Областное государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Смоленский политехнический техникум»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для студентов по проведению практических занятий

дисциплины

ЕН.02 Финансовая математика

Смоленск

2017

В методических указаниях определены цели и задачи выполнения практических занятий, дается план проведения и порядок  оформления работ.  

Текущие практические занятия представлены в логической последовательности, согласно учебному плану. Дано подробное описание конкретного практического занятия, контрольные вопросы или дополнительное задание к работе.

Содержание

Пояснительная записка……………………………………………………………………………..4

Методические указания по проведению практического занятия № 1

" Использование простых процентов на практике. Определение наращенной суммы и коэффициента наращения при  использовании простых процентов»………………………….5

Методические указания по проведению  практического занятия № 2

«Определение наращенной суммы при дискретно изменяющейся во времени процентной ставке»……………………………………………………………………………………………….5

Методические указания по проведению  практического занятия № 3

«Расчет наращенной суммы при дискретно меняющейся во времени сложной ставке процентов. Определение наращенной суммы за срок с дробным числом лет. Непрерывное начисление процентов»…………………………………………………........................................10

Методические указания по проведению  практического занятия  № 4

«Общее число периодов постоянных выплат на основе постоянной процентной ставки. Расчет значения процентной ставки за один расчетный период»…………...............................18

Методические указания по проведению  практического занятия № 5

«Расчет годовой ставки наращения по формуле простых процентов. Вычисление наращенной суммы с использованием учетной ставки»…............................................................................... 18

Методические указания по проведению  практического занятия № 6

«Определение инфляционной премии: при начислении простых процентов; при начислении сложных процентов»……………………………………………………………………………... 27

Методические указания по проведению  практического занятия № 7

«Модификация формул финансовых рент с выплатами несколько раз в год. Определение  ренты: при заданном значении наращенной суммы; при заданном значении современной величины. Использование данных "Финансовых таблиц" для определения наращенной и приведенной величины финансовой ренты».................... ………………………………………32

Методические указания по проведению  практического занятия № 8

«Сущность погасительного фонда. Погашение долга равными частями»……………………39

Методические указания по проведению  практического занятия № 9

«Расчет доходности ценной бумаги при заданной купонной ставке и разности курсов покупки и погашения за указанный период. Расчет курсовой стоимости ценной бумаги с периодическими выплатами купонных процентов»…................................................................44

Методические указания по проведению  практического занятия № 10

«Расчет доходности и курсовой стоимости ценной бумаги с нерегулярным первым (последним) периодом выплаты купона»………………………………………        ………………..44

Методические указания по проведению  практического занятия № 11

«Расчет доходности и курсовой стоимости ценной бумаги в случае выплаты процентов и номинала в момент погашения (выкупа)»        ……………………………………………………….44

Пояснительная записка

Практическое занятие - это форма организации учебного процесса, предполагающая выполнение обучающимися по заданию и под руководством преподавателя одной или нескольких практических работ.

Дидактическая цель практических работ - формирование у обучающихся профессиональных умений, а также практических умений, необходимых для изучения последующих учебных дисциплин, подготовка к применению этих умений в профессиональной деятельности.

Так, на практических занятиях по дисциплине «Финансовая математика» у обучающихся формируется умение решать задачи, которое в дальнейшем должно быть использовано для решения профессиональных задач по специальным дисциплинам.

 В ходе практических работ обучающиеся овладевают умениями пользоваться информационными источниками, работать с нормативными документами и инструктивными материалами, справочниками, выполнять схемы, таблицы, решать разного рода задачи, делать вычисления.

Задачи, которые решаются в ходе практических занятий по дисциплине «Финансовая математика»:

1) расширение и закрепление теоретических знаний по финансовой математике, полученных в ходе лекционных занятий;

2) формирование у обучающихся практических умений и навыков, необходимых для успешного решения задач по финансовой математике;

3) развитие у обучающихся потребности в самообразовании и совершенствовании знаний и умений в процессе изучения финансовой математики;

4) формирование творческого отношения и исследовательского подхода в процессе изучения дисциплины;

5) формирование профессионально-значимых качеств будущего специалиста и навыков приложения полученных знаний в профессиональной сфере.

Критерии оценки:

Ответ оценивается отметкой «5», если:

• работа выполнена полностью;
• в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
• в решении нет математических или финансовых ошибок (возможны некоторые  неточности,

описки, которые не являются следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится в следующих случаях:

• работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны

(если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

• допущены одна ошибка, или есть два – три недочёта в выкладках, чертежах или

таблицах (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

• допущено не более двух ошибок или более двух – трех недочетов в выкладках,

чертежах или таблицах, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

• допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает

обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Преподаватель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии обучающегося; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные обучающемуся дополнительно после выполнения им каких-либо других заданий.

Практические занятия № 1,2

Тема: Использование простых процентов на практике. Определение наращенной суммы и коэффициента наращения при  использовании простых процентов.

Тема: Определение наращенной суммы при дискретно изменяющейся во времени процентной ставке.

Цель: сформировать умение проводить расчеты по схеме простых ссудных процентов, используя формулы финансовых вычислений.

Теоретические сведения:

Денежные ресурсы, участвующие в финансовой операции, имеют временную ценность, смысл которой может быть выражен следующим утверждением: одна денежная единица, имеющаяся в распоряжении инвестора в данный момент времени, более предпочтительна, чем та же самая денежная единица, но ожидаемая к получению в некотором будущем.  Эффективность любой финансовой операции, предполагающей наращение исходной суммы P до ожидаемой в будущем к получению суммы S (S > P), может быть охарактеризована ставкой.

Простая ссудная ставка рассчитывается отношением наращения (S - P) к исходной (базовой) величине P. 

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление.

         В финансовых вычислениях базовым периодом является год, поэтому обычно говорят о годовой ставке.  Вместе с тем достаточно широко распространены краткосрочные операции продолжительностью до года. В этом случае за основу берется дневная ставка, причем в зависимости от алгоритмов расчета дневной ставки и продолжительности финансовой операции результаты наращения будут различными. Используются три варианта расчета: а) точный процент и точное число дней финансовой операции – обозначение 365/365 ; б) обыкновенный процент и точное число дней финансовой операции -обозначение 365/360; в) обыкновенный процент и приблизительное число дней финансовой операции- обозначение 360/360.

Математическое дисконтирование         является процессом, обратным к наращению первоначального капитала. При математическом дисконтировании решается задача нахождения такой величины капитала (так называемой «приведенной стоимости»), которая через заданное время при наращении по данной процентной ставке будет равна сумме, ожидаемой к получению (уплате)  через заданное время.

Возможно финансовое соглашение, предусматривающее изменение во времени ссудной  ставки.

Любая финансовая операция предусматривает участие, как минимум, двух сторон: кредитора (инвестора) и заемщика (получателя финансовых ресурсов); это обстоятельство является существенным для вынесения суждения об эффективности некоторой операции. Так, экономическая интерпретация ставки вообще и ее значения в частности зависит от того, с чьих позиций - кредитора или заемщика  она дается. Для кредитора ставка характеризует  его относительный доход; для заемщика - его относительные расходы. Поэтому  кредитор всегда заинтересован в высокой ставке или в повышении ставки; интересы заемщика - прямо противоположны.

Основные формулы

                                                (1.1)

                                        (1.2)

S=P∙(1+i⋅δ /K)                                                (1.3)

                                        (1.4)

                                (1.5)

                                                        (1.6)

где

P - вложенная сумма;

S – наращенная сумма;

t -  количество периодов продолжительности финансовой операции;

i-  простая ссудная ставка;

Типовые задачи с решениями

Задача 1. Вы поместили в банк вклад 100 тыс. руб. под простую процентную ставку 6% годовых. Какая сумма будет на счете через 3 года? Какова величина начисленных процентов?

Решение

По формуле (1.1.)  при Р=100 тыс. руб., t=3, i =0,06 получаем :

S=100 ⋅(1+3⋅0,06)=118  тыс. руб.

Через три года на счете накопится 118 тыс. рублей.

Величина начисленных за три года процентов составит:

118 -100=18 тыс. руб.

Задача 2. На какой срок необходимо поместить денежную сумму под простую процентную ставку 8% годовых, чтобы она увеличилась в 2 раза?

Решение

Искомый срок определяем из равенства множителя наращения величине 2 :

1+t⋅0,08=2, поэтому

t=1/0,08=12,5  лет.

Сумма, размещенная в банке под 8% годовых, в два раза увеличится через 12,5 лет.

Задача 3. Ссуда в сумме  3000 долл. предоставлена 16 января с погашением через 9 месяцев под  25 % годовых (год не високосный). Рассчитайте сумму к погашению при различных способах начисления процентов : а) обыкновенный процент с точным числом дней; б) обыкновенный процент с приближенным числом дней; в) точный процент с точным числом дней.

Решение

а) По формуле (1.3), используя обыкновенный процент с точным числом дней, рассчитанным  по финансовым таблицам (δ =289-16=273 дня), получим:

S=3000∙(1+0,25⋅273/360=3568,75 долл.

Сумма к погашению равна 3568,75 долл.

б) По формуле (1.3),  используя обыкновенный процент с приближенным числом дней, рассчитанным  по финансовым таблицам (δ =9⋅30=270 дня), получим:

S=3000∙ (1+0,25⋅270/360)=3562,5 долл.

Сумма к погашению равна 3562,5 долл.

в) По формуле (1.3),  используя точный процент с точным числом дней,  рассчитанным  по финансовым таблицам (δ =289-16=273 дня), получим:

S=3000∙ (1+0,25⋅273/365)=3560,96 долл.

Сумма к погашению равна 3560,96 долл.

Задача 4. В финансовом договоре клиента с банком предусмотрено погашение долга в размере 8,9 тыс. руб. через 120 дней при взятом кредите в размере 8 тыс. руб. Определить доходность такой сделки для банка в виде годовой процентной ставки при использовании банком простых  обыкновенных процентов.

Решение

По формуле (1.5) при S=8,9 тыс. руб., P= 8 тыс. руб., δ = 120 дней, K=360 дней, получим :

i=360⋅(8,9-8)/ (8⋅120)= 0,3375=33,75%.

Доходность банка составит 33,75 процентов годовых.

Задача 5. Господин Х поместил 160 тыс. руб. в банк на следующих условиях: в первые полгода процентная ставка равна 8% годовых, каждый следующий квартал ставка повышается на 1%. Какая сумма будет на счете через полтора года, если проценты начисляются на первоначальную сумму вклада? Какую постоянную ставку должен использовать банк, чтобы сумма по вкладу не изменилась?

Решение

Применяя формулу (1.4), получим :

S=160⋅(1+0,5⋅0,08+0,25⋅0,09⋅+0,25⋅0,1+0,25⋅0,11+0,25⋅0,12)= 183,2

Через полтора года на счете накопится 183 200 руб.

Постоянную ставку, которую должен использовать банк, для того чтобы сумма, накопленная на счете, не изменилась, находим из уравнения:

i=0,096667= 9,67%

Постоянная ставка, которую должен использовать банк, для того чтобы сумма, накопленная на счете, не изменилась, равна 9,67 % годовых.

Задача 6. Кредит выдается под простую ссудную ставку 24 % годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, полученную заемщиком, и сумму процентных денег, если необходимо возвратить 3500 тыс. руб.

Решение.

По формуле  (1.2) при F = 3500; n=250/365;  r=0,24 получаем:

P = 3500 /(1 + 0,24 ·250/365) =3017, 2

Сумма, получаемая заемщиком, составит 3 017 200 руб.

Сумма процентных денег равна (3 500 000  -  3 017 200) = 482 800 тыс. руб.

Задачи для подготовки к занятию

Задача 1. Вкладчик внес в банк 20 тыс. руб. Через год он снял со счета половину набежавших за год процентов. Оставшаяся сумма еще год оставалась в банке, на конец года на счете осталось 26,4 тыс. руб. Какую простую ссудную ставку использовал банк?

Задача 2.  Предприниматель взял в банке ссуду на два года под процентную ставку 32% годовых. Определите, во сколько раз сумма долга к концу срока ссуды будет больше выданной банком суммы, если банк начисляет простые проценты.

Задача 3.  Предприятию необходим кредит в 10 млн. руб. на полгода. В банке А предлагают следующие условия: процентная ставка за первый месяц -10%, на следующие 3 месяца- 11% и на последние 2 месяца – 14%. В банке В  предлагают следующие условия: первые два месяца- 11%, в третий месяц – 12% и последние три месяца- 13%.  В каком банке более выгодные условия кредита? Чему равна разница в сумме процентов по кредиту?

Задача 4. Сравните величину процентов, начисленных при выдаче кредита размеров 500 тыс. руб., выданного на срок с 5 июня по 18 сентября текущего года по ставке 18% годовых. Используйте при расчетах три схемы начисления процентов.

Задача 5.  При открытии депозита при ставке 8% годовых 20 апреля на счет была положена сумма 100 тыс. руб. Затем 5 ноября того же года на счет было добавлено 200 тыс. руб. 10 сентября со счета сняли 75 тыс. руб., а 20 ноября счет был закрыт. Какую сумму получил вкладчик при закрытии счета?

Задача 6.        Через 120 дней с момента подписания кредитного договора заемщик должен вернуть банку 750 тыс. руб. Процентная  ставка по кредиту равна 18% годовых. Чему равна первоначальная сумма долга?

Содержание практических работ:

Контрольные вопросы

1. Что показывает множитель наращения в формуле наращения простыми процентами?
2. Как связаны между собой наращение  простыми процентами и арифметическая прогрессия?
3. В чем заключается различие между точным и приближенным процентом?
4. Что показывает множитель дисконтирования в формуле наращения простыми процентами?
5. Если простую процентную ставку увеличить в два раза, как наращенная сумма?

Практическое занятие № 1. 

Задача 1. На какой срок клиент банка может взять кредит в размере 200 тыс.руб. под простые проценты с условием, чтобы величина возврата долга не превышала 220 тыс. руб., если процентная ставка равна 14% годовых, в расчет принимаются точные проценты с точным числом дней и год високосный?

Задача 2. Найдите величину дохода кредитора, если за предоставление в долг на полгода некоторой суммы денег он получил 555 тыс. руб. При этом применялась простая процентная ставка в 22%.

Задача 3. Банк выдал ссуду на 45 дней в размере 100 тыс. руб. под простую процентную ставку 12% годовых. Рассчитайте доход банка, если при начислении простых процентов считается, что в году: а) 360 дней; б) 365 дней.

Задача 4. На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под простую процентную ставку 10% годовых, чтобы начисленные проценты были в 1,5  раза больше первоначальной суммы?

Задача 5. Вам 27 декабря будет нужна сумма 150 тыс. руб. Какую сумму 10 июня этого же года Вы должны положить в банк под простую процентную ставку 12 % годовых, если в расчете применяется обыкновенный процент с точным числом дней?

Задача 6. В финансовом договоре клиента с банком предусмотрено погашение долга в размере 240 тыс. руб. через 150 дней при взятом кредите в 200 тыс. руб. Определите доходность такой сделки для банка в виде годовой процентной ставки. При начислении банк использует простые обыкновенные проценты.

Практическое занятие № 2. 

Задача 1. Определите множитель наращения за 2,5 года, если по контракту предусмотрен следующий порядок начисления простых процентов: первый год 16% годовых, а в каждом следующем полугодии ставка повышается на 1%.

Задача 2. Первоначальная сумма равна 12 тыс. руб. Определите наращенную сумму через год, если первые полгода годовая ставка простых процентов равна 18%, а вторые – 15%.

Задача 3. Начисляется простая процентная ставка. В первом квартале – 15%, во втором квартале – 15,5%, в третьем – 16%, а в четвертом – 17,5%. Чему равна средняя годовая ставка? Какая учетная ставка даст такой же финансовый результат?

Задача 4. Начисляется простая процентная ставка. Первое полугодие – 17%;

третий квартал – 14%; четвертый – 16%; следующий год – 18%. Чему равна средняя процентная ставка за весь срок?

Практическое занятие № 3

Тема: Расчет наращенной суммы при дискретно меняющейся во времени сложной ставке процентов. Определение наращенной суммы за срок с дробным числом лет. Непрерывное начисление процентов.

Цель: научиться проводить расчеты по схеме сложных ссудных процентов, используя формулы финансовых вычислений; провести сравнение финансовых операций при использовании простых и сложных ставок.

Теоретические сведения: 

Схема  сложных процентов предполагает их капитализацию, т.е. база, с которой происходит начисление, постоянно возрастает на величину начисленных ранее процентов. Более частое начисление сложных процентов обеспечивает более быстрый рост наращиваемой суммы.

Для кредитора более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода). Для кредитора более выгодна схема сложных процентов, если срок суды превышает один год (проценты начисляются ежегодно). Обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

При начислении процентов за дробное число лет может использоваться схема сложных процентов, либо смешанная схема, предусматривающая начисление сложных процентов за целое число лет и простых процентов за дробную часть года.

Математическим дисконтированием (дисконтированием по сложной процентной ставке) называется задача нахождения такой величины первоначального капитала, которая через заданное количество времени при наращении по сложной процентной ставке обеспечит получение планируемой суммы.

