Внеклассное мероприятие по математике для обучающихся 6 класса «Это мы не проходили, это нам не задавали!»
методическая разработка (6 класс) по теме

Внеклассное мероприятие по математике для обучающихся 6 класса «Это мы не проходили, это нам не задавали!»

Цели мероприятия:

Развитие интереса к математике;

Способствовать развитию творческих способностей, логического мышления, умения быстро думать и принимать правильное решение;

Способствовать развитию навыков практической направленности;

Способствовать развитию сообразительности, внимания, интуиции и находчивости обучающихся.

Оборудование: компьютер, проектор,  оформление доски с названием мероприятия,  планшеты с заданиями, медали, объявления, реквизиты для сценок.

Ход мероприятия:

Вступительное слово учителя.

Ребята, сегодня у нас не обычной урок, а мероприятие, в ходе которого вы узнаете много нового и интересного, того, что вы не проходили и вам не задавали учить. Именно так и называется наша сегодняшняя встреча. Мы заглянем за страницы учебника математики. Ваша задача быть любознательными и унести частичку новых знаний.

И прежде, чем мы начнём нашу математическую встречу, я хочу спросить у вас : что вы ждёте от неё? Не будет ли вам скучно? Как вы думаете? ( ответы детей). Спасибо вам за ваши ответы.

 Самые активные будут награждены медалями. А помогут мне сегодня  герои вашего любимого мультфильма неутомимая в своих познаниях Маша и терпеливый Медведь.

Итак, мы начинаем. И первый мой рассказ пойдёт о числах.

Свойства натуральных чисел.

До сих пор мы говорили об отдельных числах. Но числа составляют семью, имя которой натуральные числа, и их характер проявляется во взаимодействии с членами семьи, т.е. с другими числами. Да и вся семья представляет себя настолько удивительным образом, что встреча с ней доставляет огромное удовольствие.

Ещё в далёкой древности знали и использовали свойства натуральных чисел. Особый интерес к натуральным числам проявляли учёные древней Греции. Там примерно в VI веке до н.э. жил выдающийся учёный Пифагор.  Он организовал полурелигиозное  братство (союз), члены которого называли себя пифагорейцами и посвящали свою жизнь математике. Пифагорейцы изучали свойства чисел, т.е.  характеристики, которыми одни числа или группы чисел отличаются от других. Например, чётные и нечётные числа, простые и составные числа. Вы тоже знаете, что это за числа.

А вот число 6 даёт пример другого свойства. Это число равно сумме своих делителей , исключая само число. 1+2+3=6. Числа, обладающие этим свойством, называются совершенными числами. Пифагорейцы упорно искали совершенные числа и нашли кроме 6 ещё 3 числа : 28, 496, 8128.(слайд) следующее число 33 550 336 было найдено только через 100 лет. Совершенные числа обладают интересными свойствами. Все найденные к настоящему времени совершенные числа оканчиваются на 6 или 8, то есть чётные. Совершенные числа равны сумме последовательных натуральных чисел:

6=1+2+3

28=1+2+3+4+5+6+7

496=1+2+3+4+5+6+7+…+30+31.

Особые свойства приписывали  дружественным числам – так называлась пара чисел, каждое из которых являлось суммой делителей другого. Например, числа 220 и 284. Число 220 делится на следующие числа, сумма которых равна 284: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284.

А число 284 делится на следующие числа, сумма которых равна 220:

1+2+4+71+142 =220.

О дружественных числах есть много историй.  Рассказывают, что в Средние века для укрепления любви носили талисманы с выгравированными на них числами 220 и 284. А ещё влюблённый юноша вырезал эти числа на плодах, один съедал сам, а другой отдавал возлюбленной.

Объектом интереса пифагорейцев были также числа-близнецы. Так называются два простых числа, разность между которыми равна 2. Например, 5 и 7, 29 и 31.

Итак, на какие группы в Древней Греции делились натуральные числа?

Ответы детей: чётные и нечётные, простые и составные, числа-близнецы (простые числа, отличающиеся друг от друга на 2), совершенные числа(числа, равные сумме своих делителей, исключая само число), дружественные числа (пара чисел, каждое из которых равно сумме делителей другого).

А теперь проверим как хорошо вы запомнили свойства чисел.

 Сценка 1 «Нет предела совершенству!».

Маша: Миш, а Миш, дай  денег. Ну, пожалуйста.

Медведь: А тебе зачем?

