ТОНКМ с методикой преподавания для студентов 2 курса заочного отделения
учебно-методический материал на тему

Тема 2. Математические понятия

1. Сущность понятия. Содержание и объем понятия. Соотношение между содержанием и объемом

Понятие – форма мышления, в которой отражены существенные свойства (признаки) объектов изучения.

При использовании понятий в конкретной обстановке мы пользуемся дедуктивным путем мышления (от общего к частному), который ввел Аристотель.

Введем обозначения:

Х – множество объектов,

А – понятие,

а – признак понятия.

Признак а называется основным или необходимым, существенным признаком понятия А, если все объекты множества Х обладают этим признаком (свойством).

Признак а называется отделимым признаком понятия А, если некоторые объекты множества Х обладают этим признаком.

Признак а называется противоречивым признаком понятия А, если ни  один объект множества Х не обладает этим признаком.

Понятия обозначают заглавными буквами латинского алфавита, затем ставится двоеточие и в кавычках пишется само понятие.

Пример. А: «параллелограмм».

Основной признак – параллельность противоположных сторон параллелограмма.

Отделимый признак – перпендикулярность диагоналей параллелограмма.

Противоречивый признак – только две стороны  параллелограмма параллельны.

Объемом понятия называют множество объектов, на которые распространяется данное понятие.

Например, понятием «параллелограмм» охватываются  и прямоугольники, и ромбы, и квадраты, и параллелограммы, которые ими не являются.

Содержание понятия – это совокупность основных признаков, которые охватываются этим понятием.

Содержание раскрывается в определении. Чем «уже» объем понятия, тем «шире» его содержание и наоборот.

2. Родовые и видовые понятия

Более общее – родовое понятие, менее общее – видовое понятие.

Если все основные признаки понятия А являются основными для понятия В, но не все основные признаки понятия В являются основными для понятия А, то понятие А называется родовым, а понятие В – видовым.

Например, в определении «параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны» параллелограмм – видовое понятие, а четырехугольник – родовое понятие.

3. Отношение между понятиями

Понятия

Сравнимые                                                                                                          Несравнимые

Совместимые     Несовместимые

Отношение                        Отношение               Отношение

равнозначности              частичного                 полного

                                              совпадения               подчинения

Сравнимые понятия те, которые имеют общие признаки.

Совместимые понятия те, которые частично или полностью совпадают. Например, ромб и прямоугольник.

Отношение равнозначности имеет место тогда, когда объемы понятий полностью совпадают. Например, множество целых положительных чисел совпадает с множеством натуральных чисел.

Отношение частичного совпадения имеет место тогда, когда объемы понятий пересекаются. Например, понятия «прямоугольник» и «ромб».

Отношение полного подчинения имеет место тогда, когда объем одного понятия является правильной частью объема другого понятия. Например, понятия «параллелограмм» и «ромб».

4. Определение понятий

Определением называют такую логическую операцию, при помощи которой раскрывается содержание понятия через перечисление существенных признаков.

Существенные признаки – это такие признаки, каждый из которых является основным, а вместе независимыми и достаточными для того, чтобы отличить объекты данного рода от других объектов.

Виды определений: явные и неявные.

Явные определения имеют форму равенства, совпадения двух понятий.

Например, «параллелограмм – это четырехугольник, …». Схема определения: «А – это В», где А и В  - понятия.

Неявные определения не имеют формы совпадения двух понятий.

Примеры таких определений:

• контекстуальные (через фрагмент текста);
• остенсивные (с помощью показа объектов);
• генетические (показан способ образования объекта);
• индуктивные (указаны некоторые объекты и правила получения следующего).

В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через анализ конкретной ситуации, описывающий смысл вводимого понятия. Например, определение уравнения в учебниках математики.

Остенсивные определения используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначаются. Поэтому остенсивные определения еще называют  определениями  путем показа (понятия равенства и неравенства  в начальной школе).

В генетических определениях указывается способ образования определенного объекта. Например, шар, это геометрическая фигура, полученная в результате вращения полукруга вокруг диаметра.

 В индуктивных определениях указываются некоторые объекты теории и правила, позволяющие получать новые из уже имеющихся. Например, арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Чаще всего в математике используют определения  через род и видовое отличие.  

Структура определения:

1. Указывается род или родовое понятие, которому принадлежит данное понятие как вид.
2. Указываются те признаки, которые отличают данный вид от других видов данного рода.

                 видовое, определяемое понятие              родовое, определяющее понятие                                                                  видовой признак

Пример. Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Определение состоит из двух частей: определяемого и определяющего понятий.

То понятие,  которое определяется, называется определяемым. Определяющее понятие то, через которое определяется данное понятие.

5. Требования к определениям

1. Соразмерность определяемого и определяющего понятий.
2. В определении не должно быть порочного круга.
3. В определении должны быть указаны все свойства, однозначно определяющие объекты, принадлежащие объему определяемого понятия.
4. Отсутствие в определении избыточности.

Определение, которое удовлетворяет перечисленным требованиям, называется корректным.

Нарушения:

1. Параллелограмм  - это многоугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Этому определению удовлетворяют шестиугольники, восьмиугольники и т.д.
2. Прямым углом называются угол, который образован перпендикулярными прямыми. Перпендикулярные прямые – это прямые, образующие прямой угол. Определение прямого угла дается через определение перпендикулярных прямых, а те, в свою очередь, определяются через прямой угол, т.е. получился порочный круг.
3. Смежными называются углы, которые в сумме дают 180°. Возможна следующая комбинация углов:

А это не смежные углы.

4. Прямоугольником называется четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны. Здесь указано лишнее свойство, которое вытекает из первого свойства.

Тема 3. Математические предложения

Тема 1. Логика и исчисление высказываний

Цель: получить представление о методах и средствах формальной логики для решения практических задач.

Задачи:

1) определять простые и сложные высказывания, выявлять в сложных высказываниях логические связки;

2) осуществлять перевод с естественного языка на формальный и с формального на естественный язык;

3) определять значение истинности логической формулы, доказывать тождественную истинность или ложность формул, доказывать логические законы;

4) решать практические задачи с применением логических формул и таблиц истинности;

5) строить цепочки умозаключений с применением законов формальной логики.

Общие теоретические сведения

1. Понятие  логики.

Логика – наука о законах мышления. Формальная логика – наука об элементарных законах и формах правильного мышления.

Математическая логика – исходит из основных законов формальной логики, использует логические процессы с помощью математических методов, полное отвлечение от конкретного содержания предложения.  

Пример. Если все растения – красные, а все собаки – растения, то все собаки красные. С точки зрения формальной логики -  это полная ерунда, а с точки зрения математической логики предложение составлено абсолютно верно.

2. Понятие высказывания.

Основным объектом исследования математической логики является высказывание.

Рассмотрим предложения:

1. Город Тверь стоит на Волге.
2. Солнце больше Земли.
3. 13 – четное число.
4. Сегодня - вторник.
5. Существуют прямоугольные треугольники.

Все это утвердительные повествовательные предложения, верные или неверные.

Высказывание (простое высказывание) – это утвердительное повествовательное предложение, которое может быть истинным или ложным.

В математической логике высказывания обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, …

В начальной школе вместо слова «высказывание» используют специальные значки: >, <, = .

Высказывания бывают истинными и ложными. В примерах высказывания 1, 2, 5 – истинные, а высказывания 3, 4 – ложные. Кроме этого высказывания бывают простыми и составными (сложными).

Простым или элементарным высказыванием называют такие высказывания, которые нельзя расчленить на другие высказывания.  Если высказывание допускает расчленение на другие высказывания, то его называют составным.

Сложное высказывание состоит из ряда связанных простых высказываний. При этом используются слова-связки: «неверно, что», «не», «и», «или», «если…, то…», «тогда и только тогда, когда». Каждой логической связке сложного высказывания соответствует логическая операция, имеющая свое символьное обозначение (см. табл. 1).

Таблица 1

Условные обозначения логических связок

Истинное высказывание условимся обозначать латинской буквой T (true), ложное высказывание F (false).

3. Операции над высказываниями

Отрицание высказывания

Пример. Дано высказывание А: «2 + 1 = 3» - истинно. Составим высказывание вида «Неверно, что А»: «неверно, что 2 + 1 = 3» - оно ложно. Последнее высказывание можно сформулировать и так «Не А»: «2 + 1 ≠ 3» - ложь. Полученные высказывания называют отрицанием высказывания А и обозначают  .

Определение. Высказывание вида («неверно, что А», «не А») называется отрицанием высказыва -       ния А. Отрицание ложно, если само высказывание А - истинно, отрицание истинно, если высказывание А ложно.

Вторую часть определения отрицания высказывания можно оформить в таблице истинности.

Таблица истинности.

Закон двойного отрицания: = А  

Для доказательства составляем таблицу истинности и заполняем ее. Сравнивая по строчкам значения первого и последнего столбиков делаем вывод о том, что закон доказан

Конъюнкция высказываний

Пример. Рассмотрим  высказывания А: «2 + 1 = 4» - ложно, В: «15 кратно 5» - истинно. Составим высказывание вида «А и В»: «2 + 1 = 4 и 15 кратно 5» - оно ложно. Полученное высказывание называют конъюнкцией высказываний А и В и обозначают  А ∧ В.

Определение. Высказывание вида А ∧ В («А и В») называется конъюнкцией высказываний А и В. Конъюнкция высказываний истинна, если оба высказывания  истинны, в остальных случаях конъюнкция ложна.

Вторую часть определения отрицания высказывания можно оформить в таблице истинности.

Таблица истинности.

Законы конъюнкции:

1.  А ∧ А = А
2. А ∧ В = В ∧ А – коммутативность или переместительный закон
3. (А ∧ В) ∧ С = А ∧ (В ∧ С) – ассоциативность или сочетательный закон
4. А ∧ = «л»

Для доказательства составляем таблицу истинности и заполняем ее. Сравнивая по строчкам значения первого и последнего столбиков делаем вывод о том, что закон доказан.

Докажем четвертый закон.

Дизъюнкция высказываний

Пример. Рассмотрим  высказывания А: «2 + 1 = 4» - ложно, В: «15 кратно 5» - истинно. Составим высказывание вида «А или В»: «2 + 1 = 4 или 15 кратно 5» - оно истинно. Полученное высказывание называют дизъюнкцией высказываний А и В и обозначают  А ∨ В.

Определение. Высказывание вида А ∨ В («А или В») называется дизъюнкцией высказываний А и В. Дизъюнкция высказываний ложна, если оба высказывания  ложны, в остальных случаях дизъюнкция истинна.

Вторую часть определения отрицания высказывания можно оформить в таблице истинности.

Таблица истинности.

Законы дизъюнкции:

1.  А ∨ А = А
2. А ∨ В = В ∨ А – коммутативность или переместительный закон
3. (А ∨ В) ∨ С = А ∨ (В ∨ С) – ассоциативность или сочетательный закон
4. А ∨ = «и»

Для доказательства составляем таблицу истинности и заполняем ее. Сравнивая по строчкам значения первого и последнего столбиков делаем вывод о том, что закон доказан.

Докажем второй закон.

Импликация высказываний

Пример. Рассмотрим  высказывания А: «2 + 1 = 4» - ложно, В: «15 кратно 5» - истинно. Составим высказывание вида «Если А,  то В»: «если 2 + 1 = 4, то 15 кратно 5» - оно истинно. Полученное высказывание называют импликацией высказываний А и В и обозначают  А ⇒ В.

Определение. Высказывание вида А ⇒ В («если А, то В» или «из А следует В») называется импликацией высказываний А и В. Импликация высказываний А и В ложна, если первое  высказывание А – истинно, а второе высказывание В - ложно, в остальных случаях импликация истинна. Высказывание А называют условием импликации, а высказывание В – заключением.

Вторую часть определения отрицания высказывания можно оформить в таблице истинности.

Таблица истинности.