        Начисления сложных процентов могут быть дискретными и непрерывными. Уменьшая период начисления и  увеличивая частоту начисления процентов переходят  к так называемому непрерывному проценту, при котором наращенная сумма (при схеме сложных процентов) увеличивается максимально. Формулы для вычисления наращенной суммы при начислении ссудных и учетных процентов совпадают, т.к. при уменьшении периода начисления разница между начислением процентов в начале и в конце периода исчезает. Непрерывную ставку начисления процента обозначают δ и называют силой роста.

        Когда проценты периодически добавляются к основной сумме, а новая сумма используется как основная для следующего временного периода (капитализация процентов), говорят о начислении сложных процентов.

ФОРМУЛА  НАРАЩЕНИЯ  ПО  СЛОЖНЫМ  ПРОЦЕНТАМ.

Если Р – основная сумма в начале первого периода начисления процента,

i – процентная ставка.

Тогда итог первого периода  − (Р + Рi) = Р(1 + i) ,

 т.е. итог периода в (1 + i) раз больше основной суммы этого периода.

 Итог в конце второго периода – Р(1 + i)(1 + i) = P(1 + i.)

 Тогда в конце n периодов:                S = P(1 + i)ⁿ                  (1)

(1 + i)ⁿ  −  множитель наращения.

 Равенство (1) называется основной формулой сложного процента. В качестве периода начисления процентов обычно берется целый делитель года, такой как месяц, квартал, полугодие или год.

НОМИНАЛЬНАЯ  И  ЭФФЕКТИВНАЯ  СТАВКИ  ПРОЦЕНТОВ.

Пусть  j – годовая ставка сложных процентов

m – число периодов начисления в году

N – календарный срок пользования кредитом (в годах)

n – срок пользования кредитом в периодах начисления (n = mN)

Т – период начисления процентов

а – целая часть n

b - дробная часть (n = a + b)

Ставка сложных процентов j, начисляемая m раз в году, называется номинальной, а проценты каждый период начисляются по ставке  j/m.

 Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле:

                        S = P (1 + j/m)          (2)

Если срок  ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то наращенную сумму можно рассчитывать математическим (по формуле сложных процентов) или банковским методом  (за целое число периодов начисляются сложные проценты, а за дробное – простые).

Банковский метод более употребительный и в общем виде формула выглядит следующим образом:

                        S = P· (1 + j/m)ª · (1 + b · j/m)        (3)

Годовая эффективная процентная ставка i, соответствующая заданной номинальной ставке j, начисляемой m раз в год, - это полная сумма процентов, начисленных за год на каждый рубль капитала, имевшегося в начале года.

 Другими словами эффективная ставка -  это процентная ставка, которая начисляется  один раз в год и  дает тот же финансовый результат, что и ставка сложных процентов, начисляемая несколько раз в год.

Равный финансовый результат значит, что за год на каждый рубль капитала, имевшегося в начале года, начислены равные проценты.

 Следовательно можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:

                                (1 + j/m) = (1 + i )

Отсюда получаем:                        i = (1 + j/m) - 1                (4)

Обратная зависимость имеет вид:                 i = m· ((1 +  i) - 1)        (5)

УЧЕТ  ПО  СЛОЖНОЙ  СТАВКЕ  ПРОЦЕНТОВ.

Рассмотрим два вида учета: математический и банковский (также как и в случае простых процентов).

а) Математический учет:

P = S / (1 + i)ⁿ

Если проценты начисляются m раз в году:

P = S / (1 + j/m) 

б) Банковский учет: в этом случае предполагается использование сложной учетной ставки.

P = S (1 – d) ⁿ                (6)

Пусть  f – номинальная учетная ставка, начисляемая m раз в году, тогда:

P = S(1 – f/m)                  (7)

Эффективная учетная ставка – это сложная годовая учетная ставка, эквивалентная (по финансовым результатам) номинальной учетной ставке, применяемой m  раз в году.

Запишем равенство для соответствующих дисконтных множителей:

                (1 – f/m)  = (1 – d)  

 Тогда:        

                d = 1 – (1 – f/m)                 (11)

                f  = (1 − (1 – d) )·m        (8)

НЕПРЕРЫВНЫЕ  ПРОЦЕНТЫ.

Чем больше число периодов начисления процентов в году, тем меньше интервалы между моментами начисления процентов. В пределе при m→∞ имеем:

S = P (1 + j/m) = P ((1 + j/m))) = Pe         (m → ∞)

((1 + 1/m) = e   – второй замечательный предел)

Ставку непрерывных процентов называют силой роста и обозначают δ.

 Тогда                        S = Pe                (9)

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок:

                        P = Se                (10)

Формулу перехода от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот можно получить приравняв соответствующие множители наращения:

(1 + i)= e         →        δ = ln(i + 1)                

i = e- 1                 

РАСЧЕТ  СРОКА  ССУДЫ  И  ПРОЦЕНТНЫХ  СТАВОК.

Нередко начальная и конечная суммы заданы контрактом и требуется определить либо процентную ставку, либо срок платежа.

Эти величины можно найти из исходных формул наращения или дисконтирования.

а) Простые проценты:        S = P (1 + ni)        →        n = (S/P – 1)/i

                                                i = (S/P – 1)/n

P = S (1 – dn)        →        n = (P/S – 1)/d

                                                d = (P/S – 1)/n

б) Сложные проценты:        S = P (1 + i) ⁿ          →        n =

                                                                i = (S/P)- 1

P = S (1 – d) ⁿ                →        n =                                 

                                                        d = 1 - (P/S)

в) Номинальная ставка процентов:        S = P (1 + j/m)        →         N =

                                                                        j = m ((S/P) - 1)

P = S (1 – f/m)        →        N =  

                                                                        f = m (1 - (P/S))

г) Непрерывные проценты:                         S = Pe                →        N = ln(S/P)/δ

                                                                        δ = ln(S/P)/N

ФОРМУЛА  УДВОЕНИЯ  СУММЫ.

Для того, чтобы ответить на вопрос через сколько лет сумма ссуды возрастет в K раз при данной процентной ставке, достаточно приравнять множитель наращения величине K (особенно часто используется К = 2).

а) Простые проценты:                 (1 + ni) = К        →        n = (K – 1)/i                (11)

                                при  К = 2                n = 1/i

б) Сложные проценты:                (1 + i)ⁿ = К         →        n = lnK/ln(1 + i)        (12)

                                при  К = 2                n = ln2/ln(1 + i)

Для прикидочных расчетов при ставках сложных процентов менее 10% обычно используют приближенную формулу:

                                ln2 ≈ 0.7;   ln (1 + i) ≈ i        →        n ≈ 0.7/i.        

в) Номинальная ставка процентов:

(1 + j/m)= К  →        N = lnK/(m·ln(1 + j/m))        (17)

                                при  К = 2                N = ln2/( m·ln(1 + j/m))

Для прикидочных расчетов при ставках за период менее 10% обычно используют приближенную формулу:

                                ln2 ≈ 0.7;   ln(1 + j/m) ≈ j/m        →        N ≈ 0.7/j.        

Данные формулы полезны при оценке перспектив кредитора (должника).

УРАВНЕНИЯ  ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ.

        Любые две процентные ставки − номинальные или эффективные, дающие одинаковый финансовый результат в конце года, называются годовыми эквивалентными или просто эквивалентными.

        Равный финансовый результат значит, что за год на каждый рубль капитала, имевшегося в начале года, начислены равные проценты.

         Так как результат применения эквивалентных процентных ставок одинаков, заданную процентную ставку всегда можно заменить на эквивалентную ей.

         Формулы, устанавливающие правила перехода от одной ставки к другой, можно получить, приравняв соответствующие множители наращения (дисконтирования).

        Использование значений денежных сумм без указания даты бессмысленно. Очевидно, что 1000 рублей сегодня лучше, чем 1500 рублей через 100 лет.

        Сумма платежа с датой погашения называется датированной суммой.

        При сравнении датированных сумм нужно обязательно знать используемую процентную ставку.

        Две датированные суммы эквивалентны (при данной процентной ставке), если при приведении к одной дате они равны.

        Приведение  − это определение любой стоимостной величины на некоторый момент времени (наращение и дисконтирование могут рассматриваться как частные случаи приведения).

Преобразование делается в соответствии со следующей временной диаграммой (i − процентная ставка, начисляемая за период):

Прошлая                        Настоящая                        Будущая

 дата (-m)                           дата (0)                          дата(n)

_________I________________________I_______________________I__________________

P = D(1 + i)                                 D                          S = D(1 + i) ⁿ

Прошлая и будущая суммы эквивалентны датированной сумме D.

Следовательно сумма  P (сегодня)  эквивалентна сумме  Р(через  ± n периодов  начисления), если

        P = Р(1 + i) ⁿ            или              P = Р(1 + i) 

Типовые задачи с решениями

Задача 1   Банк начисляет 6% годовых по ставке сложных процентов.

Первый взнос 6000 рублей был сделан 2.04.94 г.

Второй взнос 8000 рублей – 8.02.95 г.

Какая сумма будет на счете 8.08.98 г.?

Задача 2    Для выплаты займа делают платежи по 5000 рублей в конце каждых 6 месяцев. При получении займа установлена процентная ставка 5,5% годовых, начисляемых по полугодиям.

 Какой является неуплаченная часть займа в настоящий момент, если

а) осталось сделать 30 платежей, чтобы полностью возместить заем;

б) кроме 30 платежей по 5000 рублей, необходим еще один взнос – 2000 рублей через шесть месяцев?

Задача 3    Компания получила заем, который будет выплачивать по 50000 рублей в месяц. Первая выплата должна быть сделана через 2 года, а последняя – через 5 лет от даты заключения сделки.Какую сумму получила компания в день заключения сделки (процентная ставка - 6% годовых, проценты начисляются ежемесячно)?

платежи                                                     50    50    50         50    50

          I−−−I−−−I−−−I……….I−−−I−−−I−−−I………I−−−I

месяцы         0     1      2      3            23    24    25    26          59    60

Задача 4    Студент занимает 200000 рублей, чтобы заплатить за обучение.

Он обещает возместить долг с процентами десятью полугодовыми взносами

(4,5% годовых, начисляются дважды в год). Первая выплата будет сделана через 3 года после получения займа. Какими должны быть эти взносы?

платежи                                                       R/p   R/p   R/p      R/p   R/p

(200000)          I−−−I−−−I−−−I……….I−−−I−−−I−−−I………I−−−I

полугодия       0      1      2      3             5      6      7      8           14    15

Задача 5   Необходимо занять 1000000 рублей на 10 лет. Один банк ссужает деньги за 6% эффективных и позволяет выплачивать долг равными платежами в конце каждого года. Другой банк ссужает деньги за 5% эффективных, предусматривая ежегодную выплату только процентов и возмещение основной суммы по окончанию десятилетнего срока. В этом случае можно установить погасительный фонд, который накапливает 3% эффективных.

Какой будет экономия в каждом году при выборе наиболее подходящей возможности займа?

Задача 6    Кредит 100000 рублей взят на 4 года под 20% годовых, начисляемых на непогашенный остаток по схеме сложных процентов. Возвращать надо равными суммами в конце каждого года. Составить план погашения кредита.

ПЛАН  ПОГАШЕНИЯ КРЕДИТА.

При подсчете процентных денег за последний (4) период получаем:

32190,77 · 0,20 = 6438,15

«Лишняя» копейка – погрешность при вычислении погасительного платежа. Для компенсации погрешности вычислений (менее 0,5 копейки за период) корректируем сумму процентных денег за последний период.

Задача 7           Кредит 100000 рублей взят на 4 года под 20% годовых, начисляемых на непогашенный остаток ежемесячно. Возвращать надо равными суммами в конце каждого года. Составить план погашения кредита.

ПЛАН  ПОГАШЕНИЯ КРЕДИТА.

А = R;        R = 40056.90

Процентные деньги за первый период:          100000·(1+0,20/12)-100000 = 21939,11 и т.д.

Процентные деньги за последний период: 32849,93·(1+0,20/12)-32849,93 = 7206,98 («Лишняя» копейка – погрешность при вычислении погасительного платежа.)

Содержание практической работы:

Вариант 1.

1.   Кредит в размере 100 000 руб. выдан на 2 года, проценты начисляются  по годовой номинальной ставке 18%. Определите конечную сумму долга, если:

        а) проценты начисляются 1 раз в год;

        б) проценты начисляются в конце каждого полугодия;

        в) проценты начисляются поквартально;

        г) проценты начисляются ежемесячно.

Результаты сравните и сделайте выводы.

2.     Первоначальная сумма ссуды 100 000 руб., выдана на 1,5 года, годовая учетная ставка равна 20%. Какую учетную ставку, простую или сложную, выгоднее применить заемщику?

3.   Проценты начисляются по номинальной ставке 4% четыре раза в год. Подписано долговое обязательство заплатить 12 млн. рублей через 4 года и 15 млн. рублей через 8 лет. Какая одноразовая выплата через 5 лет ликвидирует всю задолженность?

Вариант 2.

1.        Ставка сложных процентов на предстоящие 2 года 20%, а на третий год 15%. Какие условия выгоднее (риск не возврата не учитываем)::

        получить от должника          а) сейчас 100 000 руб.;

                                        б) 121 000 руб. через год;

                                        в) 160 000 руб. через 3 года.

2.      Номинальная учетная ставка равна 18%, дисконтирование ежеквартальное. Определите эффективную годовую сложную учетную ставку.

3.  Годовая ставка сложных процентов 12% начисляется 2 раза в год. Определите эквивалентную сложную учетную ставку, начисляемую 4 раза в год.

Вариант 3.

1.        За сколько лет удвоится сумма долга, если начисляется сложная ежеквартальная ставка 15%.

2.   Сила роста равна 18%. Чему равна эквивалентная ставка сложных процентов, начисляемых поквартально?

3.    Годовая ставка сложных процентов – 16%. Определите эквивалентную сложную учетную ставку.

Вариант 4.

1.        Номинальная ставка сложных процентов (начисляется ежеквартально) равна 17%. Определите эффективную процентную ставку.

2.    Рассматриваются суммы 10 млн. руб. по окончании четырех лет и 15 млн. руб. по окончании десяти лет. Сравнить эти суммы, если начисляются 5% сложных годовых процентов. Убедиться, что разности между этими суммами для обоих сроков одинаковы.

3.   Долг 10 млн. руб. нужно вернуть через три года. В контракте предусматривается номинальная ставка 6%, начисляемая четыре раза в год. Если сегодня в счет долга было выплачено 2 млн. руб., какая одноразовая выплата через два года ликвидирует обязательство?

Вариант 5.

1.        Эффективная ставка равна 16% годовых. Чему равна ежемесячная ставка, обеспечивающая такую годовую доходность?

2.    Десять лет назад на счете в сберегательном банке было 10 млн. руб. Банк начисляет проценты по номинальной ставке 3% два раза в год. Со счета сняли 2 млн. руб. пять лет назад и 3 млн. руб. два года назад. Какая сумма лежит на счете сегодня?

3.     Облигация стоит 18,75 млн. руб., и по ней выплачивается 25 млн. руб. через десять лет. Какая процентная ставка, начисляемая два раза в год, обеспечит этот рост?

Вариант 6.

1.        Определите силу роста, если эквивалентная годовая ставка сложных процентов составляет 20%?

2.       Проценты начисляются по номинальной ставке 3% годовых четыре раза в год. Найти эквивалентную сумму по окончании пяти лет для серии платежей: 10 млн. руб. через шесть лет и 20 млн. руб. через десять лет.

3.     Фермер покупает товары стоимостью 10 млн. руб. Он заплатил 2 млн. руб. сразу и  заплатит на 5 млн. руб. больше через три месяца. Если на сумму неоплаченного баланса начисляется номинальная ставка 6% ежемесячно, какой должна быть заключительная выплата по окончании шести месяцев?

Практические занятия № 4,5

Тема: Общее число периодов постоянных выплат на основе постоянной процентной ставки. Расчет значения процентной ставки за один расчетный период.

Тема: Расчет годовой ставки наращения по формуле простых процентов. Вычисление наращенной суммы с использованием учетной ставки.

Цель: научиться проводить расчеты по замене ставок и условий финансовых контрактов, используя формулы финансовых вычислений; сравнивать эффективность различных финансовых операций, научиться проводить расчеты по замене ставок и условий финансовых контрактов, используя формулы финансовых вычислений и электронные таблицы EXCEL.

Теоретические сведения: 

Один и тот же финансовый результат можно получить различными способами, используя различные ставки.

Две ставки называются эквивалентными, если при замене одной ставки на другую финансовые отношения сторон не меняются.

Эффективная процентная ставка позволяет сравнивать финансовые операции с различной частотой начисления и неодинаковыми процентными ставками. Именно эта ставка характеризует реальную эффективность операции, однако во многих финансовых контрактах речь чаще всего идет о номинальной ставке, которая в большинстве случаев отличается от эффективной.

         Меняя частоту начисления процентов или вид ставки, можно существенно влиять на эффективность операции. В частности, оговоренная в контракте ставка может при определенных условиях вовсе не отражать истинный относительный доход (относительные расходы). Например, 6% годовых при условии ежедневного начисления процентов соответствуют на самом деле 8,21%, начисляемых ежегодно. Отмеченная особенность исключительно значима в условиях высоких номинальных ставок. При составлении финансовых договоров данный прием нередко используется для  сокрытия истинных расходов. Поэтому, заключая контракт, целесообразно уточнять, о какой ставке (процентной, учетной, эффективной и др.) идет речь или, по крайней мере, отдавать себе отчет в этом.         

