Работа по выявлению и развитию способностей учащихся.
материал по теме

Занимательные задачи как средство выявления и развития математических способностей.

1. Проблема способностей как одна из самых важных проблем педагогики.

a) Некоторые взгляды на общие способности.
б) Математические способности как одна из составляющих целостного развития личности.

2.Исследование занимательных задач как средство выявления и развития математических способностей.

a) Классификация занимательных задач
б) Методика решения логических задач
в) Использование наглядных методов (таблиц и графиков).

3. Требования к занимательным задачам для выявления и развития математических способностей.

Проблема способностей – одна из наиболее интересных и важных для педагогической практики. Её в разных аспектах исследуют психологи, педагоги и методисты. К сожалению, следует отметить, что последние довольно редко обращаются к этой проблеме, да и психологи слабо помогают методистам в решение практических аспектов этой проблемы. А ведь именно проблемы способностей лежат в основе дифференциации обучения вообще и обучения математике в частности. Прежде всего, следует понять, как в психологии трактуют само понятие «способности» и его взаимосвязь с процессом формирования целостной всесторонне развитой личности.

Школа призвана всесторонне развивать всех школьников и тем самым выявлять и учитывать наиболее яркие способности у каждого.
Понятие «способности» употребляется учителем в самых разных сочетаниях: «способный ученик», «одаренный ученик», «талантливый ученик», «У этого ученика есть природные способности», « у него большие задатки» и.т.д. В дидактике и методике преподавания математики мы говорим о творческих, исследовательских, познавательных способностях, о способностях к счету или другим видам математической деятельности .

Проблема способностей широко исследовалась и исследуется психологами России. Одним из основоположников этой теории в нашей стране был С.Л.Рубинштейн. Он писал: « Под способностями обычно понимают свойства или качества человека, делающие его пригодным к успешному выполнению какого-либо из видов общественно-полезной деятельности, сложившегося в ходе общественно-исторического развития».
Б.М. Теплов включал три признака в понятие « способности»: « Во-первых, под способностями разумеются индивидуально-психологические особенности, отличающие одного человека от другого.Во-вторых, способностями называются не всякие, вообще, индивидуальные особенности, а лишь такие, которые имеют отношение к сущности выполнения какой-либо деятельности или многих деятельностей. В-третьих, понятие «способность» не сводится к тем знаниям, навыкам или умениям, которые уже выработаны у данного человека».

Я думаю, последнее замечание спорно, так как знания, умения и навыки, которые уже выработаны у учащихся, также требуют от них определенных способностей.
За последние годы сформировался еще один подход к понятию «способности», который называют функционально-генетическим (В.Д. Шадриков, В.Н. Мяснищев, К.К. Платонов и др.)

Интересны высказывания В.Д. Шадрикова, связанные с общепринятыми, бытовым толкованием «способности»: « Если мы обратимся к толковым словарям, то увидим, что очень часто термины «способный», «одаренный», «талантливый» подчеркивают природные данные человека.

Вообще, я считаю, проблему способностей нужно рассматривать не как самоцель, а как средство понимания целостного развития математических способностей. И математические способности необходимо рассматривать как одну из составляющих целостного развития личности. Вот почему говоря о проблеме способностей, мы не можем не интересоваться так называемыми общими способностями (иногда их называют общей одаренностью человека, его талантливостью).

Развитие общих способностей необходимо не только для достижения успеха, но и обуславливает возможность достижений одновременно в разных областях. Б.М. Теплов выдвинул положение о том, что «талант, как таковой, многосторонен». При этом речь идет «не просто о возможном сосуществовании разных способностей: творческие достижения в разных областях объясняются, прежде всего, наличием некоторых общих моментов в способностях, имеющие значение для разных видов деятельности, в этом – центр проблемы многосторонних дарований».

Для характеристики общих способностей С.Л. Рубинштейн ввел понятие ядро способностей. «Ядром или общим компонентом различных умственных способностей, каждый из которых имеет свои специальные особенности, является свойственная данному человеку качеству процессов анализа…».
Н.С. Лейтес выделяет некоторые параметры общих способностей: «Например, такие психические свойства, как качества умы или качества памяти, находят себе применения в широком круге деятельности. К самым общим относятся и наблюдательность как свойство личности…». Приведенная цитата связывает проблему способностей с проблемой обучаемости.

Не стоит забывать, что математическое образование влияет на развитие личности в целом. Вот почему учитель математики, привыкший думать о достижении успехов в овладении своим предметом, не должен забывать о том, что он участвует в гораздо более важном деле – формировании личности человека, а одновременно в формировании его способностей.

Наряду с общими способностями психологи различают специальные способности. В.Г. Ананьев пишет, что «специальные способности связаны как генетически, так и структурно с одаренностью, а одаренность конкретно проявляется в специальных способностях и развивается в них. Это очевидное положение приходится подчеркивать, так как за последнее время в психологической литературе проявляется тенденция свести всю проблему к изучению специальных способностей, фактически игнорируя явление общей одаренности». Это замечание для нас очень важно, так как при обучении математике в школе многие учителя, думая о формировании математических способностей, мало забоятся об общем развитии личности, а ведь большинство учащихся вовсе не собираются быть математиками. Мы уже неоднократно указывали на влияние математического образования на выявление общей одаренности человека.

В.А. Крутецкий так говорит о специальности способностях: «Задача всестороннего развития способностей, как нам кажется, должна дополняться не менее важной задачей выявления тех детей, которые обнаруживают особые склонности и способности к отдельным видам деятельности (математике, технике, литературе и т.д.) и предоставления им возможностей для дальнейшего развития в этом направлении. Иначе говоря, необходимо ориентироваться на такой подход в обучении, в который, реализуя всестороннее развитие способностей каждого, одновременно максимально содействует росту способностей к тем видам деятельности в обучении, в которых ученик показывает наибольшие успехи и удовлетворяет наибольший интерес».

