ТОНКМ с методикой преподавания, заочное отделение, 3 курс
учебно-методический материал по теме

Тема 2. Обучение математике в малокомплектной школе

В малокомплектной школе учитель ведет занятия одновременно с двумя или тремя классами. В течение урока работа с учителем и самостоятельная работа детей чередуются несколько раз: в то время, когда учащиеся одного класса работают под непосредственным руководством учителя, учащиеся других классов работают самостоятельно.

Большое значение для эффективной работы с несколькими классами имеет правильно составленное расписание учебных занятий. Как показывает опыт работы, лучше составлять расписание так, чтобы одновременно во всех классах шли уроки математики. Это не исключает и других сочетаний (например, математика и чтение, математика и природоведение), но сочетание уроков математики во всех классах наиболее продуктивно. В этом случае учителю легче переключать свое внимание при переходе от одного класса к другому, однородный материал меньше отвлекает детей во время их самостоятельной работы. Кроме того, создаются условия для организации общей работы детей всех классов. Например, при проведении устных упражнений можно предложить записанные на доске числа увеличить на несколько единиц (I класс), увеличить в несколько раз (II класс), умножить на 10, 100, 1000 (III класс). При проведении измерений общим может быть задание измерить длину и ширину прямоугольника, имеющегося у каждого ученика, после чего учащиеся I класса составят и решат задачу на разностное сравнение (на сколько сантиметров длина прямоугольника больше его ширины), учащиеся II класса найдут сумму длин сторон его, а учащиеся III класса — площадь прямоугольника. Используя один и тот же чертеж на доске, можно дать посильные задания каждому классу: первоклассникам— сосчитать треугольники внутри четырехугольника и показать их; второклассникам — обозначить вершины фигур буквами и выписать треугольники; третьеклассникам — продолжить стороны данного четырехугольника так, чтобы получился треугольник (два решения). Иногда можно проводить во всех классах однотемные уроки: решение задач, практические работы по измерению, по взвешиванию, экскурсии в природу и на производство. Такая работа возможна только в том случае, когда по расписанию уроки математики идут одновременно во всех классах.

Большое значение для эффективности обучения математике имеет планирование работы. Очень поможет учителю в повседневной работе подробное тематическое планирование (на четверть или полугодие), которое составляется не в отдельности для каждого класса, а для всех классов с указанием темы каждого урока, материала для повторения и для подготовки к изучению следующих тем, содержания проверочных и контрольных работ. При этом рекомендуется составлять план так, чтобы изучение нового в одном классе сочеталось с закреплением пройденного в других классах. Учитель намечает, сколько времени на какой материал и на каком этапе урока будет отведено для непосредственных занятий с учениками каждого класса. Устанавливает для каждого класса содержание и характер заданий самостоятельной работы и форму ее проверки. Планирует порядок чередования самостоятельной работы и занятий с учителем на весь урок так, чтобы все классы были в поле зрения учителя. Чтобы целесообразно распределить время, надо учитывать уровень подготовки детей и их умение самостоятельно работать, степень трудности изучаемого материала, а также дидактическую цель урока в каждом классе (где изучается новый материал, где закрепляется изученное, где проверяются и учитываются знания).

Больше времени учитель отводит на работу с тем классом, в котором изучается новый материал, постоянной помощи требует младший класс, где навыки самостоятельной работы слабее. Но во всех случаях работа должна быть спланирована так, чтобы все классы в течение урока поработали с учителем, поэтому переходы учителя из одного класса в другой должны быть намечены четко.

Работа с учителем проводится при объяснении нового материала, первичном его закреплении, обобщении изученных знаний (по теме, разделу), когда проверяют и учитывают знания учащихся, когда дается инструктаж к выполнению самостоятельной работы. Самостоятельная работа предлагается при проверке домашнего задания, при подготовке к изучению нового материала, при изучении несложного нового материала, при закреплении ранее изученного и нового материала.

Уроки математики, как и другие уроки, расчленяются на несколько организационных этапов, каждый из которых должен быть логически завершенной частью. Особенно важно правильно организовать начало урока так, чтобы все классы сразу включились в продуктивную работу. Приведем один из вариантов организации урока в I—III классах, который рекомендуется для второго полугодия, когда первоклассники уже имеют некоторые навыки самостоятельной работы.

Такая организация урока часто практикуется и соответствует типу урока: объяснение нового материала в одном классе, закрепление изученного в двух других. Возможны и другие типы уроков: во всех классах закрепление изученного материала, в двух классах изучение нового материала, в одном — закрепление. При одновременных занятиях трех классов следует избегать одновременного изучения нового материала во всех классах.

Занятия с учителем должны отличаться особой четкостью, продуманностью всех деталей, целенаправленностью, так как от этого зависит результат работы не только на данном, но и на следующем этапе — при самостоятельном выполнении заданий. Хорошее знание материала, точные вопросы к учащимся, тщательный отбор упражнений и наглядных пособий, заблаговременное оформление необходимых записей на доске, наборном полотне, плакатах и т. п.— все это помогает учителю проводить занятия при активной работе детей.

Часть времени занятий под руководством учителя необходимо выделять на обучение детей приемам самостоятельной работы, на формирование у них общих методов работы над математическим материалом. Работая самостоятельно значительную часть всех уроков, ученик должен постепенно овладеть такими общими приемами самостоятельной работы, как ясное представление цели работы, выполнение ее, проверка и исправление ошибок.

Чтобы сформировать у детей общие приемы работы над математическим материалом, учитель во время занятий с классом намечает вместе с детьми последовательность операций, которая поможет самостоятельно решать аналогичные примеры, уравнения, неравенства, задачи. Эти «опорные пункты» либо записываются на доске (иногда кратко, условно), либо называются устно. Например, обобщая наблюдения учащихся III класса, которые ознакомились по учебнику с умножением величин на натуральные числа, учитель не только предлагает им объяснить решение двух-трех примеров, но и подводит детей к формулировке операций, выполняемых при этом: выразить величину в мелких мерах, умножить, выразить результат в крупных мерах; для этого на доске делается запись, которой дети пользуются при выполнении самостоятельной работы.

Для лучшего усвоения разработанной последовательности операций можно каждому ученику дать готовую карточку с заданиями, например: «Как решать задачу», «Как решать пример на деление многозначного числа» и т. д. Задания могут быть оформлены в виде настенной таблицы. Чтобы дети успели вовремя закончить самостоятельную работу и чтобы хватило заданий на то время, пока учитель работает с другим классом, предусматривается, кроме основной части, дополнительная: основная часть обязательна для выполнения всеми учащимися, дополнительная выполняется только теми учениками, которые быстро справляются с основной частью.

Предлагая задания для самостоятельной работы, необходимо дать краткие, четкие указания не только по ее содержанию, но и по оформлению. Устные пояснения лучше всего подкрепить образцом записи на доске решения одного примера (задачи, уравнения, неравенства и т. д.). Чтобы проверить, правильно ли дети поняли задание, можно предложить одному-двум ученикам рассказать, как они будут выполнять задание, или выполнить ученику одно задание для образца на доске. В том случае, когда задание предлагается устно, надо записать его на доске хотя бы условно, кратко, указать номер задания и страницы из учебника; при составлении примеров с одинаковым ответом этот ответ обозначить разрезной цифрой или сделать условную запись вида: □ + □=6, □ - □=6 и т. п.

Для самостоятельной работы наряду с учебником следует систематически использовать тетради на печатной основе.

Задания для самостоятельной работы иногда даются каждому учащемуся индивидуально. В этом случае можно дифференцировать задания с учетом возможностей каждого ученика, чем обеспечивается более высокая степень самостоятельной работы. Задания оформляются на небольших карточках. Есть готовые карточки, которые выпущены большими тиражами (авторы Н. С. Попова, Г. Б. Поляк, М. И. Моро, И. Д. Павлов, Н. Ф. Вапняр и др.). Аналогичные карточки составляет учитель или может привлекать к изготовлению карточек учащихся, причем выполняется эта работа попутно, когда ученики по заданию учителя на уроке самостоятельно составляют примеры, делают краткие записи к задачам, записывают решение задачи, заполняют таблицу, магический квадрат и т п. и всю работу оформляют на листочке. На следующих уроках эти карточки используются с обратными заданиями: решить данные примеры, составить задачу по краткой записи и решить ее; проверить, правильно ли заполнена таблица, является ли данный квадрат магическим и т. д.

Надо стремиться к тому, чтобы работа, выполненная на уроке детьми самостоятельно, была бы в какой-либо форме проверена в классе; учитель должен выделить время хотя бы на просмотр выполнения и высказать свою оценку, отметить лучшие работы, помочь найти ошибку. В малокомплектной школе особенно большое значение приобретает обучение детей различным приемам самоконтроля. С этой целью, предлагая задания для самостоятельной работы, следует постоянно выяснять, как проверить правильность выполнения заданий, и чаще предлагать выполнять задания с проверкой.

Несмотря на определенные трудности работы учителя в малокомплектной школе (отсутствие постоянного общения с коллективом учителей, сложность подготовки и проведения уроков) имеется ряд положительных моментов в этой работе. Многие учителя малокомплектных школ работают без второгодников и дают своим ученикам глубокие и прочные знания по математике, навыки самостоятельной работы. Учителя малокомплектных школ имеют богатый опыт организации внеклассной работы, в частности внеклассной работы по математике.

Тема 3. Теоретико-множественный смысл частного целого неотрицательного числа и натурального

1. Определения частного целого неотрицательного числа и натурального

Деление целого неотрицательного числа на натуральное число связано с разбиением множества на классы.

Если а – число элементов множества А и множество А разбито на b попарно непересекающихся подмножеств, то частным чисел а и b называется число элементов каждого подмножества разбиения.

Если а – число элементов множества А и множество А разбито на попарно непересекающиеся подмножества, в каждом из которых b элементов, то частным чисел а и b  называется число подмножеств разбиения.

Частным от деления целого неотрицательного числа а на натуральное число b называется целое неотрицательное число с, такое что а = b ∙ с.

2. Название чисел при делении                                а : b = с

Действие, при помощи которого находят частное, называется делением, число а – делимым, число b – делителем.

3. Теорема о существовании частного целого неотрицательного числа и натурального

Для того чтобы существовало частное целого неотрицательного числа a и натурального числа и b, необходимо, чтобы a ≥ b.

Доказательство.

Пусть частное чисел a и b существует, тогда обозначим частное, получим a : b = с,  по определению частного получаем а = b ∙ с. Для любого натурального числа с верно, что с ≥ 1. Умножим обе части последнего неравенства на b, получим b ∙ с ≥ b. Но  b ∙ с = а, поэтому a ≥ b. Что и требовалось доказать.

4. Теорема о единственности частного целого неотрицательного числа и натурального

Если частное целого неотрицательного числа и натурального существует, то оно единственно.

Доказательство.

Применим метод доказательство от противного. Пусть частное целого неотрицательного числа а и натурального числа b существует, но оно не единственно, т.е. а : b = с и а : b = с1, причём, с ≠ с1. По определению частного имеем: а = b ∙ с и а = b ∙ с1. Левые части полученных равенств равны, значит, равны и левые части, т.е. b ∙ с = b ∙ с1. В левой и правой частях равенства одинаковые первые множители, значит, равны и вторые множители, т.е. с = с1. А это противоречит предположению с ≠ с1. Значит предположение неверно и частное единственно.

5. Теорема о невозможности деления на нуль.

Делить на нуль нельзя!

Доказательство.

Для доказательства рассмотрим два случая:

1. 0 : 0. Пусть частное существует, обозначим его через с, т.е. 0 : 0 = с. По определению частого получаем  0 = 0 ∙ с. Это равенство верно для любого с. Т.е. 0 : 0 – любое число. Но в силе теоремы о единственности частного, получаем, что 0 : 0 не существует.
2. а : 0, если а ≠ 0. Пусть частное существует, обозначим его через с, т.е. а : 0 = с. По определению частого получаем  а = 0 ∙ с. Это равенство неверно для любого с, т.к. а ≠ 0. Т.е. а : 0 – не существует.

6. Связь умножения и деления

а - первый множитель, b- второй множитель,  с - произведение.

