Математика в литературных произведениях.
материал по теме

         Обзор литературы показал, что знания по математике нужны не только математикам, но и писателям и поэтам.

         В художественных произведениях можно заметить «руку математика». На страницах книг содержится много загадок, а иногда автор дает и отгадку.

 Авторы, используя в своих произведениях  математические данные, не просто дают готовые знания и выдают математические секреты, а предлагают читателю подумать и дают «пищу» для размышления. А разве книга не должна давать читателю пищу для ума?

        Любая книга откроет свои тайны тому человеку, кто умеет смотреть и видеть, тому, кто умеет удивляться и воспринимать новое, тому, кто умеет сам добывать знания и отвечать на  интересующие его вопросы.

Герои Жуля Верна

Известный роман Жюля Верна «Таинственный остров» содержит не только интересный, захватывающий сюжет, но и достаточно много математических рассуждений.

В этом романе картинно описан один из способов измерения высоких предметов.

– Сегодня нам надо измерить высоту площадки Дальнего Вида, – сказал инженер.
– Вам понадобится для этого инструмент? – спросил Герберт.
– Нет, не понадобится. Мы будем действовать несколько иначе, обратившись к не менее простому и точному способу.
Взяв прямой шест, футов 12 длиной, инженер измерил его возможно точнее, сравнивая со своим ростом, который был ему хорошо известен. Герберт же нёс за ним отвес: просто камень, привязанный к концу верёвки.

Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест фута на два в песок и, прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса.
Затем он отошёл от шеста на такое расстояние, чтобы лёжа на песке, можно было на одной прямой линии видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно пометил колышком.
– Тебе знакомы начатки геометрии? – спросил он Герберта, поднимаясь с земли.
– Да.                                                                                                                  
– Помнишь свойства подобных треугольников?
– Их сходные стороны пропорциональны.
– …Если мы измерим два расстояния: расстояние от колышка до основания шеста и расстояние от колышка до основания стены, то, зная высоту шеста, сможем вычислить четвёртый, неизвестный член пропорции, т. е. высоту стены.

Оба горизонтальных расстояния были измерены: меньшее равнялось 15 футам, большее – 500 футам.
По окончании измерений инженер составил следующую запись:

15 : 500 = 10 :  х;
500 х 10 = 5000;
5000 : 15 = 333,3.

Значит, высота гранитной стены равнялась 333 футам.

 Ещё один из героев Жюля Верна подсчитывал, какая часть его тела прошла более длинный путь за время кругосветных странствований – голова или ступни ног. Это очень поучительная геометрическая задача, если поставить вопрос определённым образом.

Задача.

Вообразите, что вы обошли земной шар по экватору. Насколько при этом верхушка вашей головы прошла более длинный путь, чем кончик вашей ноги?

Решение:

Ноги прошли путь 2R, где R – радиус земного шара. Верхушка же головы прошла при этом 2(R + 1,7), где 1,7 м – рост человека. Разность путей равна

Итак, голова прошла путь на 10,7 м больше, чем ноги.
Любопытно, что в окончательный ответ не входит величина радиуса земного шара. Поэтому результат получится одинаковый и на Земле, и на Юпитере, и на самой маленькой планете.

Геометрия Гулливера

Автор «Путешествия Гулливера» Джонатан Свифт с большой осмотрительностью избежал опасности запутаться в геометрических отношениях. В стране лилипутов футу соответствовал дюйм, а в стране великанов, наоборот, дюйму – фут. Другими словами, у лилипутов все люди, все вещи, все произведения природы в 12 раз меньше нормальных, у великанов – во столько же раз больше. Эти, на первый взгляд, простые отношения сильно усложнялись, когда  приходилось решать следующие вопросы:

• Во сколько раз Гулливер съедал за обедом больше, чем лилипут?
• Во сколько раз Гулливеру требовалось больше сукна на костюм, нежели лилипуту?
• Сколько весило яблоко в стране великанов?