Нас интересуют конкретный вид специальных способностей – математических способностей. Выше уже говорилось, что ученик, обладая какими-то общими способностями и задатками, развиваясь, развивает их. С другой стороны, так как каждый ученик изучает математику и развивается при этом, то он развивает некоторые математические способности, которые в определенной мере присущи всем или почти всем. Наконец, в процессе обучения математике при определенных задатках у части учащихся развиваются специальные способности к математике. При этом каждый из перечисленных видов способностей у каждого человека развивается индивидуально. Итак, каждый человек (ученик) обладает в определенной мере математическими способностями. Оценить и развить эти способности – задача педагогов.

В качестве материала для выявления математических способностей, для удовлетворения спроса учащихся, обладающих этими способностями, и вообще для показа увлекательности математики человечеством накоплено огромное количество задач. Как правило, это не те задачи, которые решаются в школе на базовом уровне математического образования. Кстати, очень жаль, что указанные интересные, увлекательные задачи недостаточно включены в этот базовый уровень.
Когда требовалось учить и учиться математике, люди прежде всего обратились к забавным задачам и к загадочным историям: «учить играя»- вот первое методическое указание. Это очень перекликается с рассмотренными выше элементами теории мотивации обучения.

Известный популяризатор математики Я.И. Перельман рассматривал одну из особенностей занимательной науки, которая, по его мнению, заключается в том, что «приемы ее не исключают работы ума, а, напротив, пробуждают мысль работать».

Действительно, «умственный труд неразрывно связан с приобретением знаний и занимательная наука ничуть не стремиться освободить от него. Она стремиться лишь сделать этот труд интересным, а потому и приятным, пытаясь опровергнуть тысячелетнюю поговорку о горьком коне учения».
К сожалению, в практике школы не предусмотрено решение задач занимательного характера непосредственно на уроке. Учитель по своему усмотрению может использовать или не использовать подобные задачи, но «ведь для большинства людей, интересующихся математикой, первые живые впечатления от этой науки связываются с задачами или целыми книгами «развлекательного» плана».

В современных работах психологов, математиков-методистов, направленных на изучение мыслительной деятельности в процессе усвоения математических знаний, не только высказывается определенное положительное отношение к занимательному математическому материалу, но делается попытка дать психолого-педагогическую характеристику различного рода задач-смекалок, проанализировать процесс их решения детьми, выявить их значение для умственного развития.

Психологическую характеристику занимательного математического материала можно найти в работах С.Л. Рубинштейна, направленных на изучение процесса мышления. Отмечая роль процессов анализа и синтеза в решении занимательных задач, С.Л. Рубинштейн указывает на то, что « так называемые задачи-головоломки это не особый курьез, стоящий особняком от общих закономерностей мышления… Они своеобразным неразрывным образом связаны с общими закономерностями мышления». Определяя таким образом природу этих задач, С.Л. Рубинштейн подчеркивает сходство головоломок с творческими задачами, так как те и другие составлены на основе знания законов мышления, и в том, что существенные условия, ведущие к решению, в головоломках замаскированы привходящими обстоятельствами, толкающими мысль в надлежащем направлении: «…головоломка возникает в силу того, что ее формулировка специально подчеркивает несущественные для ее решения обстоятельства, так что собственные условия задачи оказываются замаскированными, заслоненными несущественными, привходящими обстоятельствами.

Раскрывая психологическую сторону процесса решения головоломок, С.Л. Рубинштейн подчеркивает роль анализа в их решении, роль догадки как органического звена процесса мышления. На основе экспериментов С.Л. Рубинштейн высказывает «секрет» появления догадки в ходе решения. Догадке как способу решения головоломок предшествует тщательный анализ, выделение в задаче существенных признаков: «…по существу, мы за догадкой находим анализ, продуктом которого она является». Таким образом, по мнению С.Л. Рубинштейна, решение задач-головоломок происходит в результате четкого анализа их условий, в ходе которого и осуществляется поиск пути решения.

Среди немногих работ, выполненных на материале занимательных задач или «задач на соображение», выделяется цикл исследований, проведенных под руководством А.Н. Леонтьева. В них А.Н. Леонтьев ставит проблему нахождения специфического звена мыслительной деятельности. В качестве такого звена он указал на возникновение догадки, идей решения. Выполненные под его руководством экспериментальные работы были направлены на выяснение условий, при которых «опыт испытуемого наводит его на правильное решение, что, собственно, и выражается в так называемой догадке».
Я.А. Пономарев рассматривает психологические механизмы творчества как частный случай взаимодействия сложных систем, приводящего к их развитию. Автор развивает представление о структурных уровнях организации творческой деятельности и приводит к выводу, что верхний из них является логическим, а низший –интуитивным.

В исследовании, направленном на анализ решения задач, Д. Пойа выделяет «задачи на нахождение» и задачи на доказательство. Цель задач первого вида – определить какой-либо элемент как неизвестное задачи. Головоломки Д. Пойа относит к задачам на нахождение. При их решении он рекомендует использовать общие для всех задач на нахождение правила: понять задачу, подобрать, вспомнить вспомогательную, решить часть задачи, сохранить только часть условий, отбросив остальное.

Б.Л. Кордемский подчеркивает особое значение задач-смекалок в развитии у учащихся существенных элементов математического мышления, математической инициативы, которое выражается в желании самому постигнуть проблему, в стремлении к самостоятельным поискам способов и средств решения задачи; сообразительности, логичности, находчивости, гибкости и критичности ума.

Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод, что задачи занимательного характера могут служить инструментом для выявления параметров математических способностей учащихся и прекрасным способом вызвать у учащихся интерес к изучению математики.
Учитывая многообразие различного рада увлекательных, шутливых задач, для обеспечения целенаправленного и эффективного их использования необходима некоторая классификация занимательных задач. Рассмотрим имеющиеся в методической и математической литературе подходы к решению этих проблем.

Г. Ленгауэр, рассказывая о зале математических развлечений г.С.-Петербурге, приводит наборы различных занимательных математических задач. Они подбираются по следующим группам:

1. Задачи, не требующие или почти не требующие математических знаний и основанные на сообразительности и догадке.
2. Задачи, требующие, кроме смекалки, еще и элементарных математических знаний или заставляющие вспомнить эти знания, когда-то полученные в школе.
3. Вопросы и задачи, имеющие целью проверку и уточнение математических знаний школьника. Это главным образом неожиданные сопоставления и выводы, иногда парадоксы и т.п. Группа этих задач разбита на три серии, подобранные для различных классов средней школы.
4. Серия для любителей трудных и остроумных математических задач. Эти задачи для своего решения требуют достаточной математической подготовки, однако не выходят из объема курса средней школы.
5. Задачи для ребят в возрасте 8-12 лет.
6. Задачи-шутки, математические фокусы и развлечения.

М. Гарднер в книге «Есть идея!» разделил собранные в ней задачи на шесть категорий: комбинаторные, геометрические, теоретико-числовые, логические, процедурные и словесные. При этом он отмечает, что данные категории задач взаимоисключающие, они неизбежно перекрываются, и задачи, отнесенные к одной из них, можно было бы включать и в другие.

Более подробно остановимся на классификации, предложенной одним из специалистов в области занимательных задач, Б.Л. Кордемским, который выделяет две категории внеучебных задач.

Первая категория. Задачи, примыкающие к школьному курсу математики, но повышенной трудности – типа задач математических олимпиад.

Вторая категория. Задачи типа математических развлечений. По поводу второй категории Б.Л. Кордемский пишет: «Вторая категория внеучебных задач (очень пестрая по содержанию) прямого отношения к школьной программе не имеет и, как правило, не предполагает большой математической подготовки. Сюда входят задачи различной степени трудности и, прежде всего, начальные упражнения из цикла внешкольных упражнений, развивающих математическую инициативу, т. е. упражнения, предназначенные для тех, кто делает лишь первые шаги в мир математической смекалки: упражнения, пригодные для различного заполнения досуга»

Такая характеристика второй категории задач интересна, но вместе с тем и противоречива. Действительно, эти задачи, с одной стороны, развивают» математическую инициативу», а с другой – эти задачи, как указывает автор, пригодны для «заполнения досуга». Конечно, хорошо, когда ученик на досуге занят на пустым делом, но важнее развивать у него математическую инициативу, поскольку без этого невозможно эффективное обучение в школе. Поэтому все-таки не следует сводить функции этих задач только к заполнению досуга.

На основании исследований Б.Л. Кордемского можно выделить следующие классификации задач. Первый принцип – предметный – по связям с тем или иным предметом школьного курса математики. Второй принцип – операционно-математический – по сюжетам в сочетании с группами однородных операций - действии, применяемых для решения задач, объединенных темой. Отметим, что здесь Б.Л. Кордемский отходит от своей точки зрения, изложенной выше.

О задачах, относящихся к предметным Б.Л. Кордемский ничего не пишет, а из задач, попадающих под его классификации под второй принцип, можно выделить следующие.

1. «Затруднительные положения» (сюжетный стержень: физические действия, выполнение которых затруднено, но может быть осуществлено средствами математической смекалки). Интуитивно понятный тип задач, к которому можно отнести все задачи повышенной трудности, нуждающихся в описании и уточнении.
2. «Геометрия на спичках» (сюжетный стержень: конструирование из спичек модели фигур). Этот вид задач чрезмерно упрощен.
3. «Семь раз примерь, один раз отрежь» (сюжетный стержень: преобразование фигур при помощи перекраивания). Этот вид задач, конечно, можно отнести к задачам второй категории, но, скорее, они находятся на границе между задачами первой и второй категории, так как нуждаются в применении конкретных геометрических знаний.
4. «Умение везде найдет применение» (сюжетный стержень: элементарно-технические и практические вопросы, решение которых требуют участия математической мысли). Сказано красиво, но непонятно.
5. «С алгеброй и без нее» (сюжетный стержень безразличен, операционный стержень: алгебраический путь решения или в самом способе, или в сопоставлении способов решения). Это интересный круг задач: если человек владеет аппаратом алгебры, то задача перестает быть интересной, так как решение элементарно. Вместе с тем для решения таких задач применим принцип математического соревнования, предлагающий выполнить решение без применения алгебры.
6. «Математика почти без вычислений» (операционный стержень: действий почти нет, но для решения нужны искусные рассуждения). К этой группе задач относятся задачи, для решения которых вычисления могут быть совершенно незначительными или совсем отсутствовать, но необходима цепочка рассуждений. Поиск цепочки рассуждений, обеспечивающей решение подобного рода задач, похож на раскрытие тайны и потому волнующе привлекателен.

Особое значение имеют задачи, которые принято называть логическими.

Необходимо подробно раскрыть их содержание и методику решения с учащимися, так как они лежат в основе экспериментального материала для выявления параметров математических способностей.

Традиционно задачи делятся на арифметические, алгебраические, геометрические в зависимости от материала, которым мы оперируем – числа, алгебраические выражения или фигуры.