Виды импликации:

1. Данная импликация А ⇒В: «если 2 + 1 = 4, то 15 кратно 5» - истинна.
2. Обратная импликация (меняем местами условие и заключение данной импликации) В⇒А: «если 15 кратно 5,  то 2 + 1 = 4» - ложна.
3. Противоположная импликация (в данной импликации условие и заключение заменяем их отрицаниями) ⇒ : «если 2 + 1 ≠ 4, то 15 не кратно 5» - истинна.
4. Обратная противоположной (в обратной импликации условие и заключение заменяем их отрицаниями) или противоположная обратной (в противоположной импликации меняем местами условие и заключение) ⇒: «если 15 не кратно 5, то 2 + 1 ≠ 4» - ложна.

Вывод: одновременно истинны или ложны данная импликация и обратная противоположной, а также обратная и противоположная.

Эквиваленция высказываний

Пример. Рассмотрим  высказывания А: «2 + 1 = 4» - ложно, В: «15 кратно 5» - истинно. Составим высказывание вида «А тогда и только тогда, когда В»: «2 + 1 = 4 тогда и только тогда, когда 15 кратно 5» - оно ложно. Полученное высказывание называют эквиваленцией высказываний А и В и обозначают  

А ⇔ В.

Определение. Высказывание вида А ⇔В («А тогда и только тогда, когда В») называется эквиваленцией высказываний А и В. Эквиваленция высказываний А и В истинна, если оба высказывания одновременно истинны или одновременно ложны, в остальных случаях эквиваленция ложна.

Вторую часть определения отрицания высказывания можно оформить в таблице истинности.

Таблица истинности.

Другие законы операций над высказываниями:

Дистрибутивные законы, связывающие  конъюнкцию и дизъюнкцию

 (А ∨ В) ∧ С = (А∧ С) ∨ (В ∧ С)

(А ∧ В) ∨ С = (А∨ С) ∧ (В ∨ С)

Формулы, имеющие все значения истинности при любых значениях переменных, называются тождественно-истинными. Тождественно-истинные формулы являются законами логики.

Логические законы доказываются с помощью таблиц истинности.

Алгоритм перевода высказываний с естественного языка на формальный

1. Выделить и обозначить простые высказывания.

2. Найти логические связки и заменить их на соответствующие логические операции.

3. Записать логическую формулу сложного высказывания.

4. Сделать проверку на соответствие полученной формулы исходному высказыванию.

Алгоритм перевода высказывания с формального языка на естественный

1. Заменить логическую переменную простым высказыванием.

2. Логические операции заменить соответствующими логическими связками.

3. Составить предложение.

Используя перевод естественной речи на язык математической логики, таблицы истинности, законы формальной логики в рассуждениях, а также теорию графов, можно решать текстовые задачи, встречающиеся в повседневной и профессиональной деятельности любого человека.

4. Понятие высказывательной формы (предиката). Операции над предикатами

Рассмотрим предложения с переменными:

1. x < 10
2. х + 1 = 7
3. число х делится на 5 без остатка
4. х – у = 2
5. х + у – z = 0

Все это повествовательные предложения, содержащие одну или несколько переменных. Если вместо переменных подставлять конкретные значения, то будем получать истинные или ложные высказывания.

Определение. Предложение, содержащее одну или несколько переменных, и которое при конкретных значениях переменных является высказыванием, называется высказывательной формой или предикатом.

Виды предикатов:

1. одноместные, примеры 1-3.
2. Двухместные, пример 4.
3. Трехместные, пример 5 и т.д.

С каждым предикатом связано два множества: область определения и множество истинности.

Область определения предиката – это множество значений переменных, при которых предикат превращается в высказывание, обозначается буквой Х.

        Множество истинности предиката – это множество значений переменных, при которых предикат превращается в истинное высказывание, обозначается буквой Т. Т  Х.

Обозначение предикатов: А(х): «x < 10», В(х, у): «х – у = 2», С(х, у, z): «х + у – z = 0».

Примерами предикатов в начальной школе являются неравенства и уравнения, слово «предикат не используется».

Способы превращения предиката в высказывание:

1. Вместо переменной подставить ее значение.
2. Использование специальных слов – кванторов: «каждый», «всякий», «любой» и др. – квантор общности (обозначают значком ), «существует», «найдется», «какой-нибудь» - квантор существования (обозначают значком ).

Над предикатами выполняют такие же операции как и над высказываниями: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.

Пусть на множестве Х заданы предикаты А(х) и В(х).

Предикат вида  называется отрицанием предиката А(х).

Предикат вида  А(х) ∧ В(х) называется конъюнкцией предикатов А(х) и В(х).

Предикат вида  А(х) ∨ В(х) называется дизъюнкцией предикатов А(х) и В(х).

Предикат вида  А(х) ⇒ В(х) называется импликацией предикатов А(х) и В(х).

Предикат вида  А(х) ⇔ В(х) называется эквиваленцией предикатов А(х) и В(х).

Пусть А – множество истинности предиката  А(х), В – множество истинности предиката  В(х),

1. Множество истинности отрицания предиката А(х) вычисляем по формуле: Т1 =
2. Множество истинности конъюнкции предикатов А(х) ∧ В(х) вычисляем по формуле: Т2 = А∩В.
3. Множество истинности дизъюнкции предикатов А(х) ∨ В(х) вычисляем по формуле: Т3 = АВ.
4. Множество истинности импликации предикатов А(х) ⇒ В(х) вычисляем по формуле: Т4 = В.

Если множество истинности предиката А(х) является подмножеством множества истинности предиката В(х), то из предиката А(х) логически следует предикат В(х). При этом предикат А(х) называется достаточным условием, а В(х) – необходимым условием.

Например, пусть на множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} заданы предикаты А(х): «х кратно 4», В(х): «х кратно 2». Найдем множества истинности этих предикатов: ТА = {4, 8} – множество истинности предиката А(х), ТВ ={ 2, 4, 6, 8, 10} – множество истинности предиката В(х). Замечаем, что множество истинности первого предиката является подмножеством множества истинности второго предиката, в этом случае говорят, что из предиката А(х) логически следует предикат В(х). Импликацию А(х)⇒ В(х): «если х кратно 4, то х кратно 2» можно переформулировать так: «для того чтобы число х делилось на 4, необходимо, чтобы оно делилось на 2» и «для того чтобы число х делилось на 2, достаточно, чтобы оно делилось на 4».

5. Теорема

Определение теоремы

Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается при помощи доказательства.

Примеры теорем:

• Из алгебры. 1) если а > b, b > с, то а > с.  2) признаки делимости, например, для того чтобы натуральное число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась на 0.
• Из геометрии. Теорема Пифагора: если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Строение теоремы.

Рассмотрим теорему: «Если сумма цифр натурального числа делится на 9,то и само число делится на 9».

Выделим условие теоремы (текст, стоящий между словами «если» и «то»): А(х): «сумма цифр натурального числа делится на 9», заключение (текст, стоящий после слова «то»): В(х): «число делится на 9».

Общий вид теоремы в условной форме (со словами «если…, то…»): (х N) А(х) ⇒ В(х).

х N – разъяснительная часть теоремы (она не всегда присутствует в явном виде, но подразумевается всегда).

А(х) – условие теоремы.

В(х) – заключение теоремы.

Если теорема записана не в виде импликации, то нужно ее переформулировать в вид импликации, т.е. со словами«если…, то…».

Например, рассмотрим теорему «В прямоугольнике диагонали равны». Переформулируем ее так: «Если четырехугольник –  прямоугольник, то его диагонали равны». Тогда условие теоремы «четырехугольник –  прямоугольник», а заключение «диагонали четырехугольника равны». Речь идет о четырехугольниках, поэтому Х – множество четырехугольников.

Виды теорем:

1. Данная. Например, «Если четырехугольник –  прямоугольник, то его диагонали равны».

В общем виде: (х Х) А(х) ⇒ В(х).

2. Обратная. Например, «Если диагонали четырехугольника равны, то это –  прямоугольник» (в данной теореме поменяли местами условие и заключение).

В общем виде: (х Х) В(х) ⇒ А(х).

3. Противоположная. Например, «Если четырехугольник –  не прямоугольник, то его диагонали не равны» (условие и заключение данной теоремы заменили отрицаниями).

В общем виде: (х Х)  ⇒ .

4. Обратная противоположной (в противоположной теореме поменяли местами условие и заключение) или противоположная обратной (в обратной теореме условие и заключение заменили их отрицаниями). Например, «Если диагонали четырехугольника не равны, то это – не прямоугольник».

В общем виде: (х Х) ⇒.

Применение теорем в математике.

Свойства основных понятий раскрываются в аксиомах.

Аксиома – предложение, принимаемое без доказательства.

Доказываемые свойства называют в геометрии: теоремами, следствиями, признаками; в алгебре: формулами, тождествами, правилами.

Практические задания по теме «Математические предложения»

Примеры решений

I тип. Определение высказываний, выявление логических связок

Задание. Определить, является ли предложение высказыванием: «С утра идет дождь».

Решение

а) Предложение является повествовательным.

б) Мысль выражена утвердительно.

в) Относительно данного предложения можно однозначно сказать,

является оно ложным или истинным.

Ответ: Да, предложение является высказыванием.

Задание. Определить, является ли предложение высказыванием: «Реши эту задачу».

Решение

а) Предложение не является повествовательным (оно побудительное).

Ответ: Нет, предложение не является высказыванием.

Задание. Определить, является ли предложение высказыванием: «Пробежал дистанцию».

Решение

а) Предложение является повествовательным.

б) Относительно данного предложения невозможно однозначно сказать,

истинно оно или ложно, так как не указано, кто пробежал дистанцию.

Ответ: Нет, предложение не является высказыванием.

Задание. Определить, является ли предложение высказыванием. Если является, то обозначить его и определить истинность: «В море соленая вода».

Решение

а) Предложение повествовательное.

б) Относительно данного предложения можно однозначно сказать,

является оно ложным или истинным.

в) Обозначим высказывание латинской буквой: А – В море соленая вода.

г) Высказывание истинное, т. е. А = T.

Ответ: да, предложение является высказыванием. А – В море соленая вода, А = T.

Задание. Определить, из скольки простых высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку: «Добросовестный студент учится хорошо».

Решение

а) В данном предложении два высказывания: «Студент добросовестный», «Студент учится хорошо».

б) Наиболее подходящая логическая связка «Если …, то…», так в предложении неявно выражена условная форма.

в) Получим предложение: «Если студент добросовестный, то он учится хорошо».

Ответ: предложение состоит из двух простых высказываний. «Если студент добросовестный, то он учится хорошо».

Задание. Определить, из скольки высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку: «В конце предложения надо обязательно поставить точку, многоточие, восклицательный знак или вопросительный знак».

Решение

а) Предложение состоит из четырех простых высказываний:

В конце предложения надо обязательно поставить точку.

В конце предложения надо обязательно поставить многоточие.

В конце предложения надо обязательно поставить восклицательный знак.

В конце предложения надо обязательно поставить вопросительный знак.

б) Так как по смыслу исходного предложения возможен лишь один из вариантов знака препинания, то единственно подходящая логическая связка «или».

в) Получим предложение: «В конце предложения надо обязательно поставить точку или многоточие или восклицательный знак или вопросительный знак».

Ответ: Предложение состоит из четырех простых высказываний. «В конце предложения надо обязательно поставить точку или многоточие, или восклицательный знак, или вопросительный знак».

Задание. Подчеркнуть простые высказывания, обвести кружком логическую связку:

Если с утра пасмурно, то я беру зонтик.

За экзамен я получу «отлично» или за экзамен я получу «хорошо».

У зверя нет иголок тогда и только тогда, когда зверь не ежик или зверь не дикообраз.

Неверно следующее высказывание: небо пасмурное тогда и только тогда, когда идет дождь.

II тип. Перевод с естественного языка на формальный

Задание. Представить высказывание в виде логической формулы: «Солнце светит тогда и только тогда, когда на небе нет туч».

Решение

а) Простых высказываний в данном предложении два:

1. Солнце светит,

2. На небе есть тучи.

