Полезная информация для коллег и учеников
материал

Базовое понятие теории графов.

Краткий конспект

Граф — это конечное множество точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки называются вершинами графа, а соединяющие их линии — рёбрами. Каждое ребро соединяет ровно две различные вершины.

Пример. Транспортный граф. В стране есть пять городов: A, B, C, D и E. Дороги соединяют следующие пары городов: A и B, B и C, B и D, C и D, D и E. Это можно изобразить в виде следующего графа:

Иногда графы бывает удобно задавать перечислением множества вершин и множества рёбер. Например, граф на рисунке выше можно задать следующим образом: это граф c вершинами {A,B,C,D,E} и рёбрами {AB,BC,BD,CD,DE}.

Пример. Социальный граф. Андрей, Вася, Саша, Дима и Евгений отправились в поход. До начала похода Андрей был знаком с Васей, Сашей и Димой, а Саша — с Димой, другие ребята не были знакомы между собой. Это можно изобразить в виде следующего графа:

Пример. Турнирный граф. В школе между пятью классами проходил однокруговой турнир по футболу. К середине марта три класса сыграли все матчи между собой, а оставшиеся два класса не сыграли ни одного матча. К середине апреля все матчи были сыграны. Это можно изобразить в виде следующих графов:

Можно привести и другие примеры, когда графы возникают естественным образом: граф авиасообщений, генеалогическое древо.

Полный граф — это граф, в котором каждые две вершины соединены ребром.

Геометрия.   Краткий конспект

Функциональная грамотность в геометрии — один из важнейших блоков. Сама наука геометрия произошла благодаря запросам повседневной жизни к науке. Геометрия окружает нас повсюду, например, в архитектуре и картах. Иногда она появляется там, где мы её совсем не ждём — в еде, например (мы разберём в разделе несколько задач про это). Поэтому важно развивать геометрическую интуицию и уметь применять геометрические методы на практике.

Одна из ролей, которую играет геометрия в школе, — развитие логики. Большое внимание в школьном курсе геометрии уделяется доказательствам геометрических утверждений, в задачах по планиметрии и стереометрии используется много формул и вычислений. Часто школьники ещё не готовы к такой подаче материала, поэтому важно с начальной школы познакомить ребят с большим количеством несложных наглядных геометрических сюжетов.

В качестве примера практической геометрической задачи обсудим постановку задачи на план местности, которую вам предстоит решить далее.

Задача. Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Антоновка (на плане обозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка на машине собирается отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово. Из Антоновки в Богданово можно проехать по просёлочной дороге мимо реки. Есть другой путь — по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово. Третий маршрут проходит по просёлочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть на шоссе до Богданово. Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино, от Доломино до Горюново по просёлочной дороге мимо конюшни и от Горюново до Богданово по шоссе. Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорка, по просёлочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилино и по шоссе от Жилино до Богданово. Шоссе и просёлочные дороги образуют прямоугольные треугольники.

Расстояние от Антоновки до Доломино равно 12 км, от Доломино до Егорки — 4 км, от Егорки до Ванютино — 12 км, от Горюново до Ванютино — 15 км, от Ванютино до Жилино — 9 км, а от Жилино до Богданово — 12 км.

Медиана медианный представитель.

КРАТКИЙ КОНСПЕКТ

Число m называется медианой конечного числового массива, если в этом массиве хотя бы половина чисел не больше и хотя бы половина чисел не меньше, чем число m.

Для вычисления медианы числа в наборе сначала нужно упорядочить. Если количество чисел в массиве нечётно, то в упорядоченном наборе (вариационном ряду) можно однозначно определить центральное число. Это и есть медиана.

Пример. Ниже перечислены четвертные отметки по математике некоторого школьника.

2433244533244

В этом наборе всего 13 значений. Медианой является 7-е по величине значение, т. е. число 3.

Если количество значений чётно, то центральных чисел два. Любое из них и все числа между ними удовлетворяют определению медианы.

Пример. В наборе 23245344 восемь чисел. Упорядочивание дает ряд 22334445. Число 3, число 4 и все числа между 3 и 4 являются медианами.

Медиана определена неоднозначно для наборов, где количество значений чётно. На практике для устранения неоднозначности обычно берут полусумму двух центральных чисел.

Главное свойство медианы — устойчивость относительно слишком больших и слишком малых значений, сильно отличающихся от большинства прочих значений массива (выбросов). Также медиана хорошо отвечает на вопрос о типичном представителе совокупности. Недостатком медианы является то, что она определяется лишь одним или двумя типичными представителями. При вычислении медианы теряется очень много информации о числах в наборе.

