Пифагор и его теорема
план-конспект на тему

Математический лекторий

Пифагор и его теорема 

Учитель: Грудинина Е.А

Цели: развитие интереса у учащихся к истории математики; умение работать с книгой.

(учащиеся готовят сообщения и стихи)

Структура занятия:

1. Биография Пифагора.
2. Из истории теоремы Пифагора

2.1. Введение.

2.2. Теорема Пифагора в Китае.

1. Кантор о теореме Пифагора.
2. Геометрия у индусов.
3. Теорема в средние века.
4. Заключение.

3. Стихи о теореме Пифагора.

Биография

        Родителями Пифагора были Мнесарх и Партенида с Самоса. Мнесарх был камнерезом (Диоген Лаэртский); по словам же Порфирия он был богатым купцом из Тира, получившим самосское гражданство за раздачу хлеба в неурожайный год. Первая версия предпочтительнее, так как Павсаний приводит генеалогию Пифагора по мужской линии от Гиппаса из пелопоннесского Флиунта, бежавшего на Самос и ставшего прадедом Пифагора.  

        Партенида, позднее переименованная мужем в Пифаиду, происходила из знатного рода Анкея, основателя греческой колонии на Самосе. Рождение ребенка будто бы предсказала пифия в Дельфах, потому Пифагор и получил своё имя, которое значит «тот, о ком объявила Пифия». Партенида сопровождала мужа в его поездках, и Пифагор родился в Сидоне Финикийском (по Ямвлиху) примерно в 570 до н. э.

        По словам античных авторов Пифагор встретился чуть ли не со всеми известными мудрецами той эпохи, греками, персами, халдеями, египтянами, впитал в себя всё накопленное человечеством знание. В популярной литературе иногда приписывают Пифагору Олимпийскую победу в боксе, путая Пифагора-философа с его тёзкой (Пифагором, сыном Кратета с Самоса), который одержал свою победу на 48-х Играх за 18 лет до рождения знаменитого философа.

        В юном возрасте Пифагор отправился в Египет, чтобы набраться мудрости и тайных знаний у египетских жрецов. Диоген и Порфирий пишут, что самосский тиран Поликрат снабдил Пифагора рекомендательным письмом к фараону Амасису, благодаря чему он был допущен к обучению и посвящён в таинства, запретные для прочих чужеземцев.

        Ямвлих пишет, что Пифагор в 18-летнем возрасте покинул родной остров и, объехав мудрецов в разных краях света, добрался до Египта, где пробыл 22 года, пока его не увёл в Вавилон в числе пленников персидский царь Камбиз, завоевавший Египет в 525 до н. э. В Вавилоне Пифагор пробыл ещё 12 лет, общаясь с магами, пока наконец не смог вернуться на Самос в 56-летнем возрасте, где соотечественники признали его мудрым человеком.

        По Порфирию, Пифагор покинул Самос из-за несогласия с тиранической властью Поликрата в 40-летнем возрасте. Так как эти сведения основываются на словах Аристоксена, источника IV в. до н. э., то считаются относительно достоверными. Поликрат пришёл к власти в 535 до н. э., отсюда дата рождения Пифагора оценивается в 570 до н. э., если допустить, что он уехал в Италию в 530 до н. э. Ямвлих сообщает, что Пифагор переехал в Италию в 62-ю Олимпиаду, то есть в 532—529 гг. до н. э. Эти сведения хорошо согласуются с Порфирием, но полностью противоречат легенде самого Ямвлиха (вернее, одного из его источников) о вавилонском пленении Пифагора. Точно неизвестно, посещал ли Пифагор Египет, Вавилон или Финикию, где набрался по легендам восточной мудрости. Диоген Лаэртский цитирует Аристоксена, который говорил, что учение своё, по крайней мере что касается наставлений по образу жизни, Пифагор воспринял от жрицы Фемистоклеи Дельфийской, то есть в местах не столь отдалённых для греков.

