняться в логическом мышлении.

   Прием может быть использован при обучении решению, как простых задач, так и сложных. Начнем с примера задачи в одно действие.

       В 3 магазина отправили по 6 ящиков печенья.

     Учащимся предлагается поставить вопрос к данному условию. Очевидно, возможен лишь один оправданный условием вопрос: сколько ящиков печенья отправили в магазины?

    Подобные задания нужны для усвоения детьми смысла задачи, связи между условием и вопросом задачи.

    В следующем примере трудность постановки вопроса возрастает.

        На поле было 16 скирд клевера. Вывезли 12 скирд.

   Можно поставить два вопроса: сколько скирд осталось в поле? На сколько больше скирд вывезли, чем осталось?

  Мы видим, что задача в одно-два действия допускает постановку большего числа вопросов. Поэтому на таких задачах удобно развивать начальные мыслительные навыки, лежащие в основе решения задач.

    По мере усложнения условия задачи количество вытекающих из нее вопросов увеличивается. Однако для ученика оно будет ограничено его познавательными возможностями на данной ступени обучения. Сошлемся на пример.

  На первой, второй и третьей полках стоят 28 книг. На первой полке – 9 книг, на второй – 12 книг.

   Если задача предлагается ученикам второго класса  при прохождении действий первой ступени, то максимальное число вопросов будет четыре: сколько книг на третьей полке? На сколько книг на первой полке больше, чем на третьей? На сколько меньше книг на третьей полке, чем на второй? На сколько книг на первой и второй полках вместе больше, чем книг на третьей полке?

   После усвоения понятия кратного отношения количество вопросов может быть доведено до десяти. Вопросы, отличающиеся только по форме, надо считать одинаковыми.

  Значение рассматриваемого приема в том, что ученик уясняет одно условие, а следствий из него получает много. Это позволяет сосредоточить внимание на математическом смысле вопросов, что является наиболее уязвимым местом в овладении умения решать задачи.

  Систематическое использование этого приема обучения реализует частично–поисковый метод обучения, содействует формированию у учащихся интеллектуального умения анализировать заданную ситуацию.  

   Приемом, который помогает научить учащихся анализировать текст задачи и сознательно устанавливать взаимосвязь между данными и искомым, условием и вопросом, является решение задач с лишними данными.

   К данному приему нужно обращаться уже при решении простых задач. Систематическое их использование на уроках будет активизировать внимание учащихся и способствовать сознательному выполнению решения задачи. Например:

  На дереве сидело 8 птичек. Сначала улетели 3 птички, потом еще 2. Сколько птичек улетело?

   В процессе разбора задачи выясняется, что для ответа на вопрос не имеет значения, сколько всего птичек сидело на дереве. Таким образом, учитель не просто наставляет учащихся: «Будьте внимательны», «Думайте», а сталкивает их с реальной ситуацией, которая требует внимательного отношения к анализу текста задачи. Можно также предлагать и задания по изменению каких-либо данных. Например:

   На первой полке было 17 книг, на второй – 4 книги. С первой полки переложили на вторую 5 книг. Сколько книг осталось на первой полке?

   В процессе разбора задачи выясняется, что число книг на второй полке является лишним для ответа на вопрос задачи. Учитель предлагает задание:

-  Как сформулировать эту задачу иначе, чтобы число книг на первой полке было лишним? ( На первой полке было 17 книг, на второй – 8 книг. Со второй полки на первую переложили 5 книг. Сколько книг осталось на второй полке?)

 - Измените задачу так, чтобы в ней не было лишних данных.

( На первой полке было 17 книг, 5 книг переложили на вторую полку. Сколько книг осталось на первой полке? И т. д. )

    Параллельно полезно использовать и задачи с недостающими данными. Это фактически работа, связанная с составлением задач самими учащимися. Начать можно с задач на нахождение суммы: У Тани 4 тетради. Сколько тетрадей у Тани и у Веры вместе?