Пример. Население городов-миллионеров России.

Средняя численность населения городов-миллионеров России в 2019 году составляет 2240,2 тыс. человек. Нет города, чьё население было бы близко к этому значению. Среднее арифметическое в данном случае не является показательной характеристикой из-за Москвы и Санкт-Петербурга, население которых сильно выделяется на общем фоне. Медиана населения равна 1165 тыс. чел., это население Омска. Омск — медианный представитель.

Числовой массив или числовой набор — общее название. Отличается от статистического ряда или выборки тем, что не имеет специальных свойств. Выборка может быть из некоторой большой совокупности. Для исследования выборочной совокупности нужны выборочные методы.

Статистический ряд — это данные, расположенные в определённой последовательности (по времени, по возрастанию, в лексикографическом порядке и т. п.). Для исследования рядов применяются специальные методы (например, скользящие средние, анализ динамики)

Проценты

Краткий конспект

Экономика — одно из наиболее естественных приложений математики и, наоборот, один из «заказчиков» создания математики.

С такими задачами сталкивается любой ученик в реальной жизни, а как следствие — ещё и на экзаменах. Трудности, которые вызывают у многих учащихся даже несложные задачи на проценты, обычно во многом обусловлены достаточно формальным подходом к изложению темы. А ведь для решения подавляющего большинства задач на проценты достаточно понимать, что процент — это просто одна сотая часть числа. Поэтому для успешного решения задач на проценты достаточно научиться «переводить» условие задачи на язык десятичных дробей, а после её решения — делать обратный «перевод».

На примере следующих четырёх задач проделаем эти «переводы».

Задача. Полотенце стоило 80 рублей. Ближе к дачному сезону оно подорожало на 25%. Сколько оно стало стоить?

Задача. Полотенце стоило 100 рублей, но в конце сезона оно подешевело на 20%. Сколько стало стоить полотенце со скидкой?

Задача. Розничная цена на полотенце составляет 100 рублей, при этом известно, что розничная цена образуется при наценке на оптовую цену 25%. Какова оптовая цена этого полотенца?

Задача. Оптовая цена на полотенце составляет 80% от розничной. Какова розничная цена, если оптовая цена 80 рублей?

Развитие таланта.

Краткий конспект

Многие школьники талантливы и могут стать успешными в математике, информатике, физике, химии, биологии и других естественно-научных дисциплинах. В каждой школе учатся ребята, которые могут успешно показать себя на олимпиадах разного уровня. К сожалению, школьники не всегда могут в полной мере проявить свои способности в той или иной дисциплине. Как правило, препятствиями для глубокого изучения предмета и дальнейшей профессиональной реализации служат нехватка базовых знаний по предмету, отсутствие кружков, отсутствие возможности участвовать в массовых олимпиадах.

Государство подчёркивает значимость развития таланта системой грантов. Например, школьники, которые становятся призёрами и победителями олимпиад в области математики, информатики и цифровых технологий, могут претендовать на гранты Министерства просвещения. Подать заявку на грант можно на портале Госуслуги.

В 2015 году создан Образовательный центр «Сириус», основная задача которого — помочь школьникам из всех регионов России выявить свои способности, развить их и найти им применение в профессиональной среде. Ежемесячно на очные программы «Сириуса» приезжают около 800 школьников в возрасте 10–17 лет со всей страны, также Центр проводит многочисленные дистанционные программы. После очных программ школьники возвращаются домой и продолжают обучение с командой преподавателей «Сириуса» уже дистанционно.

Чтобы помочь своим ученикам глубже познакомиться с заинтересовавшими их дисциплинами, изучить предмет на более высоком уровне, можно предпринять следующие шаги.

Обсуждать дополнительные материалы на уроках. Важно встраивать первые шаги в развитии таланта в обычный школьный процесс: время от времени изучать дополнительные главы учебника, решать с ребятами задачи со звёздочкой. Необычные задачи могут заинтересовать и тех ребят, которые уделяют мало внимания школьной программе. Любой ученик в классе может проявить смекалку и предложить красивую идею. Задача преподавателя — заметить это и помочь ребенку довести свою догадку до полного решения задачи.

Организовать кружок в школе. Материалов для проведения кружков по любому предмету очень много, в том числе и в интернете. Конкретные ресурсы, которые могут помочь преподавателю подготовить занятия кружка, будут обсуждаться в следующих лекциях раздела.

