Гражданин мира Пифагор и его теорема
план-конспект урока по геометрии (8 класс) на тему

Муниципальное образовательное учреждение «средняя общеобразовательная

школа №1 г.Ртищево Саратовской области»

ТЕМА УРОКА:

«Гражданин мира Пифагор

и его теорема»

Подготовила и провела

 учитель математики Бакиева Г.А. .

г.Ртищево -2011 г

ТЕМА УРОКА: Гражданин мира Пифагор и его теорема

ЦЕЛИ:

• Реализация принципа умственного развития учащихся.

• Развитие познавательной и творческой деятельности   учащихся.

ЗАДАЧИ УРОКА:  

• Прививать навыки самостоятельного поиска новых закономерностей, пробуждать их       любознательность.

• Развитие культуры коллективного умственного труда.

• Формирование и развитие интереса учащихся к занятиям математикой, расширить математический кругозор учащихся.

Ход урока.

Геометрия обладает двумя великими сокровищами.
Первое - это теорема Пифагора, которую можно
сравнить с мерой золота: Кеплер.

1. Оргмомент

Мой юный друг!

Сегодня ты пришел вот в этот класс,

Чтоб посидеть, подумать, отдохнуть,

Умом своим на все взглянуть.

Пусть ты не станешь Пифагором,

Каким хотел бы, может быть,

Но будешь ты рабочим, а может и ученым,

И будешь, я надеюсь, математику любить.

II. Мотивация учебной деятельности

«О, сколько нам открытий чудных

Готовит просвещенья дух,

И опыт-сын ошибок трудных

И гений-парадоксов друг.

Вся наша жизнь это открытия. Представьте, что вы смотрите на звездное небо. Кажется, что звезды расположены в случайном порядке, но люди с древности увидели там созвездия рыб, Ориона, Кассиопеи… английский математик начала XX века Рамсей доказал, что в мире нет абсолютного хаоса. Самая неупорядоченная система имеет определенные математические закономерности. Движение предметов, причудливые построения – неслучайные расположения.

Посмотрите на рисунки и определив закономерности, выделите лишний предмет. (рисунки 4-х и 3-х угольники, рисунок разных треугольников и прямоугольный)

Вопросы для фронтальной работы.

Сегодня мы совершим пусть маленькие, но открытия. Давайте со всеми делиться теми идеями, которые придут нам в голову по ходу дела. Помните, любая мысль может дать нам новое направление поиска. Математическое творчество – это высший пилотаж. И сегодня я приглашаю вас к полетам в мыслях как наяву. Сначала давайте представим себе, что мы находимся в сказочном саду и …..послушайте какую сказку на урок нам приготовила…

 Сказка-задача.

   Давным-давно в некоторой стране жила прекрасная принцесса и была она настолько прекрасной, что затмевала красотой всех своих подруг и свою старшую сестру, которая красотой не блистала. Старшая сестра завидовала принцессе и решила ей отомстить. Тогда она пошла к ведьме и попросила ее заколдовать принцессу. Ведьма не смогла ей отказать, но все же, ей стало жалко принцессу, поэтому ведьма придумала усыпить принцессу в башне до той поры, пока какой-нибудь принц не посмотрит на окно башни с такого места, чтобы расстояние от глаз принца до окна было 50 шагов.

   И вот принцесса заснула крепким сном. Прошло много лет, но никто мне смог расколдовать принцессу, несмотря на то, что отец ее, Король, пообещал отдать принцессу в жены тому, кто спасет ее от пут сна.
В один прекрасный день в этом городе появляется на белом прекрасном коне молодой принц. Узнав, какое несчастье произошло с принцессой, молодой принц берется расколдовать ее. Для этого он измеряет длину от основания башни до окна, за которым скрывается принцесса. У него получается 30 шагов. Затем что-то прикидывает в уме и отходит на 40 шагов, поднимает голову и вдруг...башня озаряется светом и через мгновенье навстречу принцу выбегает еще более прекрасная принцесса...
 Как же принц догадался, что от башни надо отойти на 40 шагов?