Основные формулы  

re=(1 + r/m)m – 1                                        (1)

re=eδ - 1                                                (2)

                                (3)

                                (4)

                                (5)

                                (6)

                                                (7)

                                                (8)

                                                (9)

                                                (10)

                                (11)

                                (12)

где

эффективная ставка,

сила роста,

 r - простая процентная ставка,

d - простая учетная ставка,

rс  - сложная ссудная ставка,

dс – сложная учетная ставка,

r(m ) -сложная процентная ставка с начислением процентов m раз за период,

d(m) -сложная учетная ставка с начислением процентов m раз за период,

n - продолжительность финансовой операции в годах

Типовые задачи с решениями

Задача 1. Какие условия предоставления кредита и почему более выгодны банку: 1) 28% годовых с ежеквартальным начислением процентов; 2) 30% годовых с полугодовым начислением процентов?

Решение

Рассчитаем эффективную годовую процентную ставку для каждого варианта.

1) По формуле (1) при r=0,28; m=4

 re = (1 + 0.28/4)4 – 1 =0,3107= 31,1%

2) По формуле (1) при r=0,32; 2=4

re = (1 + 0.3/2)2 – 1 =0,3225= 32,25%

Для банка выгоднее предоставлять кредит по варианту 2), так как в этом случае эффективная годовая ставка выше (предоставлять кредит под 32,25% годовых  выгоднее, чем под 31,1%).

Задача 2. Cрок уплаты по долговому обязательству – полгода, простая учетная ставка – 18% годовых . Какова доходность этой операции, измеренная в виде простой ставки ссудного процента?

Решение

По формуле (7) при d=0,18; n=0,5

 r = 0,18 / (1-0,5⋅0,18) =0, 198.

Доходность операции, выраженная в виде простой ставки ссудного процента, равна 19,8% годовых.

Задача  3.  Определить, под какую ставку ссудных процентов выгоднее поместить капитал в 10 млн. руб. на пять лет – под простую ставку 14% годовых или под сложную ставку 12% при ежеквартальном начислении процентов?

Решение. 

В данном случае можно не считать наращенную сумму, поэтому не важна величина первоначального капитала. Достаточно, например, найти простую процентную ставку, эквивалентную данной сложной ставке, воспользовавшись формулой эквивалентности по формуле (11) при r(m)=0,12; n=5; m=4:

=0,1612

Так как простая процентная ставка 16,12% , которая дала бы одинаковый результат с данной сложной процентной ставкой больше предложенной ставки в 14%, ясно, что предпочтительнее использовать сложную процентную ставку. Чтобы убедиться, насколько сложная ставка выгоднее, определим наращенные суммы:

F (14%) = 17

F (16,12%) = 22,04

Владелец капитала в 10 млн. руб. за 5 лет может накопить 17 млн. руб. с использованием простой ставки 14% годовых; с использованием сложной ставки 12% годовых при ежеквартальном начислении процентов можно накопить 22,04 млн. руб.

Задача 4.  На капитал в сумме 500 тыс. руб. ежегодно начисляются сложный проценты по ставке 8% годовых в течение 5 лет.  Определить эквивалентную ставку непрерывного начисления процентов (силу роста).

Решение.

По формуле (2) при r=0,08;  m=1

0,077

Таким образом, ежегодное начисление процентов по ставке 8% эквивалентно непрерывному начислению процентов по ставке 7,7 %.

Задача 5. Определить номинальную ставку, если эффективная ставка равна 9 % и сложные проценты начисляются ежемесячно.

Решение.

По формуле (4)  при  r(e) =0,09; m=12

r = 12 ⋅ [(1 + 0,09)1/12  - 1 ] =  0,086

Таким образом, ежегодное начисление сложных процентов по ставке 9% годовых дает тот же результат, что и  ежемесячное начисление сложных процентов по ставке 8,6 %.

На практике часто возникают ситуации, когда участники сделки вынуждены изменять условия ранее заключенного финансового соглашения.  В результате изменений условий контракта ни один из его участников не должен терпеть убытков, поэтому в таких ситуациях также составляется уравнение эквивалентности.

 Согласно уравнению эквивалентности  сумма нового и старого платежей приводится  к одному моменту времени.  Для краткосрочных контрактов процесс приведения осуществляется, как правило, на основе простых ставок. При использовании сложных ставок время приведения контрактов не имеет значения.

При консолидации платежей возникают две задачи: 1) определение величины консолидированного платежа при известном сроке, когда этот платеж должен быть сделан; 2) определение срока известного консолидированного платежа.

Обе задачи решаются с использованием уравнения эквивалентности контрактов. Два контракта считаются эквивалентными, если потоки платежей по этим контрактам, приведенные к одному моменту времени, одинаковы.

При замене или объединении платежей используется принцип эквивалентности: ни одна из сторон финансовой сделки не должна казаться в убытке или получить дополнительную прибыль.

Основные формулы

Рассмотрим ситуацию, когда платеж Р1  со сроком уплаты   n 1    заменяется на платеж Р0   со сроком уплаты     n 0

Простые ссудные ставки

Формула для нахождения величины нового платежа при использовании простой ссудной ставки:

Формула для нахождения срока нового платежа, если  

Формула для нахождения срока нового платежа, если  

Формула для определения величины консолидированного платежа при использовании простой ссудной ставки

Формула для определения срока консолидированного   платежа при использовании простых ссудных ставок

Сложные  ссудные  ставки

Формула для нахождения величины нового платежа при использовании сложной ссудной ставки:

Формула для нахождения срока нового платежа

Формула для определения величины консолидированного платежа

Формула для определения срока консолидированного платежа

Типовые задачи с решениями

Задача 1. Согласно новому финансовому соглашению платеж в 100000 руб. со сроком уплаты через 1 год заменяется платежом со сроками уплаты   1) через полгода;

2)  через два года. Определить величину нового платежа, если используется простая ставка 20 % годовых.

Решение

1) Так как срок нового платежа меньше года, то его величина — это дисконтированная стоимость 100000 руб., срок дисконтирования — 0,5 года, поэтому величина нового платежа равна:

100 000 / (1 + 0,5 ·0,2) =  90 909 руб.

2) Так как срок нового платежа больше года, то его величина — это будущая стоимость 100000 руб., наращение происходит  один год по ставке 20 % годовых, поэтому величина нового платежа равна:

100 000 · (1+1·0,2)= 120 000 руб.

Задача 2. Найти величину нового срока, если платеж в 100 000 руб. с уплатой через 250 дней  заменяется платежом в 95 000 руб. Используется простая ставка 10 % годовых.

Решение

Так как сумма нового платежа меньше 100 000 руб., поэтому новый срок должен быть также меньше 250 дней.

Графически это можно показать следующим образом:

Будем приводить потоки платежей по новому  и старому контракту к моменту времени 250 дней.

Тогда на сумму в 95 000 руб. должны начисляться простые проценты по ставке 10 % в течение (250 – х) дней и наращенная сумма должна равняться 100 000 руб. Составляем уравнение эквивалентности

95000 ⋅ (1 +0,1 ⋅ (250 – х) / 360)) = 100000,

х = 60,5 дней.

Проверим этот результат. Получив через 60,5 дней 95000 руб. и вложив их в банк на срок (250 – 60,5) дней, получим

95000 ⋅ (1+0,1⋅ (250 – 60,5) /360) = 100000 руб.

Заметим, что платеж в 100000 руб. нельзя заменить любым меньшим по величине платежом. Величина нового платежа не может быть меньше, чем сумма 100000 руб., приведенная к начальному моменту времени, т. е. меньше, чем 100000 / (1+ 0,1 ⋅ 250/360) = 93500 руб.

Задача 3. Два векселя номинальной стоимостью 20000 руб. и 30000 руб. и сроком погашения 1 июня и 1 сентября заменяются одним с продлением срока погашения до 1 октября. При объединении используется простая учетная ставка 10 % годовых. Определить номинальную стоимость нового векселя.

Решение

Поскольку срок погашения нового векселя позже, чем сроки погашения объединяемых векселей, то на сумму 20000 руб. в течение 122 дней (с 1 июня по 1 октября) происходит наращение капитала по простой учетной ставке 10 %; на сумму 30000 руб. в течение 30 дней (с 1 сентября по 1 октября) также происходит наращение капитала по простой учетной ставке 10 % годовых. Поэтому номинальная стоимость нового векселя равна:

Задача 4. Платежи в 6000, 4000 и 10000 руб. должны быть погашены соответственно через 90, 165 и 270 дней. Кредитор и должник согласились заменить три платежа одним через 120 дней. Найти величину консолидированного платежа, если используется простая процентная ставка 38% годовых и в расчет принимаются обыкновенные проценты.

Решение

Приведем все платежи к моменту погашения консолидированного платежа, т.е. к 120 дням. Тогда на платеж в 6000 руб., срок погашения которого меньше 120 дней, будут начисляться простые проценты за период в 120-90=30 дней,  платеж в 4000 руб. необходимо дисконтировать на срок в 165-120=45 руб., платеж в 10000 руб. необходимо дисконтировать на срок 270-120=150 дней.

Складывая суммы приведенных платежей, получим уравнение для определения величины консолидированного платежа:

поэтому Х=18642 руб.

Если бы за дату приведения выбрали время выплаты платежа в 6000 руб., то получили бы следующее уравнение:

,

откуда Х=18683 руб.

Приводя все платежи к начальному моменту времени, получим уравнение:

,

откуда Х=18780 руб.

Поэтому при выборе финансового соглашения  в случае использования простых процентов необходимо оговорить дату, на которую будет осуществляться приведение всех сумм.

Задача 5. Согласно контракту предприниматель должен выплатить кредитору 100 000 руб.  через год, 200 000 руб.  через два года и 400 000 руб. через 3 года. Предприниматель планирует выплатить через 2 года 300 000 руб., оставшуюся сумму долга вернуть через 4 года. Какую сумму предприниматель должен будет выплатить через 4 года, если в расчетах используется сложная ставка 20% годовых?

Решение.

Изобразим схему выплат на графике. Под осью отметим платежи по старому соглашению, над осью – по новому контракту.

Величину неизвестного платежа находим из условия эквивалентности контрактов. Приведенные стоимости платежей по старому контракту необходимо приравнять к приведенным стоимостям потоков платежей по новому контракту и из полученного уравнения определить неизвестную величину нового платежа.

Х= 508 800 руб.

В случае сложных ставок результат не зависит от момента времени, для которого составляется уравнение эквивалентности контрактов. Действительно, если все платежи приводить к моменту окончания года 4, уравнение примет вид:

Разделив это обе части уравнения на , получим первоначально составленное уравнение.

Задачи для подготовки к занятию

Задача 1.  В банк для учета предъявлены 2 векселя - один на сумму в 100 тыс. руб. и сроком погашения через год, второй – на сумму 150 тыс.  руб. и сроком погашения через 2 года. Два векселя необходимо заменить одним, на сумму 250 тыс. руб. Определить срок погашения нового векселя при использовании сложной учетной ставки 20% годовых.

Задача  2. Платежи  на сумму  300 000 руб.,  400 000 руб. и 400 000 руб. должны быть внесены через три месяца, полгода и 9 месяцев соответственно. Достигнуто соглашение о замене этих платежей на один, равный им по сумме. Определить срок нового платежа, если используется простая ссудная ставка 15 % годовых.

Задача 3. Согласно контракту, предприниматель должен выплатить кредитору 10 тыс. руб. через год, 40 тыс. руб.  через три года и 30 тыс. руб. через 5 лет. Предприниматель предлагает выплатить 30 тыс. руб. через 2 года и 40 тыс. руб. через 4 года. Являются ли эти контракты эквивалентными, если в расчетах используется простая процентная ставка 34% годовых?

Задача 4. Три платежа: 10 000 долл., срок погашения 15 мая; 20 000 долл.,  срок погашения 15 июня; 15 000 долл., срок погашения 15 августа заменяется одним платежом со сроком погашения 1 августа на основе простой процентной ставки. Определить сумму нового платежа.

Содержание практических работ:

Контрольные вопросы

1. Какая ставка называется эффективной? От каких параметров она зависит?
2. Как изменяется эффективная ставка с ростом количества начислений сложных процентов в году?
3. В каком случае эффективная ссудная ставка совпадает с номинальной?
4. Какие ставки называются эквивалентными?
5. Что означает консолидация платежей?
6. Верно ли утверждение: при сравнении платежей их приведение к одному моменту времени может осуществляться как путем наращения, так и путем дисконтирования?
7. При изменении сроков платежей в каком случае новый платеж будет больше старого платежа, а каком случае меньше?
8. Какие контракты являются эквивалентными?
9. Какие задачи  могут возникать при консолидации платежей?

Практическое занятие №4.

Задача 1. Вексель учитывается за 180 дней до срока погашения по простой учетной ставке 10 % годовых. Какова доходность этой операции для банка, выраженная по сложной учетной ставке?

Задача 2. Банк учитывает вексель за 300 дней до срока погашения по сложной учетной ставке 10% годовых при временной базе 360 дней. Какая простая годовая процентная ставка должна быть применена при выдаче кредита, если используется временная база 365 дней и банк хочет получить такой же доход?

Задача 3. Банк выдает ссуду под сложную процентную ставку 20% годовых. Какую простую годовую процентную ставку должен установить банк, чтобы его доход не изменился, если  начисление процентов происходит а) по полугодиям; б) каждые 2 месяца; в) каждую неделю.

Задача 4. Определить номинальную годовую учетную ставку с дисконтированием 4 раза в год, эквивалентную номинальной годовой учетной ставке 12% с дисконтированием 12 раз в год.

Задача 5.  Определить номинальную учетную ставку, если годовая эффективная учетная ставка равна 20% годовых и учет осуществляется  1) каждые полгода; 2) ежеквартально; 3) ежемесячно.

Задача 6. Ссуда выдана при условии начисления сложных процентов по ставке 8 % годовых. Определить эквивалентную простую ставку при сроке ссуды 5 лет, 180 дней, 365 дней.

Задача 7. Банком выдан кредит на 9 месяцев под 24% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. Определите величину простой учетной ставки, обеспечивающей такую же величину начисленных процентов.

Практическое занятие №5.

Задача 1. Контракт на выплату 10 000 долл. 1 ноября и выплату 5000 долл. 1 января следующего года необходимо заменить новым контрактом, в соответствии с которым 1 декабря выплачивается 6000 долл., оставшаяся сумма погашается 1 марта. Определить сумму второго платежа на основе простой ссудной ставки  10% годовых (следующий год не високосный).

Задача 2. Платеж в 600 тыс. руб. со сроком уплаты через 4 года необходимо заменить платежом со сроком уплаты 1) через 2 года; 2) через 5 лет. Используется сложная ссудная ставка 12% годовых. Найти величину нового платежа.

Задача 3. Два кредита на сумму 100 тыс. евро и 50 тыс. евро должны быть погашены 17 ноября текущего года и 10 января следующего года соответственно. Банк согласился с предложением заемщика пересмотреть условия договора: 1 декабря текущего года заемщик выплачивает  70 тыс. евро, оставшаяся часть долга будет внесена 1 марта следующего года. При пересмотре договора используется простая ставка 10% годовых. Определить вариант приведения срока платежа, наиболее выгодный для банка и для заемщика.

Задача 4. Предприниматель получил кредит в банке на сумму 500 тыс. руб. на полгода по простой ставке 18% годовых.  Спустя месяц после выдачи кредита предприниматель обратился в банк с просьбой вернуть долг не через полгода, а через 9 месяцев, в сумме 595 тыс. руб. Выгодно ли это предложение для банка? Какую сумму предприниматель должен  внести через 9 месяцев, чтобы условия контракта не изменились?

Задача 5. В настоящее время у предприятия имеется задолженность банку по трем кредитам в размере 130 тыс., 190 тыс., 165 тыс. руб. со сроками погашения соответственно через 45, 95 и 200 дней. Предприятие предлагает погасить задолженность одним платежом через срок (кредитный срок выбирается согласно варианту) от сегодняшней даты. Процентная ставка по кредиту составляет 15%. Временная база 365 дней. Определить сумму консолидированного платежа.

Задача 6. Имеется обязательство погасить с 20.02.06 по 20.11.06 долг в размере 1,5 млн. рублей. Кредитор согласен получать частичные платежи по погашению кредита и фактическую базу начисления процентов. Процентная ставка составляет 20% годовых. В счет погашения задолженности планируются следующие промежуточные поступления:

20.03.06 – 500 тыс. рублей

20.05.06 – 300 тыс. рублей

20.08.06 – 200 тыс. рублей

Найти сумму окончательного платежа по погашению долга.

Практическое занятие № 6

Тема: Определение инфляционной премии: при начислении простых процентов; при начислении сложных процентов.

Цель: научиться рассчитывать доходность финансовых операций в условиях инфляции,  используя формулы финансовых вычислений.

Теоретические сведения: 

Для оценки наращенной суммы с учетом ее обесценения полученную величину делят на индекс инфляции за время осуществления наращения. Если множитель наращения равен индексу инфляции, то соответствующее наращение лишь нейтрализует действие инфляции.