   Близкая ребятам ситуация вызывает у них интерес и некоторое затруднение, так как количество тетрадей у Веры в условии не указано. Учащиеся дополняют условие недостающими сведениями.

 - Чтобы ответить на поставленный вопрос, нужно знать, сколько тетрадей у Тани и у Веры. У Тани 4 тетради, а у Веры может быть 2. 3, 4, 5.и т.д. Получим задачу: У Тани 4 тетради, а у Веры 2. Сколько тетрадей у Тани и у Веры вместе?  Задачи, предложенные учащимися можно записать в таблице:

                 Т.  4  4  4  4  4

                 В.  2  3  4  5  6

          Вместе

   Степень трудности таких задач должна соответствовать подготовке ребят и по мере накопления ими жизненного опыта возрастать. Вот какую задачу можно предложить при изучении действия деления.

 Мама принесла 15 яблок и разделила их поровну среди членов семьи. Сколько яблок получил каждый член семьи?

   Попытка учащихся решить задачу наталкивается на большую трудность – не указано число членов семьи. Предложения ребят взять за число членов семьи 4, 6 или другие числа, не являющиеся делителями 15, должны быть тщательно проанализированы и лишь потом отвергнуты. Если не вносить ограничения на число членов семьи, то может случиться, что учащиеся предложат считать семью из 15 человек, и это надо признать приемлимым.

    В результате всестороннего разбора задача, согласно условию, дополненному учителем, получает два решения:

        15 : 3 = 5 или 15 : 5 = 3.

   Так как основная цель задачи – ознакомление с действием деления, то уместно потребовать преобразовать задачу так, чтобы искомым было число членов семьи. Сопоставление двух задач на деление (первая – деление на части, вторая – деление по содержанию) позволяет глубже осмыслить их сходство и различие.

    Наконец, можно предложить составить задачу, в которой требовалось бы найти число яблок, принесенных мамой. Эта задача нужна, чтобы установить связь между ней и первыми двумя, между делением и умножением.

    Подобную работу можно проводить и с составными задачами. Например, Саша и Аня собирали кленовые листья. Саша нашел больше листьев, чем Аня. Сколько всего кленовых листьев собрали дети? 

  - Это задача? Объясни ответ.

- Как превратить текст в задачу? Запиши, что для этого нужно добавить.

- Саша и Аня собирали кленовые листья. Саша нашел 9 листьев, а Аня на 3 листа меньше.

- Если это дополнение правильно, реши задачу.

- Можно ли поставить в текст другие данные? Что при этом измениться в решении? Что не измениться?

   Наибольший эффект эта работа даст, если обсуждение исходного текста сменяется самостоятельной работой по ее преобразованию, а затем возвратом  к коллективному обсуждению получившихся задач.

    Из двух городов выехали одновременно навстречу друг другу 2 мотоциклиста. Один мотоциклист двигался со скоростью 90 км/ч и проехал до встречи 180 км. Какое расстояние проехал до встречи другой мотоциклист?

  - Можно ли решить эту задачу?

  - Измените вопрос так, чтобы задачу можно было решить.

 - Дополните условие, чтобы задачу можно было решить.

  Существует и ряд других приемов, которые окажутся эффективными в формировании мыслительной операции анализа, а также  умения решать задачи. Например, такой прием, как составление условия к данному вопросу.

     Учитель предлагает составить условие к данному вопросу: Сколько карандашей в двух коробках? Рассуждения учащихся при выполнении данного задания фактически аналогичны тем, которые необходимы при решении составных задач. А именно: Чтобы узнать, сколько карандашей в двух коробках, надо знать, сколько в первой коробке и сколько во второй.  В качестве наглядной интерпретации (на первых порах) можно взять одну коробку, на которой будет написано число 4, и другую, на которой будет написано число 2. Можно подкрепить наглядность действием – взять все карандаши из первой коробки и присоединить к ним карандаши второй коробки, но при этом исключить возможность их пересчитывания. Выполненное учителем действие учащиеся записывают математическими знаками, т. е. решают задачу и тем самым отвечают на поставленный вопрос. Полезно будет, если объединить карандаши другим способом. Взять карандаши из второй коробки, а затем из первой: 2 + 4 = 6.