Обозначим их латинскими буквами:

А – Солнце светит,

В – На небе есть тучи.

б) Логических связок в данном высказывании две: первая – тогда и только тогда, когда, вторая – нет. Первая соответствует операции эквиваленции (⇔), вторая – операции отрицания ( ⎯ ).

в) На основе пунктов а) и б) делаем вывод о том, что формула имеет следующий вид: A⇔  .

г) Делаем проверку: А – Солнце светит, В – На небе есть тучи,  ⇔ - операция эквиваленции (тогда и только тогда, когда),  - операция отрицания (нет). Следовательно, формулу A⇔  можно прочитать следующим образом: Солнце светит тогда и только тогда, когда на небе нет туч.

Ответ: высказывание соответствует формуле A⇔  .

Задание. Представить высказывание в виде логической формулы: «Неверно высказывание: книга интересная, если она дорогая, и ее скучно читать».

Решение

а) Простых высказываний в данном предложении три:

1. Книга интересная,

2. Книга дорогая,

3. Книгу скучно читать.

Обозначим высказывания латинскими буквами:

А – Книга интересная,

В – Книга дорогая,

С – Книгу скучно читать.

б) В данном высказывании можно заметить две особенности: 1) посылка и заключение «поменялись местами» друг с другом, 2) частица то в данном предложении пропущена, но можно легко определить ее местоположение – после слова что.

Логических связок в данном высказывании три: первая – неверно высказывание, вторая – если, …то, третья – и.

Поскольку отрицание стоит в начале предложения, данная операция относится ко всей формуле.

Первая логическая связка соответствует операции отрицания ( ⎯ ), вторая – операции импликации (=>), третья – операции конъюнкции (/\).

в) На основе пунктов а) и б) делаем вывод, что формула имеет следующий вид: .

г) Делаем проверку: А – Книга интересная, В – Книга дорогая, С – Книгу скучно читать, => - операция импликации (если, …то),  - операция отрицания (неверно высказывание), /\ - операция конъюнкции (и).

Следовательно, формулу В ∧ С⇒ А можно прочитать следующим образом: Неверно высказывание: если книга дорогая и ее скучно читать, то она интересная.

Ответ: высказывание соответствует формуле .

Задание. Представить высказывание в виде логической формулы: «В пустыне нет воды и нет растений тогда и только тогда, когда много песка или очень жарко».

Решение

а) Простых высказываний в данном предложении четыре:

1. В пустыне есть вода,

2. В пустыне есть растения,

3. В пустыне много песка,

4. В пустыне очень жарко.

Обозначим высказывания латинскими буквами:

А – В пустыне есть вода,

В – В пустыне есть растения,

С – В пустыне много песка,

D – В пустыне очень жарко.

б) Логических связок в данном высказывании пять: первая – нет, вторая – и, третья – нет, четвертая – тогда и только тогда, когда, пятая – или.

Первая и третья соответствуют операции отрицания ( ⎯ ), вторая – операции конъюнкции (/\), четвертая – операции эквиваленции (⇔), пятая – операции дизъюнкции (\/).

в) На основе пунктов а) и б) делаем вывод, что формула имеет следующий вид: (А∧ В)⇔(С ∨ D).

г) Делаем проверку: А – В пустыне есть вода, В – В пустыне есть растения, С – В пустыне много песка, D – В пустыне очень жарко, – операция отрицания (нет), /\ – операция конъюнкции (и), \/ – операции

дизъюнкции (или), ⇔ – операции эквиваленции (тогда и только тогда, когда).

Следовательно, формулу (А∧ В)⇔(С ∨ D) можно прочитать следующим образом: В пустыне нет воды и нет растений тогда и только тогда, когда много песка или очень жарко.

Ответ: высказывание соответствует формуле (А∧ В)⇔(С ∨ D).

III тип. Перевод с формального языка на естественный

Повторите алгоритм перевода с формального языка на естественный из теоретической части занятия.

Задание. Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке: (А ∧ В)⇒С .

Решение

а) Присвоим логическим переменным А, В, С какое-либо высказывание:

А – Пушкин А. С. – поэт,

В – Пушкин А. С. – дуэлянт,

С – Пушкин А. С. доживет до 70 лет.

б) Логические операции заменим соответствующими логическими связками:

А – Пушкин А. С. – не поэт;

В – Пушкин А. С. – не дуэлянт;

∧ – и;

⇒ – Если …, то …

в) Составим предложение по формуле, заменяя логические переменные заданными высказываниями, а операции – логическими связками: «Если Пушкин А. С. – не поэт и Пушкин А. С. – не дуэлянт, то Пушкин А. С. доживет до 70 лет».

В соответствии с правилами русского языка, избавимся от повторяющихся слов: «Если Пушкин А. С. – не поэт и не дуэлянт, то он доживет до 70 лет».

Ответ: «Если Пушкин А. С. – не поэт и не дуэлянт, то он доживет до 70 лет».

IV тип. Нахождение значения истинности формулы, доказательство логических законов, доказательство тождественной истинности или ложности формул

Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшинством операций. В порядке убывания старшинства логические операции расположены так:  , ∧ , ∨ , ⇒, ⇔. Кроме того, на порядок операций влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах.

Задание: вычислить значение логической формулы, предварительно указав порядок действий

X ⇔ X ∨ Y ;

Решение

X ⇔ X ∨ Y

X - первое действие;

X ∨ Y - второе действие;

X ⇔ X ∨ Y - третье действие.

X Y X X ∨ Y X ⇔ X ∨ Y

1. T T F T F

2. T F F T F

3. F T T T T

4. F F T F F

Ответ: формула принимает истинное значение, когда Х – истина,Y – ложь. Во всех остальных случаях формула принимает значение ложь.

Задание: доказать логический закон исключенного третьего X ∨ X .

Решение

X ∨ X

X - первое действие;

X ∨ X - второе действие.

X X X ∨ X

1. T F T

2. F T T

Ответ: формула является законом логики.

V тип. Решение задач с применением логических формул и таблиц истинности

Задача. Три студента: Андрей, Владимир и Сергей собирались в кинотеатр. Известно, Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно Владимир и Сергей. Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей. В итоге выяснилось, что Сергей пошел в кинотеатр. Выяснить, кто пошел с Сергеем.

Решение

а) Обозначим простые высказывания:

А – Андрей ходил в кинотеатр,

В – Владимир ходил в кинотеатр,

С – Сергей ходил в кинотеатр.

б) Представим известные факты в виде логических формул:

Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно

Владимир и Сергей – А⇔В ∧ С .

Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей – В⇒С.

Сергей пошел в кинотеатр – С.

в) Из условия следует, что формулы А⇔В ∧ С = Т и В⇒С = Т и С = Т

(истинны). Составим таблицу истинности для данных высказываний и найдем

значения переменных А и В в тех строках, где данные формулы принимают

истинное значение (они выделены темным цветом):

А В С В ∧С В ∧С А⇔В ∧ С В⇒С

T T T T F F T

T T F F T T F

T F T F T T T

T F F F T T T

F T T T F T T

F T F F T F F

F F T F T F T

F F F F T F T

г) Так высказывания А⇔В ∧ С и В⇒С и С истинны в двух случаях: когда А – истинно или когда В – истинно, то в кинотеатр Сергей пошел либо с Андреем, либо с Владимиром (варианты, что пошли все трое или Сергей один – отклоняются).

Ответ: Сергей пошел с Андреем или с Владимиром.

VI тип. Задачи на применение законов формальной логики

Задача. У каждой из трех одноклассниц Синельниковой, Красновой и Зелениной есть по одной ручке: у кого-то с зеленым стержнем, у другой с красным, у третьей – с синим. Известно, что у каждой подружки ручка цветом, не соответствующим фамилии. Когда одноклассник попытался выяснить, у какой подружки какая ручка, Синельникова сказала, что у нее однозначно нет зеленой ручки. Какого цвета ручка у каждой из подружек?

Решение

а) Решим задачу, используя двухмерную таблицу, в столбцах перечислим цвета стержней: с – синий, з – зеленый, к – красный; в строках – фамилии: С – Синельникова, К – Краснова, З – Зеленина. На пересечении строк и столбцов будем ставить знак «+», если у школьницы есть стержень соответствующего

цвета, знак «–» – если стержня нет (см. табл. 7.1.).

Таблица 7.1

Решение задачи с помощью двухмерной таблицы

с к з

С

К

З

б) Из условия следует, что у Синельниковой нет синей и зеленой ручки, у Красновой нет красной, у Зелениной отсутствует зеленая ручка. Поставим в соответствующих ячейках таблицы знаки «–» (табл. 7.2.).

Таблица 7.2

Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (продолжение)

с к з

С – –

К –

З –

в) У Синельниковой нет ни зеленой, ни синей ручки, следовательно, у нее может быть только красная ручка. Поэтому ________4у других подружек уже не может быть красной ручки. Отобразим это в таблице 7.3.

Таблица 7.3

Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (продолжение)

с к з

С – + –

К –

З – –

г) Из таблицы 7.3 очевидно, что синяя ручка может быть только у Зелениной, а зеленая ручка может быть только у Красновой. Получим итоговую таблицу (табл. 7.4.).

Таблица 7.4

Решение задачи с помощью двухмерной таблицы (итог)

с к з

С – + –

К – – +

З + – –

Ответ: у Синельниковой красная ручка, у Красновой – зеленая, у Зелениной – синяя.

Примечание 1. Задачу можно решить и простым перебором вариантов, но фиксирование результатов рассуждений в таблице делает решение более наглядным и позволяет не упустить ни одну версию.

Примечание 2. Задача решается и с помощью графов. Рассмотрим подобное решение при тех же условиях задачи.

Графом на плоскости называется конечное множество точек плоскости, где некоторые из них соединены линиями. Точки – вершины графа; соединяющие их линии – ребра. Степень вершины графа – количество ребер, исходящих из этой вершины.

Решение

Таблица 8

Решение задачи с помощью графа

Граф Пояснение

а)

а) В задаче идет речь о двух

множествах: множество фамилий (С – Синельникова, К – Краснова, З – Зеленина) и множество цветов (с – синий, з – зеленый, к – красный).

Построим граф с соответствующими вершинами

б) Соответствующие элементы двух множеств будем соединять сплошным ребром (линией), а несоответствующие – пунктирной.

С

К

З

с

к

з

Граф Пояснение

в)

в) Прочитаем условие.

Так как у каждой подружки ручка цветом, не соответствующим фамилии, то соединим С и с, К и к, З

и з пунктирной линией, как не соответствующие элементы г)

г) Так как у Синельниковой нет зеленой ручки, то соединим С и з пунктирной линией, как не соответствующие элементы.

Единственным вариантом остается, что у Синельниковой ручка красного цвета. Соединим С и к сплошной линией как соответствующие элементы

д)

д) З и к соединим пунктирной линией, как не соответствующие элементы. Так как у Зелениной нет

ни красной, ни зеленой ручки, то у нее синяя ручка. Соединим З и с сплошной линией как соответствующие элементы, и К и с – пунктирной, как не соответствующие элементы

е)

е) По графу видно, что у Красновой нет ни синей, ни красной ручки, следовательно, у нее может быть лишь зеленая ручка. Соединим К и з сплошной линией как соответствующие элементы

Ответ: у Синельниковой красная ручка, у Красновой – зеленая, у Зелениной – синяя.

Примечание 3. Подобные задачи логического характера рационально решать с помощью таблиц, когда в условии фигурируют два множества с числом элементов более 2. Если в задаче участвуют три и более множества с несколькими элементами, то она решается с помощью графов.

С

К

З

с

к

з

С

К

З

с

к

з

С

К

З

с

к

з

С

К

З

с

к

з

Задачи для самостоятельного решения

I тип

Задача 1*. Определить, является ли предложение высказыванием. Высказывания обозначить и определить их истинность:

а) Сегодня воскресенье.

б) Дисплей – это устройство ввода информации.

а) Проверь домашнее задание.

в) Математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

г) День был дождливым?

д) 19 делится на 5 без остатка.