При инфляции выделяют следующие виды процентных ставок: номинальную, реальную, положительную. Иногда ставку с поправкой на инфляцию называют брутто-ставкой.

         Для обеспечения реального роста стоимости первоначального капитала при инфляции необходимо исходную ставку увеличивать (индексировать). Выбор величины такой индексированной ставки определяется поставленными целями. Для обеспечения реальной доходности согласно исходному коэффициенту наращения необходимо так индексировать исходную ставку (увеличить на инфляционную премию), чтобы новый коэффициент наращения полностью компенсировал потери из-за инфляции.

Формула Фишера определяет значение сложной годовой процентной ставки, обеспечивающей при известном годовом темпе инфляции реальную эффективность кредитной операции. Эта формула по существу показывает ту величину, называемую инфляционной премией, которую необходимо прибавить к исходной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь. При малом темпе инфляции и невысокой процентной ставке (эта ситуация типична для стран с развитой рыночной экономикой) пользуются и приближенным вариантом формулы Фишера.

        Инфляция – это процесс обесценивания национальной валюты, т.е. снижение её покупательной способности и общего повышения цен.

        Один из параметров, характеризующих инфляцию, −  уровень инфляции  за год. Он показывает на сколько процентов за год из-за инфляции вырастут цены.

Основные формулы

Индекс инфляции

                                        (1)

                                 (2)

где ,  — целое число лет, — оставшаяся нецелая часть года

Введем следующие обозначения для брутто-ставок:

   r α —простая ссудная ;

  d α—простая учетная

  r сα—сложная ссудная

   d сα—сложная учетная

Вычисление брутто-ставки процентов в условиях инфляции

                                (3)

                        (4)

                            (5)

                (6)

Формулы для вычисления реальной доходности финансовой операции, когда задан уровень инфляции и брутто ставка

                                                                (7)                                                                

                                                                (8)

Типовые задачи с решениями

Задача 1. На вклад начисляются сложные проценты: 1) ежегодно; 2) ежеквартально; 3) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если ежемесячный темп инфляции составляет 3%?

Решение

1) Обозначим через  ежемесячный  (т.е. за 1/12 года)  индекс инфляции, тогда    и при к=12  находим индекс инфляции за год:

Пусть г - процентная ставка при ежегодном начислении сложных процентов, тогда  значение ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, находится из равенства  (т.е. множитель наращения за год приравнивается к годовому индексу инфляции). Таким образом:

Реальное наращение капитала будет происходить только при процентной ставке, превышающей 42,58% годовых.

2) При ежеквартальном начислении сложных процентов для определения номинальной ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, пользуемся равенством :

       ,  поэтому:

Реальное наращение капитала будет происходить при ежеквартальном начислении процентов по ставке не меньше, чем 37,09% годовых.

3) В случае ежемесячного начисления процентов пользуемся равенством

  ,   откуда:

Реальное наращение капитала будет происходить при ежемесячном начислении сложных процентов по ставке, не меньше, чем 36%  годовых. В этом случае ответ можно было дать сразу, поскольку для осуществления реального наращения капитала его относительный рост за месяц должен превышать темп инфляции за это же время. Следовательно, , поэтому

Задача 2. Номинальная процентная ставка, компенсирующая действие инфляции, равна 52% годовых. Определите полугодовую инфляцию, если начисление сложных процентов осуществляется каждый квартал.

Решение

Приравняем годовой индекс инфляции к  множителю наращения за год. Полагая , получим:

Поэтому индекс инфляции за полгода (0,5 года) составит :

Темп инфляции α находим из условия .

Темп инфляции за полгода  равен  27,69%.

Задача 3. На вклад в течение трех лет будут начисляться непрерывные проценты. По прогнозам инфляция за  это время за каждый год последовательно составит 15, 20 и 10 процентов.  Какова должна быть сила роста за год, чтобы покупательная способность вклада  не уменьшилась?

Решение

Поскольку индекс инфляции за первый год равен 1,15, за второй - 1,2 и за третий - 1,1, то индекс инфляции за 3 года составит:

1,15⋅1,12⋅1,1=1,518

Пусть σ - сила роста за год, позволяющая первоначальной сумме только сохранить свою покупательную способность. Приравнивая индекс инфляции за три года к множителю наращения за это же время, получим: , поэтому

Сила роста должна превышать 13,91% за год.

Задача 4. На вклад в течение 15 месяцев начисляются проценты: 1) по схеме сложных процентов; 2) по смешанной схеме. Какова должна быть процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если каждый квартал цены увеличиваются на 8%?

Решение

 1) Так как темп инфляции за каждый квартал равен 8%, то индекс инфляции за каждый квартал (0,25 года) равен 1,08. Поэтому индекс инфляции за 15 месяцев (1,25 года, или 5 кварталов) составит:

Обозначим через r искомую годовую процентную ставку и приравняем этот индекс инфляции к множителю наращения при использовании схемы сложных процентов:

(1+r)1,25 =1,4693.

Отсюда:

Ставка должна превышать 36,05% годовых.

При рассмотрении этого случая можно было рассуждать и таким образом. При инфляции 8% за каждый квартал годовой темп инфляции составит 1,084-1=0,3605=36,05%. Реальное же наращение капитала будет происходить, если годовая процентная ставка превышает годовой темп инфляции, т.е. г > 36,05%.

2) Пусть теперь применяется смешанная схема. Приравнивая индекс инфляции за 1,25 года к множителю наращения, получим квадратное уравнение относительно r:

(1+r).(1+0,25r)= 1,4693

Решая уравнение, определяем корни: r = -5,3508, r =0,3508.

Очевидно, что по смыслу первый корень не подходит. Следовательно, при использовании смешанной схемы ставка должна превышать 35,08% годовых. «Граничное» значение ставки в этом случае получили почти на 1% меньше, чем в предыдущем, что объясняется большей эффективностью смешанной схемы начисления по сравнению со схемой сложных процентов.

Обратим внимание, что для ответа на вопрос в данном случае необходимо фактически решить неравенство:

(1+r)(1+0,25r)>1,4693

Задача 5. На вклад 280 тыс. руб. ежеквартально начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 10%. Оцените сумму вклада через 21 месяц с точки зрения покупательной способности, если ожидаемый  темп инфляции – 0,5 % в месяц.

Решение

При наращении сложными процентами при ежеквартальном начислении процентов сумма вклада составит:

Индекс инфляции за 1,75 года при темпе инфляции 2% в месяц составит

Величина вклада с точки зрения ее покупательной способности равна

Вычитая из этой величины первоначальную сумму вклада, найдем реальный доход владельца вклада:

Задача 6. Кредит на сумму 120 тыс.руб. выдается сроком на 3 года при условии начисления сложных ссудных процентов. Индекс цен за указанный период равен 2,5. Какова должна быть процентная ставка по кредиту, чтобы реальная доходность кредитной операции составляла 10% годовых? Рассчитайте сумму к погашению с учетом инфляции.

Решение

По формуле (7.5) при m=1; r=0,1;I=2,5;n=3

=0,4923

Поэтому ставка 49,23% при ежегодном начислении сложных процентов и индексе цен 2,5 обеспечит реальную доходность кредитора 10% годовых.

Сумму к погашению с учетом инфляции находим по формуле (3.1) (Занятие  3) при n=3; r=0,4923;P=121

F=120(1+0,4923)3 =399,3

Сумма к погашению с учетом инфляции равна 399 300 руб.

Задачи для подготовки к занятию

Задача 1. На вклад в течение 18 месяцев начисляются проценты а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме. Какова должна быть годовая процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если каждый квартал цены увеличиваются на 2 %?

Задача 2. На некоторую сумму, помещенную на депозит в банк,   в течение 8 лет будут начисляться непрерывные проценты. По прогнозам инфляция в это время каждый год будет составлять 1%. Какова должна быть сила роста за год, чтобы сумма вклада через восемь лет по своей покупательной способности не уменьшилась?

Задача 3. На вклад в 500 тыс. руб. каждый квартал начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 4%. Оцените сумму вклада через 3 года с точки зрения покупательной способности, если ожидаемый темп инфляции –1 % за квартал.

Содержание практической работы:

Контрольные вопросы

1. Как определяется и что характеризует темп инфляции?
2. Почему в условиях инфляции необходимо различать номинальную и реальную процентную ставки?
3. Может ли реальная процентная ставка быть отрицательной?
4. Что определяет формула Фишера?

Задача 1. На вклад начисляются сложные проценты а) каждые полгода; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Вычислить годовую номинальную процентную ставку, при которой происходит реальное наращение капитала, если ежеквартальный темп инфляции составляет 2%.

Задача 2. Номинальная процентная ставка, компенсирующая при наращении инфляцию, составляет 48% годовых. Определите инфляцию за квартал, если начисление сложных процентов осуществляется каждый месяц.

Задача 3. На некоторую сумму, помещенную на депозит в банк,   в течение 4 лет будут начисляться непрерывные проценты. По прогнозам инфляция в это время каждый год будет составлять 6%,7%,8% и 9%. Какова должна быть сила роста за год, чтобы сумма вклада через четыре года по своей покупательной способности не уменьшилась?

Задача 4. На вклад в 900 тыс. руб. каждые полгода начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 8%. Оцените сумму вклада через 1,5 года с точки зрения покупательной способности, если ожидаемый темп инфляции –0,5 % за квартал.

Практическое занятие № 7

Тема: Модификация формул финансовых рент с выплатами несколько раз в год. Определение  ренты: при заданном значении наращенной суммы; при заданном значении современной величины. Использование данных "Финансовых таблиц" для определения наращенной и приведенной величины финансовой ренты.

Цель: научиться решать прямую и обратную задачи оценки аннуитета, используя формулы финансовых вычислений, научиться определять параметры аннуитетов, используя формулы финансовых вычислений.

Теоретические сведения: 

Одним из ключевых понятий в финансовом менеджменте является понятие денежного потока как совокупности притоков и/или оттоков денежных средств, имеющих место через некоторые временные интервалы.

        Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей. Выплаты – отрицательные величины, поступления – положительные.

Аннуитет (финансовая рента) − это поток платежей, сделанных через равные промежутки времени. Все члены ренты положительные величины, обычно одинаковые.

Финансовая рента имеет следующие параметры:

· член ренты – величина каждого отдельного платежа.

  Различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты.

· период ренты – временной интервал между двумя соседними платежами.

· срок ренты – время от начала финансовой ренты до конца её последнего

  периода.

· процентная ставка  - ставка, используемая при дисконтировании  

  или наращении платежей.

· число платежей в году – различают  годовые (один платеж в году) и

  р-срочные ренты (р – число выплат в году).

· число начислений процентов в году – один раз, m раз или непрерывно.

· моменты платежа внутри периода ренты – если платежи осуществляются в

  конце каждого периода, ренты называются обычными или постнумерандо.

  Если же выплаты производятся в начале каждого периода -  пренумерандо.

· вероятность выплаты – различают ренты верные (подлежат безусловной

  выплате) и условные (выплачиваются при наступлении некоторого случайного

  события).

· число членов – ренты с конечным числом членов или ограниченные и

  вечные (бесконечные).

· момент начала ренты – в зависимости от наличия сдвига начала срока ренты

  по отношению к началу действия контракта ренты подразделяются на

  немедленные (срок начинается сразу) и отложенные (отсроченные).

Известны две задачи оценки денежного потока с учетом фактора времени: прямая и обратная. Первая задача позволяет оценить будущую стоимость денежного потока; для понимания экономической сущности этой задачи ее легче всего увязывать с процессом накопления денег в банке и оценкой величины наращенной суммы. Вторая задача позволяет оценить приведенную стоимость денежного потока; наиболее наглядная ситуация в этом случае - оценка текущей стоимости ценной бумаги, владение которой дает возможность в будущем получать некоторые платежи.

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока. Аннуитет - однонаправленный денежный поток, элементы которого имеют место через равные временные интервалы. Постоянный аннуитет имеет дополнительное ограничение, его элементы одинаковы по величине.

Ускоренные методы оценки денежных потоков основаны на  применении мультиплицирующих и дисконтирующих множителей,  которые табулированы в специальных финансовых таблицах. Таблицы инвариантны по отношению к виду потока - постнумерандо или пренумерандо; оценки для потока пренумерандо отличаются от соответствующих оценок для потока постнумерандо на величину множителя (1+r), где r - ставка в долях единицы.

         В финансовой математике разработаны универсальные формулы, позволяющие делать расчеты несовпадениях моментов поступления аннуитетных платежей и начисления процентов.

Основные формулы                

                        (1)

                        (2)

                                        (3)

                                        (4)

                                        (5)

                                        (6)

Определение параметров финансовых рент.

Постоянный аннуитет (финансовая рента) описывается набором основных параметров – платеж аннуитета, процентная ставка, срок действия аннуитета. Зная эти параметры, можно решать прямую и обратную задачи оценки аннуитета - определить его будущую и приведенную стоимость.  При разработке финансовых контрактов и условий финансовых операций могут возникнуть случаи, когда задаются будущая или приведенная стоимость ренты, и необходимо рассчитать значения ее параметров.

                                                    (7)

                                                                    (8)

                                                                (9)

                                                              (10)

                                                             (11)

                                                        (12)

Типовые задачи  с решениями

Задача 1.    Анализируются 2 варианта накопления средств по схеме аннуитета пренумерандо, т.е. поступление денежных средств осуществляется в начале соответствующего временного интервала:

       План 1: Вносить на депозит 5000 долл. каждые полгода при условии, что банк начисляет 10% годовых с полугодовым начислением процентов:

       План 2: делать ежегодный вклад в размере 10000 долл. на условиях 9% годовых при ежегодном начислении процентов.

       Ответьте на следующие вопросы:

1. Какая сумма будет на счёте через 10 лет при реализации каждого плана? Какой план более предпочтителен?
2. Изменится ли ваш выбор, если процентная ставка  в плане 2 будет повышена до 10%?

Решение

План 1:

Принимая за базовый период полгода,   воспользуемся формулой (1 ) при А=5000; r=5%; n=20:

FV1=0,5⋅FM3(5%,20)=5000⋅33, 066= 165330

План 2:

Принимая за базовый период год, воспользуемся формулой (1 ) при А=10000; r=9%; n=10:

FV2=10000⋅FM3(9%,10)=10000⋅15, 193=151930

В данной задаче более предпочтительным является план 1, так как в этом случае будущая стоимость денежного потока выше. Если процентная ставка  в плане 2 будет снижена до 8%, то будущая стоимость денежного потока будет равна:

FV2=10000⋅FM3(10%,10)=10000⋅15, 937=159370

то и в этом случае решение не изменится, то есть выгоднее план 1.

Задача 2. Предприниматель в результате инвестирования в некоторый проект будет получать в конце каждого квартала 8 тыс. долл. Определить возможные суммы, которые через три года получит предприниматель, если можно поместить деньги в банк под сложную процентную ставку 24% годовых с ежеквартальным начислением процентов.

Решение

Используем формулу (2), считая базовым периодом квартал, тогда А=8; n=12; r=6% :

FV=8⋅FM3(6%,12)=8⋅16,8699=134959

Через три года в банке на счете предпринимателя будет 134 959 000 долл.

Задача 3. Какую сумму необходимо поместить в банк под сложную процентную ставку 6% годовых, чтобы в течение 6 лет иметь возможность в конце каждого года снимать со счета 100 тыс. руб., исчерпав счет полностью, если банком ежегодно начисляются сложные проценты?

Решение

Для ответа на поставленный вопрос необходимо определить приведенную стоимость аннуитета постнумерандо. По формуле (2) при  А =100; r=6%; n=6:

PV=100⋅FM4(6%,6)=100⋅4,917=491,7

В банк на счет необходимо положить 491 700 руб.

Задача 4. Клиент в конце каждого года вкладывает 300 тыс. руб. в банк, ежегодно начисляющий  сложные проценты по ставке 10% годовых. Определить сумму, которая будет на счете через 7 лет. Если эта сумма получается в результате однократного помещения денег в банк, то какой величины должен быть взнос?

Решение

По формуле  (1) при A=300; r=10%; n=7:

FV=300⋅FM3(10%,7)=300⋅9,487=2846,1.

Через 7 лет на счете накопится 2846100 руб.

Величину однократного взноса в начале первого года находим при  F=2846,1; r=10%; n=7:

P=2846,1⋅FM2(10%,7)=2846,1∙0.51 =1450,44

Взнос равен 1450440 руб.

Задача 5. Фирме предложено  инвестировать 200 млн. руб. на срок 4 года при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 50 млн. руб.); по истечении четырех  лет будет выплачено  дополнительное  вознаграждение  в размере 25 млн. руб. Примет ли она это предложение, если можно депонировать деньги в банк из расчета 8% годовых?

Решение

При Р=200000; r=0,08; n=4 определим сумму, которая накопится  на счете, если положить деньги в банк:

F1=200 ∙(1+0,08)4= 272,098

По формуле (1) при А=50000; r=8%; n=4 определим будущую стоимость аннуитета постнумерандо:

FV = 50∙FM3(8%,4)=50∙4,5061= 225,305

С учетом дополнительного вознаграждения в 25 млн. руб., при условии инвестирования 200 млн., на конец четвертого года на счете фирмы будет сумма, равная

F2=225,305+25=250,305

F1>F2, поэтому  фирме выгодно положить деньги в банк и не принимать данное предложение.