Маша: Скоро 8 марта, и я хочу купить маме подарок.

Медведь: А что?

Маша:  Неважно что, а важно, чтобы это было 6, или 28, или….

Медведь: Шесть достаточно. А почему именно эти количества?

Маша: Миш, ну, как ты не знаешь, это всё совершенные числа. Они являются суммами своих делителей. Этим мы как бы скажем, что мама совершенна!

Медведь: А число 28 более совершенно, чем 6?

Маша: Наверное, ведь у него больше делителей.

Медведь: Маме исполняется 39 лет. А это число, наверное, тоже хорошее. Оно совершенное?

Маша: Нет!

Медведь:  Как ты так сразу подсчитала?..А вслед за 28 есть ещё совершенные числа?

Маша: Да, но очень большие – нам столько не купить.

Медведь: Да, нет предела совершенству. Купи шесть.

 Вопросы:

Как вы думаете, права ли была Маша, когда ответила, что чем больше число, тем оно совершеннее? (Маша не права, нет понятия более совершенного числа. )

Как это Маша сразу узнала, что число 39 несовершенно?(Маша знает, что все известные совершенные числа заканчиваются на 6 или 8.)

И ещё: число 496 есть сумма 31 последовательного натурального числа начина с 1. Можно ли отсюда сделать вывод, что это число совершенно?(Число 496 совершенное, но этот вывод нельзя сделать из того,  что оно есть сумма 31 последовательного натурального числа ,несмотря на то что число 31 простое (вы ,наверное, запомнили, что всякое совершенное число представляется в виде суммы последовательных ,начинающихся с единицы, натуральных чисел, последнее из которых – простое число). Но обратное утверждение неверно. Например, число 15 несовершенное, но оно равно сумме первых пяти натуральных чисел.)

Признаки делимости.

Математики Древней Греции понимали, что простые числа являются как бы основой, «кирпичиками», из произведения которых можно составить любое другое (составное) число. Поэтому они называли их не простыми, как это принято у нас, а первичными. Эти «кирпичики» влияют на свойства составного числа. Ну вот, например, составное число 6 есть произведение двух простых чисел : 2 и3. И эти числа придают числу 6 такие свойства ,как чётность, делимость на 3 и даже совершенство. Словом,  чтобы понять «характер» натурального числа, надо выяснить, произведением каких простых чисел оно является.

К слову сказать, древнегреческий математик Евклид в своей книге «Начала»  сформулировал очень важное утверждение:  любое натуральное число либо является простым, либо единственным образом представляется в виде произведения простых чисел. Вам уже известен способ разложения числа на простые множители  «столбиком» в ходе которого вы используете известные вам признаки делимости на 2,на 5, на 10, на 3. Эти признаки были сформулированы ещё в Древней Греции Пифагором.

Французский математик ХVII века Блез Паскаль разработал общий способ получения признаков делимости числа на простые числа. Этот способ позволяет получить и признак делимости на 7. Однако он очень неудобен для практического использования.

Рассмотрим ещё два интересных признака делимости : на 11 и 13.

Число делится на 11, если разность между суммами цифр ,стоящих на чётных и нечётных местах, делится на 11.

Например, число 9185. На нечётных местах расположены числа 9 и8, их сумма равна 17, а на чётных местах – числа 1 и 5, и их сумма равна 6. Разность 17-6=11 делится на 11,а поэтому и всё число 9185 делится на 11.

Признак делимости числа на 13 покажем на примере. Возьмём число 195 и проверим, делится ли оно на 13? Для этого выполним следующую последовательность действий:

Отбрасываем последнюю цифру 5 заданного числа. Получаем число 19;

Умножаем отброшенное число  (5) на 4, получаем 20;

Складываем числа, полученные на 1-м и 2-м шагах: 19+20=39;

Проверяем, делится ли полученное число на 13: 39:13=3. Это означает, что число 195 делится на 13.

Сценка 2 «Детские деньги, или новая система обучения».

Маша: Миш, а Миш, дай денег.

Медведь: Опять?! Я же тебе только недавно давал на цветы. На что в этот раз?

Маша: На книжки по  математике ,   а заодно и на мороженое.