 а ·  b =  с,   а =  с: b,    b =  с: а

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

а -  делимое, b- делитель,  с - частное.

 а :  b =  с,   а =  с · b,    b =  а: с

Чтобы найти неизвестное делимое нужно делитель умножить на частное.

Чтобы найти неизвестный делитель нужно делимое разделить на частное.

7. Свойства деления

Правило деления суммы на число: если числа а и b делятся на число с, то и их сумма а + b делится на с.  Частное, полученное при делении суммы а + b на число с, равно сумме частных, полученных при делении а на с и b  на с.   (а + b) : с = а : с + b : с.

Правило деления разности на число: если числа а и b делятся на число с, то и их разность а - b делится на с.  Частное, полученное при делении разности а - b на число с, равно сумме частных, полученных при делении а на с и b  на с.   (а - b) : с = а : с - b : с.

Правило деления числа на произведение: если натуральное число а делится на натуральные числа  b и с, то чтобы разделить а на произведение чисел  b  и с,  достаточно разделить число а на b(с) и полученное частное разделить на число  с(b).  а : (b · с) = (а :  b) : с = (а : с) : b.

Правило умножения числа на частное: чтобы умножить число на частное двух чисел, достаточно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на делитель.

 а · (b : с) = (а ·  b) : с = (а : с) · b.

Правило деления  произведения на число: чтобы разделить произведение на число, достаточно один из множителей разделить на  это число и полученное частное умножить  на оставшийся множитель.

 (а · b) : с = (а : с) ·  b = а · (b: с).

8. Виды простых задач на деление

1. Деление по содержанию.
2. Деление на равные части.
3. Уменьшение числа в несколько раз в прямой форме.
4. Уменьшение числа в несколько раз в косвенной форме.
5. Нахождение первого множителя по произведению и второму множителю.
6. Нахождение второго множителя по произведению и первому множителю.
7. Нахождение делителя по делимому и частному.
8. Кратное сравнение чисел с вопросами «во сколько раз больше?», «во сколько раз меньше?»

9. Взаимосвязь деления натуральных чисел с разбиением конечных множеств на классы позволяет обосновать выбор действия деления при решении задач. Например, 15 тетрадей раздали поровну 5 ученикам. Сколько тетрадей получил каждый? Объясните, почему данная задача решается при помощи деления.

Решение. Множество учеников А из 15 элементов разбивается на 5 равночисленных подмножеств. Требуется узнать число элементов в каждом таком подмножестве.

Пусть n(A) = 15, например, А = {z, x, c, v, b, a, s, d, f, g, q, w, e, r, t}. Разобьем множество А на 5 попарно непересекающихся равномощных подмножества: А1 = {z, x, c,}, A2 = {v, b, a}, A3 = {s, d, f},       A4 = {g, q, w}, A5 = {e, r, t}. В каждом таком подмножестве по 3 элемента: n(А1) = n(A2) = n(A3) = n(A4) = n(A5) = 3. Данные действия соответствуют второму определению деления, значит, ответ на решение задачи можно найти делением: 15 : 5 = 3, и каждый ученик получил по 3 тетради.

Ответ: по 3 тетради.

Рассмотрим другую задачу. В коробке 12 карандашей. Их надо разложить в коробки, по 4 карандаша в каждую. Сколько коробок понадобится? Обоснуйте свой выбор действия при решении задачи.

Решение. Множество карандашей С из 12 элементов разбивается на подмножества, в каждом из которых по 4 элемента. Требуется найти количество таких подмножеств.

Пусть С = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Разобьем это множество на непересекающиеся подмножества, в каждом из которых по 4 элемента: С1 = {1, 2, 3, 4}, C2 = {5, 6, 7, 8}, C3 = {9, 10, 11, 12}. Таких подмножеств получилось 3. Значит, согласно первому определению деления, задачу можно решить при помощи деления: 12 : 4 = 3.

Следовательно, чтобы разложить 12 карандашей по 4 карандаша в коробку, то понадобится 3 коробки.

Ответ: понадобится 3 коробки.

10. Пример.

Вычислите различными способами: а) (690 + 23) : 23;      б) (315∙10∙30) : 15;   в) 225∙ (75 : 15).

Решение. а) (690 + 23) : 23 = 713 : 23 = 31. 

Применим правило деления суммы на число: (690 + 23) : 23=690 : 23 + 23 : 23=30 + 1 = 31.

б) (315∙10∙30) : 15 = 94500 : 15 = 6300.

Применим правило деления произведения на число: (315∙10∙30) : 15 = (315 : 15) ∙10∙30 = 21∙10∙30 = 630, (315∙10∙30) : 15 = (315∙10) ∙ (30 : 15) = 3150∙2 = 6300.

в) 225∙ (75 : 15) = 225∙5 = 1125.

Применим правило умножения числа на частное двух чисел:  225∙ (75 : 15) = (225∙75) : 15 = 16875 : 15 = 1125,

225∙ (75 : 15) = (225 : 15) ∙75 = 15∙75 = 1125.

11.  Методика изучения деления целого неотрицательного числа и натурального в начальной школе

• Конкретный смысл действия деления по содержанию
• Конкретный смысл деления на равные части
• Обобщение двух видов деления
• Методика изучения табличного умножения и деления
• Деление суммы на число
• Деление двузначного числа на однозначное.
• Деление двузначного числа на двузначное
• Изучение частных случаев умножения и деления

 Особые случаи умножения и деления в начальных классах

Методика знакомства с вычислительным приемами вида:

• Умножение 1.
• Умножение на 1.
• Умножение 0.
• Умножение на 0.
• Деление одинаковых чисел.
• Деление нуля.
• Делить на нуль нельзя.

Изучение табличного умножения

1. Определения частного целого неотрицательного числа и натурального

Деление целого неотрицательного числа на натуральное число связано с разбиением множества на классы.

Если а – число элементов множества А и множество А разбито на b попарно непересекающихся подмножеств, то частным чисел а и b называется число элементов каждого подмножества разбиения.

Если а – число элементов множества А и множество А разбито на попарно непересекающиеся подмножества, в каждом из которых b элементов, то частным чисел а и b  называется число подмножеств разбиения.

Частным от деления целого неотрицательного числа а на натуральное число b называется целое неотрицательное число с, такое что а = b ∙ с.

2. Название чисел при делении

Действие, при помощи которого находят частное, называется делением, число а – делимым, число b – делителем.

3. Теорема о существовании частного целого неотрицательного числа и натурального

Для того чтобы существовало частное целого неотрицательного числа a и натурального числа и b, необходимо, чтобы a ≥ b.

Доказательство.

Пусть частное чисел a и b существует, тогда обозначим частное, получим a : b = с,  по определению частного получаем а = b ∙ с. Для любого натурального числа с верно, что с ≥ 1. Умножим обе части последнего неравенства на b, получим b ∙ с ≥ b. Но  b ∙ с = а, поэтому a ≥ b. Что и требовалось доказать.

4. Теорема о единственности частного целого неотрицательного числа и натурального

Если частное целого неотрицательного числа и натурального существует, то оно единственно.

Доказательство.

Применим метод доказательство от противного. Пусть частное целого неотрицательного числа а и натурального числа b существует, но оно не единственно, т.е. а : b = с и а : b = с1, причём, с ≠ с1. По определению частного имеем: а = b ∙ с и а = b ∙ с1. Левые части полученных равенств равны, значит, равны и левые части, т.е. b ∙ с = b ∙ с1. В левой и правой частях равенства одинаковые первые множители, значит, равны и вторые множители, т.е. с = с1. А это противоречит предположению с ≠ с1. Значит предположение неверно и частное единственно.

5. Теорема о невозможности деления на нуль.

Делить на нуль нельзя!

Доказательство.

Для доказательства рассмотрим два случая:

1. 0 : 0. Пусть частное существует, обозначим его через с, т.е. 0 : 0 = с. По определению частого получаем  0 = 0 ∙ с. Это равенство верно для любого с. Т.е. 0 : 0 – любое число. Но в силе теоремы о единственности частного, получаем, что 0 : 0 не существует.
2. а : 0, если а ≠ 0. Пусть частное существует, обозначим его через с, т.е. а : 0 = с. По определению частого получаем  а = 0 ∙ с. Это равенство неверно для любого с, т.к. а ≠ 0. Т.е. а : 0 – не существует.

6. Связь умножения и деления

а - первый множитель, b- второй множитель,  с - произведение.

 а ·  b =  с,   а =  с: b,    b =  с: а

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

а -  делимое, b- делитель,  с - частное.

 а :  b =  с,   а =  с · b,    b =  а: с

Чтобы найти неизвестное делимое нужно делитель умножить на частное.

Чтобы найти неизвестный делитель нужно делимое разделить на частное.

7. Правила деления натуральных чисел

Познакомимся с некоторыми свойствами деления натуральных чисел.

Правило деления суммы на число. Если числа а и b делятся на число с, то и их сумма а +  b делится на с. Частное, получаемое при делении суммы   а + b на число с, равно сумме частных получаемых при делении а на с и  b на с, т.е. (а + b) : с = а : с + b : с.

Данное правило верно в том случае, если каждое слагаемое делится на число, то и сумма делится на это число. Если же сформулировать правило наоборот, т. е., если сумма делится на число и каждое слагаемое делится на число, то утверждение может оказаться неверным. Например, сумма чисел 5 и 3 делится на 2, но каждое слагаемое, т.е. 5 и 3, не делится на 2.

Правило деления числа на произведение. Если натуральное число а делится на натуральные числа b и с, то чтобы разделить а на произведение чисел b и с, достаточно разделить число а на b(c) и полученное частное разделить на с(b):   а : (b∙ c) = (a : b) : c = (a : c) : b.

Правило умножения числа на частное двух чисел. Чтобы умножить число на частное двух чисел, достаточно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на делитель, т.е.

a∙ (b : c) = (a ∙ b): c.

Правило деления произведения на число. Чтобы разделить произведение нескольких целых неотрицательных  чисел на натуральное число, достаточно один из множителей разделить на это число и полученное частное умножить на оставшиеся множители, т.е., если а : n, то (a∙b∙c) : n = (a : n)∙ b∙c.

8. Виды простых задач на деление

1. Деление по содержанию.
2. Деление на равные части.
3. Уменьшение числа в несколько раз в прямой форме.
4. Уменьшение числа в несколько раз в косвенной форме.
5. Нахождение первого множителя по произведению и второму множителю.
6. Нахождение второго множителя по произведению и первому множителю.
7. Нахождение делителя по делимому и частному.
8. Кратное сравнение чисел с вопросами «во сколько раз больше?», «во сколько раз меньше?»

9. Взаимосвязь деления натуральных чисел с разбиением конечных множеств на классы позволяет обосновать выбор действия деления при решении задач. Например, 15 тетрадей раздали поровну 5 ученикам. Сколько тетрадей получил каждый? Объясните, почему данная задача решается при помощи деления.

Решение. Множество учеников А из 15 элементов разбивается на 5 равночисленных подмножеств. Требуется узнать число элементов в каждом таком подмножестве.

Пусть n(A) = 15, например, А = {z, x, c, v, b, a, s, d, f, g, q, w, e, r, t}. Разобьем множество А на 5 попарно непересекающихся равномощных подмножества: А1 = {z, x, c,}, A2 = {v, b, a}, A3 = {s, d, f},       A4 = {g, q, w}, A5 = {e, r, t}. В каждом таком подмножестве по 3 элемента: n(А1) = n(A2) = n(A3) = n(A4) = n(A5) = 3. Данные действия соответствуют второму определению деления, значит, ответ на решение задачи можно найти делением: 15 : 5 = 3, и каждый ученик получил по 3 тетради.

Ответ: по 3 тетради.

Рассмотрим другую задачу. В коробке 12 карандашей. Их надо разложить в коробки, по 4 карандаша в каждую. Сколько коробок понадобится? Обоснуйте свой выбор действия при решении задачи.

Решение. Множество карандашей С из 12 элементов разбивается на подмножества, в каждом из которых по 4 элемента. Требуется найти количество таких подмножеств.