Автор «Путешествия» справился с этими задачами в большинстве случаев вполне успешно. Он правильно рассчитал, что раз лилипут ростом меньше Гулливера в 12 раз, то объём его тела меньше в 12 х 12 х 12, т. е. в 1728 раз. Следовательно, для насыщения тела Гулливера нужно в 1728 раз больше пищи, чем для лилипута.
Правильно рассчитал Свифт и количество материала на костюм Гулливеру. Поверхность его тела больше, чем у лилипута, в 12 ? 12 = 144 раза; во столько же раз нужно ему больше материала.
Надобность производить подобные расчёты возникала у Свифта чуть не на каждой странице. И, вообще говоря, он выполнял их правильно. Если у А.С. Пушкина в «Евгении Онегине», как утверждает поэт, «время рассчитано по календарю», то в «Путешествиях» Свифта все размеры согласованы с правилами геометрии. Лишь изредка надлежащий масштаб не выдерживался, особенно при описании страны великанов.

Ошибка Джека Лондона

Однако в литературных произведениях математические рассуждения не всегда бывают верными.
Роман Джека Лондона «Маленькая хозяйка большого дома» даёт следующий материал для геометрического расчёта:
«Посреди поля возвышался стальной шест, врытый глубоко в землю. С верхушки шеста к краю поля тянулся трос., прикреплённый к трактору. Механики нажали рычаг – и мотор заработал.
Машина сама двинулась вперёд, описывая окружность вокруг шеста, служившего его центром.
– Чтобы окончательно усовершенствовать машину, – Грэхем, – вам остаётся превратить окружность, которую она описывает, в квадрат.
– Да, на квадратном поле пропадает при такой системе очень много земли.

Грэхем произвёл некоторые вычисления, затем заметил:
– Теряем примерно три акра из каждых десяти.
– Не меньше».
Решение:
Расчёт неверен: теряется меньше, чем 0,3 всей земли.
Пусть, а  – сторона квадрата. Площадь такого квадрата . Диаметр вписанного круга равен также а, а его площадь .
Пропадающая часть квадратного участка составляет:

Видно, что необработанная часть квадратного поля составляет не 30%, как полагали герои американского романиста, а только 22%.

Ошибки в математических рассуждениях допускали и русские писатели и поэты.

Башня Гоголя

Задача. Что увеличивается быстрее: высота поднятия или дальность горизонта?
Многие думают, что с возвышением наблюдателя горизонт возрастает необычайно быстро. Так думал и Н.В. Гоголь, писавший в статье «Об архитектуре нашего времени» следующее:
«Башни огромные, колоссальные, необходимы в городе…У нас обыкновенно ограничиваются высотой, дающей возможность оглядеть один только город, между тем как для столицы необходимо видеть, по крайне мере на полтораста вёрст во все стороны, и для этого, может быть, один только или два этажа лишних, – и всё изменяется. Объём кругозора по мере возвышения распространяется необыкновенною прогрессией» (1 верста составляет 1,0668 км, 150 верст – 160 км)

Так ли в действительности?

Решение:

Рассмотрим формулу: ,

где l – дальность горизонта, R – радиус земного шара (» 6400 км), h – возвышение глаза наблюдателя над земной поверхностью.

Из формулы видно, что дальность горизонта растёт медленнее, чем высота поднятия: она пропорциональна квадратному корню из высоты.  Когда возвышение наблюдателя увеличивается в 100 раз, горизонт отодвигается всего только в 10 раз дальше.

Поэтому ошибочно утверждать, что «один только или два этажа лишних, – и всё изменяется».
Что же касается идеи сооружения башни, с которой можно было бы видеть, «по крайне мере, на полтораста вёрст», т.е. на 160 км, то она совершенно несбыточна. Н.В.Гоголь, конечно, не подозревал, что такая башня должна иметь огромную высоту, равную 2 км.

Это высота большой горы.

Холм Пушкина

Сходную ошибку делает и А.С.Пушкин, говоря в «Скупом рыцаре» о далёком горизонте, открывающемся с вершины «гордого холма»:

«И царь мог с высоты с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли…»

Даже полчища Атиллы не могли бы воздвигнуть холм выше 4,5 м.

Глаз наблюдателя, поместившегося на вершине холма, возвышался бы над почвой на 4,5 + 1,5, т.е. на 6 м, и, следовательно, дальность  горизонта равна была бы .

