Теория кос и узлов (работа НОУ)
творческая работа учащихся (10 класс) на тему

Китаев Дмитрий, Бурмистрова Татьяна.

Тема: «Теория кос и узлов»

краткое содержание

Диплом 1 степени городской конференции НОУ «Эврика»

секция «Прикладная математика»

            Теория кос и  узлов – сравнительно молодой  и интенсивно развивающийся раздел математики. Математики впервые заинтересовались косами и узлами лишь в XIX веке и с  того времени теория кос и узлов обрела статус самостоятельного раздела математики. Изучением кос и узлов занимались такие великие ученые, как Эмиль Артин (создатель теории кос), Дж. Конвей, Дж. Александер, В. Джонс, В. Тураев, А. Решетихин, Л. Кауфман и другие. 

      Объектом данного исследования является  теория кос и узлов. 

      Гипотеза исследования: если теорию кос и узлов подвергнуть «алгебратизации», а затем  применить к ней законы алгебры, то это позволит решить многие неразрешимые ранее  проблемы данной теории. 

      Цель исследования: обосновать целесообразность «алгебрализации» теории кос и узлов.

          Одним из достоинств этой науки является  доступность её предметов исследования: достаточно взять любую бечёвку и соединить её концы, получится гладкая замкнутая кривая без самопересечения  - узел, а  конечный набор замкнутых непересекающихся ориентированных ломаных в пространстве будет зацеплением.

         В работе показано, как математические методы, позволяют решать основную проблему теории кос и узлов –проблему классификации, сравнения и  распутывания кос и узлов.

          Косу представим так: в верхний и нижний край вертикальной  плоскости вобьем по n гвоздиков (n=1,2,3…) – каждый из гвоздиков вертикального основания соединим  нитью с одним из гвоздиков нижнего; нити попарно не пересекаются и всё время должны спускаться вниз. Получили косы:.К1 — «девичья коса*; К2- тривиальная коса (аналог 1), К 4— крашеная коса; К5 — циклическая коса. (рис.1).

Рис.1                                Рис.2

Косы с одинаковым числом нитей можно умножать: верх второй косы прикладывается к низу первой и соответствующие нити склеиваются. (рис.2). Умножение кос обладает следующими свойствами чисел:

 для любых трех кос выполняется ассоциативный закон;. 

 для косы К верно: 1 . К=К . 1=К ;  К-1 . К=К . К-1=1, где коса К-1  - коса, обратная косе К.

Проблему классификации кос можно решать с помощью

 основных соотношений теории кос:

1. Тривиальные соотношения

 SjSj-  1  =  Sj-1S j  =  1 ,  Sj . 1=1 . Sj=S j       (j=1, 2,…, n-1).

2. Соотношения  далекой коммутативности  

SiS j =SjSi при   i-j  2    (i,j=1,2,…, n-1).

Доказательство.

Пусть      SiSj = К1,    К2 =   SjSi   при |i-j|>=2.  Получаем, что в обеих косах нить, вышедшая из позиции i, попадает в позицию (i+1), из (i+1) - в i,  из j - в (j+1), из (j+1) - в j, так как |i-j|>=2. Если в диаграмме одной из кос нить, выходящая из позиции i, была сверху (снизу) нити, выходящей из позиции (j+1), то и во второй косе будет то же самое, там как нить, перейдя из позиции i в (i+1) (или из j в (j+1)), не может перейти в другую позицию, потому что (i+1) не может равняться j (или (j+1) не может равняться i). Следовательно, К1=К2, что и требовалось доказать.

     3. Соотношения сплетения  SiSi+1Si Si+1 (i=1, 2, …, n-2). 

Доказательство.

Любая коса представляется в виде произведения элементарных кос S1,S2,…,Sn-1  и обратных к ним, например,

 K1=S1S2-1S1S2-1S1S2-1. ,   K3=S2S1S3-1S1-1S3S2-1S1S3S1-1S3-1.

Задачи.

      1. Докажем, что     S1-1*S2-1*S1-1 = S2-1*S1-1*S2-1.