  Далее  дети сами будут составлять условие к данному вопросу.

Например, им предлагается вопрос: Сколько кустов малины стало в саду?

   ( Чтобы узнать, сколько кустов малины стало в саду, нужно знать, сколько кустов было в саду и сколько кустов еще посадили. Пусть в саду росло 3 куста малины, посадили 6 кустов. Чтобы узнать, сколько кустов малины стало в саду, надо  3 + 6 = 9 (к.) )

  Учитель может предложить составить такое условие к данному вопросу, чтобы задача решалась в два действия.

   ( Чтобы узнать, сколько кустов малины стало в саду, нужно знать, сколько кустов было в саду и сколько кустов еще посадили. Пусть в саду росло 4 куста малины, а посадили на 7 кустов больше. Чтобы узнать, сколько кустов малины стало в саду, надо сначала узнать, сколько кустов малины посадили.

       1) 4 + 7 = 11 (к.)

А теперь узнаем, сколько кустов малины стало в саду.

       2) 11 + 4 = 15 (к.)

       Ответ: 15 кустов.   )

  Дети могут предлагать и другие условия к данному вопросу, все их надо выслушать,  коллективно проанализировать. Однако может случиться, что предложения ребят не достигнут цели, тогда учитель должен помочь им уточнить проблему, изменить или конкретизировать ситуацию.

  Большое значение для развития мышления имеет работа по преобразованию задач, это:  изменение вопроса задачи после ее решения и изменение условия задачи после ее решения.  

  Проследим работу над одной из задач.

 Чип собрал 18 грибов, а Дейл на 6 грибов больше. Сколько всего грибов собрали Чип и Дейл?

 Проводим разбор задачи, записываем решение и ответ:

             1) 18 + 6 = 24 (гр.)

             2) 24 + 18 = 42 (гр.)

             Ответ: 42 гриба нашли Чип и Дейл.

   Уточняем, что мы нашли в первом действии, во втором, и приступаем к работе над преобразованием.

1. - Как записалось бы решение задачи, если бы Дейл нашел на 6 грибов меньше?

            1) 18 – 6 = 12 (гр.)

            2) 18 + 12 = 30 (гр.)

2. - Какой вопрос надо поставить, чтобы она решалась одним действием? (Сколько грибов нашел Дейл?)              

  - Как записать решение? ( 18 + 6 = 24 (гр.) )

3. – Измените условие, чтобы задача решалась одним действием. ( Чип нашел 18 грибов, а Дейл  - 6 грибов. Сколько грибов нашли Чип и Дейл вместе?)

4. – Составьте задачу, чтобы слова на … больше были в главном вопросе. ( Чип нашел 18 грибов, а Дейл – 6 грибов. На сколько больше нашел грибов Чип, чем Дейл? )

5. – Составьте задачу, чтобы в ней были слова на … меньше, но она решалась бы сложением. ( Чип нашел 18 грибов, это на 6 грибов меньше, чем нашел Дейл. Сколько грибов нашел Дейл? )

  Наличие в каждой задаче какой-то новизны – одно из условий, активизирующих умственную деятельность ученика. Если дети будут систематически проводить упражнения по преобразованию задач, то это поможет им быстрее научиться решать задачи.

   Важнейший момент в обучении детей решению задач – правильный выбор действия. Для правильного выбора действия ученик должен представить себе картину или ситуацию, данную в задаче, суметь расчленить задачу на условие и вопрос, раскрыть смысл вопроса, определить связь между числовыми данными и искомыми, понять характер этой связи и выразить действие над конкретными предметами в виде математического действия над соответствующими числами. Обучению выбора действия поможет сравнение задач.