Рассмотрим задачи произвольной природы, которые решаются так называемым «здравым рассуждением», без привлечения каких-либо специальных математических теорий. Решение всякой задачи в той или иной степени опирается «на рассуждения», но «особую привлекательность имеют те из них, в которых основную, решающую роль играет правильное построение цепочки точных, иногда очень точных, рассуждений». Термин «логическая задача» в методической литературе недостаточно четко определен. В большинстве случаев логическими задачами, как говорилось выше, называют те, для решения которых необходимо лишь логическое мышление и не требуется математических выкладок. Поэтому их можно использовать для работы с учащимися различных классов без явной связи с материалом, изучаемым по школьной программе. Важно, что многие из задач такого рода носят занимательный характер.

К сожалению, задач подобного рода практически нет на страницах школьных задачников. Их можно найти только в сборниках и книгах занимательного характера.

Среди широко распространенных логических задач выделим те, которые решаются способом так называемого «здравого рассуждения», способом предположений, составлением различных таблиц, вычерчиванием графов. Один из наиболее элементарных, примитивных случаев состоит в применении способа перебора.

Рассмотрим задачи, которые можно считать логическими, но решение любой из них опирается на «здравый смысл».

Задача 1. Двое подошли к реке. У пустынного берега стояла лодка, в которой мог поместиться только один человек. Оба они переправились через реку на этой лодке и продолжают путь. Как они это сделали?

Схема рассуждений:
Задачу может решить шаблонное понимание первой фразы: «Двое подошли к реке», которая наталкивает на мысль, что путники шли вместе и в одном направлении.

Изменим немного условие задачи 1.

Задача 2. На берегу реки находится лодочник и одноместная лодка. Двум путникам надо переправиться на другой берег. Как им переправиться на другой берег?

Схема рассуждений:

Говоря о синтетической деятельности, т.е. о тех выводах, которые можно сделать при ознакомлении с текстом задачи, отметим, что таких выводов совсем немного:

• оба путника подошли к одному берегу реки, где были лодка и лодочник;
• оба путника подошли к берегу, где не было ни лодки, ни лодочника;
• путники подошли к разным берегам реки по одному.

Каждую из полученных ситуаций следует изучить отдельно. Например, если путники подошли к одному берегу, где не было ни лодки, ни лодочника, то задача не имеет решения.

Если на одном берегу находятся три мужчины и одноместная лодка, вывод, к которому следует прийти, таков: кто бы ни сел в лодку, чтобы переправиться на противоположный берег, вернуть он её не сможет. Такое заключение есть пример четкости, ясности, краткости словесного выражения мысли.
Каковы могут быть рассуждения по существу третьей ситуации, когда путники подошли к разным берегам реки, т.е. на одном берегу два человека и лодка, на другом берегу один человек? Как будут поступать мужчины в этой ситуации?

Очевидный и важный вывод – лодка может отправиться с того берега, где она находится, на лодке может поплыть либо лодочник, либо путник. Первым надо плыть путнику, а другой вернет лодку лодочнику.

Эта задача подводит ученика:

• к рассмотрению различных случаев;
• к учению рассуждать, правильно делать выводы;
• к выдвижению идей рассуждений, установлению их истинности и ложности.

Задача 3. Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. Как осуществить перевоз, чтобы волк не съел козу, а коза не съела капусту?

Схема рассуждений и ход решения:

Рассудительный ученик должен потребовать такое уточнение текста задачи: при крестьянине никто ничего не ест! Без этого уточнения решать задачу невозможно.

Ознакомившись с текстом задачи, учащиеся могут сделать следующие выводы.

1. Крестьянин может сначала перевезти козу, оставив волка с капустой на одном берегу (волк не ест капусту!).
2. Крестьянин после этого может перевезти либо волка, либо капусту, но он должен с противоположного берега козу увезти назад, чтобы волк не съел её, или она капусту. В этой комбинации перевоза козы назад и заключается необычность идеи, помогающей решить задачу.
3. После этого крестьянин перевозит соответственно капусту или волка.
4. Наконец крестьянин снова перевозит козу.

При решении данной задачи учащемуся прежде всего необходим «жизненный опыт», так как решение задачи не предполагает каких-либо сложных математических выкладок. Главное в этой задаче - «увидеть», что коза ест капусту, волк не ест капусту, но может съесть козу, значит, не следует оставлять на одном берегу волка с козой и козу с капустой. По-видимому, в данной задаче проявляется навык проведения логических рассуждений и характерных для дедуктивного мышления умений находить логические следствия из даны начальных условий. Конечно, при решении этой задачи и при решении любой другой, необходимы навык полноценной логической аргументации, стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решения.

При форматировании аналитико-синтетической деятельности у учащихся представляют интерес так называемые задачи-головоломки или, как называет их английский профессор Смаллиан, « дурацкие штучки».

Приведем пример такой задачи.

Задача 4. Имеются две монеты на сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?

Схема рассуждений и ход решении:

Практика показывает, что эта задача ставит в тупик человека достаточно часто, поскольку увидеть ответ не так уж легко. Это совершенно не страшно, надо просто подробно исследовать ситуацию. Как это делать?

1. На вопрос, какими могут быть две монеты, составляющие сумму 25 копеек, ответ для системы монет нашей страны однозначный: 10 копеек и 5 копеек.
2. Необычность формулировки задачи состоит в том, что указанно: из этих двух монет одна не пятак, т.е. десятикопеечная, зато другая – пятак. При решении данной задачи должно появиться такое качество мышления, как умение абстрагировать.

Нестандартность мышления появляется и при решении таких задач, в которых встречаются слова одного рода, а подразумевается противоположный пол.

Например, такая задача.

Задача 5. Сын отца полковника беседовал с отцом сына полковника. Кто с кем беседовал, если полковника при этом не было?

Схема рассуждений:

Стандартное понимание слова «полковник» приводят к степенному выводу, что полковник – мужчина, но в задаче «полковник» - женщина, т.е. брат полковника беседовал с мужем полковника.