Доказательство.

 Пусть   K1=S1-1*S2-1*S1-1,  K2=S2-1*S1-1*S2-1.

Тогда     K1-1=S1*S2*S1,         K2=S2*S1*S2.

 По тождеству 3    K1-1=K2-1. Значит, по тождеству 1    К1=K2,    что и требовалось доказать.

  2. Докажем, что     S1*S2*S1*S2-1*S1-1 = S3*S1*S3-1*S1-1*S2 .

Доказательство.

 S1*S2*S1*S2-1*S1-1=S3*S1*S3-1*S1-1*S2;      S2*S1*S2*S2-1*S1-1=S1*S3*S3-1*S1-1*S2;        S2*S1*S1-1=S1*S1-1*S2;   S2=S2,     что и требовалось доказать.

   3. Докажем тривиальность косы К 3.

Доказательство.

K3=S2(S1S3-1)S1-1S3S2-1S1(S3S1-1)S3-1=S2S3-1(S1S1-1)S3S2-1(S1S1-1)(S3S3-1)=

=S2S3-1 . 1 . S3S2-1 . 1 . 1=S2(S3-1S3)S2-1=S2S2-1=1, что и требовалось доказать.              

       Узел - замкнутая кривая без самопересечения, узел  можно описать двумерной диаграммой.  

  Конечный набор замкнутых непересекающихся ориентированных ломаных в пространстве называется зацеплением.

 Два узла называются эквивалентными, если узел, сжимая, растягивая, двигая в пространстве (без разрывов и склеек), можно превратить в другой.  

Главной проблемой теории узлов является поиск инварианта, препятствующего распутыванию. 

Теорема.

Любой узел является замыканием некоторой косы.

   Возьмём косу, изогнём её дугой и склеим конец с началом, получится узел. Но  замыкание разных кос не всегда приводит - к разным узлам. Например, коса из трёх нитей не совпадает с косой из двух нитей, но при замыкании тоже даёт узел "трилистник"(рис.3).

рис.3

 рис.4.

Теорема Рейдемейстера

Два узла эквивалентны тогда и только тогда, когда от диаграммы одного узла к диаграмме другого можно перейти с помощью конечного числа двумерных элементарных операций 1,2,3 (рис.4).

Можно ли по любой паре диаграмм узнать, эквивалентны узлы или нет, можно ли их распутать? 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       Оказывается можно, для каждого узла и зацепления можно построить соответствующий ему инвариант. Инварианты позволяют не только различать неодинаковые узлы и  отличать узлы от незаузленных петель, но и классифицировать косы. По-разному деформированным вариантам одного и того же узла отвечает один и тот же инвариант; узлы, соответствующие   разным инвариантам различны. Но два узла с одним и тем же инвариантом необязательно эквивалентны.  Если инвариант узла не равен инварианту тривиального узла, то данный узел не может быть тривиальным и его нельзя распутать. Рассмотрим самые известные инварианты и вычислим их для некоторых зацеплений.

Многочлен Александера.

Этот многочлен был открыт  американским математиком Александером в 1928 году. Он строится в соответствии с числом пересечений каждого вида, имеющихся на диаграмме узла. Например, узлу «трилистник» соответствует многочлен  ΔK(t)=t–1–1/t.                                                                                                    

Многочлен  Конвея

 РL (х) - это многочлен от переменной х с целыми коэффициентами.

Теорема.

Для каждого узла или зацепления L полином РL(х) существует и однозначно определяется следующими тремя аксиомами.

 Аксиома 1.

Эквивалентным диаграммам L и L’ отвечает один и тот же полином: РL(х)=РL’(х).

Аксиома 2.

Тривиальному узлу отвечает полином, равный 1:Ро(х)==1.

Аксиома 3.

  Трем зацеплениям L+, L-, L°, которые всюду одинаковы, кроме  кружочка, где они выглядят так, как показано на рисунке 5, отвечают полиномы, связанные соотношением

               РL+(х)-РL-(х)=х.РL0(х).   