е) Какой красивый дом!

ж) Александр Сергеевич Пушкин – великий поэт серебряного века.

Задача 2*. Определить, из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку:

а) Купаясь в неположенном месте, человек может утонуть.

б) В повествовательном предложении ставится точка, а может быть многоточие.

в) Ленивому студенту трудно учиться.

г) Студента переводят на следующий курс, когда он не имеет задолженностей.

д) Чапаев – герой Гражданской войны, а также современных анекдотов.

е) Вода при температуре менее 0 градусов – лед.

ж) Проигравший теннисист выходит из соревнований.

Задача 3*. Для высказываний, сформулированных в задании 2, подчеркнуть простые высказывания, обвести кружком логическую связку.

Задача 4**. Определить, из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку:

а) Лампочка горит, когда есть электричество.

б) На яблоне растут яблоки.

в) У блондина белый цвет волос.

г) Спортсмен – олимпийский чемпион, следовательно, он победитель Олимпийских игр.

д) Студент, не сдавший всех зачетов, не допускается до экзаменов.

е) Зимой на улице холодно.

ж) Спортсмен вышел в полуфинал вследствие того, что выиграл четверть финала.

з) Встречаясь, люди приветствуют друг друга.

Задача 5**. В высказываниях, сформулированных в задании 4, подчеркнуть простые высказывания и обвести кружком логическую связку.

Задача 6***. Определить, из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку:

а) Чтобы сдать зачет, студенту необходимо: решить все домашние задания, написать контрольную работу на положительную оценку, посещать все лекции.

б) Порядочный человек извинится, а также постарается загладить вину в случае, когда он кого-то сильно обидел.

в) Спортсмен будет дисквалифицирован в случае, когда он нарушает правила либо некорректно ведет себя по отношению к сопернику.

Задача 7**. В высказываниях, сформулированных в задании 6, подчеркнуть простые высказывания и обвести кружком логическую связку.

II тип

Задача 8*. Представить высказывания в виде логических формул:

а) Если пойдешь гулять, то возьмешь с собой зонт или наденешь плащ.

б) Человек голоден тогда и только тогда, когда он не умеет готовить.

Задача 9**. Представить высказывания в виде логических формул:

а) Студент не сдал сессию, следовательно, он будет отчислен.

б) Я буду отдыхать, если начнутся каникулы.

в) Неверно, что Земля плоская и вращается вокруг Солнца.

г) Можно будет кататься на роликах или велосипедах, когда наступит лето.

Задача 10***. Представить предложения в виде логических формул, если это возможно:

а) Прочитай книгу и сходи в кино.

б) Выучил уроки, если помыл посуду.

в) Если сдал экзамен или зачет, можешь отдохнуть с друзьями.

III тип

Задача 11*. Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке:

а) A∨ B

б) X ⇔Z

в) P⇒Q

г) A ∧ B

д) O⇒T

е) Y ⇔W

Задача 12**. Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке:

а) P⇒Q ∧ T

б) A ∧ B⇒C

в) D⇒G ∨ H

г) (A⇒B) ∨ C

д) A⇔B ∨ C

е) (X ∨ Y)⇔Z

Задача 13***. Представить логический закон в виде высказывания на русском языке:

а) чисто условное умозаключение ((A⇒ B) ∧ (B⇒C))⇒(A⇒C)

б) закон де Моргана (А∨ В)⇒ А∧ В

в) закон Дунса Скотта А∧ А⇒ В

г) закон косвенного доказательства (А⇒ (В ∧ В))⇒ А

д)modus ponens (модус утвердительный) ((А⇒В)∧ А)⇒В

е) modus tollens (модус отрицательный) (А⇒В)∧ В⇒ А

ж) Разделительно-категорическое умозаключение ((А∨ В)∧ А)⇒В

з) Условно-разделительное умозаключение (конструктивная дилемма) ((А⇒В)∧(С⇒D)∧(A∧C))⇒(B∨ D)

и) Условно-разделительное умозаключение (деструктивная дилемма) ((А⇒В)∧(С⇒D)∧(В∨ D))⇒(A∨C)

IV тип

Задача 14*. Построить таблицы истинности для формул:

а) C ∧ A⇒ B

б) A ∧ C ∨ A ∧ C

в) X ∨ Z ⇒Y

г) A ∨ B ⇔ A ∧ C

д) (X ⇒Y )∧ Z

е) X ∧ Z ⇒Y ∨ Z

Задача 15**. Определить, являются ли формулы тождественно истинными:

а) (A ∨ B) ∧ C ⇔ A ∧ C ∨ B ∧ C

б) A⇒ B ⇔ A ∧ B

в) A⇒ B ∧ A

г) A⇒ B ⇔ A ∨ B

д) A ∨ (B ∧ C)⇔ (A ∨ B)∧ (A ∨ C)

е) A⇒ B ⇔ A ∧ B

Задача 16***. Доказать с помощью таблиц истинности логические законы:

а) A⇒ B ⇔ A∨ B

б) A∨ B⇔ A∧ B

в) чисто условное умозаключение

г) modus ponens (модус утвердительный)

д)modus tollens (модус отрицательный)

е) Условно-разделительное умозаключение (конструктивная дилемма)

V тип

Задача 17*. Три студента: Андрей, Владимир и Сергей собирались в кинотеатр. Известно, Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно Владимир и Сергей. Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей. В итоге выяснилось, что Андрей пошел в кинотеатр. Выяснить, кто пошел с Андреем?

Задача 18*. У сороки было трое птенцов: А, В, С. Кого сорока угостила кашей, если известно, что если она угостит А и С, то и В получит свою порцию. Также известно, что А не угостит тогда и только тогда, когда не угостит С.

Задача 19**. В кабинете работают начальник, секретарь и заместитель начальника. Вечером был сломан калькулятор. В кабинете установлена видеокамера, охранник выдал заведомо ложную информацию о том, что если в кабинете в момент поломки был заместитель и не было начальника, то в кабинете присутствовал секретарь. Кто сломал калькулятор?

Задача 20**. В картинной галерее украдено полотно. В момент кражи в галерее могли находиться три человека: охранник, смотритель и уборщица. В ходе допроса смотритель сказал: «Если в момент кражи в помещении был я, то не было уборщицы или был охранник». Затем следствие выяснило, что смотритель

солгал. Кто украл полотно?

Задача 21**. С урока сбежали три ученицы Аня, Вика и Соня. Кто был инициатором, если Вика, желая защитить подруг, сказала заведомую ложь: «Если я инициировала прогул, то Аня или Соня не были инициаторами»?

Задача 22***. Трех учеников учитель заподозрил в том, что они списали домашнее задание. Сидоров сказал: «Анохин списал, а Викторов нет». Анохин сказал: «Викторов не списывал и Синицын не списывал». Викторов заметил: «Списал Анохин или Сидоров». Потом все три ученика признались, что сказали

неправду. Кто списал на самом деле?

Задача 23***. Позвал отец трех сыновей и спросил, чью стрелу поймала царевна-лягушка. Младший молвил: «Стрелы старшего и среднего братьев попали в болото». Средний вторил: «Стрелы младшего или старшего оказались в болоте». Старший произнес: «Стрела среднего не очутилась в болоте или стрела младшего угодила туда». Кто женится на царевне-лягушке, если из братьев только один сказал правду?

Задача 24***. На рождество три подруги гадали на женихов. В результате они получили три предсказания. Первое: «Если Лена выйдет замуж, то Таня тоже выйдет». Второе: «Если Лена выйдет замуж, то Оля не выйдет». Третье: «Таня выйдет замуж в том и только том случае, когда выйдет Оля». Жизнь показала,

что ни одно предсказание не сбылось. Кто вышел замуж?

Задача 25***. Куратор группы спросил у трех студентов о задолженностях за сессию. Татьяна сказала, что у Димы нет задолженностей и у Бориса нет. Дима сказал, что Борис имеет задолженности, а Татьяна нет. Борис сказал, что у него нет задолженностей, а у Татьяны есть. Потом студенты признались, что один из них сказал неправду. Кто на самом деле имеет долги за сессию?

VI тип

Задача 26*. После угона четыре машины: «Жигули», «Волга», «Запорожец» и «Москвич» были перекрашены в один цвет. Известно, что до угона машины были разных цветов: желтого, зеленого, синего, красного. Показания свидетелей позволили выявить следующее. Во-первых, водитель «Жигулей» возил владельца машины желтого цвета, и это был не водитель «Волги». Во-вторых, пассажирами на синей машине видели водителей «Волги» и «Запорожца». В-третьих, водитель «Жигулей» не любит синий цвет, так же сильно, как водитель «Волги» не любит красный цвет. Какой цвет соответствовал каждой марке машины до угона?

Задача 27*. Один из друзей – Андрей, Борис, Владимир, Григорий – археолог, другой юрист, третий физик, четвертый художник. Определить, у кого какая профессия, если известно, что Владимир учился с археологом и юристом в одном вузе. Археолог с Андреем и Григорием ходили в экспедицию. Художник

написал портреты Владимира и Григория.

Задача 28*. Сестры Лена, Настя, Даша поссорились с тремя подругами Викой, Машей, Олей. Когда родители попытались выяснить, кто с кем поссорился, Лена сказала: «Я не ссорилась с Викой». Настя призналась: «Я поругалась с Викой». Даша ответила: «Однозначно, что я до сих пор дружу с Машей». Кто с

кем поссорился?

Задача 29**. Три брата: старший, средний, младший женились на трех сестрах другой семьи. Младший брат женился не на младшей сестре, средний не на средней, старший не на старшей. Какой брат на какой сестре женился, если известно, что старшая сестра вышла замуж не за младшего брата?

Задача 30***. Один из друзей-писателей пишет детективы, другой – комедии, третий – фантастику. Их жены не любят читать книги жанров, в которых пишут их мужья. Дети писателей не читают то, что пишут отцы, и то, что читают их матери. Какой жанр из этих трех жанров предпочитают жены и дети писателей, если жена фантаста не любит детективы?

Задача 31***. У трех подружек Черновой, Рыжовой, Беловой цвет волос не соответствует фамилии. Одна из них блондинка, другая рыжая, третья брюнетка. Девушки носят костюмы цвета, не соответствующего цвету волос и фамилии. У кого какой цвет волос, и какого цвета костюмы носят девушки, если Чернова не блондинка?

Задача 32***. У Петрова, Иванова, Максимова имена не соответствуют фамилиям, но при этом одного зовут Максимом, другого Иваном, третьего Петром. Отчества юношей не соответствуют ни их  фамилиям, ни именам. Но их отчества: Петрович, Максимович и Иванович. У кого какое имя и отчество, если Максимова точно зовут не Иваном?

Задача 33***. У трех одноклассниц, зеленоглазой, кареглазой, синеглазой, сумочки и кофты зеленого, коричневого и синего цветов. Причем у каждой девушки цвет сумочки не совпадает с цветом глаз, а цвет кофты не совпадает ни с цветом сумочки, ни с цветом глаз. Кому, какого цвета принадлежит сумочка и кофта, если у зеленоглазой подружки не коричневая сумка?

Домашнее задание

Вариант 1

1.Определить, из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку. Для сформулированного высказывания подчеркнуть простые высказывания, обвести кружком логическую связку: «Сегодня солнечный летний день, значит, на улице жарко, а также нет грозы».

2.Представить в виде логической формулы высказывание: «Если ты не заплатил за проезд, то неверно, что тебя оштрафуют или высадят из автобуса».

3.Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке: X ∨ Y ⇔Y ∨ X ; A⇒B ∨ C .

4.Доказать с помощью таблиц истинности логический закон Дунса Скотта А∧ А⇒В .

5.Три студента: Андрей, Владимир и Сергей собирались в кинотеатр. Известно, Андрей пойдет тогда и только тогда, когда не пойдут одновременно Владимир и Сергей. Если пойдет Владимир, то пойдет Сергей. В итоге выяснилось, что Владимир пошел в кинотеатр. Выяснить, кто пошел с Владимиром.