Выше отмечалось, что приведенные задачи требуют своего решения определенного «здравого смысла», но следует указать и на такие задачи, которые содержат в условиях очень много данных. Удерживать в памяти все факты, приведенные в условиях задачи, трудно, поэтому следует использовать вспомогательные записи или таблицы. Эти записи помогают исключить из рассмотрения нерешаемые варианты (противоречащие условию). В соответствующие клетки заносят цифры, показывающие, на основании какого условия заключена та или иная возможность. Предположим, что в задаче речь идет о двух множествах и некоторых парах, в каждой из которых один элемент взят из одного множества, а другой - из другого. Если составить таблицу, поместив у одного входа – элементы одного множества, а у другого входа -элементы другого множества, то после таблицы представит декартово произведение этих множеств. Иногда приходится составлять таблицы с большим числом выходов или рассматривать несколько таблиц. Ниже приведенные задачи, решение которых требует использования вспомогательных таблиц.

Задача 6. Олег, Игорь и Оля учатся в одном классе. Среди них есть лучший математик, лучший спринтер и лучший художник класса. Известно, что:

1. лучший художник не рисовал своего портрета, но нарисовал портрет Игоря;
2. Оля никогда не уступала мальчикам в спринте. Кто в классе лучший математик, лучший спринтер и лучший художник?

В задаче речь идет о двух множествах (множество школьников и множество специальностей). Воспользуемся таблицей 3x3 клетки.

Математик Спринтер Художник
Олег - - +
Игорь + - -
Оля - + -

Из первого условия задачи следует, что Игорь не художник, ставим в таблице «-», во второй строке и в третьем столбце. Из второго условия следует, что Оля лучший спринтер и поэтому ставим знак «+» в третьей строке и во втором столбце, значит Оля не художник. Игорь не художник, художник – Олег, а лучшим математиком может быть только Игорь. Наглядно показано, что таблица значительно облегчает решение задачи.

Иногда приходится составлять таблицы с большим выходов или рассматривать несколько таблиц. В этом случае можно использовать графы. Иногда граф может играть вспомогательную роль в сочетании с другими методами решения.

При отборе задач, предназначенных для той или иной цели, необходимы требования, которым бы отвечала выбранная система задач.

Например, Ю.М.Колягин предъявляет следующие требования к задачам, которые могут быть использованы для развития гибкости мышления:

а) допускают несколько способов решения;
б) требуют конструирования нового способа из ранее изученных, применения вспомогательных приемов;
в) требуют необычного способа решения, при этом полезно завуалировать необходимость необычного способа таким содержанием и структурой, которые по виду напоминают обычную стандартную задачу;
г) решаются известным способом, но необычное содержание задачи маскирует этот способ.

Итак, чтобы использовать занимательные задачи как средство выявления и развития математических способностей учащихся основной школы, можно руководствоваться следующими требованиями:

• задачи должны иметь занимательный характер, быть доступными учащимися, по возможности, опирающимися на программный материал, отличаться от обычных задач, имеющихся в учебниках математики;
• операции, заложенные в структуре решения задачи, должны соответствовать природе диагностируемых параметров математических способностей учащихся;
• задачи должны быть сгруппированы по типам рассуждений.

Развитие математических способностей обучающихся в основной школе.

Стимулирование мотивации обучающихся.

В последнее время наблюдается значительный рост интереса к проблемам математического образования. Это связано с тем, что значение математики в жизни  человеческого общества возрастает с каждым днём. Высокий уровень развития  математики является необходимым условием подъёма и эффективности целого ряда  важнейших областей знаний. Развитие наук в последнее время характеризуется  тенденцией к их математизации, и это касается не только физики, астрономии или химии, но и таких наук, как современная биология, медицина, метеорология, экономика, лингвистика и другие. Математические методы и математический стиль мышления  проникают всюду. Трудно найти такую область знаний, к которой математика не имела бы никакого отношения. С каждым годом математика будет находить всё более широкое применение в разнообразных областях человеческой деятельности. Принципиально область применения математики неограниченна, указывает академик А.Н. Колмогоров. Одной из инициатив, выдвинутой президентом в проекте «Наша новая школа» является поддержка талантливых детей. Задатки есть у всех или почти у всех детей. Развернуть их

в способности  очень сложная задача. И школа совместно с психологами, малым социумом и родителями должна кропотливо находить склонности, задатки, потребности, интересы каждого ребенка и помнить, что и обычных детей надо учить как талантливых.  

Понятие «способности» употребляется учителем в самых разных сочетаниях: «способный ученик», «одаренный ученик», «талантливый ученик», «у этого ученика есть природные способности», «у него большие задатки» и т. д. В дидактике и методике преподавания математики мы говорим о творческих, исследовательских, познавательных  способностях, о способностях к счёту или другим видам математической деятельности. Каждый из учебных предметов в школе (физика, история, физкультура и т. д.) требует наряду с более общими способностями некоторых специальных способностей, обусловленных своеобразием этого предмета. Для успешного выполнения каждой

деятельности необходимы и более общие и более специальные способности. Один из психологов,  исследовавших  математические способности  у  школьников, В.А.Крутецкий   дает  следующее определение математическим способностям: «Под способностями  к  изучению  математики  мы понимаем    индивидуально-психологические,   отвечающие   требованиям   учебной математической деятельности и обусловливающие  на  прочих  равных  условиях успешность  творческого  овладения математикой  как  учебным  предметом,  в частности  относительно  быстрое,  легкое  и глубокое  овладение  знаниями, умениями и навыками в области математики».