Постановка  проблемы: для решения этой задачи необходимо знать соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Что нам готовит просвещенья дух? Заинтересовала вас эта тема? Что каждый из вас хотел бы узнать сегодня на уроке?  (ответы детей)

Ваши цели научны, перспективны, связаны с жизнью. Уверена, что на уроке вы найдете ответы на все ваши вопросы.

III. исследовательская работа в группах                                                                                                         Давайте проведём такой эксперимент. (раздаются листочки с изображённым на них прямоугольным треугольником).

Перед вами треугольник.                                             

Имеет он особую примету

Его заслуг никто не перечтёт,

О том всему известно свету                        

От древних египтян ведёт он свой отсчёт.                     

Через него и Пифагор стал славен…

      Измерьте стороны этого треугольника задание по группам:

• 1 ряд –– стороны треугольника 6, 8 и 10 сантиметров;
• 2 ряд –– стороны треугольника – 5, 12 и 13 сантиметров;
• 3 ряд –– стороны треугольника – 3, 4 и 5 сантиметров.

 «Измерьте с помощью линейки стороны прямоугольного треугольника и заполните таблицу»

– Какую закономерность вы заметили? Сделайте вывод о зависимости между сторонами прямоугольного треугольника.

( В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы)

Если не заметили, то подсказка

Расставьте фигуры по мере возрастания градусных мер угла А и вы получите теорему Пифагора

Если дан нам треугольник,           

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдём:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим-

И таким простым путём

К результату мы придём.

Но мы с вами рассмотрели только три  прямоугольных  треугольника, а вот то, что это равенство верно для любого прямоугольного треугольника как раз и доказал древнегреческий математик-философ Пифагор. И был от этого так счастлив, что, говорят, принёс огромную жертву богам в благодарность.

Уделом истины не может быть забвенье,

Как только мир её увидит взор,

И теорема та, что дал нам Пифагор,

Верна теперь, как в день её рожденья.

            За светлый луч с небес вознёс благодаренье

            Мудрец богам не так, как было до тех пор.

Ведь целых сто быков послал он под топор,

Чтоб их сожгли, как  жертвоприношенье.                                                                              

Ну, что же пойдём и мы той же тропинкой рассуждений, которая когда-то привела Пифагора к славе, и докажем, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.  Ну вот мы с вами сделали грандиозное открытие, а что нам готовит просвещенья дух?

IV.Исследовательская лаборатория

1. Поиск информации по Интернет-ресурсам
2. Работа с учебником по изучению теоремы (сильные в паре )
3. Работа с карточкам - инструкциями

карточка - инструкция

• Начертите в тетрадях прямоугольный треугольник. Обозначьте катеты этого треугольника а, в , а гипотенузу с.
• Постройте квадрат, сторона которого равна а + в.
• На сторонах квадрата отметьте по одной точке, делящей эти стороны на отрезки а и в так, чтобы к каждой вершине квадрата примыкали отрезки а и в.
• Соедините отрезками точки, расположенные на соседних сторонах квадрата. Посмотрите, на какие фигуры при этом разобьется исходный квадрат. Покажите, что полученные треугольники равны исходному прямоугольному треугольнику. Укажите признак равенства треугольников (второй признак).
• Чему равны стороны полученного внутреннего четырехугольника? Чему равны углы этого четырехугольника? Какой из этого вывод о внутреннем четырехугольнике можно сделать? (с, 90º, квадрат)
• Рассмотрим теперь вопрос о том, как связать между собой площади полученных треугольников и квадратов. Обозначьте: S - площадь исходного квадрата, S∆ - площадь исходного треугольника, S◊ - площадь внутреннего квадрата.
• Зная стороны прямоугольного треугольника и квадратов, напишите формулы для их площадей.
• Подставьте полученные формулы в равенство для площадей. Какое равенство при этом получается? Раскрывая квадрат и приводя подобные члены, окончательно получаем равенство

          Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда Pons Asinorum “ослиный мост” или elefuga – “бегство убогих”, так как некоторые “убогие” ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии.

Слабые ученики, заучивавшие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому “ослами”, были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

     Посмотрите, какое красивое доказательство имеет эта теорема! Давайте все вместе повторим: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

5. Первичное закрепление знаний.