Медведь: Мммммм…В основе математического образования лежат деньги. Министерство образования выделяет деньги на данные нужды, но этого недостаточно. Поэтому оно должно позаботиться об эффективном их использовании. Например, можно было бы ввести детские деньги. Преимущества очевидны. Во-первых, дети не будут просить деньги у родителей, а во-вторых, в магазинах модно организовать продажу-обучение. Предположим, ребёнок собрался купить мороженое, а у лотка такое объявление: «Мороженое, сливочное, фруктовое. Ингредиенты усиливают математические способности. Скидка 50% для тех, кто сумеет разложить число на простые множители двумя способами. Цена 70 рублей детских денег. Бесплатно для тех, кто докажет, что продавец мошенничает. » Таким образом, не знаешь закон разложения чисел на простые множители, плати дороже. А дополнительных денег взять негде: у родителей детских денег нет. Или , например, так : «Жевательная резинка с абрикосовым вкусом. Помогает решению задач у доски. Цена 90 детских рублей. Можно заплатить также детскими рублями по цене, равной наибольшему числу, которое делится на 13, меньшему указанной цены». Ну, кто будет покупать жвачку за 90 рублей?1 придётся подумать… или, вот ещё, например….

Маша: Всё, всё, хватит, устала я от твоих идей. Главное, чтобы они так и остались идеями, иначе мы разоримся!

Вопросы:

Как понимать предложение Миши по поводу стоимости мороженого?( По утверждению Евклида никакое число нельзя разложить на простые множители двумя способами. Поэтому обещание снизить цену за разложение числа двумя способами является мошенничеством.)

Какое оно, наибольшее число, которое делится на 13, меньшее 90? ( Это число 78. 78 : 13 =6. Таким образом , за жевательную резинку вместо 90 рублей можно заплатить всего 78. )

Золотое сечение.

Настало время поговорить о пропорция. Само слово «пропорция» означает «соразмерность», «определённое соотношение частей между собой».

Учение об отношениях и пропорциях особенно успешно развивалось в VI  веке до н.э. в Древней Греции, славившейся произведениями искусства, архитектуры, развитыми ремёслами. С пропорциями связывались представления о красоте, порядке и гармонии, о созвучных аккордах в музыке.  Теория отношений и пропорций была подробно изложена уже в известной вам книге Евклида «Начала», и там, в частности, приводится и доказательство основного свойства пропорции.

Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определённых соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета.

Золотым сечением или даже «божественной пропорцией» называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длина его большей части так относится к длине всего отрезка, как длина меньшей части к большей. Это отношение приближённо равно 0,618  или 5/8 . Золотое сечение чаще всего применяется в произведениях искусства, архитектуре, встречается в природе. Например, знаменитая скульптура Аполлона Бельведерского, разделённая в таком отношении (точка С делит отрезок АD, точка В делит отрезок АС.) Окружающие нас предметы также часто дают примеры золотого сечения. Например,  переплёты многих книг имеют отношение ширины и длины, близкое к числу 0,618. Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев (А и С) третья расположена в месте золотого сечения. Парфенон – один из замечательных памятников архитектуры V века до н.э. в Древней Греции. Этот храм посвящён богине Афине, и все скульптуры и горельефы в нём связаны с мифами о жизни богов. Отношение высоты фасада здания к его длине равно 0,618. Кстати, элементы башен  Московского Кремля  также находятся  в отношении золотого сечения . Желающие могут проверить это дома на примере изображения двух башен Тайницкой и Арсенальной (раздать картинки детям).

Таким образом, чтобы разделить отрезок в “золотом соотношении”, надо длину отрезка умножить на 0,618. Мы получим большую часть отрезка. Интересно, какое же задание нам подготовили наши герои по этой теме.

Сценка 3. Ремонт в стиле «золотого сечения».

Медведь: Маша, ты снова затеяла ремонт? Мы только в прошлом месяце переклеивали обои. Опять???

Маша: Миш, ничего ты не понимаешь. Ремонт – это одно, а красота и гармония в доме -совсем другое.

Медведь: Ты о чём? Какая ещё гармония? То тебе совершенство подавай, то гармонию…

Маша:  у нас не просто ремонт, а ремонт в стиле «золотого сечения». Вот!

Медведь: Маша, что ты ещё выдумала?

Маша: И вовсе я не выдумала. Я в книжке прочитала, что “золотое сечение” – это самое гармоничное деление отрезка. С помощью такого деления можно оклеить стены обоями в своем доме. Я вот уже почти закончила, осталось только бордюр приклеить.

Вопрос:

На какой же высоте от пола надо поклеить бордюр, чтобы ваша работа радовала глаз? (Нужно измерить высоту стены и умножить на 0,618.)

Отрицательные числа.