Математическая способность характеризуется обобщённым, свёрнутым и гибким мышлением в сфере математических отношений, числовой и знаковой символики и математическим складом ума. Среди  наиболее   важных   компонентов   математических  способностей выделяются специфическая способность к обобщению математического материала, способность к пространственным представлениям,  способность  к отвлеченному мышлению, анализу, синтезу, сравнению. Приемы умственных действий - сравнение, обобщение, анализ, синтез, - в литературе также называют логическими приемами мышления. При организации развивающей работы над формированием и развитием логических приемов мышления наблюдается значительное повышение результативности процесса независимо от исходного уровня развития ребенка. Логические упражнения представляют собой одно из средств, с помощью которого происходит формирование у детей гибкого мышления. В процессе логических упражнений дети учатся сравнивать математические объекты, выполнять простейшие виды анализа и синтеза, устанавливать связи между родовыми и видовыми понятиями.  

Говоря о математических способностях как особенностях умственной деятельности,  следует указать на несколько распространенных заблуждений. Во-первых, многие считают, что математические  способности заключаются прежде всего  в способности к быстрому и точному вычислению (в частности в уме). На самом деле вычислительные способности далеко не всегда связаны с формированием подлинно математических (творческих) способностей. Во-вторых, многие думают, что способные к математике школьники отличаются очень хорошей памятью на формулы, цифры, числа. Однако, как указывал академик Колмогоров, успех в математике меньше всего основан  на

способности  быстро и прочно запоминать большое количество  фактов, цифр, чисел, формул. Наконец, считают, что одним из показателей математических способностей является быстрота мыслительных процессов. Однако быстрый темп работы сам по себе не имеет отношения к математическим  способностям.  Ученик  может работать медленно и неторопливо. Но в то же время вдумчиво, творчески, успешно продвигаясь в усвоении математики.

Чем же характеризуется умственная деятельность способных к математике учащихся? Прежде всего нужно отметить, что способности  к математике сказываются в характере восприятия математической задачи (задачи в широком смысле слова). Способные учащиеся, воспринимая задачу,  сразу выделяют показатели, существенные для данного типа задач, величины, не существенные для  данного типа задач, но существенные для  данного конкретного варианта. Это позволяет способным учащимся при восприятии задачи сразу видеть ее «скелет», освобожденный от всех конкретных

значений и словно просвечивающийся сквозь конкретные данные. Иначе говоря, для способных к математике  учащихся характерно формализованное восприятие математического материала                 (математических объектов, отношений и действий), связанное с быстрым схватыванием в конкретной задаче, в математическом выражении их формальной структуры.

Мышление  способных учеников (в процессе математической деятельности) характеризуется:

• быстрым и широким обобщением  (каждая конкретная задача решается как типовая);
• тенденцией мыслить свернутыми умозаключениями (при наличии очень четко логически
• обоснованной канвы);
• большой подвижностью мыслительных процессов, многообразием аспектов в  подходе к

решению задач, легким и свободным, переключением от одной умственной операции к другой, с  прямого  на обратный ход мысли;

• стремлением к ясности, к простоте, рациональности, экономности (изяществу) решения.

Память  способных к математике учеников различно проявляется по отношению к различным элементам математических систем (задач). Их память имеет обобщенный характер. Быстро запоминаются и прочно сохраняются типы задач и способы их решения, схемы  рассуждений, доказательств, логические схемы. Что же касается памяти на конкретные данные, цифры, числа, то она нейтральна по отношению к математическим способностям. Такие ученики отличаются хорошо развитыми пространственными представлениями. Однако при решении задач они могут обходится  без опоры на наглядные образы (даже там, где задача наталкивает на это). В каком-то смысле

логичность заменяет им «образность», они не испытывают трудностей при оперировании абстрактными схемами.  

Роль интуиции в математическом творчестве очевидна. Весь комплекс неосознанных ощущений напрямую связан с бессознательной частью работы над проблемой, в результате которой возможно озарение. В геометрических  задачах далеко не всегда удается указать алгебраическое решение, приводящее к успеху. Здесь помимо формального знания многочисленных соотношений между элементами геометрических фигур необходимо иметь интуицию и опыт. Важно уметь видеть комбинацию тех или иных геометрических элементов, невидимые пока на рисунке линии, возможно

дополнительные построения, облегчающие анализ задачи.

Компонент творчества в математическом мышлении - способность мыслить в разных направлениях, где в качестве одного из основных показателей выступает оригинальность. В этом случае творческий процесс  включает в себя поиски решений, возникновение и формулирование гипотез, проверку и перепроверку этих гипотез.  Выделим некоторые принципы работы по развитию математических способностей учащихся.

Принцип активной самостоятельной деятельности учащихся. Он требует от учителя четкого выделения времени на объяснение нового материала. Предпочтительно вводить теоретический материал довольно крупными порциями — тем самым быстро осознается достаточно полная система фактов, необходимых для решения задач по данной теме. Но после этого нужно отвести не часть урока, а одно или несколько занятий полностью на решение задач. Обычно ребятам сообщают номера (или тексты) сразу всех 5—6 задач, которые будут решены на уроке или на кружке. Класс работает самостоятельно. Сильные учащиеся при этом загружены весь урок, хотя оформлять решение до конца для них необязательно, достаточно сообщить учителю о том, что получены верные ответы. Основная часть класса справляется с меньшим числом заданий, но при этом тоже работает

самостоятельно. Роль учителя сводится к выборочному контролю, к занятию с отстающими.