Пусть С = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Разобьем это множество на непересекающиеся подмножества, в каждом из которых по 4 элемента: С1 = {1, 2, 3, 4}, C2 = {5, 6, 7, 8}, C3 = {9, 10, 11, 12}. Таких подмножеств получилось 3. Значит, согласно первому определению деления, задачу можно решить при помощи деления: 12 : 4 = 3.

Следовательно, чтобы разложить 12 карандашей по 4 карандаша в коробку, то понадобится 3 коробки.

Ответ: понадобится 3 коробки.

10. Пример.

Вычислите различными способами: а) (690 + 23) : 23;      б) (315∙10∙30) : 15;   в) 225∙ (75 : 15).

Решение. а) (690 + 23) : 23 = 713 : 23 = 31. 

Применим правило деления суммы на число: (690 + 23) : 23=690 : 23 + 23 : 23=30 + 1 = 31.

б) (315∙10∙30) : 15 = 94500 : 15 = 6300.

Применим правило деления произведения на число: (315∙10∙30) : 15 = (315 : 15) ∙10∙30 = 21∙10∙30 = 630, (315∙10∙30) : 15 = (315∙10) ∙ (30 : 15) = 3150∙2 = 6300.

в) 225∙ (75 : 15) = 225∙5 = 1125.

Применим правило умножения числа на частное двух чисел:  225∙ (75 : 15) = (225∙75) : 15 = 16875 : 15 = 1125,

225∙ (75 : 15) = (225 : 15) ∙75 = 15∙75 = 1125.

Методика   изучения   свойства   УМНОЖЕНИЯ   СУММЫ   НА   ЧИСЛО

(a + b) · c = a · c +  b ·  c

• Что изображено на рисунке? (кружки)
• Какого они цвета? (Фиолетовые b красные)
• Сколько фиолетовых кружков в отроке? (3)
• Сколько красных кружков в строке? (2)
• Сколько всего кружков в строке? (5)

• Как получили? (3 + 2)
• Сколько таких строк? (4)
• Как узнать, сколько всего кружков? ( 5 · 4)
• Или по другому? ((3 + 2) · 4)
• Сосчитайте. Назовите ответ. (20)
• Как считали? (3 + 2 = 5, 5 · 4 = 20)

Запись на доске: (3 + 2) · 4=5 · 4 = 20

• Сейчас этот пример, я научу вас решать по-другому.
• Сосчитаем отдельно фиолетовые кружки.
• Сколько фиолетовых кружков в строке? (3)
• Сколько таких строк? (4)
• Как узнать, сколько всего фиолетовых кружков? (3 · 4)
• Запись на доске. (3+2) · 4 = 3 · 4
• Сколько красных кружков в одной ряду? (2)
• Сколько таких рядов? (4)
• Как узнать, сколько всего красных кружков? (2 · 4) Запись на доске. (3+2) · 4 = 3 · 4   2 · 4
• Как узнать, сколько всего кружков? (Сложить фиолетовые и красные кружки)
  Запись на доске. (3+2) · 4 = 3 · 4 + 2 · 4
• Сосчитайте. Назовите ответ. (20)
  Как считали? (3 · 4 = 12, 2 · 4 = 8, 12 + 8 = 20)        
• Запись на доске. (3+2) · 4 = 3 · 4 + 2 · 4 = 12 + 8 = 20.
• Сравни ответы. (Одинаковые)
• Значит, пример такого вида можно решить двумя способами.
• Как умножали сумму на число первым способом? (Нашли сумму, её умножили на число)
• Как умножали сумму на число вторым способом? (Каждое слагаемое суммы умножили на число и полученное произведение, сложили.)
• Итак, чтобы умножить сумму на число двух чисел на число, можно найти сумку и умножить её на число, а можно каждое слагаемое суммы умножить на это число и полученные произведения сложить.

Методика изучения правила нахождения неизвестного множителя

• Что видите на рисунке? (кружки)
• Как расположены кружки? (по 4 кружка в 3 ряда)
• Как узнать, сколько кружков всего? (по 4 взять 3 раза)
• Составим пример на умножение: 4 ∙ 3 = 12
• Как называются числа 4? (первый множитель) 3? (второй множитель) 12? (произведение)
• Пользуясь этим рисунком, составьте задачу на деление. (12 кружков разложили по 4 кружка в ряд. Сколько получилось рядов?)
• Назовите решение задачи.
• Запишем: 12 : 4 = 3.
• Как назывались числа 4, 3, 12 в первом примере? (первый множитель, второй множитель, произведение)
• Что нашли в задаче? (второй множитель)
• Как нашли второй множитель? (произведение 12 разделили на первый множитель 4)
• Как же найти второй множитель, зная произведение и первый множитель? (Чтобы найти второй множитель нужно произведение разделить на первый множитель)
• Пользуясь этим рисунком, составьте ещё одну задачу на деление. (12 кружков разложили поровну в 3 ряда. Сколько кружков в каждом ряду?)
• Назовите решение задачи.
• Запишем: 12 : 3 = 4.
• Как назывались числа 4, 3, 12 в первом примере? (первый множитель, второй множитель, произведение)
• Что нашли в задаче? (первый множитель)
• Как нашли первый множитель? (произведение 12 разделили на второй множитель 3)
• Как же найти первый множитель, зная произведение и второй множитель? (Чтобы найти первый множитель нужно произведение разделить на второй множитель)
• Эти два правила можно объединить в одно: «Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель»

МЕТОДИКА ВВЕДЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПРИМЕРОВ ВИДА 10 · 4, 4 · 10. 40 : 4.

10 · 4

• Прочитайте пример (10 умножить на 4)
• Сколько десятков в числе 10? (1 д.)
• 1 д. · 4, сколько получится десятков? (4д.)
• 4 десятка  - это по-другому, сколько? (40)
• Значит, 10 · 4, сколько получится? (40)
  Запись на доске: 10 · 4 = 40

                                    1 дес. · 4 = 4 дес.

4 · 10

• Прочитайте пример. (4 умножить на 10)
•  Как легче умножить эти числа? (легче 10 умножить на 4)
• Почему? (легче большее число разделить на меньшее)
• Какое правило применяем? (от перестановки множителей произведение не изменяется)
• Значит, 4 · 10, сколько получится? (40)
• Почему? (так как 10 · 4 = 40)
• Запись на доске:  4 · 10 = 40

                                    10 · 4 = 40

40 : 4

• Прочитайте пример (40 разделить на 4)
• В числе 40 сколько десятков? (4 дес.)
• 4 дес.: 4, сколько десятков получится? (1 дес.)
• 1 дес. – это по-другому сколько? (10)
• Значит, 40 : 4, сколько получится? (10)

Запись на доске: 40 : 4 = 10

                             4 дес. : 4 = 1 дес.

• А как еще можно было решить этот пример,  пользуясь первым примером на умножение? (Если произведение 40 разделить на второй множитель 4, то получим первый множитель 10)

40 : 10

• Прочитайте пример (40 разделить на 10)
•  Как решить этот пример, пользуясь первым  примером на умножение? (Если произведи 40 разделить на первый множитель 10 , то получим второй множитель 4)
• Значит,  40 : 10 = 4.
• Но иногда не бывает примеров-помощников, тогда пример решают по-другому:  40 : 10, значит,  нужно найти такое число,  при умножении которого на 10 надо получить 40.
• Пробуем число 2. 10 ·2, сколько получится? (20)
• А должны получить сколько? (40)
• Подходит ли число 2? (нет)
• Пробуем число 3. 10 ·3, сколько получится? (30)
• Подходит ли число 3? (нет)
• Пробуем число 4. 10 ·4, сколько получится? (40)
• Подходит ли число 4? (Да)
• Значит, 40 : 4, сколько получится? (4)

Запись на доске: 40 : 4 = 4

                              10 · 4 = 40

ВНЕТАБЛИЧНОЕ   УМНОЖЕНИЕ   (в «Сотне»).

23 · 4 

• Прочитайте пример.
• Замените число 23 суммой разрядных слагаемых. (20 + 3)
• Какой пример получился?

Запись на доске: 23 · 4 = (20+3) · 4

• Как удобнее умножить, сумму 20 и 3 на 4?

Запись на доске: 23 · 4 = (20 + 3) · 4 = 20 · 4 + 3 · 4

• Сосчитайте. Назовите ответ. (92)
• Как считали? (20 · 4 = 80, 3 · 4 = 12,  80 + 12 = 92)

Запись на доске: 23 · 4 = (20 + 3) · 4 = 20 · 4 + 3 · 4 = 80 + 12 = 92.

• Значит, 23 · 4, сколько получится? (92)
• А теперь послушайте, как будете рассуждать сами в следующий раз.
• 23 · 4. Заменю число 23 суммой разрядных слагаемых,  20и3. Получится пример: сумму чисел 20 и 3 умножить на 4. Удобнее, 20 · 4 = 80, 3 · 4 = 12,  80 + 12 = 92. Значит, 23 · 4=92.

5 ·14       

• Прочитайте пример.

• Как удобнее решить этот пример? (14 · 5)
• Почему? (Легче большее число умножить на меньшее).
• Какое правило применяем? (От перестановки множителей произведение не меняется).
• Сосчитайте. Назовите ответ.(70)
• Значит, 5 ·14, сколько получится? (70)

Запись на доске: 5 ·14 = 70

                            14 · 5 = 70

Конкретный смысл действия деления

1. Подготовительная работа

1. Решение задач вида: «Разделили 8 мячей по 2 мяча. Сколько мальчиков получили мячи?» и «8 карандашей разложили в 2 коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке?» практическим методом без записи решения.

2. Конкретный смысл деления по содержанию

Задача. 8 кружков раздали детям по 2 кружка каждому. Сколько детей получили кружки?

Выполним практически, по 2 кружка раздаю каждому ребёнку.

• Ребята, в этой задаче мы раздавали кружки, т.е. делили их. Значит, это задача на деление.
• Сколько кружков раздавали? (8 кружков)
• По сколько кружков раздавали, делили? (По 2 кружка)
• Сколько человек получили кружки, поднимите руки? (4 человека)
• Пишется это так: 8 : 2 = 4 (чел.)
• Действие деление обозначается двоеточием. Запись читают так: «8 разделить по 2, получится 4» (Повторить хором)
• Графически можно показать так:

3. Закрепление

2. Чтение по учебнику
3. Решение задач:

1.  с помощью иллюстрации
2. Без иллюстрации

4. Составление задач по иллюстрации

4. Конкретный смысл деления на равные части

Задача. 12 карандашей раздали 3 ученикам поровну. Сколько карандашей у каждого ученика?

• Возьмём 12 карандашей. Что нужно сделать с карандашами? (раздать, разделить)
• Раз нужно раздать карандаши, разделить, значит, это задача на деление.
• Сколько нужно взять карандашей, чтобы каждому дать по одному карандашу? (3 карандаша) (Беру 3 карандаша, раздаю трём детям по одному карандашу)
• Все ли карандаши раздали? (нет)
• Сколько нужно взять карандашей, чтобы каждому дать ещё по одному карандашу? (3 карандаша) (Беру 3 карандаша, раздаю трём детям по одному карандашу)
• Все ли карандаши раздали? (нет)
• Сколько нужно взять карандашей, чтобы каждому дать ещё по одному карандашу? (3 карандаша) (Беру 3 карандаша, раздаю трём детям по одному карандашу)
• Все ли карандаши раздали? (да)
• Сколько карандашей раздавали? (12 карандашей)
• Сколько учащихся получили карандаши? (3 ученика)
• По сколько карандашей получил каждый ученик? (по 4 карандаша)
• Пишем: 12 : 3 = 4 (кар.)
• Читается так: «12 разделить на 3, получится по 4» (хором)

5. Обобщение двух видов деления

Задача 1. 6 кружков раздали детям по 2 кружка каждому. Сколько человек получили кружки?

Задача 2. 6 кружков раздали двум детям поровну. Сколько кружков получил каждый ученик?

Работаем над каждой задачей, записываем решения.

6 : 2 = 3 (чел.) (читаем: 6 разделить по 2, получим 3)

6 : 2 = 3 (кр.)   (читаем: 6 разделить на 2, получим по 3)

• Чем похожи задачи? (числа, ответы, действия)
• Чем отличаются? (в первой задаче мы делили по 2, т.к. делили по содержанию задачи, а во второй на 2 равные части)
• Обе задачи на деление.