Это всего на 4 км больше того, что можно видеть, стоя на ровной земле.

Задача Льва Толстого

Великий русский писатель Лев Николаевич Толстой проявлял особый интерес к математике и её преподаванию. Он много лет преподавал начала математики в основанной им же знаменитой Яснополянской школе, написал оригинальную «Арифметику» и «Руководства для учителя».
Своим гостям Л.Н.Толстой нередко предлагал интересные задачи.
Вот одна из таких задач.
«Косцы должны выкосить два луга. Начав косить с утра большой луг, они после полудня разделились: одна половина осталась на первом лугу и к вечеру его докосила, а другая перешла косить на второй луг площадью вдвое меньше первого. Сколько косцов, если известно, что в течение следующего дня оставшуюся часть работы выполнил один косец?».
Есть математические рассуждения и в рассказе Л.Н.Толстого «Много ли человеку земли нужно».
Прочитайте этот рассказ и найдите эти рассуждения.

Известно немало удивительных историй о том, как люди, столкнувшись с неразрешимыми на первый взгляд проблемами, успешно справлялись с ними, использовав не только смекалку, но и конкретные знания. Примеров тому немало в художественной литературе, особенно в приключенческой. Вспомним героев английского писателя Томаса Майн Рида. В самых неожиданных ситуациях их не раз выручало знание геометрии. Интересно, хватило бы вам ваших знаний, чтобы выпутаться из затруднительного положения, как это удавалось героям Майн Рида?

Ящик с галетами

Юный любитель приключений из романа «Морской волчонок» оказался запертым в трюме корабля и не мог выбраться наружу. Он решил выяснить, хватит ли обнаруженного в одном из ящиков запаса галет на шесть месяцев плавания — именно столько времени оно должно было продлиться: 

«Ящик, по моим расчётам, имел около ярда в длину и два фута в ширину, а в вышину — около одного фута. Зная точные размеры ящика, я мог бы подсчитать галеты, не вынимая их оттуда. Каждая из них была диаметром немного меньше шести дюймов, а толщиной в среднем в три четверти дюйма. Таким образом, в ящике должно было находиться ровно тридцать две дюжины галет...
Тридцать две дюжины — это триста восемьдесят четыре галеты. Я съел восемь, значит, осталось ровно триста семьдесят шесть. Считая по две штуки в день, этого хватит на сто восемьдесят восемь дней».
Мальчик с задачей успешно справился. Попробуйте и вы определить точное число галет, умещающихся в ящике, зная размеры галеты (диаметр и толщину) и ящика (длину, ширину и высоту).

Своя собственная мерка

Тому же герою пришлось решать и другую задачу: он определил запасы воды, хранившейся в одной из бочек. Чтобы вычислить объём бочки, необходимо было как можно точнее выразить её размеры в футах и дюймах. Но у мальчика не было при себе ни линейки, ни какой-либо другой шкалы для измерения. Тем не менее он нашёл выход из этой ситуации:
«Я сам был единицей измерения! Я ещё на пристани измерил свой рост и установил, что во мне почти полных четыре фута. До чего кстати пришлось это измерение! Теперь… я смогу отмерить эту длину на палке, и таким образом у меня окажется четырёхфутовая мерка…
Как же разделить четырёхфутовую палку на дюймы и нанести эти дюймы на неё?
…Сознаюсь, что я несколько минут сидел и думал, совершенно озадаченный. Впрочем, это продолжалось недолго; скоро я нашёл способ преодолеть и это препятствие. Ремешки от башмаков — вот что послужит мне линейкой!»
Проделав ряд простых действий с двумя кожаными ремешками, герой Майн Рида разделил их на отрезки длиной в один фут, в четыре, в два и в один дюйм. С их помощью он нанёс ножом деления на палку, превратив её в инструмент для измерений.
Каким образом мальчик сумел разделить ремешки от башмаков на части нужной длины?