   Сравнить задачи – значит, сравнить их сюжеты, числовые данные, вопросы, способы решения и ответы. Цель сравнения состоит в том, чтобы уяснить структуру задачи, овладеть приемом сравнения. При этом внимание учащихся фиксируется как на сюжетной стороне задачи, то есть на содержательном смысле данных чисел, так и на отношении данных. Напомним, что сравнение – это формируемое у учащихся интеллектуальное умение.

     На ветке сидело 6 птичек. Прилетела еще одна птичка. Сколько птичек стало на ветке?

   На ветке сидело 6 птичек. Одна птичка улетела. Сколько птичек осталось на ветке?

    Дан сходный сюжет задачи, одни и те же числа. Дети должны обосновать выбор действия в каждой задаче; они должны понимать, к чему ведет описанная в задаче ситуация – к увеличению или уменьшению, почему в первой задаче прибавляем (птичка прилетела, значит их стало больше), а во второй – отнимаем (птичка улетела, значит их стало меньше). Аналогично сравниваются задачи на уменьшение и увеличение числа на несколько единиц.

   Научив детей правильно выбирать действие в задаче, учитель уже с первого класса должен подводить детей к обобщению, какие задачи решаются действием вычитания, какие – сложением. Хорошим приемом является сопоставление простых задач на нахождение суммы двух чисел и на увеличение данного числа на несколько единиц, а также сопоставление задач на нахождение остатка и задач на уменьшение данного числа на несколько единиц. Сначала сопоставляются задачи с одинаковыми данными, а потом с различными.

Мальчик заплатил за альбом 6 рублей, а за карандаш 2рубля. Сколько всего денег заплатил мальчик?

Мальчик заплатил за альбом 6рублей, а за общую тетрадь на 2 рубля больше. Сколько стоит общая тетрадь?

В результате сравнения таких задач учащиеся приходят к выводу, что эти задачи не одинаковые, но и та и другая решаются сложением, и объясняют почему.

Большие затруднения вызывает решение задач в косвенной форме. В задачах косвенной формы текст задачи подсказывает одно действие, а задача решает обратным действием. Поэтому ученику приходится думать, устанавливать зависимость между данными и искомыми больше, чем при решении задач, выраженных в прямой форме.

Здесь очень поможет одновременное решение прямых и косвенных задач в сопоставлении их парами. Возьмем две задачи:

На первой полке 8 книг, на второй на 2 книги больше. Сколько книг на второй полке?

На первой полке 8 книг, это на 2 книги больше, чем на второй полке. Сколько книг на второй полке?

Наличие в обеих задачах одного и того же выражения на 2 книги больше наталкивает некоторых детей на использование одно и того же действия сложения. Здесь выгодно воспользоваться краткой записью задачи:

- Чем похожи эти задачи?

 Дети ответят, что в задачах все числа одинаковы, а некоторые еще скажут, что в первой и во второй есть слово на. А кто сможет уточнить? (на две книги больше).

- А чем же отличаются задачи?

 Вот здесь-то детям обязательно придется рассуждать: в первой задаче сказано, что на второй полке на две книги больше, чем на первой полке, а во второй задаче сказано, что на первой полке на две книги больше, чем на второй, а узнать надо, сколько книг на второй полке, раз на первой полке книг больше, - значит, на второй будет на две книги меньше. А как найти на 2 книги меньше, они уже знают.Три этапа при разборе таких задач обязательны.

- Что дано? Что общего? Чем отличаются задачи?

Анализ таких задач показывает, что механический выбор знака действия с ориентацией только на слова «больше», «меньше» может привести к ошибкам в действиях.

При переходе к решению составных задач (в первом классе) довольно распространенной ошибкой является смешение простых задач с составными. Здесь более эффективным приемом, на наш взгляд, является также сравнение пар задач – простой и составной – и их решений, т. к. способствует более глубокому осознанию ситуации, описанной в задаче, и взаимосвязей между величинами, входящими в нее.