Принцип учета индивидуальных и возрастных особенностей учащихся предполагает наличие у учителя четких представлений о возможностях каждого ученика, о динамике роста его потенциала. С учетом этой динамики нужно предлагать индивидуальные задачи. Они должны быть доступными для учащихся средних возможностей. Тем самым ребята предохраняются от обескураживающего действия неудачи. В то же время более способные ребята требуют трудных задач, на которых они могут испытать свои умственные силы. Подготовка индивидуальных заданий требует от учителя широкой задачной эрудиции». К методическим средствам реализации указанного принципа относятся краткие содержательные обсуждения идей и методов решения. На определенном этапе — на рубеже VII—VIII классов — учащиеся начинают понимать, что усвоение нового метода способствует успеху в большей мере, нежели доведенное до конца «кустарное» решение.

Принцип постоянного внимания к развитию различных компонентов математических способностей заставляет отметить сложность проявления этих способностей. Учителя почти никогда не знают, какой подход обеспечит данному ученику наибольший успех и продвижение вперед. Кажется логичным заключить, что наибольшие достижения возможны при достаточном внимании ко всем компонентам математических способностей. Достигается это с помощью правильного подбора тематики задач, рассмотрения различных подходов к решению одной и той же задачи. Полезны приемы, направленные на повышение удельного веса геометрических, наглядных соображений.

Они экономят время урока, так как наглядность может заменить и словесную формулировку условия, и подробную запись решения. При разборе задач очень важно помнить о принципе соревнования. Во внеурочных условиях хорошо зарекомендовали себя различные математические олимпиады, «бои» и т. д., но элементы состязания возможны и на уроке. К соревнованию побуждают следующие вопросы учителя: «Кто решит быстрее? У кого решение получилось самое короткое? Самое простое? Самое неожиданное?» и т. д.

Иногда высказывается мнение, что соревнования травмируют, деформируют сознание школьников и в результате слабые учащиеся еще острее чувствуют свою отсталость, а лучшие «математики» классатзазнаются. Эти опасения имеют основания. Но существуют и меры компенсации: предлагаемые задания должны быть посильны. Следует учитывать также, что учащиеся VII — IX классов уже довольно трезво оценивают свои математические способности.  Рассматривая задачи, доступные учащимся, нельзя забывать о принципе профессионализма. Он требует, чтобы школьники уверенно владели системой опорных задач. Для этого нужна ежедневная работа по закреплению навыков, повторению ключевых идей и методов. Кроме того  необходимо следовать принципу яркости. Это означает, что занятия должны быть разнообразны по форме и интересны  по содержанию. Свою подлинную увлеченность предметом учитель может продемонстрировать подбором красивых и разнообразных задач, рассказами из истории математики.  

В процессе работы над развитием математических способностей обучающихся  ставятся следующие задачи:  

• Создание атмосферы заинтересованности каждого ученика в работе класса и заинтересованности класса в работе каждого ученика.  
• Стимулирование учащихся к высказываниям, использованию различных способов выполнения заданий без боязни ошибиться, получить неправильный ответ. («Не
  ошибается только тот, кто не работает». При решении задач всегда указывать различные

способы их решения, как рациональные, так не рациональные).  

• Использование в ходе урока дидактического материала, позволяющего ученику выбирать

наиболее значимые для него вид и форму учебного содержания.  

• Оценка деятельности ученика не только по конечному результату (правильно-неправильно), но и по процессу его достижения.  
• Поощрение стремления ученика находить свой способ работы (решения задачи), анализировать способы работы других учеников в ходе урока, выбирать и осваивать наиболее рациональные.  
• Создание педагогических ситуаций общения на уроке, позволяющих каждому ученику

проявлять инициативу, самостоятельность, избирательность в способах работы; создание обстановки для естественного самовыражения ученика.

• Создание на уроке комфортной, благоприятной обстановки для каждого ребенка.  

В результате целенаправленной работы по развитию математических способностей у учащихся повышается уровень успеваемости и качества знаний, развивается интерес к предмету. Математические способности  - сложное  структурное  психическое образование, своеобразный синтез свойств, интегральное  качество  ума, охватывающее разнообразные его  стороны  и  развивающееся  в  процессе математической деятельности. Способности - понятие динамическое. Они не только проявляются и существуют в деятельности, они в деятельности создаются, в деятельности и развиваются. Соответственно и математические способности существуют только в динамике, в развитии, они формируются, развиваются в математической деятельности. Надо помнить, что математические способности должны сочетаться с глубокими и действенными

интересами и склонностями к математике. Работая на протяжении ряда лет над проблемой развития математических способностей обучающихся, мы убедились в том, что значительные педагогические усилия необходимо направлять на мотивацию учащихся. Наиболее эффективно ее можно осуществлять за счет целостной организации образовательного процесса, использования прогрессивных образовательных технологий и методов. В подавляющем большинстве учебников и дидактических пособий для средней школы практически отсутствуют задачи, которые способствовали бы подготовке учеников к деятельности творческого характера и формированию у них соответствующих математических способностей. Математические знания учащихся слишком часто

оказываются формальными и невостребованными, у основной массы учащихся не формируется разумный подход к поиску способа решения незнакомых задач.

Поэтому на уроках математики необходимо более активно заниматься развитием навыков в применении общих форм математической деятельности, таких, как:

• использование известных алгоритмов, формул, процедур;  
• кодирование, преобразование, интерпретация:  комбинаторика, классификация, сравнение и синтез;  правдоподобные рассуждения;  
• выдвижение и проверка гипотез, доказательство и опровержение;  
• разработка алгоритмов.

В качестве примера рассмотрим задачи, решение которых способствует развитию у учащихся навыков в использовании общих форм математической деятельности.

1. Использование известных алгоритмов, формул, процедур.