Предложить школьникам исследовательскую работу. Интересующимся ребятам можно предложить решить задачи, которые объединяют сразу несколько естественно-научных предметов. Если в школе есть соответствующее оборудование, можно проводить эксперименты.

Пригласить ребят участвовать в олимпиадах. Ошибочно рассматривать олимпиады как мероприятия, которые интересны только очень узкому кругу сильных ребят. Самые важные олимпиады — именно массовые. В первую очередь, это школьный этап Всероссийской олимпиады школьников. О нём будет подробно рассказано в следующих лекциях. Важно интересно провести его в своём классе. Также можно предложить ребятам участвовать в турнире Ломоносова. Эта олимпиада проводится по самым разным предметам, в этом году турнир будет проводиться онлайн.

Олимпиадная система в России развита очень сильно. Помимо Всероссийской олимпиады школьников есть множество других олимпиад, например перечневые. Успехи старшеклассников во многих перечневых олимпиадах дают льготы при поступлении в ВУЗы. Большинство перечневых олимпиад имеют разветвлённую сеть туров для более младших школьников. Используйте первые массовые туры олимпиад для того, чтобы ваши ученики попробовали себя в предмете.

Среднее арифметическое.

КРАТКИЙ КОНСПЕКТ

Числовой набор — неупорядоченная коллекция данных. Для описания числовых массивов часто применяют средние значения (меры центра или меры центральной тенденции). Формально любое число из числового набора можно рассматривать как меру центральной тенденции.

Среднее арифметическое — наиболее употребительное среднее. Формула для среднего арифметического n чисел x1, x2, ..., xn имеет вид

арифмxарифм=x1+x2+…+xnn.

Важным свойством среднего арифметического является то, что оно в одинаковой степени зависит от всех чисел в наборе. Среднее арифметическое используется для описания однородных суммируемых данных. С механической точки зрения среднее арифметическое — центр масс, точка равновесия.

Пример. Средняя зарплата работников одинаковой квалификации в близких условиях. Наилучшее представление об этой величине даёт среднее арифметическое.

Неудачное применение среднего арифметического — школьные отметки, средний возраст игроков команды, средняя температура по больнице. Все эти величины не суммируемы. Другой пример неудачного среднего арифметического — средняя зарплата в отрасли или в городе. В этом примере нет однородности данных.

Функциональная грамотность.

КРАТКИЙ КОНСПЕКТ

Задачи на прикидки и оценки встречаются и в ЕГЭ, и в ОГЭ, и в ВПР. Они включены в эти экзаменационные работы по причине того, что умение примерно оценивать значения величин необходимо человеку в повседневной жизни. Умение прикидывать часто не менее важно, чем умение получать точный ответ. Оно позволяет находить ошибки, принимать решения о покупке/не покупке, определять достоверность данных.

Задача. Показания счётчика электроэнергии 1 января составляли 32768 киловатт-часов, а 1 февраля — 32864 киловатт-часов. По текущему тарифу стоимость 1 киловатт-часа электроэнергии составляет 3 рубля 50 копеек. Сколько нужно заплатить за электроэнергию за январь?

Одна из распространённых ошибок при решении задачи про электроэнергию — просто умножить показания января на цену электроэнергии. Школьники получают при этом величину, превосходящую сто тысяч рублей, но не могут поймать себя на ошибке, так как не чувствуют величину этого числа. Важно привить школьникам умение анализировать полученный в задаче ответ с точки зрения здравого смысла.

Составление практикоориентированных задач на прикидки и проверку здравого смысла требует от составителя методической грамотности. Посмотрим пример неудачно составленной задачи.

Задача. Гепард пробегает 100 м за 9,1 с. За какое время гепард пробежит расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга, если это расстояние составляет 650 км?

На первый взгляд в этой задаче к условию привязаны реалии жизни в России: школьники могут вспомнить расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга; также сообщаются любопытные данные о скорости бега гепарда. Но важно понимать, что гепард может бежать с такой скоростью буквально секунды, он никак не преодолеет расстояние в 650 км, поддерживая такую скорость. Задачи с практическим контекстом должны быть составлены на основе реальных данных, чтобы при решении этих задач действительно можно было использовать здравый смысл.

Задача. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями. К каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

Для её решения не нужно заучивать точные значения подобных величин. Достаточно привыкать к чувству порядка величины, изучая математику, физику, другие предметы.