Задача 6. Работник заключает с фирмой контракт, согласно которому в случае его постоянной работы на фирме до выхода на пенсию (в 60 лет) фирма обязуется в начале  каждого года перечислять на счет работника в банке одинаковые суммы, которые обеспечат работнику после выхода на пенсию в конце каждого года дополнительные выплаты в размере 30 00 руб. в течение 10 лет. Какую сумму ежегодно должна перечислять фирма, если работнику 40 лет и предполагается, что банк гарантирует годовую процентную ставку 10% ?

Решение

Выплаты работнику после выхода на пенсию представляют собой аннуитет постнумерандо.

По формуле (8) при A=30 000; r=10%; n=10  найдем приведенную стоимость этого аннуитета :

PV=30000⋅FM4(10%,10) =30 000⋅6,145 = 184350 

Таким образом, если иметь на счете в момент выхода на пенсию 184 350 руб. можно ежегодно снимать с него 30 000 руб.  и через 10 лет исчерпать счет полностью.

Теперь необходимо выяснить,  какую сумму фирма должна в начале года перечислять на счет работника, чтобы за 20 лет ( 60 – 40 = 20) накопить 184350 руб.

Размер вклада можно найти из формулы (7), полагая FVpre=184350:

A=184350 / [FM3(10%,20) (1+ r)] =184350/(57,274⋅1,1)= 2926,125

Таким образом, фирме достаточно перечислять на счет работника 2916 руб.13 коп.

Задача 7.  Иванов должен Петрову 200 тыс. руб. Он предлагает вернуть долг равными ежегодными платежами в 50 тыс. руб. Через какое время долг будет погашен, если на него ежегодно начисляются сложные проценты по ставке 12% годовых?

Решение

По формуле (10) при А=50; r=0,12; PVpst=200

n=5,77

Долг будет погашен через 5,77 года

Задача 8. Господин Х выплатил жене при разводе 1 млн. руб. Жена после развода планирует получать ежегодно одинаковые суммы в течение 20 лет. Какую сумму она будет получать, при условии, что процентная ставка по вкладам в банк равна 10% годовых?

Решение

1 млн. руб. – это приведенная стоимость срочной ренты постнумерандо, срок ренты- 20 лет, выплаты по ренте – ежемесячные. Величину неизвестного платежа находим из формулы (8) при PV =1 000 000 ; n=20; r=0,1

A=1 000 000/FM4(10%,20)

A=1 000 000/ 8,5136= 117 459,1

Ежегодно жена будет получать 117 459 руб.10 коп.

Задача 9.Некоторая фирма хочет создать фонд в размере 3500 тыс. руб. С этой целью в конце каждого года фирма предполагает вносить по 600 тыс. руб. в банк под 8% годовых. Найти срок, необходимый для создания фонда, если банк начисляет сложные проценты ежегодно.

Решение        

По формуле (9) при FV=3500; A=600; r=0,08:

n=4,976443

Для создания  фонда потребуется 5 лет.

Задачи для подготовки к занятию

Задача 1. Предприниматель планирует после выхода на пенсию обеспечить себе ежегодный годовой доход в размере 60 тыс. руб. в течение 8 лет. Какую сумму ему необходимо для этого поместить на депозит в момент выхода на пенсию, если банковская ставка по депозитам будет 10% годовых? Предприниматель планирует снимать денежные средства с депозита в начале каждого года и за 8 лет исчерпать депозит полностью.

Задача 2. В начале каждого года в течение 13 лет на счет вносится 130 тыс. рублей, процентная ставка составляет 13% годовых. Определить наращенную сумму через 13 лет.

Задача 3. Сумма 75 тыс. рублей вносится в конце каждого года на протяжении 18 лет под 13% годовых. Определить величину накопленного вклада через 18 лет.

Задача 4. Найти дисконтированную величину 16 вкладов постнумерандо по 100 тыс. рублей при ставке 14% годовых на текущий момент времени и через 3 года.

Задача 5. Найти текущую стоимость суммы 15 вкладов пренумерандо по 75 тыс. рублей при ставке 20% годовых.

Задача 6. Какую сумму необходимо поместить в банк под сложную процентную ставку 10% годовых, чтобы в течение 12 лет иметь возможность в конце каждого года снимать со счета 120 тыс. руб., исчерпав счет полностью, если банком ежегодно начисляются сложные проценты?

Задача 7.  Индивидуальный предприниматель погашает кредит равными ежемесячными платежами в  100 тыс. руб. в течение 3 лет.  Банк согласился уменьшить платежи до 80 тыс. руб. Насколько увеличится срок погашения кредита, если банк использует сложную ставку 12% годовых с ежемесячным начислением процентов?  

Задача 8.  Задолженность в сумме 500 тыс. руб. погашается в течение 3 лет равными ежемесячными платежами. Определить размер платежа, в расчетах использовать ставку 8% годовых с ежеквартальным начислением процентов.

Задача 9.  Семья планирует  накопить на отпуск 200 тыс. руб.. Для этого в начале каждого месяца в банк на депозит вносится одинаковая сумма. Определить размер ежемесячного взноса, если банковская ставка по депозитам равна 8% годовых с полугодовым начислением процентов.

Задача 10. Предприятие намеревается за 2 года создать фонд развития в сумме 5 млн. руб.  Какую сумму предприятие должно ежемесячно  ассигновать на эти цели при условии помещения этих денег в банк под сложную процентную ставку 8% годовых с ежемесячным начислением процентов? Какой единовременный  вклад в начале первого года нужно было бы сделать для создания фонда?

Содержание практической работы:

Контрольные вопросы

1. Какой денежный поток называется потоком пренумерандо? Приведите пример.
2. Какой денежный поток называется потоком постнумерандо? Приведите пример.
3. Как используются финансовые таблицы для оценки постоянных аннуитетов?
4. Чему равен коэффициент наращения аннуитета?
5. Чему равен коэффициент дисконтирования аннуитета?
6. Какая связь существует между будущей и приведенной стоимостями аннуитета?

7. Как изменяется коэффициент наращения аннуитета при изменении срока действия аннуитета и изменении процентной ставки?

      8. Как изменяется коэффициент дисконтирования аннуитета при изменении срока действия аннуитета и изменении процентной ставки?

       9. Какая связь существует между оценками аннуитета пренумерандо и постнумерандо?

Задача 1. Страховая компания заключила договор с предприятием на 5 лет, установив ежемесячный страховой взнос в сумме 500 тыс. руб.. Страховые взносы помещаются в банк под сложную процентную ставку 10 % годовых, начисляемую ежемесячно. Определите сумму, которую получит по данному контракту страховая компания.

Задача 2. Анализируются два плана накопления денежных средств по схеме аннуитета пренумерандо: 1) класть на депозит 100 тыс. руб. каждый квартал при условии, что банк начисляет сложные проценты по ставке 8% с ежеквартальным  начислением процентов; 2) делать ежегодный вклад в размере 420 тыс. руб. при условии, что банк ежегодно начисляет сложные проценты по ставке 7%. Какая сумма будет на счете через  5 лет при реализации каждого плана?

Задача 3. Преуспевающий предприниматель в знак уважения к своей школе намерен заключить договор со страховой компанией, согласно которому компания ежегодно будет выплачивать школе сумму в 500 тыс. руб.  от имени предпринимателя в течение 20 лет. Какой единовременный взнос должен сделать предприниматель, если банковская ставка по вкладам равна  5% годовых?

Задача 4. Банк предлагает ренту постнумерандо на 15 лет с полугодовой выплатой 100 тыс. руб. Годовая процентная ставка 9% в течение всего периода остается постоянной, сложные проценты начисляются по полугодиям. По какой цене имеет смысл приобретать эту ренту?

Задача 5. В начале  каждого года вы вкладываете 500 тыс. руб. в банк, ежегодно начисляющий  сложные проценты по ставке 9 % годовых. Определить сумму, которая накопится на счете через 5 лет. Если эта сумма получается в результате однократного помещения денег в банк, то какой величины должен быть взнос?

Задача 6.  От сдачи в аренду здания предприниматель получает в конце каждого квартала доход в размере 5 тыс. долл., которые он переводит на депозит в банк. Какая сумма будет получена арендодателем в банке в конце года, если банковская ставка по депозитам равна 8% годовых, начисляемых ежеквартально?

Задача 7. Предприниматель инвестировал 700 000 руб. в пенсионный контракт. На основе анализа таблиц смертности страховая компания предложила условия, согласно которым определенная сумма будет выплачиваться ежегодно в течение 20 лет исходя из ставки 15% годовых. Какую сумму ежегодно будет получать предприниматель?

Задача 8. К моменту выхода на пенсию  через 10  лет  предприниматель хочет иметь на счете  300 000 руб. Для этого намерен делать ежегодный взнос  по схеме пренумерандо. Определите  размер взноса, если банковская ставка по депозитам составляет  7% годовых.

Задача 9. Какой срок необходим для того, чтобы на депозите накопилось 10 млн. руб., при условии, что на ежегодные взносы в сумме 1 млн. руб. начисляются сложные проценты по ставке 9% годовых? Взносы на депозит делаются в начале каждого года. Как изменится срок, если взносы на депозит будут в конце каждого года.

Задача 10. Необходимо найти размер равных взносов в конце года для следующих двух ситуаций, каждая из которых предусматривает начисление сложных процентов по ставке 8% годовых:

1. создать за 5 лет резервный фонд в сумме 1 млн. руб.
2. погасить через 5 лет текущую задолженность в сумме 1 млн. руб.

Задача 11. Работник заключает с фирмой контракт, согласно которому фирма обеспечит работнику после выхода на пенсию в конце каждого года дополнительные выплаты в размере 8000 руб. в течение 18 лет. Какую сумму ежегодно фирма должна перечислять на банковский счет работника, если работнику 30 лет, выход на пенсию – в 60 лет и предполагается, что банк гарантирует годовую процентную ставку 10% годовых?

Задача 12. Владелец малого предприятия планирует за три года создать фонд развития в сумме 1,5 млн. руб.  Он рассматривает следующие возможности для создания фонда с помощью банковского депозита, на который начисляются сложные проценты по ставке 12% годовых: 1) делать ежегодные равные взносы на депозит;  2) сделать разовый платеж. Определить размеры сумм в каждом варианте.

Практическое занятие № 8

Тема: Сущность погасительного фонда. Погашение долга равными частями.

Цель: рассмотреть способы практических приложений финансовых вычислений, научиться  выбирать оптимальную схему погашения задолженности и ипотечных кредитов,  используя формулы финансовых вычислений и электронные таблицы EXCEL.

Теоретические сведения: 

Рассмотрим практическое приложение финансовых вычислений на примере планирования погашения задолженности и ипотечных кредитов.

На практике часто применяются способы погашения долга равными платежами или равными выплатами долга через равные промежутки времени. Каждый из способов имеет свои преимущества. При равных платежах заемщик до конца договора выплачивает одни и те же суммы, включающие в себя проценты и погашающие части долга, которые не равны между собой. При равных выплатах долга платежи не одинаковы, но легко определяются остатки долга.

Типовые задачи  с решениями

Пусть заем в сумме Р выдан под i простых ссудных процентов на n периодов. К концу финансовой операции величина займа составит величину

.

        Если предполагается возвращать займ одним платежом в конце срока финансовой операции, то величина S и есть размер возвращаемого платежа.

Задача 1. Погашение займа одним платежом.

Ссуда в сумме 5 млн. руб. выдана на 5  лет под 10% годовых. Определить размер платежа, если ссуда возвращается одним платежом в конце срока финансовой операции и начисляются простые проценты.

Решение

Величину платежа находим по формуле  

 при Р=5; i = 0,1; n =5:

Размер платежа равен 7 500 000 руб.

Пусть заем в сумме Р выдан под i сложных ссудных процентов на n периодов. К концу финансовой операции величина займа составит величину

.

        Если предполагается возвращать займ одним платежом в конце срока финансовой операции, то величина S и есть размер возвращаемого платежа.

Задача 2. Погашение займа одним платежом.

Ссуда в сумме 5 млн. руб. выдана на 5  лет под 10% годовых. Определить размер платежа, если ссуда возвращается одним платежом в конце срока финансовой операции и начисляются сложные проценты.

Решение

Величину платежа находим по формуле

 при Р=5; i = 0,1; n =5:

Размер платежа равен 8 052 550 руб.

Сам заем называется основным долгом, а наращиваемый добавок – процентными деньгами. Пусть заем в сумме Р выдан под i сложных ссудных процентов на n периодов. За первый год процентные деньги составят величину i⋅P. Если эти деньги выплатить, то останется только основной долг в размере Р. Таким же образом в конце каждого года (кроме последнего)  выплачивается одна и та же величина i⋅P. В конце n - ного, последнего года, выплаты составят величину i⋅P+Р, процентные деньги и сумму основного долга.

        Общая сумма выплат за n периодов составит величину Р+ i⋅P⋅n=P(1+ni), т.е. операция погашения займа способом погашения основного долга одним платежом в конце эквивалентна наращению долга по схеме простых процентов по ставке i.

Задача 3. Погашение основного долга одним платежом.

Ссуда в сумме 5 млн. руб. выдана на 5  лет под 10% годовых. Определить общую сумму выплат, если ссуда возвращается способом «погашение основного долга одним платежом в конце срока финансовой операции».

Решение

Величина процентных платежей за 8 лет составит  i⋅P⋅n=0,1⋅5⋅5=2,5

Общая сумма выплат составит 2,5 млн.+ 5 млн. =7,5 млн.руб.

Пусть заем в сумме Р выдан под i сложных ссудных процентов на n периодов. При погашении основного долга равными годовыми выплатами в конце каждого года выплачивается n - ная доля основного долга  и проценты, начисленные на сумму долга, которой пользовались в течение года.

В конце первого года выплачивается  доля основного долга, равная величине P/n и выплачиваются проценты с суммы Р, которой пользовались в течение года, равные величине i⋅P. Общий платеж в конце первого года равен  величине P/n+ i⋅P.

В конце второго года выплачивается  доля основного долга, равная величине P/n и выплачиваются проценты с суммы (Р- P/n), которой пользовались в течение года, равные величине  i⋅ (Р- P/n). Общий платеж в конце второго года равен  величине P/n+ i⋅ (Р- P/n).

В общем случае в конце года k+1 общий платеж равен величине P/n+ i⋅ (Р- k⋅P/n).

Платежи каждого года образуют арифметическую прогрессию с разностью  

d=i⋅P/n, первым членом  a1 =P/n+ i⋅P и последним членом an =P/n+ i⋅P/n.

        Сумма n членов арифметической прогрессии равна

Величина выплат составит

Задача 4. Погашение основного долга равными годовыми выплатами

Ссуда в сумме 5 млн. руб. выдана на 5  лет под 10% годовых. Определить ежегодные выплаты и общую сумму выплат, если ссуда возвращается способом «погашение основного долга равными годовыми выплатами».

Решение

 Найдем  сумму арифметической  прогрессии

при Р=5000; i=0,1; n=5:

5000+5000∙0.1(1+5) / 2=6500

Сумма ежегодных выплат  представлена в таблице.

Пусть заем в сумме Р выдан под i сложных ссудных процентов на n периодов. При погашении займа равными годовыми выплатами ежегодные платежи можно рассматривать как годовую ренту (аннуитет) с продолжительностью n периодов и неизвестным платежом, равным А. Неизвестный платеж ренты можно найти, приравнивая современную стоимость этой ренты сумме займа.

Тогда платеж А находим из уравнения: , поэтому

        Общая сумма выплат при этом составит величину n⋅A

Задача 5. Погашение займа  равными годовыми выплатами

Ссуда в сумме 5 млн. руб. выдана на 5  лет под 10% годовых. Определить общую сумму выплат, если ссуда возвращается способом «погашение займа равными годовыми выплатами».

Решение

Величину ежегодного платежа находим из уравнения  при Р=5; i = 0,1; n =5; FM4(10%,5)=3,791

A=1318,913

Общая сумма выплат составит 5⋅1318,913= 6 594 566 руб.

Взятый заем может погашаться различными способами. Например, заемщик может создать специальный погасительный фонд и накапливать в нем средства, чтобы погасить заем одним платежом в конце  срока финансовой операции. Очевидно, что это возможно только в том случае, если у заемщика есть возможность накапливать деньги в некотором фонде под более высокий процент.  

        Пусть заем в сумме Р выдан под i1 сложных ссудных процентов на n периодов. Тогда к конце срока финансовой операции финансовой операции величина займа составит величину

. Платежи в погасительный фонд составляют годовую ренту с ежегодным платежом, равным А и процентной ставкой i2 > i1,  будущая стоимость этой ренты равна величине . Тогда величину ежегодного платежа в погасительный фонд находим из уравнения:

Задача 6. Создание погасительного фонда

Ссуда в сумме 5 млн. руб. выдана на 5  лет под 10% годовых. У заемщика есть возможность создать накопительный фонд в банке, начисляющим по вкладам 12% годовых. Найти величину ежегодного платежа в погасительный фонд.

Решение

Величину ежегодного платежа в погасительный фонд находим из формулы при P=5; i1=0,1; i2=0,12; n=5

A=1267550

Величина ежегодного платежа в погасительный фонд равна 1 267 550 руб.