А. Аверченко "Учитель Бельмесов"

"- ...Кулебякин, Илья! Ну...ты нам скажешь, что такое дробь.
- Дробью называется часть какого-нибудь числа.
- Да? Ты так думаешь? Ну а если я набью ружье дробью, это будет часть какого числа?
- То дробь не такая, - улыбнулся бледными губами Кулебякин. - То другая.
- Откуда ты знаешь, о какой дроби я тебя спросил? Может быть, я тебя спросил о ружейной дроби. Вот если бы ты был, Кулебякин, умнее, ты бы спросил: о какой дроби я хочу знать - о простой или арифметической... И на мой утвердительный ответ, что о последней - ты должен был ответить: "арифметической дробью называется - и так далее"... Ну теперь скажи ты нам, какие бывают дроби.
- Простые бывают дроби, - вздохнул обескураженный Кулебякин, - а также десятичные.
- А еще? Какая еще бывает дробь, а? Ну скажи-ка.
- Больше нет, - развел руками Кулебякин, будто искренно сожалея, что не может удовлетворить еще какой-нибудь бь? Видишь ли что, мой милый... Ты, может быть, и знаешь арифметику, но русского языка - нашего ведробью ненасытного экзаменатора.
- Да? Больше нет? А вот если человек танцует и ногами дробь выделывает - это как же? По-твоему, не дроликого, разнообразного и могучего русского языка - ты не знаешь. И это нам всем печально. Ступай, брат Кулебякин, и на свободе кое о чем подумай, брат Кулебякин..."

А.Аверченко «Экзаменационная задача»

«Два крестьянина вышли одновременно из пункта А в пункт Б, причем один из них делал в час четыре версты, а другой - пять. Спрашивается, на сколько один крестьянин придет раньше другого в пункт Б, если второй вышел позже первого на четверть часа, а от пункта А до пункта Б такое же расстояние в верстах, - сколько получится, если два виноторговца продали третьему такое количество бочек вина, которое дало первому прибыли сто двадцать рублей, второму восемьдесят, а всего бочка вина приносит прибыли сорок рублей».

                                Решение: (120 + 80): 40 = 5 (бочек).
Следовательно, расстояние от пункта А до пункта Б равно 5 верстам.
Первый крестьянин пройдет это расстояние за 5: 4 - 1,25 (часа), а второй - за 4: 4 = 1 (час), т.е. затратит на этот путь на 0,25 часа меньше, чем первый. Поскольку второй крестьянин вышел на четверть часа позже второго, то они придут в пункт Б одновременно.

Тема "Системы уравнений"
"1001 ночь"

"Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другие расположились под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят расположившимся внизу: "Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну". Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?"

А.П.Чехов "Репетитор"

"Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее сукно стоило 5 руб. за аршин, а черное - 3 руб.?"
Чехов описывает, как трудятся над задачей семиклассник-репетитор и его ученик Петя.
"Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова не говоря, начинает делить 540 на 138. 
- Для чего же это вы делите? Постойте! Впрочем, так... продолжайте. Остаток получается? Здесь не может быть остатка. Дайте-ка я разделю!
Зиберов (репетитор) делит, получает 3 с остатком и быстро стирает. 
"Странно... - думает он, ероша волосы и краснея. - Как же она решается? Гм!.. Это задача на неопределенные уравнения, а вовсе не арифметическая..."
Учитель глядит в ответы и видит 75 и 63.
"Гм!.. странно... Сложить 5 и 3, а потом делить 540 на 8? Так, что ли? Нет, не то".
- Решайте же! - говорит он Пете. 
- Ну чего думаешь? Задача-то ведь пустяковая! - говорит Удодов Пете. - Экий ты дурак, братец! Решите уж вы ему, Егор Алексеич.
Егор Алексеич (репетитор) берет в руку грифель и начинает решать. Он заикается, краснеет, бледнеет.
- Эта задача, собственно говоря, алгебраическая, - говорит он. - Ее с иксом и игреком решить можно. Впрочем, можно и так решить. Я вот разделил... понимаете? Теперь вот надо вычесть... понимаете? Или вот что... Решите мне эту задачу сами к завтраму... Подумайте...
Петя ехидно улыбается. Удодов тоже улыбается. Оба они понимают замешательство учителя. Ученик 7-го класса еще больше конфузится, встает и начинает ходить из угла в угол.
- И без алгебры решить можно, - говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая. - Вот, извольте видеть...
Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.
- Вот-с... по-нашему, по-неученому".