К сожалению, в преподавании математики по-прежнему доминирует подход, связанный с отработкой конкретных методов решений. Существует такой тезис: «Если учащемуся предлагают упражнения только одного типа, выполнение каждого из них сводится к одной и той же операции, если эту операцию не приходится выбирать среди сходных и условия, данные в упражнении, не являются для учащегося непривычными и он уверен в безошибочности своих действий, то учащийся перестает задумываться об их обоснованности». Этот тезис можно подкрепить описанием следующей психолого-дидактической закономерности: последовательность рассуждений (А, В, С.....М),

повторяющаяся при решении однотипных задач, может свертываться до составной ассоциации (А, М). Однако обратный процесс — развертывание — происходит без потерь не у всех учащихся.

Задача 1.  Некоторое число умножили на 3, а затем к полученному произведению прибавили 2. Верно ли, что полученное число больше исходного? Ясно, что За + 2 > а только при а > - 1, но какой процент, к примеру, семиклассников сразу даст верный ответ?

Задача 2. Решите уравнение. Большая часть учеников начнет решение с нахождения ОДЗ и раскрытия модуля. А между тем можно сразу перейти к уравнению.  

Целесообразно задать учащимся такой вопрос: «Как вам кажется, какое уравнение проще

решить, данное выше или уравнение?».  

2. Кодирование, преобразование, интерпретация.

Простейшим примером использования указанных форм деятельности является  замена переменной, перевод задачи с одного математического языка на другой (от алгебры к геометрии и обратно). Кодирование или переформулировка способствует выявлению скрытых свойств объектов (существенных для данной задачи) путем включения их в другую систему связей. Использование разнообразных формулировок задачи способствует ее пониманию. Культура мышления предполагает развитое умение думать об одном и том же на разных языках. Нужно уметь создавать и пользоваться различными моделями. А потому важно научить школьников  переводить условия и результаты с одного языка на другой, т.е. кодировать информацию, понимать смысл (т.е. интерпретировать) полученных в результате исследования результатов. Многие школьные задачи содержат в себе элементы кодирования, преобразования, интерпретации (к примеру, практически все текстовые задачи.  

Задача 3. Докажите, что если от произвольного двузначного числа отнять двузначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, то получится число кратное девяти. Самая первая кодировка, с которой знакомятся школьники в процессе обучения математике, — это десятичная (позиционная) запись натуральных чисел. Если  — исходное число, то, а число, «записанное теми же цифрами в обратном порядке», равно  , поэтому их разность кратна девяти.

3. Классификация и систематизация, сравнение и синтез

Классификация — прием, суть которого заключается в разбиении данного множества объектов на попарно непересекающиеся подмножества (классы) в соответствии с так называемым основанием классификации, т.е. признаком, существенным для рассматриваемых объектов. Систематизация - это объединение объектов или знаний о них путем выявления существенных связей между ними, установление порядка между частями целого на основе определенного закона, правила или принципа. Как писал У. У. Сойер : «Математика — это классификация и изучение всех возможных закономерностей». Однако навыки в проведении классификации и систематизации необходимы далеко не только математикам, но инженерам и врачам, юристам и экономистам, менеджерам и т.д.

В математике часто встречается дихотомия, т.е. разбиение множества на два подмножества. Действительно, натуральные числа разделяются на простые и составные, действительные числа - на рациональные и иррациональные Целые числа можно различать по их остаткам при делении на какое-то число. Естественнее всего классификация появляется при решении комбинаторных задач.

А) упражнения на выделение общих и существенных свойств и понятий.  

Найдите общие свойства в последовательности чисел

1, 4, 9, 16, 25, 36, …(квадраты)

82, 97, 114, 133, …(+15, +17, +19)

Б) Упражнения на классификацию  

Проведите классификацию:

1) понятия треугольник (принимая одновременно во внимание два признака –

сравнительную длину стороны и величину углов);
Проверьте правильность следующих классификаций

• А) треугольники делятся на остроугольные, прямоугольные, тупоугольные, равносторонние, равнобедренные;
• Б) прямоугольники могут быть равносторонними и неравносторонними. Укажите существенные признаки понятий (родовой и видовой).
• А) квадрат (многоугольник с разными сторонами)
• Б) цифра (математическое изображение числа)  Даны три понятия, между первыми двумя существует определенная связь, между третьим и одним из предложенных существует аналогичная связь, надо найти четвертое слово:
• А) слагаемое – сумма; множитель -? (разность, произведение, делитель, умножение)
• Б) диаметр – радиус; окружность -? (дуга, сегмент, отрезок, линия).  

Задания такого типа развивает способности описывать свойства предметов по определенным параметрам, устанавливать связи между различными явлениями, легко переходить от одних связей к другим. Формируется установка на то, что возможны различные способы объединения и расчленения группы предметов, а поэтому не стоит ограничиваться одним правильным решением. Данный тип заданий учит мыслить творчески.

Проблема способностей – это проблема индивидуальных различий. Каждый человек к чему-нибудь оптимально способен, но способности людей не одинаковы. Каждый человек более способен к одним и менее способен к другим видам деятельности. Это ставит перед школой задачу максимально возможного развития всех способностей ученика, уделяя при этом внимание развитию главной, ведущей способности, как основы его будущеё профессиональной направленности. Учитель математики на своих уроках  развивая математические способности учеников,  учитывает возможности и интересы каждого из них.  Правильно организованное математическое образование всегда означает духовный рост, становление личности обучающегося, успешную самореализацию в

будущем. Следовательно, учителя математики должны вести систематическую работу по развитию математических способностей у всех школьников, по воспитанию у них интересов и склонностей к математике и наряду с этим должны уделять особое внимание, проявляющим повышенные способности к математике, организовать специальную работу с ними, направленную на дальнейшее развитие этих способностей.

B заключение подчеркну, что развитие у обучающихся математических способностей напрямую зависит от личности учителя. Если школьникам будет неинтересно с ним, если они не почувствуют роста своих возможностей, то они не захотят заниматься математикой