        Разногласия с тираном Поликратом вряд ли могли послужить причиной отъезда Пифагора, скорее ему требовалось возможность проповедовать свои идеи и, более того, претворять своё учение в жизнь, что затруднительно осуществить в Ионии и материковой Элладе, где жило много искушённых в вопросах философии и политики людей. Ямвлих сообщает:

        «Его философия распространилась, вся Эллада стала восхищаться им, и лучшие и мудрейшие мужи приезжали к нему на Самос, желая слушать его учение. Сограждане, однако, принуждали его участвовать во всех посольствах и общественных делах. Пифагор чувствовал, как тяжело, подчиняясь законам отечества, одновременно заниматься философией, и видел, что все прежние философы прожили жизнь на чужбине. Обдумав всё это, отойдя от общественных дел и, как говорят некоторые, считая недостаточной невысокую оценку самосцами его учения, он уехал в Италию, считая своим отечеством страну, где больше способных к обучению людей.»

        Пифагор поселился в греческой колонии Кротоне в Южной Италии, где нашёл много последователей. Их привлекала не только оккультная философия, которую он убедительно излагал, но и предписываемый им образ жизни с элементами здорового аскетизма и строгой морали. Пифагор проповедовал нравственное облагораживание невежественного народа, достигнуть которого возможно там, где власть принадлежит касте мудрых и знающих людей, и которым народ повинуется в чём-то безоговорочно, как дети родителям, а в остальном сознательно, подчиняясь нравственному авторитету. Ученики Пифагора образовали своего рода религиозный орден, или братство посвящённых, состоящий из касты отобранных единомышленников, буквально обожествляющих своего учителя и основателя. Этот орден фактически пришёл в Кротоне к власти, однако из-за антипифагорейских настроений в конце VI в. до н. э. Пифагору пришлось удалиться в другую греческую колонию Метапонт, где он и умер. Почти 450 лет спустя во времена Цицерона (I в. до н. э.) в Метапонте как одну из достопримечательностей показывали склеп Пифагора.

        У Пифагора была жена по имени Феано, сын Телавг и дочь.

        По Ямвлиху, Пифагор возглавлял своё тайное общество тридцать девять лет, тогда приблизительная дата смерти Пифагора может быть отнесена к 491 до н. э., к началу эпохи греко-персидских войн. Диоген, ссылаясь на Гераклида (IV в. до н. э.), говорит, что Пифагор мирно скончался в возрасте 80 лет, или же в 90 лет (по неназванным другим источникам). Из этого следует дата смерти 490 до н. э. (или 480 до н. э., что маловероятно). Евсевий Кесарийский в своей хронографии обозначил 497 до н. э. как год смерти Пифагора.

ИЗ ИСТОРИИ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

2.1. «Так как ныне необходимо рассмотреть также начала искусств и наук настоящего периода, то мы сообщаем, что, по мнению большинства, первыми открыли геометрию египтяне, которые пришли к ней от измерения земельных участков. И нет ничего удивительного в том, что изобретение этой науки, как и других, произошло от нужды, ибо всё возникающее движется вперёд от несовершенного к совершенному. Существует естественный переход от чувственного восприятия к размышлению, а от последнего — к разумному познанию».

Этими словами начинается древнегреческий «Перечень математиков», приписываемый Евдему; далее идёт перечисление отдельных греческих математиков, начинающееся с Фалеса Милетского, причём заслуги каждого характеризуются немногими, но большей частью чрезвычайно меткими словами. В этом «Перечне» о Пифагоре сказано так:

«Как передают, Пифагор превратил занятие этой отраслью знания (геометрией) в настоящую науку, рассматривая её основы с высшей точки зрения и исследуя её теории менее материальным и более умственным образом».

Время жизни Пифагора Самосского точно неизвестно; одни сообщают, что он родился в 569 г. до нашей эры и умер в 470 г., другие же сдвигают его рождение к 580 г., а смерть относят приблизительно к 500 г. Из жизнеописания Пифагора для нас важно, что он, по-видимому, долгое время провёл в Египте, а возможно и в Вавилонии, и что пребывание в этих странах оказало на него большое влияние.