6.Из трех друзей-меломанов один любит рок-музыку, другой – тяжелый рок, третий – поп-музыку. Их девушки также предпочитают одно из этих направлений, но они не любят слушать то, что слушает их друг. Чья девушка, какую музыку предпочитает, если подруга рокера не слушает поп-музыку?

Вариант 2

1.Определить, из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку. Для сформулированного высказывания подчеркнуть простые высказывания, обвести кружком логическую связку: «Студент допущен к экзаменам, следовательно, он сдал все зачеты, а также у него не было много пропущенных занятий».

2.Представить в виде логической формулы высказывание: «Будешь здоровым тогда и только тогда, когда будешь заниматься спортом».

3.Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке: A ∧ B⇔B ∧ A; X ∨ Y ⇒Z .

4.Доказать закон косвенного доказательства (А⇒(В ∧ В))⇒ А.

5.Преподаватель должен выбрать из трех студентов участников для олимпиады. Известно, что если он выберет Иванова или Васильеву, то Синицын тоже будет участвовать. Иванова он возьмет в команду тогда и только тогда, когда он не возьмет Васильеву. В итоге выяснилось, что Васильева участвовала в олимпиаде. Участвовали ли другие претенденты? Кто?

6.Отличник, хорошист, троечник написали контрольную работу на оценку, не соответствующую их статусу. Кто какую оценку получил, если известно, что троечник не получил пятерку?

Вариант 3

1.Определить, из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку. Для сформулированного высказывания подчеркнуть простые высказывания, обвести кружком логическую связку: «В случае, когда спортсмен не пройдет допинг-контроль или квалификацию, он не будет допущен к соревнованиям».

2.Представить в виде логической формулы высказывание: «Можно будет кататься на роликах или велосипедах, когда наступит лето».

3.Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке: A∨ (B ∨ C)⇔(A∨ B) ∨ C ; T ∧ Q .

4.Доказать условно-разделительное умозаключение (деструктивная дилемма).

5.В поход собрались три друга Смирнов, Козлов, Доронин. Руководитель сказал, что если Смирнов пойдет или Доронин не пойдет, то пойдет Козлов. Козлов решил, что он пойдет в поход в том и только том случае, когда не пойдет Доронин. Смирнов отправится в поход в любом случае. Кто из трех друзей пойдет в поход?

6.Бегун, прыгун, метатель молота вытянули жребий для участия в «Веселых стартах». Одному из них выпало участие в беге, другому в прыжках, третьему – метание молота, но ни у одного жребий не совпал с их ведущим видом спорта. Какой спортсмен в каком виде соревнований примет участие, если известно, что бегун не будет прыгать?

Вариант 4

1.Определить, из скольких высказываний состоит предложение. Сформулировать предложение, используя наиболее подходящую логическую связку. Для сформулированного высказывания подчеркнуть простые высказывания, обвести кружком логическую связку: «Когда я не выполнил домашнее задание и пропустил лекцию, мне стыдно идти на занятие».

2.Представить в виде логической формулы высказывание: «Неверно, что на Земле нет атмосферы или отсутствует жизнь».

3.Представить логическую формулу в виде высказывания на русском языке: A∧ (B ∧C) ≡ (A∧ B) ∧C ; Y ⇔ X .

4.Доказать с помощью таблиц истинности разделительно-категорическое умозаключение ((А∨ В)∧ А)⇒В .

5.В спортивную секцию решили записаться три одноклассника: Синельников, Абрамов, Воронин. Отношения между одноклассниками складываются таким образом, что, если Воронин не пойдет, то Синельников и Абрамов будут заниматься вместе. Синельников не запишется в секцию тогда и только тогда, когда не запишется Воронин. Тренер сообщил, что Абрамов не подходит по медицинской справке. Кто из одноклассников записался в секцию?

6.Переводчики с французского, английского, немецкого языков поехали в командировку: один во Францию, другой в Германию, третий – в Англию. Ни один из переводчиков не попадает в страну, где говорят на языке, с которого он переводит. Какой переводчик, в какую страну поедет, если известно, что в Германию не попадает переводчик с английского языка?

Контрольные вопросы

1.Что изучает математическая логика?

2.Как определить, что предложение является высказыванием?

3.Каким союзам русского языка соответствуют операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции?

4.Какие обозначения соответствуют союзам русского языка: … тогда и только тогда, когда …; и; или; если …, то…; не?

5.Какие значения истинности принимают операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции в зависимости от значений переменных?

6.Как формулируется алгоритм перевода с естественного языка на формальный?

7.Каким образом осуществить перевод с формального языка на естественный?

8.Как доказать логический закон?

9.Какого типа задачи и каким образом решаются с помощью таблиц истинности?

10. Какие задачи логического характера удобно решать с помощью таблиц, а какие с помощью графов?

Библиографический список

1.Грес П. В. Математика для гуманитариев: учебное пособие / П.В.Грес. – М.: Логос, 2003. – С. 53–60.

2.Козлов В. Н. Математика и информатика / В.Н. Козлов. – СПб.: Питер, 2004. – С. 34.

3.Турецкий В. Я. Математика и информатика / В.Я. Турецкий. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2002. – (Серия «Высшее образование»). – С. 60–75.

4.Математика для гуманитариев: конспект лекций / Авт. – сост.:

И.И. Клебанов, А. В. Дудин, Е. В. Коробейникова. – Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. ун-та, 2003. – С. 4–11.

Тема 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Большую часть знаний об окружающей нас действительности мы получаем с помощью рассуждений. Знание будет истинным, если оно получено путем правильного рассуждения, а таким считают рассуждение, построенное по правилам логики.

Рассуждения лежат в основе доказательства, без которого трудно представить математику. Но тех представлений о доказательстве, которые возникли у вас в процессе конкретных доказательств, конечно, недостаточно, чтобы обучать доказательству младших школьников. Учителю нужны более глубокие знания о тех правилах, в соответствии с которыми строятся правильные рассуждения, нужны знания о структуре и способах доказательства, о взаимосвязи индукции и дедукции.

Эти вопросы и будут рассмотрены в данной лекции.

1. Умозаключения и их виды

В логике вместо термина «рассуждения» чаще используются (как его синоним) слово «умозаключение», им и будем пользоваться.

Умозаключение - это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося.

Умозаключение состоит из посылок и заключения.

Посылки - это высказывания, содержащие исходное знание.

Заключение - это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного.

В умозаключении из посылок выводится заключение.

Рассмотрим примеры умозаключений, которые выполняют младшие школьники, изучая математику.

Пример 1. Ученику предлагается объяснить, почему число 23 можно представить в виде суммы 20 + 3. Он рассуждает: «Число 23 - двузначное. Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Следовательно, 23 = 20 + 3».

Первое и второе предложения в этом умозаключении посылки, причем одна посылка общего характера - это высказывание «любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых», а другая - частная, она характеризует только число 23 - оно двузначное. Заключение - это предложение, которое стоит после слова «следовательно», - также носит частный характер, так как в нем речь идет о конкретном числе 23.

Пример 2. Один из приемов ознакомления младших школьников с переместительным свойством умножения заключается в следующем. Используя различные средства наглядности, школьники вместе с учителем устанавливают, что 6 ∙ 3 = 3 ∙ 6, 5 ∙ 2 = 2 ∙ 5, 3 ∙ 7 = 7 ∙ 3. А затем, на основе полученных равенств делают вывод: для всех натуральных чисел а и b верно равенство а ∙ b =b ∙ а.

В данном умозаключении посылками являются первые три равенства, в них утверждается, что для конкретных натуральных чисел выполняется такое свойство. Заключением в данном примере является утверждение общего характера - переместительное свойство умножения натуральных чисел.

Видим, что умозаключения бывают разные. В примере 1 заключение логически следует из посылок, и мы не сомневаемся в его истинности. Такие умозаключения называют в логике дедуктивными.

I

Определение. Дедуктивным называется умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования.

Если посылки дедуктивного умозаключения обозначить буквами А1, А2, ... , Аn, а заключение - буквой В, то схематично само умозаключение можно представить так: А1, А2,…,Ап => В.

А1, А2,…, Аn

Часто используют такую запись:         B            В ней черта заменяет слово «следовательно».

В примере 1 рассмотрено дедуктивное умозаключение. В дедуктивном умозаключении всегда, когда истинны посылки, истинно и заключение.

Умозаключение, которое рассмотрено в примере 2, отлично от первого. В нем приведены три посылки частного характера, которые показывают, что некоторые натуральные числа обладают свойством: от перестановки множителей произведение не изменяется. И на этой основе сделан вывод, что этим свойством обладают все натуральные числа. Такие умозаключения называют неполной индукцией. 

Определение. Неполная индукция- это умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса.

Неполная индукция не является дедуктивным умозаключением, поскольку, рассуждая по такой схеме, можно прийти к ложному выводу.

Вообще к выводам, полученным с помощью неполной индукции, надо относиться критически, так как они носят характер предположения, гипотезы и нуждаются в дальнейшей проверке: их надо либо доказать, либо опровергнуть.

Несмотря на то что неполная индукция не всегда приводит к истинным выводам, роль таких умозаключений в процессе познания велика. Почти все общие положения и, в частности, научные законы являются результатом умозаключений, называемых неполной индукцией.

Существует еще один пример рассуждений -  по аналогии.

Слово «аналогия» в переводе с греческого означает «соответствие, сходство».

Вообще под аналогией понимают умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

Аналогия помогает открывать новые знания, способы деятельности или использовать усвоенные способы деятельности в измененных условиях.

Вывод по аналогии носит характер предположения, гипотезы и поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении.

Например, ученик установил, что число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3. Затем, действуя по аналогии, сделал вывод: число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4. Чтобы убедиться в ложности полученного вывода, достаточно привести контрпример: число 12 делится на 2 и на 4, но не делится на 8.

Широко используется аналогия в обучении математике младших школьников. Это происходит при изучении свойств объектов, отношений между ними и действий с ними. Приведем несколько примеров.

Аналогию можно использовать для «открытия» новых свойств изучаемых объектов. Например, если при изучении классов установлено, что в классе единиц три разряда - единицы, десятки, сотни, а в классе тысяч также три разряда-единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч, то вывод о числе разрядов в классе миллионов и их названии дети могут сделать самостоятельно, по аналогии.

Аналогия может быть использована для установления отношений между данными объектами. Например, учащиеся установили, что 4(3 + 7) > 4 ∙ 3 + 4 ∙ 6, так как 4 ∙ (3 + 7) = 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7, а 4 ∙ 7 > 4 ∙ 6. Рассматривая затем выражения 3 ∙ (8 + 9) и 3 ∙ 8 + 3 ∙ 7, учащиеся могут по аналогии сделать вывод о том, что 3 ∙ (8 + 9) > 3 ∙ 8 + 3 ∙ 7. Проверить его правильность можно либо путем рассуждений, аналогичных тем, что проводились при выполнении первого задания, либо при помощи вычислений.

Аналогия может быть использована и для выводов о способе действия на основе изучения другого способа. Так, после рассмотрения способа умножения двузначного числа на однозначное на примере умножения 27 на 3 (27 ∙ 3 = (20 + 7) ∙ 3 = 20 ∙ 3 + 7 ∙ 3 = 81) детям предлагается умножить 712 на 4. Действуя по аналогии, они устанавливают, что 712 ∙ 4 = (700+10 + 2) 4 = 2800 + 40 + 8 = 2848. Далее по аналогии устанавливают, как умножить 6288 на 3.

Следующим шагом может быть обобщение, т.е. получение правила умножения многозначного числа на однозначное, т.е. использование неполной индукции.

2. Схемы дедуктивных умозаключений

Рассмотрим подробнее дедуктивные (правильные) умозаключения. Согласно определению (п. 1), в дедуктивном умозаключении посылки и заключение находятся в отношении логического следования. Это означает, что в нем всегда из истинных посылок следует истинное заключение.

