Вариант 7 март 2019 профиль Сайт "Решу ЕГЭ"
материал для подготовки к егэ (гиа, 11 класс)

Вариант 7 (проф. март 2019 Гущин)

Задание 13 № 509888

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

Решим уравнение:

б) Укажем корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Получим точку .

Ответ: а) б)

Задание 17 № 512360

По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает на 11 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».

Решение.

Пусть на каждый тип вклада была внесена сумма S. На вкладе «А» каждый год сумма увеличивается на 10%, т. е. умножается на коэффициент 1,1.

Тогда через три года сумма на вкладе «А» равна 1,13S = 1,331S. Аналогично на вкладе «Б» сумма через три года будет равна

где n — натуральное число.

По условию требуется найти наименьшее целое решение неравенства

Ответ: 9.

Задание 14 № 520496      Вариант 7 (проф. март 2019 Гущин)

В основании правильной пирамиды PABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Сечение пирамиды проходит через вершину В и середину ребра PD перпендикулярно этому ребру.

а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к её основанию равен 60°.

б) Найдите площадь сечения пирамиды.

Решение.

а) Пусть M — середина PD. Так как прямая BM лежит в плоскости сечения, перпендикулярного PD, отрезки BM и PD перпендикулярны, то есть в треугольнике BPD медиана BM является высотой. Значит, BP = BD, но, так как PB = PD, треугольник BPD равносторонний, а поэтому что и требовалось доказать.

б) Из доказанного следует, что и как высота равностороннего треугольника BPD. Применяя теорему косинусов в треугольнике APD, получаем откуда Пусть BKML — указанное сечение (точка K лежит на ребре PA, а точка L — на ребре PC). Так как отрезки KM и PD перпендикулярны, Аналогично находим Значит, а потому треугольник PKL подобен треугольнику PAC. Поэтому Кроме того, прямые KL и AC параллельны, а прямые AC и BM перпендикулярны, так как AC перпендикулярна плоскости BPD, а BM лежит в этой плоскости. Значит, прямые KL и BM перпендикулярны. Поэтому искомая площадь равна

Ответ:

Задание 15 № 517426      Вариант 7 (проф. март 2019 Гущин)

Решите систему неравенств

Решение.

Заменой первое неравенство системы приводится к виду Тогда что невозможно, или откуда Заметим, что тем самым,  Для упростим правую часть второго неравенства:

Выполненные преобразования справедливы при условиях

Таким образом, при имеем:

Заметим, что С другой стороны, , а , откуда

Таким образом, и, следовательно, множеством решений данной системы неравенств является множество

Ответ:

Задание 18 № 516765

Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет решения на отрезке

Решение.   Заметим, что

Преобразуем уравнение:

Рассмотрим два случая.

Пусть , тогда:

Отрезку принадлежат два числа и    Пусть , тогда имеем:

В первой серии не содержится корней, лежащих на отрезке Среди корней, содержащихся во второй серии, отрезку принадлежит одно число Подставляя его в неравенство, получаем:           откуда                 Ответ: ,

Задание 16 № 514098      Вариант 7 (проф. март 2019 Гущин)

К двум непересекающимся окружностям равных радиусов проведены две параллельные общие касательные. Окружности касаются одной из этих прямых в точках A и B Через точку C, лежащую на отрезке AB, проведены касательные к этим окружностям, пересекающие вторую прямую в точках D и E, причём отрезки CA и CD касаются одной окружности, а отрезки CB и CE — другой.

а) Докажите, что периметр треугольника CDE вдвое больше расстояния между центрами окружностей.

б) Найдите DE, если радиусы окружностей равны 5, расстояние между их центрами равно 18, а AC = 8.

Решение.

а) Пусть O1 — центр окружности, которая касается отрезка CD, O2 — центр окружности, которая касается отрезка CE, R — радиус окружностей. Окружность с центром O1 касается отрезка CD в точке K, а прямой DE в точке M; окружность с центром O2 касается отрезка CE в точке L, а прямой DE в точке N (рис. 1).

Получаем, что AO1O2B и MO1O2N — прямоугольники, следовательно, AB = O1O2 и MN = O1O2.

По свойству касательных CA = CK, DM = DK, CB = CL, EL = EN.

Тогда периметр треугольника CDE

б) Точка O1 лежит на биссектрисах углов MDC и ACD (рис. 2), следовательно,

В прямоугольном треугольнике CO1D имеем:

Аналогично, Получаем, что

Ответ: 12,375.

Задание 19 № 509982   Вариант 7 (проф. март 2019 Гущин)

Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 63 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 4 балла, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.

а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?

б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?

в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 70, средний балл участников, сдавших тест, составил 80, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 55. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 82, а не сдавших тест — 58. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

Решение.

а) Пусть было три ученика, которые набрали 90, 61 и 3 балла. Средний балл учеников не сдавших тест балла. после добавления баллов участников оказалось 94, 65 и 7 баллов. Средний балл участников, не сдавших тест, составил 7 баллов.

б) В примере предыдущего пункта средний балл, сдавших тест, первоначально составлял 90 баллов, а после добавления баллов составил баллов.

в) Пусть всего было N участников теста, сдали тест a участников, после добавления баллов сдали b участников. Заметим, что средний балл после добавления составил 74 балла. имеем два уравнения: откуда то есть и то есть Поэтому целое число N делится на 5 и на 3, то есть делится на 15. Таким образом, N ≥ 15.

Покажем, что N могло равняться 15: пусть изначально 5 участников набрали по 54 балла, один ученик — 60 баллов и 9 учеников по 80 баллов. Тогда средний балл был был равен 70, средний балл учеников, сдавших тест, был равен 80, а средний балл учеников, не сдавших тест, был равен 55. После добавления средний балл учеников, сдавших тест, стал равен 82, а не сдавших тест — 58. Таким образом, все условия выполнены.

Ответ: а) да; б) да; в) 15.