Из-за скудности этих сведений бывает трудно отличить в приписываемых Пифагору открытиях его собственные достижения от того, чему обязаны, с одной стороны, его предшественникам, а с другой — ученикам. То же самое можно сказать и по поводу теоремы, почти всюду называемой именем Пифагора (во Франции, а также в некоторых областях Германии её называют также иногда «мостом ослов»: les pontaux ànes, die Eselbrücke):

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

В настоящее время все согласны с тем, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал её полноценное доказательство, другие же отказывают ему и в этой заслуге. Было бы затруднительно ответить на вопрос, в чём состояло это доказательство. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид (живший около 300 г. до н.э. в Александрии) приводит в первой книге своих «Начал»; с другой стороны, Прокл, который жил от 410 или 412 г. до 485 в Византии и Афинах, утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду.

Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многие знают сонет Шамиссо:

Этот рассказ о жертвоприношении, сообщаемый Диогеном,  Лаэртом  и  Плутархом, конечно вымышлен. А поэтому, увы, лишено основания и то насмешливое замечание о переселении душ, которое встречается у Генриха Гейне:

«Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принёс в жертву бессмертным богам».

В конце XIX века начали высказываться самые разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку; это явилось следствием открытий Скиапарелли и других астрономов. Естественно, что вопрос о том, можно ли, применяя световые сигналы, объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживлённую дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100 000 франков тому, кто первым установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела (здесь, впрочем, случай Марса, как слишком лёгкий, исключался!); эта премия всё ещё ждёт счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было предложено передать обитателям Марса или иной планеты световой сигнал в виде чертежа теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать; но мы на земном шаре твёрдо верим, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

2.2. Исторический обзор мы начнём с китайцев. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В её первой части рассказывается о беседе двух лиц, живших около 1100 г. до н.э., но вряд ли отсюда можно заключить, что излагаемые факты были уже известны в то время, как это утверждается в предисловии, написанном в 1213 г. нашей эры. Возможно, что интересующая нас часть книги была написана лишь в начале нашей эры.

Рис. 1.

В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

«Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4».

Здесь же приложен рисунок (рис. 1), который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

2.3.  Кантор считает, что равенство

32 + 42 = 52,

— другими словами, прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н.э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели верёвок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Мы очень легко можем воспроизвести их способ построения.

Возьмём верёвку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстояниях 3 м от одного конца и 4 м от другого (см. рис. 2). Теперь натянем верёвку так, как это указано на рисунке. Прямой угол окажется заключённым между сторонами длиною в 3 и в 4 метра.

Рис. 2.

Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становится излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую. Однако нужно было ещё уметь изготовлять эти прямые углы и знать способ проверки их точности. Таким способом могло быть простое перевёртывание (рис. 3 и 4).

[К сожалению, я не располагаю письменными документами, на которых основывал Кантор своё предположение, а дошедшие до нас рисунки, изображающие торжества, сопровождающие закладку храма, мало подтверждают его утверждение.]

Несколько больше нам известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи, т.е. к 2000 г. до н.э., приводится приближённое вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника; отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками по крайней мере в некоторых случаях.

Нейгебауэр по различным мотивам тоже считает достоверным, что в Вавилонии знали теорему Пифагора и умели ею пользоваться. В свете этих позднейших исследований о догреческой математике приходится отказаться от многих прежних утверждений о приоритете греков.

Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне наших знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой - на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден сделал недавно следующий вывод: «Заслугой первых греческих математиков, таких, как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но её систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку».

2.4.  Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около VIII века до н.э.

«Индийское богослужение не может обойтись без геометрических правил, так как оно связано чрезвычайно точными предписаниями. Если в алтаре есть малейшее отклонение от предписанной формы, если одно его ребро не образует с другим точно прямого угла, если произошла ничтожная ошибка в ориентации алтаря относительно четырёх сторон горизонта — божество не примет приносимой ему жертвы» (Кантор).