Общие расходы по погашению займа составят (1 267 550 ∙5)= 6 337 749 руб.

Содержание практической работы:

Контрольные вопросы

1. Какой кредит называется потребительским? Приведите примеры потребительских кредитов
2. Перечислите основные способы погашения кредита
3. Какой способ погашения кредита наиболее выгоден банку (кредитору)?
4. Какой способ погашения кредита наиболее выгоден заемщику?
5. Почему банки заинтересованы в том, чтобы должник погашал сумму долга частями в течение всего срока кредитования?

Задача 1. Кредит в размере 900 тыс. руб. взят на 4 года под ставку 5% годовых. Составить план погашения кредита равными годовыми выплатами.

Задача 2. Фирма взяла в банке кредит в сумме 100 млн. руб. на 3 года под 30% годовых. Рассчитать все возможные схемы погашения кредита. Результаты расчетов занести в таблицу:

Задача 3. Банк выдал долгосрочный кредит в сумме 40 тыс. долл. на 5 лет под 6% годовых. Погашение кредита должно производиться равными ежегодными выплатами в конце каждого года, включающими погашение основного долга и процентные платежи. Начисление процентов производится раз в году. Составить план погашения займа.

Задача 4.  Фирма получила кредит 5 млн. руб. на 4 года под 8% сложных годовых в банке А. Кредитный контракт предусматривает погашение долга разовым платежом. Одновременно с получением кредита фирма начала создавать погасительный фонд, для чего открыла счет в банке Б. На размещенные средства банк Б начисляет 10% годовых. Определить ежегодные расходы фирмы по амортизации долга при условии, что в погасительный фонд вносятся ежегодно равные суммы.

Задача 5. Долг, выданный на 5 лет под 8% годовых (сложные проценты), равен 80 тыс. долл. Платежи в погасительный фонд должны возрастать на 10% ежегодно. На взносы в погасительный фонд начисляются сложные проценты по ставке 9% годовых. Составить план погашения долга.

Задача 6. Кредит, выданный на два года, составляет 500 тыс. руб. Процентная ставка по кредиту равна 18%. Клиенту предоставляется возможность выбора следующих вариантов погашения долга:

1. Погашение основного долга и выплата процентов осуществляется ежеквартально аннуитетными платежами в конце рентного периода. Проценты выплачиваются от остаточной суммы основного долга.
2. Сумма погашения основного долга увеличивается в геометрической прогрессии на 10%. Погасительные платежи осуществляются ежеквартально (в конце  квартала). Проценты выплачиваются от остаточной суммы основного долга.
3. Проценты начисляются ежемесячно, погашение основного долга с процентами осуществляется единовременным взносом в конце кредитного срока.

Составить план погашения кредита для каждого варианта, определить, какой из вариантов погашения кредита является наиболее выгодным с точки зрения минимизации издержек заемщика.

Практические занятия № 9,10,11

Тема: Расчет доходности ценной бумаги при заданной купонной ставке и разности курсов покупки и погашения за указанный период. Расчет курсовой стоимости ценной бумаги с периодическими выплатами купонных процентов.

Тема: Расчет доходности и курсовой стоимости ценной бумаги с нерегулярным первым (последним) периодом выплаты купона.

Тема: Расчет доходности и курсовой стоимости ценной бумаги в случае выплаты процентов и номинала в момент погашения (выкупа).

Цель: научиться проводить расчеты доходности ценных бумаг, курсовой стоимости ценных бумаг с различными способами выплат.

Теоретические сведения: 

Понятие стоимости ценной бумаги не может совпадать с понятием стоимости обычного товара как материализованного общественно необходимого труда на его производство, так как ценная бумага не производится. Ее объективной экономической основой, или источником происхождения, является не труд непосредственно, а его абстрактная форма — капитал.

Двойственный характер стоимости ценной бумаги

Ценная бумага есть единство титула капитала (действительного капитала) и самого капитала (производного капитала), а потому в отличие от простого товара, который имеет только одну стоимость — стоимость самого товара, ценная бумага обладает двумя стоимостями:

• нарицательной стоимостью, или стоимостью в качестве представителя действительного капитала;
• рыночной стоимостью, или стоимостью в качестве производного капитала.

Нарицательная стоимость ценной бумаги находит свое выражение в той сумме денег, которую ценная бумага представляет при обмене ее на действительный капитал на стадии ее выпуска или гашения. Эта сумма денег называется номиналом ценной бумаги.

Рыночная стоимость ценной бумаги возникает в результате капитализации ее имущественных прав, ибо благодаря этому процессу ценная бумага превращается в капитал, хотя и «бумажный».

Стоимость ценной бумаги как капитализация ее прав

Главное имущественное право в ценной бумаге — это ее право на доход, поэтому стоимость ценной бумаги есть прежде всего капитализация этого дохода. Однако получение начисляемого дохода — не единственное право по ценной бумаге у ее владельца, остальные права также имеют то или иное основание в ее стоимости или являются стоимостнообразующими факторами. Поэтому самая абстрактная модель рыночной стоимости ценной бумаги имеет следующий вид:

Сцб = Кд+Кпр,

• Сцб — рыночная стоимость ценной бумаги;
• Кд — капитализация начисляемого дохода;
• Кпр — капитализация прочих прав по ценной бумаге.

Понятие капитализации

Капитализация начисляемого дохода — это частное от деления этого дохода на рыночную (обычно банковскую) процентную ставку. Капитализация позволяет рассчитывать величину капитала, который, будучи положен на депозит под эту процентную ставку, станет приносить доход, равный начисляемому доходу.

В отличие от права на доход другие права по ценной бумаге не поддаются строгой количественной оценке. Чем больше их значимость с точки зрения рынка, тем менее детерминирован процесс ценообразования на эту ценную бумагу, тем выше роль субъективно-психологических оценок.

Рыночная цена ценной бумаги — это денежная оценка ее рыночной стоимости. Самая абстрактная модель рыночной цены ценной бумаги имеет такой вид:

Ццб = Сцб + Цро, или

Пцб = Сцб × (1 + Пк),

• Ццб — рыночная цена ценной бумаги;
• Сцб — рыночная стоимость ценной бумаги;
• Цро — рыночные ожидания относительно роста или снижения рыночной цены по сравнению со стоимостью ценной бумаги в абсолютном выражении;
• Пк — рыночный процент отклонений рыночной цены от ее стоимости (в долях).

В практике рыночная цена ценной бумаги имеет такие названия, как курсовая стоимость, курсовая цена, курс, рыночная котировка и т. п.

Как и любой товар, ценная бумага имеет потребительную стоимость и стоимость для своего владельца.

Потребительная стоимость ценной бумаги — это совокупность имущественных и неимущественных прав, которыми она наделена. Потребительная стоимость находит свое выражение в тех правах, которые присущи конкретной ценной бумаге по закону и по воле лица, выпустившего ее. Это ее права, выраженные как единое целое.

В отличие от обычного товара, потребительная стоимость которого вытекает из его вещной, или материальной, природы, потребительная стоимость ценной бумаги не имеет материальной основы, а происходит из взаимоотношений между владельцем ценной бумаги и лицом, обязанным по ней. Хоть эти отношения и закрепляются законодательно, их осуществление всегда сопряжено с возможностью (вероятностью) нарушения, неполного соблюдения и т. п.

Качество ценной бумаги - это мера реализации прав, которыми наделена ценная бумага, или мера ее потребительной стоимости.

Качество ценной бумаги находит свое отражение в:

• ликвидности ценной бумаги, т. е. мере воплощения ее права на переход от одного владельца к другому;
• доходности ценной бумаги, т. е. мере воплощения ее права на получение дохода ее владельцем;
• риске ценной бумаги, т. е. неопределенности, неизвестности, связанной с осуществлением прав (прежде всего прав на доход и на обращение), которыми она наделена.

Ликвидность ценной бумаги — это сочетание права на передачу ее от одного владельца к другому с осуществимостью этого права. Она находит свое выражение в перечне разрешенных форм перехода прав собственности на нее (например, бывает, что купля-продажа ценной бумаги ограничена), в объемах и сроках этого перехода и т. д.

Практическое понятие доходности

Владельцу ценной бумаги совершенно безразличен источник получаемого им дохода, поэтому на практике используются следующие базовые экономические понятия доходности:

• текущая — это доходность, определяемая на базе начисляемого дохода или обоих видов доходов за период до одного года или от краткосрочной операции;
• полная — доходность, которая учитывает сразу оба вида дохода по ценной бумаге за длительный период времени, но в расчете на год.

Показатели доходности различаются по:

• методам их расчета;
• степени учета в них других экономических показателей (например, инфляции, налогов и т. п.);
• временному интервалу (отчетные, текущие, прогнозные);
• совокупности ценных бумаг (доходность отдельной ценной бумаги, группы (портфеля) ценных бумаг, рынка ценных бумаг (т. е. всех ценных бумаг в целом) и т. д.

Виды ценных бумаг

Акция имеет номинальную стоимость и рыночную цену.

Номинал акции (номинальная стоимость) — это денежная сумма, обозначенная на акции и отражающая долю уставного фонда акционерного общества, приходящуюся на одну акцию.

Номинальная стоимость акции представляет собой частицу уставного капитала акционерного общества, и пропорционально ей осуществляется выплата дивидендов.

При данном размере уставного капитала количество соответствующих ему акций может меняться в зависимости от размера номинала одной акции. Если номинал акции возрастает, то число акций, составляющих один и тот же уставный капитал, сокращается, и такой процесс называется консолидацией акций. Если номинал акции уменьшается, то при данном размере уставного капитала количество акций, в которых он воплощается, возрастает. Такой процесс называется расщеплением акций.

Бухгалтерская (балансовая) стоимость акции отражает величину капитала, приходящуюся на одну акцию, и исчисляется как частное от деления чистых активов корпорации на общее число обыкновенных акций в обращении.

Рыночная стоимость акции (курс акции) — это цена, по которой акция продается и покупается в данный момент на рынке. Если эту цену умножить на количество размещенных акций, то получится рыночная стоимость собственных средств компании или показатель капитализации.

Обращение акции, т. е. ее купля-продажа на фондовом рынке осуществляется по ценам этого рынка, или по рыночным ценам. Имеются некоторые особенности ценообразования: когда акция только выпускается (эмитируется) на рынок, т. е. продается ее эмитентом, и когда она обращается на рынке, т. е. перепродается от одного владельца к другому ее владельцу.

Если акция только эмитируется, то возможны две рыночные ситуации:

а) ситуация первичной эмиссии акций:

• распределение акций при учреждении акционерного общества среди его учредителей производится только по их номинальной стоимости;
• продажа акций эмитентом может осуществляться только по цене, которая не ниже ее номинала (поскольку в этом случае происходит формирование уставного капитала);

б) ситуация последующих эмиссий акций:

• продажа акций эмитентом производится по эмиссионной цене, ориентиром для которой служит рыночная цена;
• продажа акций эмитентом производится по цене ниже рыночной на величину скидки для рыночного посредника, реализующего эти акции по договору с эмитентом на рынке;
• продажа акций эмитентом производится по цене ниже рыночной на величину скидки до 10% в случае, если покупателем является акционер данного акционерного общества, реализующий свое преимущественное право на приобретение этих акций.

Если акция перепродается на рынке, то это всегда происходит по цене, которая и называется рыночной. Наиболее признанной рыночной ценой акции является ее биржевая цена, или биржевой курс, биржевая котировка, уровень которой зависит от объективной основы, которая лежит в ее основе и обычно называется ее теоретической ценой, или стоимостью, а также от соотношения рыночного спроса и предложения на данную акцию.

Доходность акции

Доход, который инвестор получает по акциям, может выступать в двух видах. Один из них — дивиденд. Это часть прибыли акционерного общества, распределяемая между акционерами после уплаты налогов, выплаты процентов по облигациям и займам, отчислений на расширение производства. Дивиденд зависит от размеров прибыли предприятия и общего числа акций. Величина дивиденда влияет на спрос на акции, их курс на рынке, ликвидность.

Другой вид дохода по акциям возникает в результате прироста их курсовой стоимости. Однако, чтобы реализовать его, акцию надо продать.

Виды акций

Различают обыкновенные и привилегированные акции.

Обыкновенные акции:

• Удостоверяют участие в акционерном обществе и предоставляют право голоса;
• Дают право на получение дивидендов и части имущества акционерного общества при его ликвидации после удовлетворения требований кредиторов и отсутствия иных задолженностей.

Владельцы привилегированных акций имеют право голоса лишь в вопросах ликвидации и реорганизации общества, но устав акционерного общества может предусматривать право голоса по привилегированным акциям определенного типа, в случае если допускается возможность конвертации акций этого типа в обыкновенные.

Основные виды привилегированных акций

Последние могут быть обыкновенными, кумулятивными и конвертируемыми. По кумулятивным привилегированным акциям фиксированный дивиденд может накапливаться за ряд промежутков времени и выплачиваться в сроки, превышающие периоды выплаты фиксированного дивиденда по обыкновенным привилегированным акциям.

• Конвертируемые привилегированные акции на установленных акционерным обществом условиях могут обмениваться на другие ценные бумаги этого же общества.
• Отзывные привилегированные акции дают право эмитенту отозвать их из обращения.

Привилегированные акции различают по характеру выплаты дивидендов:

• с фиксированным доходов;
• с плавающим доходом;
• с участием
• гарантированные
• экс-дивидендные
• кумулятивные

Дивиденды выплачиваются акционерам по итогам деятельности акционерного общества за квартал или год.

Разделение акций на обыкновенные и привилегированные связано с предпочтениями акционеров. Обыкновенные акции покупают крупные учредители, стремящиеся непосредственно влиять на ход дел в компании, а привилегированные акции приобретают те акционеры, которые ориентируются прежде всего на выплату дивидендов, то есть рассматривают акцию как источник доходов.

Модели цены акции

Существуют несколько моделей, в которых по-разному описывается процесс складывания стоимости, или теоретической цены акции:

а) модель капитализации дохода.

Теоретическая цена акции в данной модели базируется на том, что она есть сумма дисконтированных дивидендов, выплачиваемых по ней

Ца = ∑ (Дi /(1+r)i ),           (2.1)

• Ца — теоретическая цена акции в текущий момент времени;
• Дi — дивиденд по акции в i-ом периоде.

Если по акции выплачивается примерно одинаковый дивиденд каждый год (период), как это имеет место, например, в привилегированных акциях, то вышеприведенная формула сильно упрощается

Ца = Д / r,                        (2.2)

• Д — одинаковый размер дивиденда, выплачиваемого по акции на протяжении многих лет.

Если по акции выплачивается дивиденд, размер которого возрастает ежегодно на один и тот же небольшой процент, то формула 2.1 принимает вид:

Ца = Д1 /(r − g),               (2.3)

• Д1 — дивиденд, выплачиваемый в первом периоде;
• g — ежегодный прирост дивиденда (в долях) (при условии, что r > g).

Основная проблема данной модели состоит в прогнозировании размера дивиденда, который под влиянием самых разнообразных причин обычно не остается одинаковым и о его будущих размерах можно говорить только на сравнительно небольшом промежутке времени, обычно исчисляемом месяцами;

б) модель оценки капитальных активов.

Согласно теории для оценки долгосрочных активов, в качестве которых имеются в виду акции, при определении ее ожидаемой доходности необходимо учитывать индивидуальный недиверсифицируемый риск, которым обладает акция, что осуществляется по следующей формуле:

rа = r + b (rp — r) ,        (2.4)

• ra — ожидаемая рыночная доходность акции;
• r — безрисковая ставка доходности;
• rp — ожидаемая доходность рыночного портфеля;
• b-коэффициент — относительный измеритель рыночного риска;

b = sa / sp2,

• sa — стандартное отклонение доходности или риск акции,
• sp — стандартное отклонение доходности или риск рыночного портфеля акций (стандартное отклонение в квадрате есть дисперсия).

Из данной формулы следует, что ожидаемая премия (надбавка) за риск акции к безрисковой ставке доходности, т. е. ra — r, равна ожидаемой премии (надбавки) за риск всего рыночного портфеля акций, скорректированной на b-коэффициент.

Определив ожидаемую ставку доходности акции по формуле 2.4, она подставляется в формулу 2.1 или ее разновидности;

в) факторная модель цены акции в теории арбитражного ценообразования.

Согласно данной теории ожидаемая доходность акции зависит от целого ряда макроэкономических факторов или, точнее сказать, зависит от риска изменения сразу многих указанных факторов:

ra = r + b1( R1 — r) + b2 (R2 — r) + ...+ bi (Ri - r),           (2.5)

• Ri — ожидаемый темп прироста i-го макроэкономического фактора;
• bi — чувствительность акции к i-му макроэкономическому фактору, или факторный риск, который определяется по формуле, аналогичной расчету b-коэффициента, только в знаменателе указывается дисперсия соответствующего фактора.

Рассчитанную по данной формуле доходность акции опять подставляют в формулы капитализации дохода и получают теоретическую цену данной акции.

Облигации относятся к ценным бумагам с фиксированным доходом. Они могут выпускаться государством, региональными властями, финансовыми институтами, а также различными корпорациями.