Методика изучения правила нахождения неизвестного множителя

• Что видите на рисунке? (кружки)
• Как расположены кружки? (по 4 кружка в 3 ряда)
• Как узнать, сколько кружков всего? (по 4 взять 3 раза)
• Составим пример на умножение: 4 ∙ 3 = 12
• Как называются числа 4? (первый множитель) 3? (второй множитель) 12? (произведение)
• Пользуясь этим рисунком, составьте задачу на деление. (12 кружков разложили по 4 кружка в ряд. Сколько получилось рядов?)
• Назовите решение задачи.
• Запишем: 12 : 4 = 3.
• Как назывались числа 4, 3, 12 в первом примере? (первый множитель, второй множитель, произведение)
• Что нашли в задаче? (второй множитель)
• Как нашли второй множитель? (произведение 12 разделили на первый множитель 4)
• Как же найти второй множитель, зная произведение и первый множитель? (Чтобы найти второй множитель нужно произведение разделить на первый множитель)
• Пользуясь этим рисунком, составьте ещё одну задачу на деление. (12 кружков разложили поровну в 3 ряда. Сколько кружков в каждом ряду?)
• Назовите решение задачи.
• Запишем: 12 : 3 = 4.
• Как назывались числа 4, 3, 12 в первом примере? (первый множитель, второй множитель, произведение)
• Что нашли в задаче? (первый множитель)
• Как нашли первый множитель? (произведение 12 разделили на второй множитель 3)
• Как же найти первый множитель, зная произведение и второй множитель? (Чтобы найти первый множитель нужно произведение разделить на второй множитель)
• Эти два правила можно объединить в одно: «Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель»

Методика изучения табличного умножения

Используя таблицу умножения числа 2, вычисли и запомни таблицу умножения на 2:

2*2=…    

2*3 =6      3*2 =…

2*4 =8      4*2 =…

2*5 =10    5*2 =…

2*6 =12    6*2 =…

2*7 =14    7*2 =…

2*8 =16    8*2 =…

2*9 =18    9*2 =…

По первому примеру на умножение составляем два примера на деление.

          2*2=…                       4:2 =…    

2*3 =6      3*2 =…     6:2=…    6:3=…

2*4 =8      4*2 =…     8:2=…    8:4=…

2*5 =10    5*2 =…    10:2=…   10:5=…

2*6 =12    6*2 =…    12:2=…   12:6=…

2*7 =14    7*2 =…    14:2=…   14:7=…

2*8 =16    8*2 =…    16:2=…   16:8=…

2*9 =18    9*2 =…    18:2=…   18:9=…

Для запоминания таблицы умножения существуют такие приемы как:

-      прием счета двойками, тройками, пятерками;

-      прием последовательного сложения – основной прием получения результатов табличного умножения. 

-      прием прибавления слагаемого к предыдущему результату (вычитания из предыдущего результата). 

-      прием взаимосвязанной пары: 2*6 и 6*2 (перестановка множителей);

-      прием запоминания последовательности случаев с ориентиром на возрастание второго множителя;

-      прием «порции»;

-      прием запоминающегося случая в качестве опорного. Например, 5*6 =30, значит 5*7 =30+5 =35;

-      прием внешней опоры.

 В качестве опоры используется рисунок или прямоугольная таблица чисел. Детям, которые обладают плохой механической памятью, можно па первых порах предложить использовать клетчатое поле тетради. Обводя на клетчатом поле прямоугольник с заданным количеством клеток в сторонах, ребенок использует эту модель для контроля полученного результата или просто подсчитывает клетки как умеет.

-      прием запоминания таблицы «с конца»;

-      пальцевый счет при запоминании таблицы умножения. Например, нужно умножить 6 на 7. Зажимаем пальцы на обеих руках в кулак, а затем на каждой руке отгибаем столько пальцев, на сколько каждый множитель больше, чем пять. На двух руках отогнуто три пальца - это число десятков в искомом числе. На одной руке остались прижатыми к ладони три пальца, на другой — четыре пальца. Эти числа перемножаем 3 * 4 = 12 и прибавляем к числу имеющихся десятков. 30 + 12 = 42. Ответ: 6 * 7 = 42.

Приемы запоминания таблицы деления

 - прием, связанный со смыслом действия деления. При небольших значениях делимого и делителя ребенок может либо произвести предметные действия для непосредственного получения результата деления, либо выполнить эти действия мысленно, либо использовать пальцевую модель.

 - прием, связанный с правилом взаимосвязи компонентов умножения и деления. В этом случае ребенок ориентируется на запоминание взаимосвязанной тройки случаев, например: 3*7 =21 21:7 =3 21:3 =7.

 Умножение и деление многозначных чисел

• 70*10
• 5*100
• Умножение трехзначного числа на однозначное
• Деление трехзначного числа на однозначное
• Умножение на 10, 100, 1000
• Умножение числа на произведение

• 15*40, 15*14

• Умножение числа на сумму;      

• 30*13

Методика изучения правила нахождения неизвестного делимого, неизвестного делителя

• Что изображено на рисунке?(кружки)

• Как расположены кружки? (по 2 кружка 3 раза) Сколько всего кружков? (6)
• Составьте задачу на деление? (6 кружков наклеили в 3 ряда поровну. Сколько кружков в одной ряду?)
• Назовите решение задачи. (6 : 3 = 2)
• Как в этой примере называется число 6? (Делимое)
• Как в этой примере называется число 3? (Делитель)
• Как в этой примере называется число 2? (Частное)
• Составьте ещё одну задачу на деление. (6 кружков наклеили в ряды, по 2 кружка в ряд. Сколько получилось рядов?)
• Назовите решение задачи? (6 : 2 = 3)
• Как называлось число 6 в первом примере? (Делимое.)
• Как называлось число 2 в первом примере? (Частное)
• Как называлось число 3 в первом примере? (Делитель)
• Что нашли в задаче? (Делитель)
• Как нашли делитель? (Делимое разделили на частное)
• Какой вывод можно сделать? (По примеру на деление можно составить ещё один пример на деление, на нахождение делителя)
• Как же найти делитель? (Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное).
• Повторить хором.
• По данному рисунку составьте задачу на умножение. (По 2 кружка наклеили в 3 ряда. Сколько всего кружков наклеили?)
• Назовите решение задачи. (2 · 3 = 6)
• Как называлось число 6 в первом примере? (Делимое)
• Как называлось число 2 в первом примере? (Частное)
• Как называлось число 3 в первом примере? (Делитель)
• Что нашли в задаче? (Делимое)
• Как нашли делимое? (Делитель умножили на частное)
• Сделайте вывод, как же найти неизвестное делимое? (Чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель умножить на частное).
• Повторить хором.

Прочитайте вывод по учебнику.

Тема 5. Натуральное число как мера величины (л) – 1 ч

Понятие положительной скалярной величины и ее измерения

Введение

Известно, что числа возникли из потребностей счета и измерения, но если для счета достаточно натуральных чисел, то для измерения нужны и другие числа. Однако в качестве измерения величин будем рассматривать только натуральные числа.

Натуральные числа мы будем рассматривать в связи с измерением положительных скалярных величин – длин, площадей, масс, времени и т.д. Поэтому вспомним некоторые факты, связанные с величиной и ее измерением.

1. Понятие положительной скалярной величины

Рассмотрим два высказывания, в которых используется слово «длина». Многие окружающие нас предметы имеют длину. Стол имеет длину.

В первом предложении утверждается, что длиной обладают объекты некоторого класса. Во втором речь идет о том, что длиной обладает конкретный объект. Обобщая, можно сказать, что термин «длина», употребляется для обозначения свойства, либо класса объектов, либо конкретного объекта из этого класса.

Определение. Под величиной в математике понимают особое свойство предметов и явлений, которое может быть в большей, меньшей или равной степени.

Например, два стола имеют одинаковую длину, а бывают столы, у которых длины разные.

2. Примеры величин из начальной школы

Количество, цена, стоимость, масса, время, расстояние, длина, площадь и др.

Они представляют собой особые свойства окружающих нас предметов и явлений и проявляются при сравнении предметов и явлений по этому признаку.

3. Однородные и неоднородные величины

Величины, которые выражают одно и тоже свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами. В противном случае величины называют разнородными.

Например, длина и расстояние, длина стола и длина комнаты – это однородные величины. Масса и длина – разнородные величины.

4. Измерение величин

Величины, как свойства объектов, обладают еще одной особенностью - их можно оценить количественно. Для этого надо величину измерить. Чтобы осуществить измерение однородных величин,  выбирают величину, которую называют единицей измерения. Ее будем обозначать буквой Е.

Если задана величина А и выбрана единица измерения величины (единица величины) Е (того же рода), то измерить величину  А – это значит найти такое положительное число х, что А = х ∙ Е, то есть узнать сколько раз единица измерения укладывается в измеряемой величине. Полученное число называют численным значением величины или мерой величины при выбранной единице измерения.

Численное значение величины – это число, которое показывает, сколько раз единица измерения или ее часть укладывается в измеряемой величине.

В общем виде, если А = х ∙ Е, то число х называется также мерой величины А при единице Е и пишут х = mе(А).

Например, длина отрезка равна 5 см . 5 – численное значение длины отрезка при единице измерения 1 см. 5 см – это значение длины отрезка.

В практической деятельности при измерении величин пользуются стандартными единицами величин: так длину измеряют в метрах, сантиметрах, дециметрах и т.д.

Результат измерения записывают в виде: 2,7 кг, 13 см, 5 с. Исходя их понятия измерения, эти записи можно рассматривать как произведение числа и единицы измерения величины.

Например, 2,7 кг = 2,7 ∙ кг , 13 см = 13 ∙ см.

5. Виды величин

1. Скалярная величина (определяется одним числовым значением). Пример: длина, масса.
2. Положительная скалярная величина (принимает только положительные  числовые значения). Пример: длина, масса, время, стоимость, количество товара.
3. Векторная величина (характеризуется числом и направлением).  Пример: скорость ветра, сила.
4. Тензорная величина (характеризуется несколькими числами, в школе не изучаются).  Пример: физическое состояние спортсмена, паспортные данные человека.
5. Латентная величина (нематематическая, им нельзя поставить в соответствие число, сравнение происходит на интуитивной основе). Пример: ум, красота.

6. Переход от сравнения чисел к сравнению величин и наоборот

При выполнении операций с величинами выполняют действия с их числовыми значениями при указанной единице измерения.

1). Если величины А и В измерены при помощи единицы величины Е, то отношения между величинами А и В будут такими же, как и отношения между их числовыми значениями, и наоборот:

- величины равны тогда и только тогда, когда равны их численные значения при одной и той же единице измерения. Например, 3 см = 3 см, так как единицы измерения одинаковые и 3 = 3.

- Величина А больше величины В тогда и только тогда, когда мера величины А больше меры величины В при одной и той же единице измерения. Например, 5 см > 3 см, так как единицы измерения одинаковые и 5 > 3.

- Величина А меньше величины В тогда и только тогда, когда мера величины А меньше меры величины В при одной и той же единице измерения. Например, 5 см < 7 см, так как единицы измерения одинаковые и 5 < 7.

2). Чтобы найти численное значение суммы величин, достаточно сложить численные значения этих величин при одной и той же единице измерения.

Например, А = 5 кг, В = 3 кг, то А + В = 5 кг + 3 кг = (5 + 3)кг = 8 кг.

3). Чтобы умножить величину на число достаточно умножить на это число численное значение величины при той же единице измерения.

Например, А – 2 кг, масса В в 3 раза больше массы А, то В = 3А = 3 ∙ (2 ∙ кг) = (3 ∙2) ∙кг = 6 кг.

В математике при записи произведения величины А на число х принято число писать перед величиной, то есть х ∙ А.

7. Использование величин в задачах

Рассмотренные понятия – объект (предмет, явление, процесс), его величина, численное значение величины, единица величины – надо уметь вычленять в задачах.