В логике считают, что правильность умозаключения определяется его формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. И в логике эти правила называют правилами вывода или схемами дедуктивных (правильных) умозаключений. Правил много, но наиболее часто используются следующие: А(х)=>В(х), А(а)          - правило заключения;

                                                 В(а)

А(х) => В(х),             - правило отрицания;

А(а)

А(х) => В{х), В{х) => С(х)                 - правило силлогизма.

А(х) => С(х)        

Выясним, что обозначают все знаки, использованные в записи этих правил; как их применять на практике.

Рассмотрим, например, правило заключения. В нем обозначены две посылки А(х) => В(х) и А(а). Первую называют общей посылкой, это может быть теорема, определение и, вообще, предложение вида А(х) => В(х). Вторую посылку А (а) называют частной, она получается из условия А(х) при х = а. Предложение В(а) - это заключение, оно получается из В(х) при х = а. Посылки отделены от заключения чертой, которая заменяет слово «следовательно».

Приведем пример умозаключения, выполненного по правилу заключения:

Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5. Запись числа 135 оканчивается цифрой 5. Следовательно, число 135 делится на 5.

В качестве общей посылки в этом умозаключении выступает утверждение вида «если А(х), то В(х)», где А(х) - это «запись числа х оканчивается цифрой 5», а В(х)- «число х делится на 5». Частная посылка представляет собой высказывание, которое получилось из условия общей при х = 135 (т.е. это Л(135)). Заключение является высказыванием, полученным из В(х) при х = 135 (т.е. это 5(135)).

Приведем теперь пример умозаключения, выполненного по правилу отрицания.

Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5. Число 177 не делится на 5. Следовательно, оно не оканчивается цифрой 5.

Видим, что в этом умозаключении общая посылка такая же, как и в предыдущем, а частная представляет собой отрицание высказывания «число 177 делится на 5.

Заключение - это отрицание предложения «Запись числа 177 не оканчивается цифрой 5».

И, наконец, рассмотрим пример умозаключения, построенного по правилу силлогизма.

Если число х кратно 12, то оно кратно 6. Если число х кратно 6, то оно кратно 3. Следовательно, если число х кратно 12, то оно кратно 3.

В этом умозаключении две посылки вида «если А(х), то В(х)» и «если В(х), то С(х)», где А{х)- это предложение «х кратно 12», В(х) - предложение «х кратно 6» и С(х) - предложение «х кратно 3». Заключение представляет собой высказывание «если А (х), то С(х)».

3. Способы математического доказательства

В обыденной жизни часто, когда говорят о доказательстве, имеют в виду просто проверку высказанного утверждения. В математике проверка и доказательство - это разные вещи, хотя и связанные между собой. Пусть, например, требуется доказать, что если в четырехугольнике три угла прямые, то он - прямоугольник.

Если мы возьмем какой-либо четырехугольник, у которого три угла прямые, и, измерив четвертый, убедимся в том, что он действительно прямой, то эта проверка сделает данное утверждение более правдоподобным, но еще не доказанным.

Чтобы доказать данное утверждение, рассмотрим произвольный четырехугольник, в котором три угла прямые. Так как в любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360°, то и в данном она составляет 360°. Сумма трех прямых углов равна 270° (90° ∙3 = 270°), и, значит, четвертый имеет величину 90° (360°- 270° = 90°). Если все углы четырехугольника прямые, он - прямоугольник. Следовательно, данный четырехугольник будет прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Заметим, что сущность проведенного доказательства состоит в построении такой последовательности истинных утверждений (теорем, аксиом, определений), из которых логически следует утверждение, которое нужно было доказать.

Вообще доказать какое-либо утверждение- это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.

Основным способом математического доказательства является дедуктивный вывод. А само доказательство - это цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений.

Например, в приведенном выше доказательстве можно выделить следующие умозаключения:

1. В любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360°; данная фигура - выпуклый четырехугольник, следовательно, сумма углов в нем 360°.
2. Если известна сумма всех углов четырехугольника и сумма трех из них, то вычитанием можно найти величину четвертого; сумма всех углов данного четырехугольника равна 360°, сумма трех 270° (90° ∙3 = 270°), то величина четвертого 360° - 270° = 90°.
3. Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник - прямоугольник; в данном четырехугольнике все углы прямые, следовательно, он прямоугольник.

Все приведенные умозаключения выполнены по правилу заключения и, следовательно, являются дедуктивными.

Математическое доказательство - это не просто набор умозаключений, это умозаключения, расположенные в определенном порядке.

По способу ведения различают прямые и косвенные доказательства. Рассмотренное ранее доказательство было прямым - в нем, основываясь на некотором истинном предложении и с учетом условия теоремы, строилась цепочка дедуктивных умозаключений, которая приводила к истинному заключению.

К прямым доказательствам в математике относят полную индукцию  -такой способ доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях.

Задача 1. Доказать, что каждое составное натуральное число, больше 4, но меньше 20, представимо в виде суммы двух простых чисел.

Решение. Вспомним определение простого и составного числа. Простым называется такое натуральное число, которое делится только на 1 и на себя. Числа 2, 13, 5, 17- простые. Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Число 1 не является ни простым, ни составным.

В данной задаче рассматривается множество чисел, которые больше 4, но меньше 20. Составными в нем будут числа: 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18. Каждое из них можно представить в виде суммы двух простых чисел: 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; 9 = 7 + 2; 10 = 5+5 (или 7+3); 12 = 5+7; 14 = 11+3 (или 7+7); 15 = 13+2; 16 = 13 + 3 (или 11 + 5), 18 = 13 + 5 (или 11+7). Так как данное утверждение истинно во всех частных случаях, то оно доказано.

Примером косвенного доказательства является доказательство методом от противного. Сущность его состоит в следующем. Пусть требуется доказать теорему А => В. При доказательстве методом от противного допускают, что заключение теоремы (В) ложно, а, следовательно, его отрицание истинно. Присоединив предложение В к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых находится и условие А), строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок и, в частности, условию А. Как только такое противоречие устанавливают, процесс доказательства заканчивают и говорят, что полученное противоречие доказывает истинность теоремы А => В.

Задача 2. Доказать, что если а + 3 > 10, то а ≠ 7.

Решение. Предположим, что заключение данного утверждения ложно, тогда истинным будет его отрицание, т.е. предложение а = 7. Подставим это значение а в неравенство а + 3 > 10. Получим предложение 7 + 3 > 10 или 10 > 10, которое ложно. Пришли в противоречию с определением отношения «больше» для чисел. Следовательно, наше предположение неверное, и поэтому, если а + 3 > 10, то а ≠ 7.

Завершая обсуждение вопросов, связанных с математическим доказательством, выясним, как связаны между собой неполная индукция с дедуктивным выводом.

Ранее было отмечено, что выводы, которые мы получаем с помощью неполной индукции (или аналогии) носят характер предположения и поэтому их надо либо доказывать, либо опровергать. Поскольку выводы, о которых идет речь, носят, как правило, характер обобщения, то они формулируются в виде предложений, содержащих квантор общности. И следовательно, чтобы их опровергнуть, надо привести контрпример, а чтобы убедиться в истинности - доказать. Причем имеется в виду дедуктивный вывод. Таким образом, в процессе познания неполная индукция и математическое доказательство оказываются тесно связанными.

Основные выводы темы 4

Для того чтобы разобраться с особенностями математического доказательства, нам пришлось познакомиться с понятиями:

• умозаключение,
• посылка и заключение,
• дедуктивные (правильные) умозаключения,
• неполная индукция,
• аналогия,
• прямое доказательство,
• косвенное доказательство,
• полная индукция.

Мы выяснили, что неполная индукция и аналогия тесно связаны с дедукцией: выводы, полученные с помощью неполной индукции и аналогии, надо либо доказывать, либо опровергать, т.е. нужна дедукция. С другой стороны, дедукция не возникает на пустом месте, а является результатом предварительного индуктивного изучения материала.

Дедуктивные умозаключения позволяют из уже имеющегося знания получать новые истины, и притом с помощью рассуждения, без обращения к опыту, интуиции и т.д.

Мы выяснили, что математическое доказательство - это цепочка дедуктивных умозаключений, выполняемых по определенным правилам. Познакомились с простейшими из них: правилом заключения, правилом отрицания, правилом силлогизма. Узнали, что проверять правильность умозаключения можно с помощью кругов Эйлера.

Упражнения по теме «Умозаключения и их виды»

1.        Объясните, почему приведенные ниже высказывания
считают истинными:

а)7>5;        в) (4 + 6):2 = 4:2 + 6:2;

б)7 + 3>7+1;       г)(6-4):2 = (6:2)-4. Сформулируйте правила, которыми вы воспользовались. Содержат ли они квантор общности?

2.        Известно, что если в треугольнике углы при основании
равны, то он - равнобедренный. Следует ли из этого, что:

а)        треугольник с двумя углами по 40° - равнобедренный;

б)        треугольник с двумя сторонами по 4 см - равнобедренный?

3. Даны два утверждения: А{х) - «число х четное» и В(х) -«запись числа х оканчивается цифрой 4». Находятся ли они е отношении следования?
4. Известно, что запись числа оканчивается цифрой 8. Следует ли из этого, что данное число делится на:

а) 2;        б) 4

?

5.        В четырехугольнике ABCD диагонали равны и в точке
пересечения делятся пополам. Верно ли, что ABCD:

а) ромб;    б) квадрат;      в) прямоугольник?

6.        В четырехугольнике ABCD все стороны равны. Доста
точно ли этого для того, чтобы утверждать, что ABCD:

а) квадрат;        б) ромб?

7. В четырехугольнике ABCD два угла прямые. Доста точно ли этого для того, чтобы утверждать, что ABCD -прямоугольник?
8. Выскажите предположение, рассмотрев несколько част ных случаев:

а)        К однозначному числу приписали такую же цифру. Вс
сколько раз увеличилось число?

б)        Имеются два числа, ни одно из которых не делится на 3
Может ли (и при каком условии) сумма этих чисел разделить
ся на 3?

в)        Верно ли, что квадрат четного числа есть число, кратное 4

9.        Около вершин треугольника поставьте какие-нибудь
числа. Возле каждой стороны - число, равное сумме чисел,
стоящих у прилегающих к ней вершин. Что можно сказать о
суммах, образованных числом, стоящим около стороны, и
числом, стоящим около противолежащей ей вершины?

Надо ли доказывать сделанный вами вывод?

10.        Сравните значение выражений (а + 6)(7-а) и а(а~1) при
а = -3, 0, 2. Верно ли, что при любом целом а значение перво-
го выражения больше, чем второго?

11.        Даны верные равенства: 74-47 = 27; 52-25 = 27;
63 - 36 = 27. Верно ли, что разность любого двузначного
числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном
порядке, равна 27?

12.        Зная, что равенство ^—^ = — верно для любых натураль-

Ъс   Ъ

ных чисел а, Ъ и с, ученик решил, что верным будет и равенство:

а + С - — для любых натуральных чисел а, Ъ и с. Прав ли он? b+c   b

13. Выяснив, что (12+4):2 = 12:2+4:2, ученик решил аналогично действовать при нахождении значения выражения (12-4):2, и записал: (12-4):2 = (12:2)-(12:4). Прав ли он?
14. Известно, что если число делится на 6, то оно делится на 2 и на 3. Верны ли следующие высказывания, сформулированные по аналогии с данными:

а)        Если число делится на 10, то оно делится на 2 и на 5.

б)        Если число делится на 12, то оно делится на 2 и на 6.

в)        Если число делится на 14, то оно делится на 2 и на 7.

15.        Учителю необходимо подвести учащихся к выводу о
том, что «при сложении числа с нулем получается то число,
которое складывали с нулем». Какой метод рассуждений вы
выберете?

Упражнения по теме «схемы дедуктивных заключений»

1.        В каждом из следующих умозаключений выделите по-
сылки и заключение:

а)        Если число натуральное, то оно целое; если число целое,
то оно рациональное, следовательно, если число натуральное,
то оно рациональное.