                                                                                                                          рис.5

Теорема.

Для   распавшегося зацепления РL (х) =О.

         Вычислим       полиномы  Конвея для некоторых  узлов  и зацеплений. 

а) Для двух незацепленных окружностей.  

L+- диаграмма тривиального узла с одной двойной точкой, L°- диаграмма двух незацепленных окружностей. Из аксиом I и II следует, что РL+(х) = 1.

 Если заменить двойную точку диаграммы L+ на противоположную, а затем двойную точку уничтожить (аксиома III), то мы получим диаграмму тривиального узла L- и пару незацепленных окружностей L°.

По аксиоме III, получим РL+(х)-РL-(х)=х.РL0(х),   1—1=х.РL0(х),   РL0(х)=0.

б) Для двух зацепленных окружностей (правое зацепление):

 Применяя аксиому III к правой двойной точке, получаем диаграмму L-, эквивалентную паре незацепленных окружностей, и тривиальный узел (с одной двойной точкой) L°.

 Используя аксиому I и предыдущий подсчет, получаем РL-(х)=0.

 Затем по аксиомам I и II получаем РL0(х)=1.

Подставляя эти значения в соотношение аксиомы  III, получим  РL+(х)=х. Для левого зацепления полином равен –х 

в) Для узла «трилистник»

РL(х)=1,т.к. распутывается в тривиальный узел.
РL0(х) =- х, т.к. распутывается в  левое зацепление двух окружностей, значит, РL (х) = 1 - х2 по аксиоме 3.

г) Для восьмерки.

 РL (х) = х, так как распутывается в  правое зацепление двух окружностей.
РL (х) = 1, так как распутывается в тривиальный узел.

 Поэтому PL’ (x) = 2х по аксиоме 3.

д)  Для проколотой восьмерки                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        РL (х) = х, так как распутывается в  правое зацепление двух окружностей.

Пусть зацепление L1 = L0.Тогда РL1(х)= 1. РL10(х) = х, так как распутывается в правостороннее зацепление двух окружностей.  

Значит, РL1 (х) = х2 + 1.  В итоге РL (х) = х3+ 2х . 

         Даже небольшое число проведенных вычислений показывает, что полином Конвея — достаточно тонкий инструмент, позволяющий различать узлы и зацепления и устанавливать их нетривиальность. Посчитав, например, полиномы трилистника, восьмерки, и убедившись, что эти полиномы не равны 0 или 1, мы доказали, что их нельзя распутать. Разумеется, эти доказательства верны только в том случае, если уже установлен факт существования и единственности полинома Конвея для каждого узла и зацепления.

     Рассмотрим подкласс невозможных фигур, изучаемый теорией кос и узлов. 

Определим мультибар как многогранник, состоящий из набора брусков  прямоугольного сечения, составляющих фигуру правильного многоугольника. (рис.6).

 Опишем каждую сторону многогранника как линию косы и  применим к ним основные соотношения теории кос: соотношение далекой коммутативности: ac = ca и соотношение сплетения: aba = bab. (рис 7)

  рис.6                                                 рис 7                рис 8                          рис.9

   Четырехэлементные косы, соответствующие трибару, невозможному квадрату и невозможному пентагону имеют вид:  bacbacbac , bacbacbacbac, и bacbacbacbacbac. 

Замыкание косы преобразует ее в узел  (рис.8, рис.9).

Следовательно, если соединение, соответствующее мультибару, отличается от тривиального четырехэлементного соединения, тогда мультибар является невозможной фигурой.

У теории кос и узлов серьезные приложения к комплексному анализу, механике и физике элементарных частиц,  обнаружились глубокие связи между этой теорией и абстрактной алгеброй. Здесь оказались замешаны не только классические разделы физики (статистическая физика, например модель... льда), но и современная квантовая теория. А идея кодирования химической информации в маленьких узелках (и косах!) вновь возникла в молекулярной биологии при расшифровке аминокислот и изучении ДНК.