Математическое содержание предложения «Купили 3 кг яблок» можно описать следующим образом:

- в предложении рассматривается такой объект, как яблоки;

- его свойство – масса;

- для измерения массы использовали единицу массы – килограмм;

- в результате измерения получили число 3 – численное значение массы яблок при единице массы – килограмм.

8. Действия с однородными величинами

1. Любые две однородные величины сравнимы: они либо равны, либо одна меньше  другой.

Например, длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше длины любого катета. Масса яблока меньше массы арбуза. Длины противоположных сторон прямоугольника равны.

2. Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: если А < В, В < С, то А < С.

Например, если площадь первого треугольника меньше площади второго треугольника, а площадь  второго треугольника меньше площади третьего треугольника, то площадь первого треугольника меньше площади третьего треугольника.

3. Однородные величины можно складывать, при этом получается величина того же рода. Например, А – масса арбуза, В – масса дыни, то С = А + В – это масса арбуза и дыни. Очевидно, А + В = В + А и (А + В) + С = А + (В + С), где С – масса лимона.
4. Однородные величины можно вычитать, при этом получается величина того же рода.

Например, если А =5 см, В = 3 см, 5 см – 3см = (5 - 3) см = 2 см

5. Величину можно умножать на положительное действительное число, в результате получают величину того же рода.

Например, 5 см * 2  = (5 *2) см = 10 см

6. Однородные величины можно делить, в результате получается величина другого рода, а при решении примеров – отвлеченное число. Например, 6 см : 2 см = 6 :2  = 3.

9. Смысл действий сложения, вычитания, умножения и деления натуральных чисел, полученных в результате измерения величин

Выясняя смысл натурального числа как меры величины, все рассуждения будем вести на примере величины – длины отрезка.

1. Уточнение понятия «отрезок состоит из отрезков»

Определение. Считают, что отрезок х состоит из отрезков х1, х2, …, хn, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы. 

2. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величин.

Натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольки единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется.

При выбранной единице длины  это число единственное.

Замечания.

1). При переходе к другой единице длины численное значение длины заданного отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным.

2). Равные отрезки имеют равные меры при одной и той же единице измерения.

Аналогично можно истолковать смысл натурального числа и в связи с измерением других величин.

3. Смысл суммы натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков y и z и длины отрезков y и z выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей.

Из теоремы следует, что сумму натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины отрезка х состоящего из отрезков y и z, мерами которых являются числа а и b.

Аналогичный смысл имеет сумма натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Задача. В саду собрали 7 кг смородины и 3 кг малины. Сколько всего килограммов ягод собрали?

В задаче две величины – масса смородины и масса малины. Известны их численные значения. Требуется найти численное значение массы, которое получится, если данные массы сложить. Для этого, согласно рассмотренной теореме, надо сложить численные значения массы смородины и массы малины, то есть получить выражение  7 + 3. Это математическая модель данной задачи. Вычислив значение выражения  7 + 3 получим ответ на вопрос задачи.

4. Смысл разности натуральных чисел, полученных в результате измерения величин

Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков y и z и длины отрезков y и z выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка z равна разности мер длин отрезков х и у.

Из теоремы следует, что разность натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины такого отрезка z  = х y, что z  y = х, если мера длины отрезка х равна  а,  мера длины отрезка у равна  b.                            

Аналогичный смысл имеет разность натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Пример. Купили 7 кг картофеля и капусты. Сколько килограммов картофеля купили, если капусты было 3 кг?

В задаче рассматривается масса овощей, известно ее численное значение. Эта масса складывается  из массы картофеля и массы капусты, численное значение которой так же известно. Требуется узнать численное значение картофеля. Т.к. массу картофеля можно получить, вычитая из всей массы купленных овощей массу капусты, то численное значение массы картофеля находят действием вычитания 7 – 3. вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи.

5. Задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц

Задача. Купили 3 кг моркови, а картофеля на 2 кг больше. Сколько килограммов картофеля купили?

В задаче речь идет о двух величинах – массе моркови и массе картофеля. Численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что картофеля на 2 кг больше, чем моркови.

Если построить вспомогательную модель задачи, то сразу можно увидеть, что картофеля купили столько же, сколько моркови и еще 2 кг, то есть масса картофеля складывается из двух масс (3 кг и 2 кг), и чтобы найти ее численное значение надо сложить численные значения масс – слагаемых. Полученное выражение 3 + 2, значение которого и будет ответом на вопрос задачи.

6. Смысл произведения натуральных чисел, полученных в результате измерения

Сложение и вычитание натуральных чисел связано со сложением и вычитанием величин. С каким действием связано умножение и деление натуральных чисел? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим задачу.

Задача 1. Купили 3 пакета муки по 2 кг в каждом. Сколько килограммов муки купили? 

        В этой задаче речь идет о массе муки, которая сначала измерена пакетами, и известно численное значение этой массы при указанной единицы массы. Требуется найти результат измерения той же массы муки, но уже при помощи другой единицы – килограмм при условии, что пакет – это 2 кг.

Рассуждения, связанные с поиском численного значения массы муки при единице – кг, можно представить в таком виде: 3 пак. = 3 · пак. = 3 · (2 кг) = 3 · 2 ·кг = (3 · 2) · кг

Видим, что ответ на вопрос задачи находится умножением и что оно оказалось связанным с переходом (в процессе измерения массы) от одной единицы массы к другой, более мелкой.

Умножение натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице длины: 

        Если натуральное число а – мера длины отрезка х при единице измерения длины Е, натуральное число b – мера длины отрезка Е при единице измерения длины Е1,то произведение а · b – это мера длины отрезка х при единице длины Е1.

Аналогичный смысл имеет произведение натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.

7. Смысл частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

Задача 2. 6 кг муки надо разложить в пакеты, по 2 кг в каждый. Сколько получилось пакетов?

В задаче рассматривается масса муки, которая сначала измерена при помощи единицы массы – килограмм, и известно численное значение этой массы при указанной единице массы. Требуется найти результат измерения массы, но уже при помощи другой единицы – пакета, причем известно, что пакет –это 2 кг.

        Рассуждения,  связанные с поиском численного значения массы муки при единице – пакет, можно представить в таком виде: 6 кг = 6 · кг = 6 · (1/2 пак.) = (6 · 1/2) · пак. = (6 : 2) · пак.

Видим, что ответ на вопрос задачи находится делением и что оно связано с переходом (в процессе измерения массы) от одной единицы массы к другой, более крупной.

Деление натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице длины: 

        Если натуральное число а – мера длины отрезка х при единице измерения длины Е, натуральное число b – мера длины отрезка Е1 при единице измерения длины Е, то произведение а : b – это мера длины отрезка х при единице длины Е1.

Аналогичный смысл имеет деление натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин. Заметим, что такая трактовка возможна только для деления по содержанию.

         Итак, умножение и деление натуральных чисел – мер величин оказалось связанным с переходом от одной единицы измерения величины к другой в процессе измерения одной и той же величины.

8. Другое обоснование умножения натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

Однако выбор действия умножения и деления при решении текстовых задач с величинами можно обосновать иначе, используя понятее умножения величины на натуральное число.

Задача 3. Купили 3 пакета муки по 2 кг в каждом. Сколько килограммов муки купили?

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо массу 2 кг повторить слагаемым 3 раза, то есть массу 2 кг умножить на число 3. численное значение численной при этом величины находим, умножив численное значение этой массы муки в одном пакете на число 3. произведение 2 · 3 будет математической моделью данной задачи вычислив его значение будем иметь ответ на вопрос задачи.

9. Другое обоснование  частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин

Если В = А · х, где х – натуральное число, В и А – величины одного рода, то с помощью деления можно решить две задачи:

- зная А и В, находим число х (х = В : А), причем х = mЕ(В) : mЕ(А), это деление по содержанию.

        - зная В и х, находим А. (А = В : х), причем mЕ(А)= mЕ(В) : х, это деление на равные части.

С этих позиций выбор действия при решении задачи 2 «6 кг муки разложили в пакеты по 2 кг в каждый. Сколько получилось пакетов?» можно обосновать так. В задаче надо узнать, сколько раз масса в 2 кг укладывается в 6 кг, то есть массу 6 кг разделить на массу 2 кг. В результате должно получится число, которое находим, разделив численное значение одной величины на численное значение другой. Таким образом, получим частное 6 : 2. Его значение  и будет ответом на вопрос задачи.

10. Трактовка умножения и деления при решении задач с отношениями «больше в», «меньше в»

Задача 3. Купили 3 кг моркови, а картофеля на 2 кг больше. Сколько килограммов картофеля купили?

В задаче рассматривается масса моркови и масса картофеля, причем численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что оно в 2 раза больше первой.

Если построить вспомогательную модель задачи, то сразу можно увидеть, что масса картофеля складывается из двух масс по 3 кг, и, следовательно, ее численное значение можно найти умножив  3 на 2.. Найдя значение выражения 3 ·  2, получим ответ на вопрос задачи .

10.        Методика изучения величин в начальной школе

Дециметр

Цели:

1. Познакомить детей с основной единицей длины – дециметром.
2. Показать, как измеряют полоски дециметром;  
3. Учить выражать в сантиметрах длину полоски, заданной в дециметрах.

 Оборудование: полоска длиной 1дм (3 шт.у каждого).

1. Работа над новым материалом.

• Небольшие отрезки, полоски, предметы - удобнее измерять сантиметром. Попробуем сантиметром измерить ширину парты или окна.
• Удобно ли это сделать?
• Поэтому нам для измерения больших полосок нужна более крупная единица, так как маленькой меркой измерять неудобно. Такой меркой является дециметр (показать).
•  Одну из заготовленных дома полосок (в 1дм) разбейте на сантиметры.
• Сколько сантиметров в 1дм? Запишем:10см = 1 дм (на доске и в тетради).
• Прочитать слово «дециметр», соотношение: 10см = 1дм.

2. Упражнения в составлении полосок и в нахождении их длины

• Положите две полоски (по дециметру каждая) так, чтобы конец одной и начало другой совпали (показать).
• Какой длины получилась полоска? (2 дм или 20 см).
• Положите еще одну полоску. Теперь какой длины стала вся полоска? (3 дм или 30см).
• Хором: 10см да 10 см - 20см, да  10 см – 30 см.
• Присоедините 3 дм к 3 дм. Сколько дециметров уложилось в большой полоске? (6 дм)
• Сколько это сантиметров? (60 см)

3. Упражнения в измерении с помощью дециметра (из учебника)

 Практическая работа, которую выполняет каждый ученик.

• Например, отмерить от шпагата 3 дм - 1чел., 5дм - 2чел.
• На сколько дециметров один шпагат больше другого?
• Как узнали? Проверим измерением.
• Измерить высоту стола (парты) - 1чел.
• Высоту стула - 2чел,
• Решить задачу на сравнение. (При необходимости ввести слова «около 7 дм», немного больше (меньше) 4дм.)

Год. Месяц. Неделя (2 класс)

• Какой сейчас идет месяц?
• Какой месяц был до него?
• С какого месяца начинается год?
• Сколько всего месяцев в году?
• Чтобы знать, как называются месяцы, какой месяц идет за каким и сколько в каждом месяце дней, полезно чаше обращаться к календарю.
• Для чего нужен календарь?        ,
• Какие календари вы видели? (знакомство с разными видами календарей)
• Умеете ли вы пользоваться календарем?

Работа до табелю-календарю

• Посмотрите на табель-календарь и ответьте на вопросы.
• С какого месяца начинается год?

• Назовите месяцы до порядку.
• Какой сейчас месяц?        
• Какие ещё месяцы будут в этом году?
• Сколько дней в январе?
• Назовите месяцы, в которых столько же дней, сколько в январе.
• Назовите месяцы, в которых по 30 дней.
• Какой месяц не назвали? (февраль)
• Почему? (В нем 28 дней)
• В феврале бывает 28 или 29 дней.
• Все месяцы разбиты по неделям.
• Сколько дней в неделе?
• Назовите их.
• Какого числа начинается Новый год? (1 января)
• На какой день он приходится?
• Каким днем недели является в этом году 8 марта, 1 сентября, 31 декабря?
• Которым по счету месяцем идет в году январь, май, декабрь?
• Как называется месяц, который идёт в году 9-ым по счёту? 11-ым?
• Какой месяц наступил, если с начала года прошло 7 полных месяцев? 9? 1?
• Сколько полных месяцев прошло с начала года, если наступил  месяц май? сентябрь? декабрь? март? август?
• Нужно уметь записывать дату, а при задней даты используют нумерацию месяцев. Так ваши родители запишут дату сегодняшнего урока: 23.I.
• Январь, первый месяц обозначают римской цифрой I.