б)        Если число натуральное, то оно целое; число 138 - нату-
ральное, следовательно, оно целое.

в)        Всякое натуральное число целое; число 138- целое, сле-
довательно, оно натуральное.

г)        Всякое натуральное число целое; число 0,2 не является
целым, следовательно, оно не является и натуральным.

2. Проанализируйте схему каждого умозаключения из упражнения 1. Есть ли среди них умозаключения, не являющиеся дедуктивными?
3. Используя правило заключения, закончите умозаключение так, чтобы оно было дедуктивным:

а)        Если четырехугольник - прямоугольник, то в нем диа-
гонали равны. В четырехугольнике ABCD...

б)        Равные треугольники имеют равные площади. Тре-
угольники ABC и KLM...

в)        Для того чтобы ромб был квадратом, достаточно, чтобы
в нем был прямой угол. В ромбе ABCD...

4. Используя правило отрицания, закончите умозаключения из упражнения 3 так, чтобы они были дедуктивными.
5. Восстановите общую посылку в умозаключении:

а)        Число 12- натуральное, следовательно, оно положи-
тельное.

б)        Число 15 - нечетное, следовательно, оно не делится на 2.

6.        Постройте дедуктивное умозаключение, доказывающее, что

а)        130 делится на 10,

б)        137 не делится на 10.

в)        Четырехугольник ABCD - прямоугольник.

г)        Четырехугольник ABCD не является прямоугольником.

7.        Используя круги Эйлера, проверьте, правильны ли сле-
дующие умозаключения:

а)        Всякий квадрат является прямоугольником; четырех-
угольник ABCD не квадрат, следовательно, он не является
прямоугольником.

б)        Некоторые прямоугольники - квадраты; все квадраты -
правильные многоугольники, следовательно, некоторые пря-
моугольники являются правильными многоугольниками.

8. Сравнивая выражения 36-7 и 36-4, ученик рассуждал так: «36-7 меньше 36-4, так как 7 больше 4». Восстановите его рассуждение полностью. Назовите посылки и заключение.

Упражнения по теме «Способы математического доказательства»

1. Докажите, что если к произведению двух последова тельных натуральных чисел прибавить большее из них, т< получится квадрат большего числа.
2. Докажите, что значением выражения (х - 4)(2х + 1)/бу дет целое число, если х принимает значения -1,0, 1,4.
3. Разность двух углов равна 10°. Докажите, что эти угль не могут быть вертикальными.

4.        Докажите, что если х2 + х + 1 < 0, то х < 0.

5. Как изменится сумма двух чисел, если каждое слагаемое увеличить в три раза?
6. Каким числом может быть сумма двух нечетных чисел1! Рассмотрите несколько частных случаев и выскажите предположение. Каким образом можно доказать его истинность?
7. Разделите каждое из чисел З2, 52 и 72 на 4. Чему в каждом из этих случаев равен остаток? Какое предположение можно высказать на основе полученных результатов? Сколько нечетных чисел нужно возвести в квадрат и разделить на 4, чтобы гарантировать истинность высказанного предположения?
8. Даны четыре последовательных нечетных числа. Верно ли, что произведение крайних чисел меньше произведения средних на 8?

9.        Верно ли, что:

а)        разность квадратов двух последовательных нечетных
чисел делится на 8;

б)        произведение двух последовательных четных чисел
кратно 8;

в)        разность между квадратом натурального числа, не де-
лящегося на 3, и единицей делится на 3?

10.        Покажите, что обосновывая решение следующих задач,
младшие школьники могут использовать полную индукцию:

а) Дан ряд чисел: 3545, 3550, 3555, 3560, 3565. Можно ли утверждать, что каждое число этого ряда делится на 5?

б)        Можно ли утверждать, что значения всех нижеприведен-
ных выражений одинаковы:

326326:326; 236236:236; 626626:626.

в)        Можно ли утверждать, что значения выражений в стол-
бике одинаковы:    56:5

7-8:(32:4) (65-9): (24:3)?

Тема 7. Практические занятия по теме «Элементы логики» (5 часов):

1. Операции над множествами в зависимости от отношений, в которых они находятся – 1 ч
2. Примеры различных видов определений математических понятий. Структура составных высказываний. Установление или построение теорем, равносильных данной – 1 ч
3. Различные подходы к осуществлению проверки предложенной задачи. Решение задач различных типов – 2 ч
4. Анализ программ и учебников математики для начальных классов – 1 ч

Урок 1. Операции над множествами в зависимости от отношений, в которых они находятся

1. Выполните данные операции и изобразите их с помощью кругов Эйлера.

Дано:   А = {1, 2, 4, 6, 10},   В =  {1, 2, 5, 6, 8, 9}. Найти: 1) А

ÈВ,  2) АÇ В,  3) А \ В,   4) В \ А.  Выполните данные операции и покажите решение на числовой    прямой.Дано:   А = [- 12: 3],   В =  [0: 7]. Найти: 1) А  В,  2) А  В,  3) А \ В,   4) В \ АНаписать множество букв в слове «Антарктика».Найти элементы множества А = {х |х Π N,  2,5 ≤ х < 7}.Изобразить множества на числовой прямой и выполнить операции А È В, А ∩ В, А \ В, если А = {х |х Π R, - 3 ≤ х < 4}, В = {х |х R,  х <  0}.4.   Записать все подмножества данного множества А = {а, в, с}.5.   Изобразить на кругах Эйлера множества: А – множество школьников, В – множество первоклассников, С – множество второклассников.Урок 2. Примеры различных видов определений математических понятий. Структура составных высказываний. Установление или построение теорем, равносильных даннойДайте определение понятия «глагол». Укажите родовое, видовое, определяемое и определяющее понятия.  Укажите видовой признак.Дайте определение понятия «шар». Укажите родовое, видовое, определяемое и определяющее понятия.  Укажите видовой признак.В следующих определениях выделите определяемое понятие, родовое понятие и видовое отличие:а) Прямые называются параллельными, если они  лежат в одной плоскости  и не пересекаются.б) Правильным треугольником называется треугольник, у которого все стороны равны. Определите значение истинности высказывания: «Число 24 делится на 4 или на 9»Составьте таблицу истинности: Постройте отрицание высказывания и определите значение истинности.     В: «Существует четное число, которое делится на 8»Для данной теоремы сформулируйте обратную, противоположную и обратную противоположной теоремы. Определите их структуру и значение истинности: «Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный» Уроки 3 - 4. Различные подходы к осуществлению проверки предложенной задачи. Решение задач различных типов1. Приведите примеры

            а) пустого множестваб) конечного множества             в) бесконечного множестваг) числового множествад) простого высказыванияе) составного высказыванияж) истинного высказыванияз) ложного высказыванияи) предикатак) теоремыл) простой задачим) составной задачин) задачи с величинами: скорость, время, расстояние о)задачи с величинами: цена, количество, стоимость

2. Решите задачу.А) Магазин продал за 3 дня 550 кг картофеля. В первый день продали 180 кг, а остальной картофель продали поровну во второй и третий дни. Сколько килограммов картофеля продали за два первых дня?Б) В магазин привезли 7 мешков риса по 25 кг в каждом мешке и 12 мешков пшена по 35 кг в мешке. В первый день продали 125 кг риса и 140 кг пшена. Сколько килограммов крупы осталось продать?      3. Покажите методику работы над задачей.А) Для детского сада купили 48 столов и 180 стульев. Стул стоит 150 руб., а стол в 4 раза дороже. Сколько стоила вся покупка?Б) Для туристов сшили 56 рюкзаков и 32 палатки. На один рюкзак расходовали 1 м 50 см материала, а на палатку в 7 раз больше. Сколько всего материала израсходовали?В) В школьной мастерской из 260 м полотна сшили 50 простынь и несколько наволочек. На простыню шло 4 м, на наволочку 2 м. Сколько сшили наволочек?4. Решите задачу арифметическим методом, выполнив модель в виде схемы. Проверку сделайте алгебраическим методом.На второй полке на 3 книги больше, чем на первой, а на третьей полке на 4 книги больше, чем на второй полке. Всего на трех полках 55 книг. Сколько книг на каждой полке?Решите задачи А) Магазин продал за день 24 кг вишневого варенья и 40 кг малинового, причем малинового варенья было продано на 8 банок больше, чем вишневого. Сколько банок варенья каждого сорта было продано за день, если все банки были одинаковые по массе?Б) В один ларек привезли 15 ящиков с фруктами, а в другой – 10 таких ящиков. В первый день привезли фруктов на 60 кг больше, чем во второй день. Сколько килограммов фруктов привезено во второй ларек?В) Из двух городов, расстояние между которыми 1200 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Один из них может пойти это расстояние за 20 ч, а другой – за 30 ч. Через сколько часов поезда встретятся?Г) Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу. Через 4 ч они встретились. Скорость первого пешехода 5 км/ч, второго – 6 км/ч. На каком расстоянии первоначально находились пешеходы друг от друга?Д) Сумма трех чисел 18. Первое число в 2 раза больше второго, а второе в 3 раза меньше третьего. Найдите эти числа.Подготовка к экзаменамТема «Множества и операции над ними»На множестве А = 1; 2; 3; …; 30} заданы предикаты Ах): «х кратно5» и Вх): «х кратно3». Найдите множество истинности предиката Ах)  Вх).Даны множества: А = 14; 8; 6}, В = 10; 8; 4; 6}, С = - 4; - 2; 0}. Запишите множества: а) А В) С;  б) А  С)  В  С); в)  А  В  С.Докажите с помощью кругов Эйлера, что для любых множеств А, В, С справедливо равенство: А В) С = А С)  В С).Укажите характеристическое свойство элементов множества:  1) А ={11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99};  2) В ={ё, й, у, е, э, о, а, ы, я, и, ю};  3). С ={11, 12, 13, 14, 15, 16}. Объясните, почему множество Х = ={1, 11, 111} является подмножеством множества А = ={1, 11, 111, 22, 33, }, а множество В = ={11, 22, 33, 44} нет.Найдите декартово произведение множеств М  М, если М = 1; 2; 3}. Запишите подмножество множества М  М, в котором первая компонента пары меньше второй.Дано: А = х | х R, - 15 ≤ х ≤ 4}, В = х | х   R, - 1 ≤ х ≤ 12}. Укажите характеристическое свойство и изобразите на числовой прямой множества: А \ В,  А ( В, А ( В, В \ А.Правильна ли классификация: множество углов разбивается на подмножества острых и прямых углов.Укажите на координатной плоскости декартово произведение множеств X (  Y, если        Х = (х | х (  N, - 1 ≤ х ≤ 2}, Y = (у | у (  Z, - 3 ≤ у ≤ 1}.Известно, что А ( I, B ( I, A ( B ( (. Закрасьте области, изображающие множества:(А, A ( B,  A ( B, А \ В,  В \ А.Составить все подмножества данного множества В  = (х | х (  N, - 3 ≤ х ≤ 3}.Даны множества: А =  (1; 2; 3; 4; 5}, С = (1}. Найдите  А \ С, С \ А. Верно ли, что А \ С = С \ А?Тема «Высказывания и операции над ними»Доказать дистрибутивный закон, связывающий дизъюнкцию и конъюнкцию высказываний: (А ( В) ( С = (А  (  С) ( (B ( C). Приведите примеры высказываний вида: А ( В, А ( В, А ( В, А ( В, (АДокажите истинность высказывания: (А ( В) ( (ùВ ù ùА).Докажите истинность высказывания: ùА ù В) ù С = ùА ù С)ù ùВ ù С).Определить истинность высказывания:     , если X – «л», Y – «и»,  Z – «л».Определить значение истинности высказывания                , если а) А – «и», б) А – «л».Составить таблицу истинности                                .Среди следующих предложений укажите высказывания и определите их значения истинности:число  12 целое; 2) при делении 12 на 7 получается остаток 3; 3) х < 9; 4) в любом прямоугольнике диагонали равны; 5) 34 ∙ 3 – 17 = 18.Вместо многоточия вставьте слова «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно». Для того чтобы фигура имела площадь, …, чтобы она была треугольником. Для того чтобы ùа + 1) ∙ 12 = 0, …, чтобы а = - 1.Приведите примеры высказываний: простого истинного, простого ложного, составного истинного, составного ложного.Тема «Отношения на множестве. Соответствия. функции»Функция задана формулой  у = 5х + 2. Найти область определения функции и множество значений этой функции. Построить график функции.Задайте различными способами какое-либо отношение между элементами множества А = {1, 3, 5, 7}.На множестве В  = ù2; 14; 16; 28} задано отношение R: «х кратно у».  Постройте  граф отношения, задайте  отношение перечислением пар. Определите вид отношения.На множестве В  = ù1; 5; 9; 11; 12} задано отношение R: «х больше у».  Постройте  граф отношения, задайте  отношение перечислением пар. Определите вид отношения.На множестве А  = ù1; 5; 7; 9; 10} задано отношение R: «х ≤ у».  Постройте  граф отношения, задайте  отношение перечислением пар. Определите вид отношения.Тема «Задача и процесс ее решения»Составьте  чертеж к задаче. Решите задачу. Расстояние между двумя поездами 1300 км. Через сколько часов произойдет встреча поездов, если они будут идти без остановок, один со скоростью 60 км / ч, а другой 70 км / ч?Решите задачу, составив выражение. В первой библиотеке 3568 книги, что на 139 книг меньше, чем во второй, а в третьей на 1256 книг меньше, чем в первой и второй библиотеках вместе. Сколько книг в трех библиотеках?2 вариант.1.   Написать множество цифр в числе  120611252.Найти элементы множества А = {х |х Π N,   - 7 < х < 2,3 }.Изобразить множества на числовой прямой и выполнить операции А  В, А ∩ В, А \ В, если А = {х |х Π R,  х > - 1}, В = {х |х Π R,   - 4 < х ≤ 3}.Записать все подмножества данного множества А = {2, 3, 4}.5.   Изобразить на кругах Эйлера множества: А – множество полевых цветов, В – множество цветов, С – множество растений.