 Катя вырезала из бумаги 10 флажков, а Люда – 4 таких же флажка. Сколько всего флажков вырезали девочки?

Катя вырезала из бумаги 10 флажков, а Люда на 4 флажка больше. Сколько флажков вырезали девочки вместе?

Перед учениками ставиться вопрос:

- Чем сходны задачи?

 Сравнив задачи, учащиеся выявляют, что в обеих задачах встречаются одни и те же числа, что в обеих задачах речь идет о флажках, что вопросы в них одинаковые и ответы тоже.

Потом дети отвечают на второй вопрос:

- Чем отличаются эти задачи?

Они различаются тем, что в первой задаче известно, сколько флажков вырезала Катя, а во второй  - нет, известно только, что на 4 флажка больше, а значит, первая задача будет решаться в одно действие, а вторая – в два.

Можно также предлагать задания на сравнение решений задачи. Например:

От мотка проволоки длиной 82 м отрезали 4 куска, по 8 м в каждом. Сколько м проволоки осталось в куске?

Посмотрите на решения задачи и выберите правильное.

1) 8 * 4 = 32 (м)              1) 4 * 8 = 32 (м)

2) 82 – 32 = 50 (м)           2) 82 – 32 = 50 (м)

Ответ: 50 м проволоки     Ответ: 50 м проволоки осталось

осталось в куске.              в куске.

Сравнивая условия задач, ученики более внимательно подходят к выбору действия, посредством которого решается задача. Сравнивая решения задач, ученики соотносят их с условием, а это способствует формированию общих умений решать текстовые задачи. Сопоставляя условия и решения задач, учащиеся начинают осознавать, что одинаковый вопрос и одно и тоже определяющее слово в тексте задачи не влекут за собой действия. Выбор действия обусловлен зависимостью между величинами, входящими в задачу.

 Положительное влияние на развитие младших школьников оказывает включение в начальный курс математики комбинаторных задач: на их основе совершаются приемы умственной деятельности, формируется важная для человека способность комбинировать.

Как же активизируется при решении комбинаторных задач мыслительная деятельность учащихся?

Рассмотрим это на примере заданий:

Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1. 2. 3. так, чтобы цифры в записи числа не повторялись?

Ученики, анализируя условие, выделяют определенные части, составляют нужные комбинации из трех цифр по 2, получая двузначные числа. Задействуется такая мыслительная операция, как анализ – процесс расчленения целого на части, выделение отдельных элементов в объекте. С другой стороны, в процессе синтеза, или соединения элементов, сторон объектов в целое, ученики определяют, что сначала можно составить комбинации, начиная с цифры 1 – это числа 12 и 13, потом с цифры 2 – это числа 21 и 23, а затем с цифры 3 – это числа 31 и 32. Соотнося условие с требованием задачи, учащиеся не составляют числа 11, 22. 33. На этом примере хорошо видно, что при поиске ответа на поставленный вопрос ученики не смогут обойтись без наблюдения и сравнения. Если младшие школьники не будут специально, с определенной целью воспринимать информацию, заключенную в задаче, то вряд ли смогут решить ее.

Сравнение – процесс выделения признаков, свойств объектов и установление сходств и различий между ними – позволяет ученикам при составлении чисел избежать повторов, составить все возможные числа на основе сходства и различия: 12 и 13; 21 и 23; 31 и 32.

Можно познакомить учащихся с графическими средствами организации перебора: «дерево» или графами.

1. Рома и Аня собирались в деревню. Рома берет с собой одни брюки и красную, желтую, зеленую рубашки, а Аня длинную и короткую юбки и кофты – розовую и белую. Аня считает, что из своих вещей она может составить больше костюмов, чем Рома. Права ли она? Докажите.