На доске таблица.

Январь -  I 

Февраль - II        

Март - III        

Апрель - IV

Май – V

Июнь – VI

Июль – VII

Август – VIII

Сентябрь – IХ

Октябрь – Х

Ноябрь – ХI

Декабрь – ХII

Методика знакомства с ЛИТРОМ

ОБОРУДОВАНИЕ: различные сосуды емкостью I литр: банка, бутылка, кружка; посуда и сосуды другой ёмкости.

• Кто из вас покупа

л молоко или квас? Чем отмеривал продавец молоко или квас?Показать литровую кружку и сказать, что в этой кружке содержится 1 литр жидкости. Сокращенно записывают так: 1 л (без точки).Практические работы: Выясним вместимость различных сосудов.1) Игра в «магазин».Один ученик будет продавцом. В ведрах налито молоко (вода). Несколько детей получают банки и бидоны, они покупатели. По требованию покупателей продавец наливает 1л, 2л, 3 л молока. Все остальные дети следят, правильно ли отпускает продавец молоко.2) Предлагается измерить, сколько литров молока вмещается в кастрюлю, в банку и т.д. При этом предварительно следует спросить детей, как они думают, сколько литров вмешает тот или иной сосуд. Пусть они запишут свое число, после измерения проверят,правильно ли они определили, сколько воды вмешает сосуд.
3)   Налито в одно ведро 5 л воды, а в другое – 3 л. Как сделать, чтобы воды в ведрах стало поровну?
а) Можно перелить 1 л воды из первого ведра во второе.б)        Можно из первого ведра вылить 2 л воды.в) Можно во второе ведро влить 2л воды.Методика знакомства с КИЛОГРАММОМ1) На урок принести несколько предметов, масса каждого из которых равна I кг (пачка соли, мешочек с крупой).Дать детям подержать в руках предметы с такой массой и сравнить их с предметами, которые тяжелее или легче их. Отберите 2-3 предмета одинаковой массы. Каждый из отобранных предметов имеет массу в 1 кг, такую же, как и килограммовая гиря (гири предложить подержать в руках).2) Теперь с помощью весов проверим, что каждый из отобранных предметов весит 1кг
а остальные больше или меньше 1кг. (Показать, как пользоваться весами)3) Отвешивание товара.Отвесить 1, 2, 3 кг соли, крупы и т.д. (Например, 1 человек ставит гирю на весы, другой насыпает соль, а остальные объясняют процесс взвешивания, что перевешивают что надо сделать, чтобы весы пришли в равновесие, сколько кг крупы или соли отвесили и т. п.)Попутно показать, как записывается результат. Полезно записать (подсчитать), сколько картофеля (лука, моркови и т.п.) идет на килограмм.4) Знакомство с набором гирь (1 кг, 2 кг, 3 кг).
5) Взвешивание специально подобранных предметов, масса которых выражается целым
числом килограммов. (Вначале установить груз на весах, а потом подобрать гири)Единицы измерения площадиЗнакомство с квадратным сантиметромУ детей на партах квадраты со стороной 1см.Как называется фигура? (Квадрат)Чему равна сторона квадрата? (1 см)Квадрат со стороной 1 см называется квадратным сантиметром (словарная работа)Пишется так: 1 см2Изобразите в тетради квадратный сантиметр и подпишите 1 см2Сколько квадратных сантиметров в прямоугольнике? (У детей прямоугольники со сторонами 5 см и 1 см,  разбитые на квадраты со стороной 1 см)Чему же равна его площадь? (5 см2)Закрепление по учебникуЗнакомство с квадратным дециметром (аналогично)У детей на партах квадраты со стороной 1дм.Как называется фигура? (Квадрат)Чему равна сторона квадрата? (1 дм)Квадрат со стороной 1 дм называется квадратным дециметром (словарная работа)Пишется так: 1 дм2Изобразите в тетради квадратный дециметр и подпишите 1 дм2Рассмотрите квадрат с обратной стороны. Что с ним сделали? (Разбили на маленькие квадраты)Измерьте сторону маленького квадрата. Чему она равна? (1 см)Как называется квадрат со стороной 1 см? (квадратный сантиметр)Узнаем, сколько квадратных сантиметров в квадратном дециметре. Сосчитайте, сколько квадратных сантиметров в ряду ( 10 см2)Сколько таких рядов? (10)Как узнать, сколько всего квадратных сантиметров в квадратном дециметре? (10 см2 · 10 = 100 см2)Итак, 1 дм2 = 100 см2.Закрепление по учебникуЗнакомство с квадратным метром (модель квадратного метра на доске)Аналогично выводится правило: 1 м2 = 100 дм2Сколько квадратных сантиметров в 1 квадратном дециметре? (1 дм2 = 100 см2)Сколько квадратных дециметров в 1 квадратном метре? (1 м2 = 100 дм2)Как узнать, сколько квадратных сантиметров в 1 квадратном метре? (100 см2 · 100 = 10000 см2)Измерение площади фигуры палеткойПалетка – прозрачная пластина (плёнка), разбитая на квадраты (квадратные сантиметры).Найдём площадь фигуры, составленной из полных и неполных квадратов.Наложим палетку на фигуру.Сосчитайте, сколько полных квадратов получилось? (6)Сосчитайте, сколько неполных квадратов (14)Разделим количество неполных квадратов на 2, сколько получилось: (14 : 2 = 7)Площадь фигуры равна сумме полученных чисел 6 и 7, сколько получится? (13)Площадь фигуры равна 13 см2.Площадь фигуры с помощью палетки измеряют приближённо.

Тема 6. Алгоритмы действий (Алгоритмы арифметических действий сложения, вычитания, умножения, деления над многозначными числами в десятичной системе счисления)  (л) – 5 ч

1. Сложение чисел в десятичной системе счисления
2. Вычитание чисел в десятичной системе счисления
3. Умножение чисел в десятичной системе счисления
4. Деление чисел в десятичной системе счисления

6.1. Сложение чисел в десятичной системе счисления. Алгоритм сложения

Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей сложения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком. Например,

+   341

   7238

   7579

Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические положения лежат в его основе. Проиллюстрируем теоретические основы алгоритма сложения, вычислив суммы: 532+8347.

Представим слагаемые 532 и 8347 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами:

=(5*102+3*10+2) + (8*103+3* 102+ 4*10 +7)

Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок:

=5*102+3*10+2 + 8*103 + 3* 102 + 4*10 +7

На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые:

 =8*103 + 5*102 + 3* 102  +3*10 + 4*10 + 2  +7.

 Согласно свойству ассоциативности произведем группировку:  = 8*103 + (5*102 + 3* 102)  + (3*10 + 4*10) + (2  +7).

  Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 102, а во второй – 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения:

8*103 + (5 + 3) * 102 + (3+ 4) *10 + (2  +7).

Итак, сложение данных чисел свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения: 8*103 + 8 * 102 + 7 *10 + 9.

 Полученное выражение есть десятичная запись числа 8879.

Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:

-  способ записи чисел в десятичной системе счисления;

-  свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

-  дистрибутивность умножения относительно сложения;

-  таблица сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же.

Рассмотрим, например, суммы: 637+548.

Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответствующими         коэффициентами: 

Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду: . Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 6+5 и 7+8 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 7+8 представим в виде 1·10+5:

(6+5)·102+(3+4)·10+(1·10+5).

Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем полученное выражение к виду: (6+5)·102+(3+4+1)·10+5. Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 6+5 в виде 1·10+1, получаем (1·10+1)·102+8·10+5=103+10         +8·10+5. Последнее выражение есть десятичная запись числа 1185. Следовательно, 637+548=1185.

В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления, формулируют так:

1.  Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находилось друг под другом.

2.  Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти, записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему Разряду (десятков).

3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде а0 + b0 = 1 × 10 + с0, где с0 - однозначное число; записывают с0 в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1 + 0 = 1.

Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».

Одним из основных разделов, изучаемых в курсе математики в начальной школе, является изучение письменных вычислительных приёмов: сложения, вычитания, умножения, деления, называемых алгоритмами сложения, вычитания, умножения и деления. В начальной школе эти алгоритмы известны под: сложением, вычитание, умножением, делением многозначных чисел в столбик.

Первым письменным приёмом, изучаемым в курсе математики в начальной школе, являются алгоритмы письменного сложения и вычитания. В основе алгоритмов письменного сложения и вычитания лежат следующие теоретические положения:
1. Представление числа в десятичной системе счисления.
6145 = 6*103 + 1*102 + 4*10 + 5
Представление числа в десятичной системе счисления аналогом в начальной школе является разрядный состав числа.

2. Предлагая учащимся записать одно слагаемое под другим, а также вычитаемое, разряд под разрядом, мы тем самым раскрываем такие теоретические основы данных алгоритмов, как коммутативно-ассоциативное свойство сложения, а также правило вычитания числа из суммы и суммы из числа.

3. В основе сложения и вычитания многозначных чисел также лежит дистрибутивный закон умножения относительно сложения и вычитания соответственно.
4. Общее положение лежащее в основе данных письменных вычислительных алгоритмов – табличные случаи сложения однозначных чисел.

Рассмотрим указанные теоретические положения на конкретных примерах и начнем с письменного сложения:
451 + 237 представление чисел в десятичной системе счисления =
= 4*102 + 5*10 + 1 + 2*102 + 3*10 + 7 ассоциативный и коммутативный законы =

= 4*102 + 2*102 + 5*10 + 3*10 + 1+7 дистрибутивный закон умножения относительно сложения =

= 4+2*102 + 5+3*10 + 1+7 табличное сложение =

= 6*102 + 8*10 + 8 представление числа в десятичной системе счисления =

= 688.
Для того, чтобы упростить указанную запись, которая представляет собой алгоритм письменного сложения многозначных чисел, предлагается представить эту запись в следующем виде, называя его письменным сложением многозначных чисел в столбик:

6.2. Алгоритм письменного сложения многозначных чисел:

1. Записываем второе слагаемое под первым строго разряд под разрядом.
2. Сложение начинаем с разряда единиц: число единиц второго слагаемого прибавляем к числу единиц первого слагаемого.

Если полученный результат 10, записываем его в разряд единиц суммы и переходим к сложению в следующем разряде.
Если полученный результат равен 10, то представляем его в виде 10 + c, где с – однозначное число. С записываем в разряд единиц суммы, увеличивая одновременно число единиц в разряде первого десятка на 1.
3. Повторяем один из процессов.
4. Сложение считаем законченным после того, как сложены единицы старших разрядов.

6.3. Этапы изучения письменного сложения двузначных чисел

• Сложение без перехода через десяток.
• Сложение, когда при сложении единиц получаем 10.
• Сложение с переходом через десяток .

6.4. Этапы изучения письменного сложения трехзначных чисел (и многозначных чисел)

• Сложение без перехода через десяток.
• Сложение, когда при сложении единиц какого-то разряда получаем 10.
• Сложение с переходом через десяток в одном из разрядов.
• Сложные случаи (двойной переход через десяток или комбинация случае 2 и 3)

5. Закрепление нового материала

Рассказать алгоритмы письменного сложения: 534+253,  480+115, 645+230, 320+450,   148+401, 157+423,  264+542, 620+83, 503+127, 438+526, 345+583, 96+63, 480+170, 68+95, 368+295

6. 6. Алгоритмы сложения

Письменное сложение чисел в пределах 100

Пишу число 37. Под ним, не пропуская клеточки, пишу число 48, десятки под десятками, единицы под единицами. Не пропуская клеточки, провожу горизонтальную черту. Слева ставлю знак «+».
   Складываю единицы: к  7 ед. прибавить 8 ед., получится 15 ед. или это 1 дес. и 5 ед. Цифру 5 пищу под единицами, a 1 дес. запоминаю, чтобы потом прибавить к десяткам.