1) Давайте вспомним задачу, которую мы не смогли решить в начале урока, ведь теперь мы знаем, какая зависимость связывает стороны прямоугольного треугольника

Учащиеся самостоятельно решают задачу и предлагают ее решение.

Учитель обращает внимание учащихся на алгоритм нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника

• указать прямоугольный треугольник;
• записать для него теорему Пифагора;
• выразить неизвестную сторону через две другие;                                                                                                                     подставить известные значения и вычислить неизвестную сторону

2) И опыт сын ошибок трудных 

Попытаемся устно  решить  задачи в рисунках, каждая пара выберите себе посильную задачу, обсудите ее и запишите решение.

2)

VI. Закрепление знаний

Решение задач практического содержания (групповая работа)

-решения задач могут быть парадоксальными. И задачи для вас будущие гении

1) я отправляю вас в разные страны: Китай, Индию и Россию. Прошу каждую группу получить задание. (группа - по 1 задаче с чертежом)

1) Индийская задача.В древней Индии был обычай предлагать задачи в стихах. Я предлагаю вам решить одну из таких задач.

Над озером тихим
С полфута размером
Высился лотоса цвет.
Он рос одиноко,
И ветер порывом
Отнёс его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашёл же рыбак его
Ранней весною
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
"Как озера вода здесь глубока?"

Решение: Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда

AD = AB = Х + 0,5 .

Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB2 - AC2 = BC2,

(Х + 0,5 )2 - Х2 = 22,

Х2 + Х + 0,25 - Х2 = 4, Х = 3,75.

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.(Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближенно равен 0,3 м) ?

3, 75 * 0,3 = 1,125 (м)

Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.

Задача 2 Задача китайского  математика XI в.

На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой - 20 локтей. Расстояние между их основаниями - 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

Решение. Пусть АD=Х, тогда АЕ= 50-Х

Итак, в треугольнике АDВ: АВ2 =ВD2 +АD2 =302 +Х2=900+Х2;

в треугольнике АЕС: АС2= СЕ2+АЕ2 =202+(50 - Х)2 =400+2500 - 100Х+Х2=2900 - 100Х+Х2.

Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время. Поэтому АВ2 =АС2 ,

900+Х2 =2900 - 100Х+Х2,

100Х=2000,

Х=20,

АD=20.

Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы.

Ответ: 20 локтей.

Задача 3. Я отправляюсь на остров сокровищ и хочу на нем поставить флагшток. Для этого я купил 50 метров троса. Как вы думаете, мне хватит троса, если флагшток высотой 12 метров, а растяжки на земле 5 метров.

=13

13*4=52 (м)

Ответ: Троса не хватит.

9.Рефлексия (итог)

 Вот и подошла к концу наше путешествие на тему: «Гражданин мира. Пифагор и его теорема». Действительно Пифагора можно назвать гражданином мира! Он первым начал рассуждать о числах. Много легенд рассказывали греки об этом мыслители. Его ученики уверяли даже, что он был сыном самого солнечного бога Апполона, что его бедро было сделано из чистого золота, а когда он подошел к одной реке, то она вышла из берегов, чтобы приветствовать Пифагора! Если отбросить все сказки и выдумки, то окажется, что Пифагор очень много сделал для развития науки (хотя он начинал не как ученый, а как победитель Олимпийских игр по кулачному бою!). Его знаменитая теорема была первым утверждением, связывавшим длины сторон треугольников. Назовите ее еще раз. Что связывает теорема Пифагора?                                                                                                                Суть истины вся в том, что нам она – навечно

Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет,

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас, как для него, бесспорна, безупречна…

В начале урока каждый из вас поставил цель. А сейчас продолжите мысль

Что нового узнали на уроке?

Что использовали для открытия нового знания?

Какие трудности встретили?

Что помогло справиться с затруднениями?

Проанализируйте свою работу на уроке.

-Результаты моей работы я оцениваю: а) высоко, б) средне, в) низко.

-На уроке я: а) выдвигал гипотезы и доказывал их, б) выдвинул гипотезу и попытался ее       доказать, в) не выдвинул ни одной гипотезы.

-Я а) ответил на поставленный проблемный вопрос, б) частично ответил, в) не смог ответить