Облигация — ценная бумага, удостоверяющая отношения займа между кредитором — владельцем облигации и должником — эмитентом облигации.

Облигация удостоверяет внесение ее владельцем денежных средств и подтверждает обязательство возместить ему номинальную стоимость облигации в заранее установленный срок с уплатой фиксированного процента.

К основным параметрам облигации относятся: номинальная цена, выкупная цена в случае, если она отличается от номинальной, норма доходности и сроки выплаты процентов. Момент выплаты процентов оговаривается в условиях эмиссии и может производиться раз в год, по полугодиям или поквартально.

Способы выплаты дохода по облигации

В мировой практике используется несколько способов выплаты доходов по облигациям, в их числе:

• установление фиксированного процентного платежа;
• применение ступенчатой процентной ставки;
• использование плавающей ставки процентного дохода;
• индексирование номинальной стоимости облигации;
• реализация облигаций со скидкой (дисконтом) против их нарицательной цены;
• проведение выигрышных займов.

Установление фиксированного процентного платежа является распространенной и наиболее простой формой выплаты дохода по облигациям.

При использовании ступенчатой процентной ставки устанавливается несколько дат, по истечении которых владельцы облигаций могут либо погасить их, либо оставить до наступления следующей даты. В каждый последующий период ставка процентов возрастает.

Ставка процента по облигациям может быть плавающей, т.е. изменяющейся регулярно (каждые полгода и т.п.) в соответствии с динамикой учетной ставки центрального банка или уровнем доходности государственных ценных бумаг, размещаемых путем аукционной продажи.

В отдельных странах в качестве антиинфляционной меры практикуют выпуск облигаций с номиналом, индексируемым с учетом роста индекса потребительских цен.

По некоторым облигациям проценты не выплачиваются. Их владельцы получают доход благодаря тому, что покупают эти облигации с дисконтом (скидкой против нарицательной стоимости), а погашают по номиналу.

Доход по облигациям может выплачиваться в форме выигрышей, достающихся отдельным их владельцам по итогам регулярно проводимых тиражей.

Курс облигации

Облигации, являясь объектом купли-продажи на рынке ценных бумаг, имеют рыночную цену, которая в момент эмиссии может быть равна номиналу, а также быть ниже или выше его. Рыночные цены существенно различаются между собой, поэтому для достижения их сопоставимости рассчитывается курс облигации. Под курсом облигации понимают покупную цену одной облигации в расчете на 100 денежных единиц номинала. Курс облигации зависит от средней величины ссудного рыночного процента, существующего в данный момент, срока погашения, степени надежности эмитента и ряда других факторов.

Расчет курса производится по формуле:

• Рк — курс облигации;
• Р — рыночная цена;
• N — номинальная цена облигации.

Доходность облигации характеризуется рядом параметров, которые зависят от условий, предложенных эмитентом. Так, например, для облигаций, погашаемых в конце срока, на который они выпущены, доходность измеряется:

• купонной доходностью;
• текущей доходностью;
• полной доходностью.

Купонная доходность — норма процента, которая указана на ценной бумаге и которую эмитент обязуется уплатить по каждому купону. Платежи по купонам могут производиться раз в квартал, по полугодиям или раз в год.

Например, на облигации указана купонная доходность в 11,75% годовых. Номинал облигации — 1,0 тыс. руб. На каждый год имеется два купона. Это значит, что облигация принесет полугодовую прибыль 58,75 руб. (1,0 • 0,1175 • 0,50), а за год — 117,5 руб.

Текущая доходность (CY) облигации с фиксированной ставкой купона — определяется как отношение периодического платежа к цене приобретения.

Текущая доходность характеризует выплачиваемый годовой процент на вложенный капитал, т.е. на сумму, уплаченную в момент приобретения облигации. Текущая доходность определяется по формуле:

• — норма доходности по купонам (годовая ставка купона);
• — номинальная цена облигации;
• — рыночная цена (цена приобретения);
• — курс в момент приобретения.

Например, если купонная доходность — 11,75%, а курс облигации — 95,0, то ее текущая доходность составит:

Вместе с тем текущая доходность не учитывает изменения цены облигации за время ее хранения, т.е. другого источника дохода.

Текущая доходность продаваемых облигаций меняется в соответствии с изменениями их цен на рынке. Однако с момента покупки она становится постоянной (зафиксированной) величиной, так как ставка купона остается неизменной. Нетрудно заметить, что текущая доходность облигации, приобретенной с дисконтом, будет выше купонной, а приобретенной с премией — ниже.

Показатель текущей доходности не учитывает курсовую разницу между ценой покупки и погашения. Поэтому он не пригоден для сравнения эффективности операций с различными исходными условиями. В качестве меры общей эффективности инвестиций в облигации используется показатель доходности к погашению.

Доходность к погашению (YTM) — это процентная ставка в коэффициенте дисконтирования, которая устанавливает равенство между текущей стоимостью потока платежей по облигации и её рыночной ценой .

Рассмотрим некоторые важнейшие свойства этого показателя. По сути он представляет собой внутреннюю доходность инвестиции (IRR). Однако, реальная доходность облигации к погашению будет равна YTM только при выполнении следующих условий:

• облигация хранится до срока погашения;
• полученные купонные доходы немедленно реинвестируются по ставке .

Очевидно, что независимо от желаний инвестора второе условие достаточно трудно выполнить на практике.

В таблице приведены результаты расчета доходности к погашению облигации, приобретенной в момент выпуска по номиналу в 1000 с погашением через 20 лет и ставкой купона 8%, выплачиваемого раз в год, при различных ставка реинвестирования.

Зависимость доходности к погашению от ставки реинвестирования

Из приведенных расчетов следует, что между доходностью к погашению и ставкой реинвестирования купонного дохода существует прямая зависимость. С уменьшением будет уменьшаться и величина , с ростом величина будет также расти.

Полная доходность учитывает все источники дохода. В ряде экономических публикаций показатель полной доходности называют ставкой помещения. Определив ставку помещения в виде годовой ставки сложных или простых процентов, можно судить об эффективности приобретенной ценной бумаги.

Начисление процентов по ставке помещения на цену приобретения дает доход, эквивалентный фактически получаемому по ней доходу за весь период обращения этой облигации до момента ее погашения. Ставка помещения является расчетной величиной и в явном виде на рынке ценных бумаг не выступает.

При определении доходности облигации учитывается цена приобретения (рыночная цена), которая сама зависит от ряда факторов. Покупатель облигации в момент ее приобретения рассчитывает на получение дохода в виде серии твердых выплат в форме фиксированных процентов, которые осуществляются в течение всего срока ее обращения, а также возмещение ее номинальной стоимости к концу этого срока.

Поэтому если ежегодно получаемые по облигациям выплаты будут помещены на банковский депозит или инвестированы каким-либо иным образом и станут приносить ежегодный процентный доход то стоимость облигации будет равна сумме двух слагаемых — современной стоимости ее аннуитетов (серии ежегодных выплат процентных платежей) и современной стоимости ее номинала:

(9.3)

или

• — рыночная цена облигации;
• — курс облигации;
• — номинал облигации;
• — купонная ставка;
• — время от момента приобретения до момента погашения облигации;
• — ссудный процент, предлагаемый банками в момент продажи облигации.

В случае когда облигация предусматривает выплату процентов по полугодиям или поквартально, курсовая стоимость облигации рассчитывается по формулам:

Оценка инвестиционных качеств ценных бумаг.

Оценка стоимости ценных бумаг необходима для определения объема инвестиций в ценные бумаги. Показатели доходности отражают эффективность инвестиций в ценные бумаги.

В случае, когда оценка доходности ведется по известным (фактическим) данным ее называют реализованной доходностью. 

В случае, когда оценка ведется по прогнозным (расчетным) данным доходность будет называться ожидаемой доходностью.

Ожидаемая доходность () определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

,                                        

где  ki – норма дохода при i-м состоянии рынка;

pi – вероятность наступления i-го состоянии рынка;

п – число вероятных результатов.

Показатели надежности ценных бумаг характеризуют надежность эмитента с точки зрения возврата средств, вложенных инвестором в ценные бумаги данного предприятия, и гарантии получения инвестором дохода по конкретным ценным бумагам.

С позиций инвестора в настоящее время для финансовых инвестиций наибольший интерес представляют акции и облигации.

Терминология, характеризующая ценную бумагу
«Облигация»

Облигация – эмиссионная долговая ценная бумага, закрепляющая право ее владельца на получение от эмитента облигации в предусмотренный в ней срок ее номинальной стоимости или иного имущественного эквивалента, а также право на получение процентного дохода.

Дисконт – доход по облигации, представляющий собой разницу между ценой на момент покупки облигации и ценой в момент продажи или номиналом облигации в момент ее погашения.

Купон – процентный доход по облигации.

Номинальная стоимость облигации – стоимость, обозначаемая на облигации и означающая сумму, которая берется в долг и подлежит возврату по истечении срока облигационного займа. Все расчеты, связанные с начислением процентов (купонных выплат), производятся от номинальной стоимости.

Рыночная стоимость облигации – вероятная цена облигации, определяемая условиями займа и рыночными условиями, сложившимися в момент реализации облигации.

Рыночная цена облигации – цена облигации, складывающаяся на свободном конкурентном рынке под воздействием спроса и предложения.

Курс облигации – отношение рыночной цены (стоимости) облигации к ее номиналу, выраженное в процентах.

Курс облигации:

  %.                       (1)

где  Црын – рыночная цена (стоимость) облигации,

Н – номинальная стоимость облигации.

Рыночная стоимость дисконтной облигации:

,                                     (2)

где Cрын – текущая рыночная стоимость облигации;

i – процентная ставка дисконтирования в долях единицы;

t – количество календарных дней до погашения.

Рыночная стоимость процентной облигации с учетом ее погашения:

,                      (3)

где  Срын – текущая рыночная стоимость облигации;

Кn – периодические купонные выплаты по облигации;

i – процентная ставка дисконтирования;

N – общее количество процентных выплат;

п – номер процентной выплаты.

Доходность дисконтных облигаций к погашению:

 %,                         (4)

где Ц1 – цена покупки облигации;

t – количество календарных дней до погашения.

Доходность дисконтных облигаций к продаже:

 %,                    (5)

где Ц2 – цена продажи облигации;

Δt – срок владения облигацией.

Текущая доходность купонной облигаций, учитывающая только купонный (процентный) доход по облигациям:

 %                                       (6)

где   Ц1 – цена покупки облигации;

 К – купонные выплаты по облигации, р.

Полная (конечная) доходность процентных облигаций, учитывающая, в отличие от текущей, еще и курсовую разницу, полученную от перепродажи либо погашения облигации:

 %,                   (7)

где  Ц2 – цена продажи (погашения) облигации,

п – количество лет владения облигацией.

Процентное покрытие по облигациям (Bond Interest Coverage, BIC) – показатель, отражающий способность заемщика заплатить сумму процентов по наступившим платежам по выпущенным облигациям:

,                                                       (8)

где  Пб – балансовая прибыль предприятия-заемщика;

ΣК – сумма купонных (процентных) выплат по выпущенным облигациям.

Процентное покрытие характеризует степень защищенности облигационеров.

Аналитики считают, что если прибыль в
3–4 раза превышает сумму, предназначенную для уплаты процентов по облигациям, то облигации данного предприятия могут рассматриваться в качестве надежного объекта инвестирования. Предприятия, продемонстрировавшие способность получать стабильные прибыли на протяжении многих лет независимо от макроэкономических изменений, могут позволить себе более низкое процентное покрытие.

Стоимость активов, приходящихся на одну облигацию (Book Value per Bond, BVB):

,                                                   (9)

где   А – стоимость чистых активов предприятия;

Nобл – количество выпущенных облигаций.

Данный показатель характеризует, сколько активов стоит за облигациями предприятия. Для расчета используются чистые материальные активы, представляющие собой стоимость всех активов предприятия по балансу, за вычетом нематериальных активов и текущей задолженности.

Терминология, характеризующая ценную бумагу «Акция»

Акция – эмиссионная ценная бумага без установленного срока обращения, закрепляющая право на участие в управлении акционерным обществом, право ее владельца на получение части прибыли акционерного общества и части имущества, остающегося после его ликвидации.

Дивиденд – доход на акцию, формирующийся за счет части чистой прибыли, распределяемой среди акционеров.

Курсовая разница – доход по акции, представляющий собой разницу между ценой покупки и ценой продажи акции или разница в рыночных ценах в определенные моменты времени.

Номинальная стоимость акции – стоимость, обозначаемая на акции и фигурирующая в проспекте эмиссии. На ее основе определяется ставка и размер дивидендов.

Рыночная стоимость акции вероятная цена акции, определяемая рыночными условиями, сложившимися в момент реализации акции.

Рыночная цена – цена акции, складывающаяся на свободном конкурентном рынке (вторичном рынке) под воздействием спроса и предложения.

Курс акции – отношение рыночной цены (стоимости) акции к ее номиналу, выраженное в процентах.

Уставный капитал акционерного общества:

,                             (10)

где УК – уставный капитал акционерного общества,

Ноб, Нпр  – номинальная стоимость обыкновенных и привилегированных акций;

Nоб, Nпр – количество обыкновенных и привилегированных акции.

Курс акции: 

 %,                                  (11)

где  Црын – рыночная цена (стоимость) акции;

Н – номинальная стоимость акции.

Рыночная стоимость акции с учетом последующей продажи:

,                               (12)

где  Cрын – текущая рыночная стоимость акции;

i – процентная ставка дисконтирования в долях единицы;

n – номер дивидендной выплаты;

N – общее количество дивидендных выплат;

Дn – периодические дивидендные выплаты, р.;

Ц2 – цена продажи акции.

Рыночная стоимость акции при постоянстве дивидендных выплат:

,                                                          (13)

где  Д – фиксированные дивидендные выплаты, р.

Рыночная стоимость акции при постоянном темпе прироста дивидендов (формула применяется только при i > g):

,                                                (14)

где  Д – первоначальный дивиденд,

g – постоянный темп прироста дивидендов (в долях единицы).

Текущая доходность акций учитывает только дивидендный доход по акциям:

 %,                                      (15)

где  Д – дивиденды по акциям,

Ц1 – цена покупки акции.

Полная (конечная) доходность акций учитывает не только дивидендный доход, но и курсовую разницу, полученную от перепродажи акции:

 %,                     (16)

где  n – количество лет владения акцией;

t – фактическое число дней владения акцией.

Доходность (рентабельность) акционерного капитала (Return on Equity, ROE) – это относительный показатель, характеризующий  доходность бизнеса для его владельцев:

 %,                                                   (17)

где  Пч – чистая прибыль предприятия за год;

АК – среднегодовая величина акционерного капитала.

Доходность акционерного капитала показывает отдачу инвестиций собственников (акционеров) в предприятие и его развитие.

Разновидностью данного показателя является рентабельность обыкновенного акционерного капитала (Return on Common Equity, ROCE):

 %.                               (18)

где   Пч – чистая прибыль предприятия за год;

– масса дивидендов по привилегированным акциям;

АКоб – среднегодовая величина акционерного капитала по сумме обыкновенных акций.

Дивидендное покрытие (Dividend Coverage, DC) – показатель, характеризующий кратность превышения прибыли акционерного общества над суммой выплачиваемых дивидендов:

,                                                                 (19)

где  Пч – чистая прибыль акционерного общества;

Д – сумма дивидендных выплат по акциям.

Показатель дивидендного покрытия характеризует надежность акций и отражает степень риска для инвесторов, ориентированных на текущий доход по акциям. Более высокое покрытие означает, что прибыль может сократиться на бóльшую величину, прежде чем предприятию придется снизить дивиденды.

Частными показателями дивидендного покрытия являются:

• покрытие дивидендов по привилегированным акциям – отношение прибыли предприятия за вычетом процентов по облигациям к сумме дивидендов по привилегированным акциям;
• покрытие дивидендов по обыкновенным акциям – отношение прибыли предприятия за вычетом процентов (купонных выплат) по облигациям и суммы дивидендов по привилегированным акциям к сумме дивидендов по обыкновенным акциям.

Коэффициент выплаты дивидендов (Dividend Payout Ratio, DPR) – показатель, обратный коэффициенту покрытия дивидендов по обыкновенным акциям:

,                                             (20)

где Пч – чистая прибыль акционерного общества;

К – сумма купонных (процентных) выплат по выпущенным облигациям;

Доб, Дприв – сумма дивидендных выплат по обыкновенным и привилегированным акциям соответственно.

Коэффициент характеризует долю прибыли, которая выплачивается в виде дивидендов по обыкновенным акциям.

Дивиденд на обыкновенную акцию (Dividends Per Share, DPS):

,                                                           (21)

где  Доб – сумма дивидендов по обыкновенным акциям;

Nоб – количество обыкновенных акций.

Прибыль на обыкновенную акцию (Earnings Per Share, EPS):

,                                                      (22)

где  Пч – чистая прибыль акционерного общества;

Дприв – сумма дивидендных выплат по привилегированным акциям;

Nоб – количество обыкновенных акций в обращении в текущем периоде.

Прибыль на акцию является одним из широко распространенным показателей, использующихся для оценки и сравнения инвестиционной привлекательности компаний. Прибыль на акцию – один из немногих показателей, который публикуется и оказывает воздействие на рыночные цены акций, правила его расчета зафиксированы в международных стандартах финансовой отчетности.