Складываю десятки: к 3 дес. прибавить 4 дес.,  получится   7 дес., да ещё 1 дес., который запоминали, получится 8 дес. Пищу цифру 8 под десятками. Читаю ответ: 85.

Пишу: …

Складываю единицы: к 7ед. прибавить 3ед. получится 10 ед.или это 1дес.и 0 ед, цифру 0 пищу под единицами, а 1 дес. запоминаю, чтобы потом прибавить к десяткам.

Складываю десятки: к 3 дес.+5дес. = 8дес., да 1дес., который запоминали, получится 9 дес. Пищу цифру 9 под десятками. Читаю ответ: 90.

Пишу: …

Складываю единицы: к 7ед.+3ед. = 10 ед.или это 1дес.и 0 ед. Цифру 0 пищу под единицами, а 1 дес. запоминаю, чтобы потом прибавить к десяткам.

Складываю десятки: 8дес.+1дес. = 9 дес., да 1дес., который запоминали, получится 10 дес. или 1сотня и 0 десятков. Цифру 0 пишу под десятками, а 1 на месте сотен. Читаю ответ: 100.

Алгоритм сложения трёхзначных чисел

Пишу число 342, под ним, не пропуская клеточки, пишу число 257, сотни под сотнями, десятки под десятками, единицы под единицами. Не пропуская клеточки, провожу горизонтальную черту, слева ставлю знак «плюс».

Складываю единицы: 2 ед. + 7ед., получится 9 ед., пишу 9 под чертой под единицами, не пропуская клеточки.

Складываю десятки:   4д. + 5д. = 9д, пишу 9 под чертой, под десятками, не пропуская клеточки.

Складываю сотни :   3 с. + 2 с. = 5с.,  пишу 5 под чертой, под сотнями, не пропуская клеточки.

Читаю ответ: 599.

Пишу число 456, под ним не пропуская клеточки, пишу число 324, сотни под сотнями, десятки под десятками, единицы под единицами. Ставлю слева знак «плюс», провожу горизонтальную черту.

Складываю единицы : 6 ед. + 4 ед. = 10ед.,   это 1д. 0 ед., 0 пишу под единицами, 1д. запоминаю, чтобы потом прибавить  к десяткам.

Складываю десятки: 5д. + 2 д. = 7д., да 1д. запоминали, получится 8 д., пишу 8 под десятками.

Складываю сотни: 4с. + 3 с. = 7 с, пишу 7 под сотнями. Читаю ответ: 780.

Складываю единицы: 4 ед. + 7ед. = 11ед. это 1д. и 1ед., 1 пишу под единицами, 1д. запоминаю и прибавляю потом к десяткам.

Складываю десятки: 5д. + 9 д.  = 14 д., да 1 д. запоминали, получилось 15д., это 1с. и 5д., 5 пишу под десятками, а 1с. запоминаю и прибавляю потом к сотням.

Складываю сотни: 4с. + 3 с. = 7с, да 1 c. запоминали, получилось 8 с. Пишу 8 под чертой, под сотнями. Читаю ответ: 851.

5. 7. Алгоритм вычитания
   
   Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначного числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что b+c=a, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел.
   
   Если же числа а и b многозначные и b
   Рассмотрим разность чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде: 485-231= (4*102+8*10+5) - (2*102+3*10+1). Чтобы вычесть из числа 4*102+8*10+5 сумму 2*102+3*10+1, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда:
   (4*102+8*10+5)-(2*102+3*10+1)

= (4*102+8*10+5) -2*102 – 3*10 - 1.

Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2*102вычтем из слагаемого 4*102 , число 3*10 – из слагаемого 8*10, а число 1 – из слагаемого 5, тогда:

(4*102+8*10+5)-2*102-3*10-1

=(4*102-2*102)+(8*10-3*10)+(5-1).

Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 102 и 10. Тогда выражение будет иметь вид:

(4-2)*102 +(8-3)*10+(5-1). Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4-2, 8-3 и 5-1 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2*102+5*10+4, которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485-231=254. Выражение (4-2)*102+(8-3)*10+(5-1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком:

_ 485
  231
  254

Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного основывается на: 
- способе записи числа в десятичной системе счисления;
- правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;
- свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;
- таблице сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблица сложения однозначных чисел. Найдем, например, разность чисел 760-326. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде:

760-326= (7*102+6*10+0)-(3*102+2*10+6).

Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 760 один десяток и представим его в виде 10 единиц - десятичная система счисления позволяет это сделать – тогда будем иметь выражение: (7*102+5*10+10)-(3*102+2*10+6). Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение (7-3)*102+(5-2)*10+(10-6) или 4*102+3*10+4. Последняя сумма есть запись числа 434 в десятичной системе счисления. Значит,760-326=434.

 
Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления.

1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.
2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.
3. Если же цифра вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е. b0>a0 , а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10+а0 число b0 и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду.
4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1. Все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b0 из 10+ a0 , записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.
5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.

Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

6. 8. Письменное вычитание чисел в пределах 100

Пишу:...

Вычитаю единицы: от 7 ед. отнять 6 ед., получится 1 ед. Пишу цифру 1 под единицами.

Вычитаю десятки: от 5 дес. отнять 2 дес., получится 3 дес., пишу цифру 3 под десятками. Читаю ответ: 31.

Пишу: ...

Вычитаю единицы: от 0 ед. нельзя отнять 4 ед., поэтому беру у десятков 1 десяток. Чтобы не забыть над десятками ставлю точку. 1 десяток - это 10 единиц. Из 10 ед. вычесть 4 ед.,  получится 6 ед.

Вычитаю десятки: было 5 десятков, 1 десяток заняли, осталось 4 дес. От 4 дес. отнять 2 дес., получится  2 дес. Пишу цифру 2 под десятками. Читаю ответ: 26.

Пишу: …

 Вычитаю единицы: от 2 ед. нельзя отнять 4 ед., поэтому беру у десятков 1 десяток, чтобы не забыть ставлю над десятками точку. 1 десяток - это 10 единиц, да еще 2 единицы, получится 12 единиц. От 12 ед. отнять 4 ед., получится 8 ед., пишу цифру 8 под единицами.

Вычитаю десятки: было 5 дес., 1 десяток заняли, осталось  4 дес. От 4 дес. отнять 2 дес. получится 2 дес. Пишу цифру 2 под десятками.  Читаю ответ: 28.

Алгоритм вычитания трёхзначных чисел

Пишу число 403, под ним, не пропуская клеточки, пишу число 191, сотни под сотнями, десятки под десятками, единицы под единицами. Провожу горизонтальную черту, не пропуская клеточки. Слева ставлю знак «минус».

Вычитаю единицы:  3 ед. – 1 ед.  = 2 ед. пишу 2 под чертой, под единицами.

Вычитаю десятки : из 0 д. нельзя вычесть 9 д., занимаю 1 д. у сотни, чтобы не забыть, над сотнями ставлю точку.  1 с. - это 10 д., 10 д. – 9 д., получится 1 д. Пишу 1 под чертой под десятками.

Вычитаю сотни: было 4с., 1 c. заняли, осталось 3 с., 3 с. – 1 с. = 2 c., пишу 2 под чертой, под сотнями. Читаю ответ: 212.

Вычитаю единицы : от 1ед. нельзя отнять 5 ед., занимаю 1д. у десятков, чтобы не забыть над десятками ставлю точку. 1д. - это 10 ед., да еще 1 ед., получаем 11 ед., 11 ед. - 5ед. = 6 ед. Пишу 6 под чертой, под единицами.

Вычитаю десятки: было 2 д., 1 д. заняли, осталось 1 д. Из 1 д. нельзя вычесть 4 д., занимаю 1 с. у сотен, чтобы не забыть, ставлю над сотнями точку, 1 с. – это 10 д., да еще 1 д., всего 11 д. 11 д. – 4 д. = 7 д., пишу 7 под чертой, под десятками.

Вычитаю сотни:   было 3 c., 1 с. заняли, осталось 2 с.,  2с. – 1 с. = 1 с. Пишу 1 под чертой, под сотнями. Читаю ответ: 176.

9. Закрепление нового материала

1). Рассказать алгоритмы письменного вычитания:

56-23   856 – 423   567 – 34    608-205   480-136   506-283   708-130   630-28   362-139   463-181   548-93    870-490   157-89    462-187    

2). Проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма вычитания, вычислив разности

56-23   856 – 423   856 – 423    

6.10. Умножение в десятичной системе счисления. Алгоритм умножения

Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чисел, и запоминают.

Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное. Умножим, например, 537 на 4. Согласно правилу записи чисел в десятичной системе счисления, 537 можно представить в виде 5×102 + 3×10 + 7 и тогда 537×4 = (5×102+3×10+7)×4. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (5×102)×4+(3×10)×4+7×4. Далее воспользуемся коммутативностью и ассоциативностью умножения: (5×4)×102+(3×4)×10+7×4.  Произведения в скобках могут быть найдены по таблице умножения однозначных чисел: 20×102+12×10+28. Коэффициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 20 в виде 2×10, число 12 в виде 1×10 + 2, а число 28 в виде 2×10 + 8. Затем в выражении 2×10×102+(1×10+2)×10+(2×10+8) раскроем скобки: 2×103+1×102+2×10+2×10+8. На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые 2×10 и 2×10 и вынесем 10 за скобки: 2×103+1×102+(2+2)×10+8. Сумма 2+2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения: 2×103+1×102+4×10+8. Полученное выражение есть десятичная запись числа 2148, т.е. 537×4 = 2148.

Решение таких примеров удобнее записывать столбиком:

Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на:

-  записи чисел в десятичной системе счисления;

-  свойствах сложения и умножения;

-таблицах сложения и умножения однозначных чисел.

Общий виде алгоритм умножения многозначного числа  на однозначное число y.

1. Записываем второе число под первым.

2. Умножаем цифры разряда единиц числа х на число у. Если произведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).

3. Если произведение цифр единиц числа х на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10q1 + с0, где с0 -однозначное число; записываем с0 в разряд единиц ответа и запоминаем q1 - перенос в следующий разряд.

4. Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляем к полученному произведению число q1 и повторяем процесс, описанный в пп. 2 и 3.

5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Алгоритм письменного умножения многозначных чисел подразделяется на следующие этапы:
1. Умножение многозначного числа на однозначное
2. Умножение многозначного числа на степень числа 10
3. Сложение многозначных чисел
        Отсюда сначала рассмотрим алгоритм письменного умножения многозначного числа на однозначное. В основе этого алгоритма лежат следующие положения:
- представление числа в десятичной системе счисления
- свойство действий умножения и деления
- табличное умножение однозначных чисел

Случаи умножения:

1. Умножаем трехзначное число на однозначное, получаем трехзначное число
2. Умножаем трехзначное число на однозначное, получаем четырехзначное число
3. В первом множители нули на конце или в середине, умножаем ег на двузначное число
4. Умножение на круглое число
5. Умножение на двузначное число
6. Умножение на трехзначное число

Как известно, умножение числа х на число вида 10k сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа k нулей.

Покажем это на конкретном примере. Например, 347×103 = (3×102 + 4×10 + 7) × 103 = 3×105 + 4×104 + 7×103 = 3×105 + 4×104 + 7×103 + 0×102 + 0×10 + 0 = 347000.

Заметим еще, что умножение на число у× 10k, где у – однозначное число, сводится к умножению на однозначное число у и на число 10 k. Например, 52×300 = 52×(3×102) = (52×3)×102 = 156×102 = 15600.

Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Проиллюстрируем алгоритм умножения многозначного числа 437 на многозначное число 254.

Представим число 254 в виде суммы 2·102+5·10+4 и запишем произведение 437·(2·102+5·10+4). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 437·(2·102)+437·(5·10)+437·4. Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим (437·2)·102+(437·5)·10+437·4. Видим, что умножение многозначного числа 437 на многозначное число 254 свелось к умножению многозначного числа 437 на однозначные числа 2, 5 и 4, а также на степени 10. Таким образом, получаем: 87400+21850+1748. Пользуясь алгоритмом сложения многозначных чисел, имеем:

Значит, 437·254=110998.