Наряду с чисто ритуальными предписаниями, содержащимися в так называемых Кальпасутрах, существуют и сочинения геометрически-теологического характера, так называемые Сульвасутры. В этих сочинениях, относящихся к IV или V веку до н.э., мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36 и 39 (ср. § 7). Кантор описывает способ построения следующим образом. В направлении точно с востока на запад отмечают с помощью кольев расстояние в 36 падас (падас — мера длины), называемое «праци». На кольях закрепляют концы верёвки длиною в 54 падас с узлом, заранее завязанным на расстоянии в 15 падас от одного из концов. Затем верёвку натягивают при помощи кола, продетого сквозь узел, и получают на одном из концов «праци» прямой угол.

Для извлечения квадратного корня геометрическим способом даются следующие правила, основанные на теореме Пифагора:

1. Верёвка, натянутая наискось по равностороннему прямоугольнику, производит квадрат, имеющий удвоенную площадь.
2. Верёвка, натянутая наискось по прямоугольнику, производит две площади, которые производятся верёвками, натянутыми вдоль большей и меньшей стороны.

        Рис.5.

Второй случай можно проверить на треугольниках, стороны которых равны 3 и 4 единицам длины, или 12 и 5, или 15 и 8, или 7 и 24, или 12 и 35, или 15 и 36.

Первое правило выражает теорему Пифагора для равнобедренных прямоугольных треугольников.  Второе правило выводится из чертежа, который приблизительно соответствует чертежу, с которым мы ещё встретимся в дальнейшем. Нетрудно понять, что здесь действительно мы имеем дело с извлечением квадратного корня геометрическим способом, так как если a и b — стороны прямоугольника, то диагональ его (рис. 5) выражается формулой

d = √a² +  b².

2.5. В дальнейшем распространении математических знаний индусы играли небольшую роль, а китайцы — и того меньшую, и лишь в новейшее время мир ознакомился с обширными математическими познаниями этих народов. Путь от древности к средним векам шёл от греков через арабов.

В средние века теорема Пифагора, magister matheseos, определяла границу если не наибольших возможных, то по крайней мере хороших математических знаний. Характерный чертёж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облаченного в мантию профессора (рис.6, 7) или в человечка в цилиндре (рис. 8) и т.п., в те времена всеобщей страсти к символам нередко употреблялся как символ математики. Столь же часто мы встречаемся с «Пифагором» в средневековой живописи, мозаике, геральдике.

2.6. В заключение этой вводной главы мы приведём различные формулировки теоремы Пифагора на греческом, латинском, немецком 〈и русском〉 языках.

У Евклида эта теорема гласит: Εν τοίς όρθογώνοις τριγωνοις τό άπό τής τήν όρθήν γωνίαν ύποτεινούσης πλευρας τετράγωνον ίσον έστι τοίς άπό ιων τήύ όρθήν γωνίαν περιεχουσων πλευρων τετραγώνοις.

В дословном переводе это означает: «В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».

Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. н.э.), сделанный Герхардом Кремонским (начало XII века), гласит: Omnis trianguli orthogonii quadratum factum ex latere subtenso angulo recto equale est coniunctioni duorum quadratorum, qui ftunt ex duobus lateribus, qui continent angulum rectum.

В переводе: «Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол».

В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) теорема читается так: Alzo wirt dab vierkante veld, gemessen vz der lanqen want, alzo qrob alz dy behde vierkante dy do werden gemessen von den czwen wenden deb geren, dy do czufamene treten in dem rechten wynkel. 

В переводе это означает: «Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу».

〈В первом русском переводе евклидовых «Начал», сделанном с греческого Ф. И. Петрушевским («Евклидовых начал восемь книг, содержащие в себе основание геометрии», Санкт-Петербург, 1819), теорема Пифагора изложена так: «В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».〉 

Стихи о теореме Пифагора

А. Шамиссо

Пребудет вечной истина, как скоро

Все познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий век.

Обильно было жертвоприношенье

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За свет луча, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор,

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, ее почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать,

А могут лишь, закрыв глаза, дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор.

И. Дырченко

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

        Катеты в квадрат возводим,

        Сумму степеней находим –

        И таким простым путем

        К результату мы придем.