Программа «Школа России»

Построение курса математики:

7. Концентрическое расположение материала: 1 кл. – Десяток, 2 кл. – Сотня, 3 кл. – Тысяча, 4 кл. – Многозначные числа
8. Синтетическое (так как состоит из трех частей: арифметики, алгебры, геометрии)
9. Теория взаимосвязана с практическим материалом
10. Каждое понятие получает свое дальнейшее развитие: подготовительная работа, ознакомление, усвоение, применение
11. Сходные вопросы рассматриваются в сравнении
12. Поурочное распределение материала
13. Есть дополнительный материал «Упражнения для закрепления», учитель сам планирует эти уроки
14. Перед изучением нового материала на предыдущих уроках даны упражнения для подготовки к изучению нового материала
15. На каждом уроке есть упражнения на закрепление нового материала и ранее пройденного
16. На полях даны упражнения занимательного характера
17. В учебниках первого класса много рисунков, мало текста, а далее увеличивается число текстового материала, вводятся таблицы, схемы, чертежи
18. Темы уроков записаны или дан значок нового материала (человечек с фонариком)
19. Авторы учебников: Моро М.И., Бельтюкова Г.В. и др.
20. Полный комплект для изучения: учебники (для каждого класса по 2 учебника, всего 8), методические пособия для учителя, тетради с печатной основой, дидактические материала

Подготовка к экзаменамТема «Множества и операции над ними»На множестве А = (1; 2; 3; …; 30} заданы предикаты А(х): «х кратно5» и В(х): «х кратно3». Найдите множество истинности предиката А(х) ( В(х).Даны множества: А = (14; 8; 6}, В = (10; 8; 4; 6}, С = (- 4; - 2; 0}. Запишите множества: а) (А (В) (С;  б) (А ( С) ( (В ( С); в)  А ( В ( С.Докажите с помощью кругов Эйлера, что для любых множеств А, В, С справедливо равенство: (А (В) (С = (А (С) ( (В (С).Укажите характеристическое свойство элементов множества:  1) А ={11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99};  2) В ={ё, й, у, е, э, о, а, ы, я, и, ю};  3). С ={11, 12, 13, 14, 15, 16}. Объясните, почему множество Х = {1, 11, 111} является подмножеством множества А = ={1, 11, 111, 22, 33, }, а множество В = ={11, 22, 33, 44} нет.Найдите декартово произведение множеств М ( М, если М = (1; 2; 3}. Запишите подмножество множества М ( М, в котором первая компонента пары меньше второй.Дано: А = (х | х (R, - 15 ≤ х ≤ 4}, В = (х | х (R, - 1 ≤ х ≤ 12}. Укажите характеристическое свойство и изобразите на числовой прямой множества: А \ В,  А ( В, А ( В, В \ А.Правильна ли классификация: множество углов разбивается на подмножества острых и прямых углов.Укажите на координатной плоскости декартово произведение множеств X (  Y, если        Х = (х | х (  N, - 1 ≤ х ≤ 2}, Y = (у | у (  Z, - 3 ≤ у ≤ 1}.Известно, что А ( I, B ( I, A ( B ( (. Закрасьте области, изображающие множества: ( А, A ( B,  A ( B, А \ В,  В \ А.Составить все подмножества данного множества В  = (х | х (  N, - 3 ≤ х ≤ 3}.Даны множества: А =  (1; 2; 3; 4; 5}, С = (1}. Найдите А \ С, С \ А. Верно ли, что А \ С = С \ А?Тема «Высказывания и операции над ними»Доказать дистрибутивный закон, связывающий дизъюнкцию и конъюнкцию высказываний: (А ( В) ( С = (А  (  С) ( (B ( C). Приведите примеры высказываний вида: А ( В, А ( В, А ( В, А ( В, ( А .Докажите истинность высказывания: (А ( В) ( ((В((А).Докажите истинность высказывания: (А ( В) ( С = (А ( С)( (В ( С).Определить истинность высказывания:                  , если X – «л», Y – «и»,  Z – «л».Определить значение истинности высказывания                            , если а) А – «и», б) А – «л».Составить таблицу истинности               .Среди следующих предложений укажите высказывания и определите их значения истинности:число  12 целое; 2) при делении 12 на 7 получается остаток 3; 3) х < 9; 4) в любом прямоугольнике диагонали равны; 5) 34 ∙ 3 – 17 = 18.Вместо многоточия вставьте слова «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно». Для того чтобы фигура имела площадь, …, чтобы она была треугольником. Для того чтобы (а + 1) ∙ 12 = 0, …, чтобы а = - 1.Приведите примеры высказываний: простого истинного, простого ложного, составного истинного, составного ложного.Тема «Отношения на множестве. Соответствия. функции»Функция задана формулой  у = 5х + 2. Найти область определения функции и множество значений этой функции. Построить график функции.Задайте различными способами какое-либо отношение между элементами множества А =  {1, 11, 111}На множестве В  = (2; 14; 16; 28} задано отношение R: «х кратно у».  Постройте  граф отношения, задайте  отношение перечислением пар. Определите вид отношения.На множестве В  = (1; 5; 9; 11; 12} задано отношение R: «х больше у».  Постройте  граф отношения, задайте  отношение перечислением пар. Определите вид отношения.На множестве А  = (1; 5; 7; 9; 10} задано отношение R: «х ≤ у».  Постройте  граф отношения, задайте  отношение перечислением пар. Определите вид отношения.Тема «Задача и процесс ее решения»Составьте  чертеж к задаче. Решите задачу. Расстояние между двумя поездами 1300 км. Через сколько часов произойдет встреча поездов, если они будут идти без остановок, один со скоростью 60 км / ч, а другой 70 км / ч?Решите задачу, составив выражение. В первой библиотеке 3568 книги, что на 139 книг меньше, чем во второй, а в третьей на 1256 книг меньше, чем в первой и второй библиотеках вместе. Сколько книг в трех библиотеках?1 вариант.Написать множество букв в слове «Антарктика».Найти элементы множества А = {х |х (  N,  2,5 ≤ х < 7}.Изобразить множества на числовой прямой и выполнить операции А  ( В, А ∩ В, А \ В, если А = {х |х (  R, - 3 ≤ х < 4}, В = {х |х (  R,  х <  0}.4.   Записать все подмножества данного множества А = {а, в, с}.5.   Изобразить на кругах Эйлера множества: А – множество школьников, В – множество первоклассников, С – множество второклассников.2 вариант.Написать множество цифр в числе  120611252.Найти элементы множества А = {х |х (  N,   - 7 < х < 2,3 }.Изобразить множества на числовой прямой и выполнить операции А (  В, А ∩ В, А \ В, если А = {х |х(  R,  х > - 1}, В = {х |х(  R,   - 4 < х ≤ 3}.Записать все подмножества данного множества А = {2, 3, 4}.Изобразить на кругах Эйлера множества: А – множество полевых цветов, В – множество цветов, С – множество растений.3 вариант.Написать множество букв в слове «абракадабра».Найти элементы множества А = {х |х (  N, - 2,5  ≤ х <  3}.Изобразить множества на числовой прямой и выполнить операции А ( В, А ∩ В, А \ В, если А = {х |х(  R, - 3 ≤ х< 0}, В = {х |х(  R, - 1< х< 7}.Записать все подмножества данного множества А = {г, д, е}.5.   Изобразить на кругах Эйлера множества: А – множество натуральных чисел, В – множество четных чисел, С – множество нечетных чисел.4 вариант.Написать множество цифр в числе  120200321.Найти элементы множества А = {х |х (   N,   - 7,1 ≤ х ≤ 2}.Изобразить множества на числовой прямой и выполнить операции А ( В, А ∩ В, А \ В, если А = {х |х(  R,  - 7 < х ≤ 2},        В = {х |х (  R,  - 3 < х ≤ 10}.Записать все подмножества данного множества А ={10, 11, 12}.5.  Изобразить на кругах Эйлера множества: А – множество елей, В – множество сосен, С – множество деревьев в хвойном лесу.5 вариант.Написать множество букв в слове «каракатица».Найти элементы множества А = {х |х (  N,   1,8 ≤ х < 4}.Изобразить множества на числовой прямой и выполнить операции А ( В, А ∩ В, А \ В, если А = {х |х(  R, -3,7 < х ≤3}, В = {х |х(  R, -5≤х< 0}.Записать все подмножества данного множества А = {2, 4, 6}.5.   Изобразить на кругах Эйлера множества: А – множество месяцев, В – множество лет, С – множество недель.6 вариант.Написать множество цифр в числе  388125888.Найти элементы множества А = {х |х(  N,  - 1 ≤ х < 5}.Изобразить множества на числовой прямой и выполнить операции А ( В, А ∩ В, А \ В, если А = {х |х (  R,-7<х<2,3}, В = {х |х(  R, -3 ≤ х ≤ 4}.Записать все подмножества данного множества А = {k, l, m}.5.   Изобразить на кругах Эйлера множества: А – множество кругов, В – множество треугольников, С – множество геометрических фигур.7 вариант.Написать множество букв в слове «математика».Найти элементы множества А = {х |х(  N,  - 0,8 ≤ х ≤ 5}.Изобразить множества на числовой прямой и выполнить операции А( В, А∩В, А\В, если А ={х |х(  R, -5,1≤ х< 4}, В = {х |х(  R,- 4,5 < х ≤ 6}. Записать все подмножества данного множества А = {1, 3, 5}. Изобразить на кругах Эйлера множества: А – множество растений, В – множество деревьев, С – множество пауков.8 вариант.Написать множество цифр в числе  555125111.Найти элементы множества А = {х |х(  N,  - 5 ≤ х ≤ 1}.Изобразить множества на числовой прямой и выполнить операции А ( В, А ∩ В, А \ В, если А = {х |х(  R, - 8 < х ≤ 1 0}, В = {х |х(  R, - 10 < х ≤ 3}.Записать все подмножества данного множества А= {81, 82, 83}.Изобразить на кругах Эйлера множества: А – множество игрушек, В – множество машинок, С – множество кукол.