Отрицательные числа появились значительно позже натуральных чисел и обыкновенных дробей. История говорит о том, что люди долго не могли привыкнуть к отрицательным числам. Отрицательные числа казались им непонятными, ими не пользовались, просто не видели в них особого смысла.  Положительные числа долго трактовали как "прибыль", а отрицательные – как "долг", "убыток".  К созданию понятия отрицательного числа китайские учёные подошли ранее других учёных примерно во 2 веке до нашей эры. Более точно сказать трудно, так как император Ши Хуан Ди, разгневавшийся на учёных, повелел все научные книги сжечь, а их авторов и читателей казнить. Содержание этих книг дошло только в отрывках. Положительные количества назывались «чжен», отрицательные- «фу». Изображались разными цветами: «чжен»-красным, а «фу»-чёрным. Такой способ использовался в Китае  до середины 12 столетия, пока Ли Е не предложил обозначение отрицательных чисел - цифры, которые изображали отрицательные числа перечеркивали чертой справа налево.   

Но ни египтяне, ни вавилоняне , ни древние греки отрицательных чисел не знали. Лишь в VII веке индийские математики начали широко использовать отрицательные числа, но относились к ним с некоторым недоверием.

В Европе отрицательными числами начали пользоваться  с XII-XIII вв., но до XVI в., как и в древности, они понимались как долги, большинство учёных считали их «ложными», в отличие от положительных чисел – «истинных».

Признанию отрицательных чисел способствовали работы французского математика, физика и философа Рене Декарта (1596 - 1650). Он предложил геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел – ввёл координатную прямую (1637 г.).

Окончательное и всеобщее признание как действительно существующие отрицательные числа получили лишь в первой половине XVIII веке. Тогда же утвердилось и современное обозначение для отрицательных чисел.  

Сценка 4. Загадочные иероглифы.

Маша: Миш, а Миш, а ты бережливый?

Медведь: Да.

Маша: Миш, а Миш, а ты экономный?

Медведь: С тобой сэкономишь. То на цветы для мамы, то на книжки по математике, то на мороженое.

Маша: С сегодняшнего дня я буду помогать тебе экономить.

Медведь: Как это?

Маша: Бережливый хозяин должен знать как свою прибыль, так и убытки. Так?

Медведь: Так!

Маша:  Теперь я каждый месяц буду считать с прибылью или убытком  закончился месяц. Теперь понятно?

Медведь: Понятно.

Маша: А чтобы больше никто кроме нас не понял, записывать будем , используя нумерацию древних египтян.

Медведь: Это что ещё за иероглифы?

Маша: Да, пока не очень понятно. Тут нужна сноровка.

Вопросы.

Смогли бы древние египтяне это вычислить? Чего они не знали? (отрицательных чисел)

А вот как излагал правила сложения и вычитания индийский математик Брахмагупта : «Сумма двух имуществ есть имущество», «Сумма двух долгов есть долг», «Сумма имущества и долга равна их разности». Попробуйте перевести эти древнеиндийские правила на современный язык.

Наиболее активные участники награждаются медалями.

Рефлексия.

Ребята, какое у вас настроение?

Нужно ли проводить такие мероприятия по математике?

Чему наша встреча вас научила?

Заключительное слово учителя.

Математика – самая древняя из наук, она была и остаётся необходимой людям. Слово «математика» греческого происхождения. Оно означает «наука», «размышление». В древности полученные знания, открытия старались сохранить в тайне. Например, в школе Пифагора запрещено было делиться своими знаниями с непифагорейцами. За нарушение этого правила один из учеников, требовавший свободного обмена знаниями ,- Гиппас – был изгнан из школы. Его сторонников стали называть математиками, т.е. приверженцами науки.

Все без исключения начинают изучать основы математики уже с первых классов школы, потому что эта наука нужна всем, особенно сейчас, когда математика проникла во все отрасли знаний – физику и химию, науки о языке  и медицину, астрономию и биологию и т.д..Математики учат вычислительные машины сочинять стихи и музыку, измерять размеры атомов и проектировать плотины электростанций.

Математика необходима в любой профессии, какую бы вы ни выбрали для себя. Но кроме того, вы могли заметить: это и очень интересная и увлекательная наука. Любите её. Желаю вам успехов и радости открытий в необозримом море – математике!

Использованные материалы и литература:

Лабзовский С.Н. Семь старух идут в Рим…: книга о математике .- М.: Мнемозина, 2010