Сформулируем в общем виде алгоритм умножения числа  на число .

1. Записываем множитель x и под ним второй множитель у.
2. Умножаем число x на младший разряд b0 числа у и записываем произведение х·b0 под числом у.
3. Умножаем число х на следующий разряд b1, числа у и записываем произведение х·b1, но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению х·b1 на 10.
4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления х·bk.
5. Полученные k + 1 произведения складываем.

Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенными этапами.

         Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многозначных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение многозначных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Умножим, например, столбиком 428 на 263.

        428

          х263
     1284

  +2568

    856

 112564

Видим, что для получения ответа нам пришлось  умножить 428 на 3,6, и 2, т.е. умножить многозначное  число на однозначное; но, умножив на 6, результат записали по-особому, поместив единицы числа   2568 под десятками числа 1284, так как умножали на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 – это результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.

Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь:
- умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;
- складывать многозначные числа.

Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенными этапами. Различия имеются только в записи. Например, при обосновании случая умножения многозначного числа на однозначное пишут: 428*3=(400+20+8)* 3=400*3+20*3+8*3=1200+60+24=1284. Основой выполненных преобразований являются:

- представление первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых (т.е. запись числа в десятичной системе счисления);
- правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умножения относительно сложения);
- умножение «круглых» (т.е. оканчивающихся нулями) чисел на однозначное число, что сводится к умножению однозначных чисел.

Пример 1.  Умножение многозначного числа на однозначное. 

     Умножим, например, 428 на 3. Согласно правилу записи чисел в десятичной системе счисления 428 можно представить в виде 4*102+2*10+8 и тогда 428*3=(4*102+2*10+8)*3. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (4*102)*3+(2*10)*3+8*3. Произведения в скобках могут быть найдены по таблице умножения однозначных чисел: 12*102+6*10+24. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 12*102 +6*10+24 – коэффициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1*10+2, а число 24 в виде 2*10+4. Затем в выражении (1*10+2)*102+6*10+(2*10+4) раскроем скобки: 1*103+2*102+6*10 +2*10+4. На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые 6*10 и 2*10 и вынесем 10 за скобки: 1*103+2*102+(6+2)*10+4. Сумма 6+2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения: 1*103+2*102 +8*10+4. Полученное выражение есть десятичная запись числа 1284, т.е. 428*3=1284.

Пример 2. Умножение многозначного числа на многозначное

       Рассмотрим алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру, с которого начинали, т.е. к произведению 428*263. Представим число 263 в виде суммы 2*102+6*10+3 и запишем произведение 428*(2*102+6*10+3). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 428*(2*102)+428*(6*10)+428*3. Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим: (428*2)*102+(428*6)*10+428*3. Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2,6 и 3, а также на степени 10.

Алгоритм деления
     Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число а на натуральное число b – это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что a=bq+r, причем 0<r     Выясним сначала, как осуществляется деление на однозначное число. Если на однозначное число делят однозначное или двузначное (не превышающее 89), то используется таблица умножения однозначных чисел. Например, частным чисел 54 и 9 будет число 6, так как 9*6=54. Если же надо разделить 51 и 9, то находят ближайшее к нему меньшее число, которое делится на 9 – это число 45, и, следовательно, неполным частным при делении 51 на 9 будет число 5. Чтобы найти остаток, надо из 51 вычесть 45.  51-45=6. Таким образом,  51=9*5+6, т.е. при делении 51 на 9 получается неполное частное 5 и остаток, равный 6. Записать это можно иначе, при помощи деления уголком:
   _51|_9

45.   5

6

     Будем теперь делить трехзначное число на однозначное, например, 378 на 4. Разделить 378 на 4 – это значит найти такое неполное частное q и остаток r, что 378= 4q+r, причем остаток r должен удовлетворять условию 0     Определим, сколько цифр будет содержаться в записи числа q. Однозначным число q быть не может, так как тогда произведение 4q может быть максимально равно 36 и, значит, не будут выполняться условия, сформулированные выше для r и q. Если число q двузначное, т.е. если 10     Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 4 на 20,30,40 и т.д. Поскольку 4*90=360, а 4*100=400, и 360<378<400, то неполное частное заключено между числами 90 и 100, т.е. q=90+q0. Но тогда должны выполняться неравенства: 4*(90+q0)<378<4* (90 +q0+1), откуда 360+4q0<378<360+4*(q0+1) и 4q0<18<4(q0+1). Число q0 (цифра единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что q0=4 и, следовательно, неполное частное q-90+4=94. Остаток находится вычитанием: 378-4*94=2.
    Итак, при делении числа 378 на 4 получается неполное частное 94 и остаток 2:  378=4*94+2.
    Описанный процесс является основой деления уголком:
 378| _4
-36      94
   18
 -16
     2
     Аналогично выполняется деление многозначного числа на многозначное. Разделим, например, 4316 на 52. Выполнить это деление – значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что 4316=52q+r, 0<r<52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52q<4316<52(q+1).
     Определим число цифр в частном q. Очевидно, частное заключено между числами 10 и 100 (т.е. q – двузначное число), так как 520<4316<5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 52 на 20,30,40,50 и т.д. Поскольку 52*80=4160, а 52*90=4680 и 4160<4316<4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т. е. q=80+q0. Но тогда должны выполняться неравенства:
52*(80+q0)<4316<52*(80+q0+1),
4160+52q0<4316<4160+52*(q0+1),
52q0<156<52*(q0+1).
Число q0 (цифру единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором: 156=52*3, т.е. имеем случай, когда остаток равен 0. Следовательно, при делении 4316 на 52 получается частное 83.
Приведенные рассуждения лежат в основе деления уголком:
 4316   |_52
-416        83
  156
 -156
      0
    Обобщением различных случаев деления целого неотрицательного числа а на натуральное число b является следующий алгоритм деления уголком.

1. Если a=b, то частное q=1, остаток r=0.
2. Если a>b и число разрядов в числах a и b одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая b на 1,2,3,4,5,6,7,8,9, так как a<10b.Этот перебор можно ускорить, выполнив деление с остатком цифр старших разрядов чисел a и b.
3. Если a>b и число разрядов в числе а больше, чем в числе b, то записываем делимое а и справа от него делитель b, который отделяем от а уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последовательности:

а) выделяем в числе а столько старших разрядов, сколько разрядов в числе b или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали число d1, больше или равное b. Перебором находим частное q1 чисел d1 и b, последовательно умножая b на 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Записываем q1 под уголком (ниже b).
б) умножаем b на q1 и записываем произведение под числом а так, чтобы младший разряд числа bq1 был написан под младшим разрядом выделенного числаd1.
в) проводим черту под bq, и находим разность r1=d1-bd1.
г) записываем разность r1 под числом bq1 , приписываем справа к r1 старший разряд из неиспользованных разрядов делимого а и сравниваем полученное число d2 с числом b.
д) если полученное число d2 больше или равно b , то относительно него поступаем согласно п.1 или п.2. Частное q2 записываем после q1.
е) если полученное число d2 меньше b , то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первое число d3, большее или равное b . В этом случае записываем после q1 такое же число нулей. Затем относительно d3 поступаем согласно пп. 1,2. Частное q2 записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа a окажется, что d3, то тогда частное чисел d3 и b равно нулю, и этот нуль записывается последним разрядом к частному, а остаток r=d3 .

Решение упражнений:

Тема 4. Деление с остатком. Признаки делимости чисел

1. Определение деления с остатком.

Разделить натуральное число а на натуральное число b  с остатком – это значит найти такие натуральные целые числа q и r, что      а = bq + r,  где  0  r < b.

Пусть а = n(A) и множество А разбито на множества A1, A2, …, Aq, R, так, что  множества A1, A2, …, Aq равномощны, а множество R содержит меньше элементов, чем каждое из множеств A1, A2, …, Aq. Тогда, если n(A1), n(A2), …,n( Aq) = b, а  n(R) = r, то a = bq + r, где 0   r < b. Причем число q равномощных множеств является неполным частным при делении а на b , а число элементов в R –остатком при этом делении.

2. Пример.

Разделим  на 2 с остатком.

 Возьмем множество Х, состоящее из 7 элементов. Пусть Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Разобьем это множество на 2 равномощных подмножества, например  Х1 = {1, 2, 3}, X2 = {4, 5, 6}. В эти подмножества не вошел один элемент, он составит некоторое множество R = {7}.

Тогда   n(Х1) = n(X2) = 3, n(R) = 1.  Согласно определению деления с остатком, получим: 7 : 2 = 3 (ост.1) или 7 = 2 ∙ 3 + 1.  Наглядно это можно представить с помощью рис.12.

3. Теорема. Каковы бы ни были целое неотрицательное число а и натуральное число b, существует единственная пара чисел q и r, удовлетворяющая условиям: a = bq + r, где 0   r < b. 
4. Понятие делителя и кратного.

Если при делении целого неотрицательного числа а на натуральное число b остаток равен нулю, то число  а нацело делится на натуральное число b.  В этом случае число а называют кратным числу b,  а b - делителем числа а.

5. Понятие простого и составного числа

Простым числом называется такое натуральное число, которое имеет два делителя 1 и само число.

Составным  числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.

1 – не является ни простым, ни составным числом.

Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на простые и составные.
Простых чисел – бесконечное множество. Ниже приведены простые числа, не превосходящие 200:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

6. Признаки делимости

Для упрощения деления натуральных чисел были выведены правила деления на числа первого десятка и числа 11, 25, которые объединены в раздел признаков делимости натуральных чисел. Ниже приводятся правила, по которым анализ числа без его деления на другое натуральное число даст ответ на вопрос, кратно ли натуральное число числам 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и разрядной единице?

Натуральные числа, имеющие в первом разряде цифры (оканчивающиеся на) 2,4,6,8,0, называются четными.

Признак делимости чисел на 2

Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 2, например: 172, 94,67 838, 1670.

Признак делимости чисел на 3

Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Например:
39 (3 + 9 = 12; 12 : 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Признак делимости чисел на 4

Натуральное число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа. Например:
124 (24 : 4 = 6);
103 456 (56 : 4 = 14).

Признак делимости чисел на 5

Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5.

Например: 125; 10 720.

Признак делимости чисел на 6

На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3). Например: 126 (б — четное, 1 + 2 + 6 = 9, 9 : 3 = 3).

Признак делимости чисел на 9

Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Например:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18 : 9 = 2).

Признак делимости чисел на 10

Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0. Например: 30; 980; 1200; 1 570.

Признак делимости чисел на разрядную единицу

На разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы. Например: 12 000 делится на 10, 100 и 1000.

7. Признаки делимости на составные числа

Теорема (общий признак делимости на составное число): Для того чтобы натуральное число х делилось на составное число n = bc, где числа b  и c таковы, что D(b, c) = 1, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на  b и на c.

Доказательство: Пусть число х делится на n. Тогда, из того, что х делится на n и n делится  на b (по свойству транзитивности отношения делимости) следует, что х делится на  b. Из того, что х делится на n и n делится  на с (по свойству транзитивности отношения делимости) следует, что х делится на с. Таким образом, мы показали, что для того, чтобы натуральное число х делилось на составное число n = bc, необходимо, чтобы оно делилось на b и на c.

Докажем достаточность условия. Так как х делится на b и на c, то х – общее кратное чисел b и c. Но любое общее кратное делится на их наименьшее общее кратно. Значит, х делится на К(b, c). Поскольку D(b,c) = 1, то  К(b, c) = х. Следовательно, х делится на  n.

Признак делимости на 6: Для того, чтобы число х делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3.

Признак делимости на 12: Для того, чтобы число х делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 4.

Признак делимости на 15: Для того, чтобы число х делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 5.

Рассмотрим задачу. Установим, делятся ли числа 1548 и 942 на 18. Вначале сформулируем признак делимости на 18: для того, чтобы число делилось на 18, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 9. Пользуясь признаками делимости на 2 и на 9, устанавливаем, что 1548 делится на 2 и на 9, следовательно, делится ни на 18.  число 942 делится на 2, но не делится на 9. следовательно, число 942 на 18 не делится.

8. Признаки делимости суммы и произведения на число

• Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
• Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.