Выясняется, что если узнать, какие костюмы составили дети, то, сравнив их число, можно будет ответить на вопрос. Подмечается, что костюмы включают в себя верх (рубашка, кофта) и низ (брюки, юбка).

                                        Рома

                                       костюм

брюки

рубашки             К.             Ж.           З.

                             1               2            3         (3 костюма)

                                           Аня

                                         костюм

юбка              длинная                            короткая

кофта          Р.            Б.                       Р.              Б.

                   1             2                        3               4  

                                                                        (4 костюма)

2.   В игре «Брейн-ринг» участвовали 5 команд из городов: Москва, Санкт-Петербург, Киев, баку и Уфа. Каждая команда играла с любым из остальных. Сколько всего игр-раундов было сыграно?

  При решении удобно воспользоваться линейными графами: точка – город, соединив графами точки попарно, получим все возможные игры.

    Систематическое использование комбинаторных задач в обучении не только способствует развитию основных мыслительных операций, но и формирует у учащихся базовые математические знания, умения и навыки.

  Большое значение для развития имеет решение логических задач, в которых именно построение логической цепочки рассуждений без опоры на конкретные числовые данные является главным содержанием. Рассмотрим сначала решение одной из них.

1. Футбольная команда провела три матча: один матч она выиграла, один свела вничью, один проиграла, забив всего 3 мяча и пропустив один. С каким счетом закончился каждый матч?

Рассмотрим сначала вариант проигрыша матча. Очевидно, это было в том случае, когда команда пропустила больше мячей, чем забила. Но по условию задачи всего она пропустила один мяч. Значит, этот мяч она закончила со счетом 0:1. Но тогда в ничейном варианте, не пропустив более одного мяча (следует из условия), она сыграла со счетом 0:0. В выигрышном варианте счет мог быть только 3:0, потому что по условию задачи команда забила 3 мяча и пропустила только один мяч. Ответ: 0:1, 0:0, 3:0.

2. У Маши, Светы, Иры и Кати было три книги и один альбом. Что было у каждой девочки, если у Светы и Кати были одинаковые предметы, а у Иры и Кати разные?

    В условии задачи говорится о множестве девочек и множестве предметов, бывших у них. Слева изобразим точками множество девочек, обозначив первыми буквами их имена, справа таким же образом имевшиеся у них предметы. Так как, по условию, у Светы и Кати были одинаковые предметы, то ими могли быть только книги. Проводим соответствующие стрелочки. Но у Иры и Кати были, по условию, разные предметы. Так как у Кати была книга, то у Иры может быть только альбом. Тогда у Маши могла быть только книга. Проводим стрелку.

   При решении таких задач возможно использование заранее заготовленных схем, в том числе изображающих неверное решение. Учащимся предлагается проверить, верно ли решена задача. Естественно эта проверка соотноситься с условием предложенной задачи, дается обоснование сделанных выводов как относительно верного, так и неверного решения.

3. На книжной полке было 5 томов произведений А.С.Пушкина и 8 томов произведений М.Ю.Лермонтова. С полки взяли 7 томов.

 -  Можно ли в любом случае утверждать, что на полке остался хотя бы один том произведений А.С.Пушкина? (Нет). М.Ю.Лермонтова? (Да). Почему?

 -  Какое наименьшее (наибольшее) число книг М.Ю.Лермонтова могло остаться на полке? Почему?

 -  Можно ли в любом случае утверждать, что среди взятых книг была хотя бы  одна книга А.С.Пушкина? (Нет). М.Ю.Лермонтова? (Да). Почему?

   Решение таких задач оказывает большое влияние на развитие детей в целом и формирование математического мышления в частности.

   Таким образом, использование разнообразных методических приемов в работе над задачами повышает уровень развития мыслительных операций, а также расширяет математический кругозор младших школьников, способствует математическому развитию, позволяет детям более уверенно ориентироваться в простейших закономерностях окружающей их действительности и активнее использовать математические знания в повседневной жизни.