Дивидендная доходность (Dividend Yield):

,                                                             (23)

где  DPS – дивиденд на одну обыкновенную акцию;

Ц акц рын – рыночная цена акции.

Этот показатель является мерой текущего дохода, т.е. дохода без учета прироста капитала, вложенного в акции. Если дивидендная политика акционерного общества предполагает направление части прибыли в текущем периоде на развитие бизнеса и реализацию будущих планов, то в перспективе дивидендный доход и доходность должны вырасти. Необходимо учитывать, что дивидендная доходность может быть высокой не только по причине увеличивающихся дивидендов, но в связи падением рыночной цены акции.

Отношение рыночной цены акции к прибыли на одну обыкновенную акцию (Price to Earnings, Р/Е) – показатель, обратный дивидендной доходности:

,                                                         (24)

где  Црын – текущая рыночная цена акции;

ЕPS – прибыль на одну обыкновенную акцию.

Данный показатель наряду с EPS применяется для сравнительной оценки инвестиционной привлекательности акционерных компаний. Малые значения коэффициента сигнализируют о недооцененности рассматриваемой компании, большие – о переоцененности.

Стоимость активов, приходящихся на одну акцию (Book Value per Share, BVS):

,                                                                   (25)

где  А – стоимость чистых активов акционерного общества;

Nакц – количество акций.

Различают:

• стоимость активов, приходящихся на одну привилегированную акцию – отношение чистых материальных (физических) активов к количеству привилегированных акций. Чистые материальные (физические) активы определяются исходя из общей балансовой стоимости активов за минусом нематериальных активов, краткосрочной и долгосрочной задолженностей.
• стоимость активов, приходящихся на одну обыкновенную акцию – отношение чистых материальных (физических) активов к количеству обыкновенных акций. Данное отношение показывает, сколько получил бы владелец одной обыкновенной акции в случае ликвидации предприятия. При расчете показателя учитывается, что имущественные претензии держателей облигаций и привилегированных акций удовлетворяются в первоочередном порядке по сравнению с акционерами – владельцами обыкновенных акций. Поэтому стоимость чистых материальных (физических) активов определяется как общая балансовая сумма активов за минусом нематериальных активов, краткосрочной и долгосрочной задолженностей и стоимости выпусков привилегированных акций.

Типовые задачи с решениями        

Оценка доходности купонных облигаций
Задача 1  Компания планирует разместить 8-летние купонные облигации, купонная ставка составит 16% годовых. Размещение облигаций предполагается произвести по курсу 98%, расходы на эмиссию составят 4% от фактически вырученной суммы. Все поступления от продажи облигаций компания получит до начала первого года (нулевой период); выплаты по облигациям будут производиться в конце каждого года. Компания платит налог на прибыль по ставке 24%.
Пусть налоговый щит — r × 1,1. Рассчитаем стоимость данного источника средств для компании и полную доходность покупки облигации для инвестора, приобретающего облигацию при первичном размещении.
Решение: 
n = 8 лет
q = 16 %
P = 98 %
l = 4 %
t = 24 %
N = 100 %
Доходность облигации для инвестора:
YTM = (1 × 0,16 + (1 – 0,98) / 8) / ((1 + 2 × 0,98) / 3) = 0,1647 = 16,47%.
Доходность с позиции компании:
Сb = (1×0,16+ (1–0,98 × (1 – 0,04))/8)/ ((1 + 2 × 0,98 × (1 – 0,04)) / 3) =17,43%.
Рассчитаем окончательную стоимость капитала, полученного от размещения облигационного займа, с учетом налогового щита. Примем ставку рефинансирования в размере r = 11%:
r × 1,1 =11 % × 1,1 = 12,1 % → 17,43 % > 12,1 %.
Тогда Сb = (0,1743 – 0,121) + 0,121 × (1– 0,24) = 0,1453 = 14,53 %.
Ответ: Стоимость данного источника финансовых средств для компании составит 14,53%; доходность покупки облигации для инвестора — 16,47%.

Оценка безотзывных облигаций с годовым начислением процентов
Задача 2.  Рассчитайте сегодняшнюю стоимость облигации при условии, что величина годового купонного дохода составляет 1500 рублей, требуемая норма прибыли 16,4%, срок 5 лет при номинальной стоимости облигации 10000 рублей.
Решение: 
V = sum 1500 / (1 + 0,164)k + 10000/(1 + 0,164)5, где k меняется от 1 до 5;
V = 1500/(1 + 0,164) + 1500/(1 + 0,164)2 + ... + 1500/(1 + 0,164)5 + 4679,88 = 9545,84 руб.
Ответ. Сегодняшняя цена облигации составляет 9545,84 рубля.

Задача 3. 
Определите, какое значение ежегодного дохода, будет соответствовать текущей стоимости облигации в 15000 рублей, если срок до погашения 6 лет при норме прибыли 14,1% и номинал облигации 10000 рублей.
Решение: 
Преобразуем формулу таким образом, чтобы выделить значение ежегодного дохода:
15000 = sum CF/(1 + 0,141)k + 10000/(1 + 0,141)6, где k меняется от 1 до 6;
10468,04 = CF * sum 1/(1 + 0,141)k, где k меняется от 1 до 6;
CF = 10468,04 / (1/1,141 + 1/1,1412 ... 1/1,1416) = 2699,31 рублей.
Ответ. Ежегодный доход облигации будет равен 2699,31 рублей.

Задача 4. 
Сколько времени (целых лет) потребуется, чтобы текущая стоимость облигации превысила сумму в 23500 рублей, если доход на акцию 3900 рублей при норме прибыли 12,9% годовых и номинале акции 12000 рублей? Преобразовать формулу таким образом, чтобы выделить срок действия облигации достаточно трудоемко, поэтому проще решить задачу методом подбора.
Решение: 
23500 = sum 3900/(1 + 0,129)k + 12000/(1 + 0,129)n, где к меняется от 1 до n;
Рассчитаем при n = 8 годам;
V(8) = sum 3900/(1 + 0,129)k + 12000/(1 + 0,129)8, где к меняется от 1 до 8;
V(8) = 3900/1,129 + 3900/1,1292 + ... + 3900/1,1298 + 4546,00 = 23325 руб. меньше 23500;
Рассчитаем при n = 9 годам;
V(9) = sum 3900/(1 + 0,129)k + 12000/(1 + 0,129)9, где к меняется от 1 до 9;
V(9) = 3900/1,129 + 3900/1,1292 + ... + 3900/1,1299 + 4026,57 = 24114 руб. больше 23500;
Ответ. Стоимость облигации превысит 23500 рублей через 9 лет.

Задача 5.
При какой норме прибыли, стоимость облигации будет равна 35000 рублям, если купонный доход 5000 рублей, срок до погашения 6 лет и номинал облигации 20000 рублей?
Решение: 
Преобразовать формулу таким образом, чтобы выделить норму прибыли достаточно трудоемко, поэтому проще решить задачу методом подбора.
35000 = sum 5000/(1 + r)k + 20000/(1 + r)6, где к меняется от 1 до 6;
Рассчитаем при r = 6%;
V(6%) = sum 5000/(1 + 0,06)k + 20000/(1 + 0,06)6, где к меняется от 1 до 6;
V(6%) = 5000/1,06 + 5000/1,062 + ... + 5000/1,066 + 14099,21 = 38685 руб. больше 35000;
Рассчитаем при r = 9%;
V(9%) = sum 5000/(1 + 0,09)k + 20000/(1 + 0,09)6, где к меняется от 1 до 6;
V(9%) = 5000/1,09 + 5000/1,092 + ... + 5000/1,096 + 11925,34 = 34354 руб. меньше 35000;
Рассчитаем при r = 8,52%;
V(8,52%) = sum 5000/(1 + 0,0852)k + 20000/(1 + 0,0852)6, где к меняется от 1 до 6;
V(8,52%) = 5000/1,0852+5000/1,08522+...+5000/1,08526 +12245,35 = 35000 руб. равно 35000;
Ответ. Облигация будет стоить 35000 рублей при норме прибыли равной 8,52%.

Оценка бессрочных облигаций 

Задача 6 
Инвестор приобрел облигацию, которая в течение неограниченного времени может приносить ему ежегодно 50 руб. Предположим, что требуемая инвестором годовая ставка доходности для этого типа облигаций составляет 16%. Приведенная стоимость такой ценной бумаги будет равняться:

Sобл = 50/0,16 = 312,5 руб.

Оценка купонных облигаций 

Задача 7 
Инвестор приобрел облигацию номиналом 1000 руб. с купонной ставкой 10%, которая соответствует ежегодной выплате 100 руб. Предположим, что требуемая в данный момент инвестором ставка доходности для этого типа облигаций составляет 20%, а срок до погашения – 3 года. Приведенная стоимость такой ценной бумаги будет равняться:

Sобл = 100/1,2 + 100/1,22 + 100/1,23 + 1000/1,23 ≈ 789,35 руб.

Задача 8 
Предположим теперь, что вместо ставки дисконтирования 20% для некоторой облигации используется ставка 8% (т. е. новая облигация характеризуется значительно меньшим риском, чем прежняя). Значение приведенной стоимости в данном случае будет иным:

Sобл = 100/1,08 + 100/1,082 + 100/1,083 + 1000/1,083 ≈ 1051,54 руб.

В этом случае действительная стоимость новой облигации Sобл превышает ее номинальную стоимость Nобл, равную 1000 руб., поскольку требуемая ставка доходности оказывается меньше купонной ставки этой облигации. Чтобы купить эту облигацию, в нормальной рыночной ситуации инвесторы готовы платить премию (надбавку к номинальной стоимости)

Оценка отзывной облигации 

Отзывная облигация - это облигация, владелец которой предоставляет эмитенту опцион (точнее «колл»-опцион), позволяющий эмитенту выкупить контрактные платежи по облигациям в любой момент от первой даты отзыва до даты погашения.

Формула расчета отзывной облигации:

Стоимость отзывной облигации = Стоимость неотзывной облигации - Стоимость опциона

Задача 9 
Облигация 4,5% займа была куплена по рыночной цене, которая составляла 96% от ее номинальной стоимости. До момента погашения (7 лет и 240 дней, то есть 7,658 лет) находилась у владельца. Определить доход по облигации к дате погашения.

Решение:
Совокупный доход по облигации определяется по формуле:
Д=iк*Рn*n+Р1,
где iк – ставка купонных выплат по облигации;
Рn – номинальная цена облигации;
n – количество лет, когда облигация находилась у ее владельца;
Р1 – прирост капитала, т. е. разница между рыночной и номинальной ценой облигации.

Д=0,045*Pn*7,658+(Pn-0,96*Pn)=0,385*Pn.

Ответ:  совокупный доход по облигации равен 38,5% ее номинальной стоимости

Задача 10. По облигации номинальной стоимостью 10,0 тыс. руб. в течение 10 лет (срок до ее погашения) будут выплачиваться ежегодно в конце года процентные платежи в сумме 1,0 тыс. руб. (g= 10%), которые могут быть помешены в банк под 11% годовых. Определим цену облигации при разных процентных ставках.

Решение:

Рыночная цена облигации составит:

а рыночный курс:

Содержание практических работ:

Практическое занятие № 9.

Задача 1. Определить ориентировочную рыночную стоимость дисконтной облигации номиналом 1000 р., выпущенной на срок 184 дня, при условии, что рыночная норма доходности составляет 15 % годовых.

Задача 2. Номинал облигации равен 2000 р., купон – 20 % выплачивается один раз в год; до погашения остается два года. На рынке доходность на инвестиции с уровнем риска, соответствующим данной облигации, оценивается в 12 %. Определите рыночную стоимость облигации.

Задача 3. Определить курс облигации номиналом 1000 р., если она продается по цене:  а) 980 р.;  б) 1140 р.

Задача 4. Имеются данные о двух финансовых компаниях (табл. 2).

Таблица 2

Финансовые показатели эмитентов облигаций

Рассчитайте показатель покрытия долга по облигациям активами и, исходя из его значения, укажите, в какую компанию выгоднее инвестировать средства.

Задача 5. Уставный капитал акционерного общества в размере 12000 тыс. р. разделен на 900 обыкновенных и 100 привилегированных акций; предполагаемый размер прибыли к распределению между акционерами – 2500 тыс. р.; фиксированная ставка дивиденда по привилегированным акциям объявлена в 20 %. Определите, на получение какого дивиденда может рассчитывать владелец обыкновенной и привилегированной акции.

Задача 6. За истекший год дивиденд, составил 800 р. на акцию; темп прироста дивиденда равен 3 %; ставка дисконтирования – 15 %. Определите рыночную стоимость акции.

Практическое занятие № 10.

Задача 1. Бескупонная облигация продана инвестором на вторичном рынке по цене 97 % от номинала через 60 дней после своего первичного размещения на аукционе. Для инвестора доходность сделки к аукциону равна доходности к погашению. По какой цене облигация была куплена на аукционе, если срок ее обращения 90 дней?

Задача 2. Оцените рыночную стоимость облигации номиналом 1000 р., с купонной ставкой 14 % годовых и сроком погашения через три года, если рыночная норма доходности – 10 %. Купон по облигациям выплачивается два раза в год.

Задача 3. Облигация федерального займа номиналом         1 тыс. р. приобретена на аукционе по цене 95 % от номинала. За период обращения облигационного займа по облигации выплачены купонные доходы 150, 120, 100 и 100 р. Срок обращения федерального облигационного займа 380 дней. Какова полная доходность этой облигации?

Задача 4. На фондовом рынке реализуются облигации четырех компаний. Данные об облигациях приведены в табл. 1.

Таблица 1

Характеристика облигаций, предлагаемых на фондовом рынке

Проценты по облигациям выплачиваются ежегодно. Определите, облигации какой компании целесообразнее приобрести.

Задача 5. Акционерное общество выпустило 900 простых акций, 100 привилегированных акций и 150 облигаций. Номинал всех ценных бумаг 1000 р. Процент по облигациям 12 %, дивиденд по привилегированным акциям 15 %. Разместите держателей разных ценных бумаг в порядке уменьшения их дохода, если прибыль к распределению между владельцами ценных бумаг за год составила 160 тыс. р.

Задача 6. Балансовая прибыль акционерного общества с уставным фондом 2 млн р. составила 10 млн р. Общее собрание акционеров решило, что оставшуюся после уплаты налогов прибыль распределить следующим образом: 80 % – на развитие производства и 20 % – на выплату дивидендов. Какова ориентировочно рыночная стоимость акций данного акционерного общества, если банковский процент составляет 11 %, номинал акции – 100 р.? Ставку налога на прибыль принять в соответствии с действующим законодательством.

Практическое занятие № 11.

Задача 1. Номинал бескупонной облигации равен 5000 р.; до погашения остается три года. Определите рыночную стоимость облигации, если доходность инвестиций на рынке составляет 20 %.

Задача 2. На фондовом рынке выставлены для продажи облигации предприятия по цене 10 тыс. р. за единицу. Облигации выпущены на пять лет; до погашения осталось два года. Номинальная стоимость облигаций – 12 тыс. р. Проценты выплачиваются один раз в год по ставке 25 % к номиналу. С учетом уровня риска данного типа облигаций норма текущей доходности принимается в размере 20 % в год. Определите текущую рыночную стоимость облигации и ее соответствие цене продажи.

Задача 3. Номинал бескупонной облигации равен 1400 р.; текущая рыночная стоимость – 1100 р.; срок погашения – через три года. Определите доходность этой облигации.

Задача 4. Акция номиналом 10 000 р. и ставкой дивиденда 20 % приобретена инвестором по двойному номиналу. Через год инвестор получил дивиденды и продал акцию. Операция обеспечила инвестору 0,5 р. дохода с каждого инвестируемого рубля. Определите рыночную стоимость этой акции в момент продажи.

Задача 5. Акция со ставкой дивиденда 30 % приобретена по двойному номиналу. Через год инвестор получил дивиденды и продал акцию, получив совокупный доход 18 500 р., обеспечив доходность 70 %. Определите рыночную стоимость акции в момент продажи.

Задача 6. Инвестор приобрел акцию номиналом 1000 р. со ставкой дивиденда 25 %. На момент покупки ставка банковского процента составила 15 %. Определите рыночную стоимость акции.

Литература

Основные источники:

1. Самаров К.Л. Финансовая математика: сборник задач с решениями. - М.: Альфа-М; ИНФРА-М, 2009. - 80с.
2. Самаров К.Л. Финансовая математика: практический курс. - М.: Альфа-М; ИНФРА-М, 2010. - 80с.

Дополнительные источники:

1. Финансовая математика: математическое моделирование финансовых операций / Под ред. В.А.Половникова, А.И.Пилипенко. - М.: Вузовский учебник, 2009. - 360с.
2. Официальный сайт Министерства Финансов Российской Федерации minfin.ru.
3. Экономический информационный сайт Economika.info.
4. Экономическая библиотека  buhcon.com.
5. Библиотека Интернета портал бесплатных книг univer.itop7.com.
6. Финансовая математика. - http://www.finmath.ru/likbez/calculations/1
7. Финансовая математика. - http://matekonomika.narod.ru/data/5.htm
8. Финансовая математика. - http://investment-analysis.ru/financial-mathematics.html