Тема "Свойства 0 и 1 при умножении"

Д.И.Фонвизин "Недоросль"

"Цифиркин. ...Нашли мы трое.
Митрофан (пишет). Трое.
Цифиркин. На дороге ... триста рублей.
Митрофан (пишет). Триста.
Цифиркин. Дошло дело до дележа. Смекни-тко, по чему на брата?
Митрофан (вычисляя, шепчет). Единожды три - три. Единожды нуль - нуль. Единожды нуль - нуль.
Г-жа Простакова. Нашел деньги, ни с кем не делись. Все себе возьми...
Митрофан. Слышь, Пафнутьич, задавай другую. 
Цифиркин. Пиши, ваше благородие. За ученье жалуете мне в год десять рублей.
Митрофан. Десять. 
Цифиркин. Теперь, правда, не за что, а кабы ты, барин, что-нибудь у меня перенял, не грех бы тогда было и еще прибавить десять.
Митрофан (пишет). Ну, ну, десять.
Цифиркин. Сколько ж бы на год?
Митрофан (вычисляя, шепчет). Нуль да нуль - нуль. Один за один... (Задумался).
Госпожа Простакова. Не трудись по-пустому, друг мой. Гроша не прибавлю, да и не за что..."

Тема "Числовые последовательности"
Я. Гашек "Похождения бравого солдата Швейка..."

"...он начал объяснять более простой способ запоминания номера паровоза четыре тысячи двести шестьдесят восемь.
- Восемь без двух - шесть. Теперь вы уже знаете шестьдесят восемь, а шесть минус два - четыре,теперь вы уже знаете 4 и 68, и если вставить эту двойку, то все это составит 4-2-6-8. Не очень трудно сделать это иначе при помощи умножения и деления. Результат будет тот же самый. Запомните, - сказал начальник станции, - что два раза сорок два равняется восьмидесяти четырем. В году двенадцать месяцев. Вычтите теперь двенадцать из восьмидесяти четырех, и останется семьдесят два, вычтите из этого числа еще двенадцать месяцев, останется шестьдесят. Итак, у вас определенная шестерка, а ноль зачеркнем. Теперь уже у нас сорок два, шестьдесят восемь, четыре. Зачеркнем ноль, зачеркнем и четверку сзади, и мы преспокойно опять получили четыре тысячи двести шестьдесят восемь, то есть номер паровоза, который следует отправить в депо в Лысую-на-Лабе. И с помощью деления, как я уже говорил, это также очень легко. Вычисляем коэффициент, согласно таможенному тарифу... Вам дурно, господин фельдфебель?"

Тема "Прямая и обратная теоремы"
Л. Кэрролл "Алиса в Стране чудес"

"...У-у! Змея подколодная!
- Никакая я не змея! - сказала Алиса. - Я просто... просто... я маленькая девочка.
- Ну уж, конечно, - ответила Горлица с величайшим презрением. - Видала я на своем веку много маленьких девочек, но с такой шеей - ни одной!.. Самая настоящая змея - вот ты кто! Ты мне еще скажешь, что ни разу не пробовала яиц.
- Нет, почему же, пробовала, - отвечала Алиса. (Она всегда говорила правду). - Девочки, знаете, тоже едят яйца.
- Не может быть, - сказала Горлица. - Но если это так, тогда они тоже змеи!"

Льюис Кэрролл « Алиса в Стране чудес»

В знаменитой сказке « Алиса в Стране чудес» происходит очень много превращений.

«…Алиса откусила еще кусочек и вскоре съела весь пирожок.

-Я теперь, раздвигаюсь, словно подзорная труба. Прощайте, ноги! В эту минуту она как раз взглянула на ноги и увидела, как стремительно они уносятся вниз. Еще мгновение – и они скроются из виду.

-Бедные мои ножки! Кто же будет вас теперь обувать? Кто натянет на вас чулки и башмаки? Мне же до вас теперь не достать».               Почему Алиса так переживала?

Части тела Алисы уменьшались и увеличивались согласно прямой пропорциональной зависимости. Увеличилась длина ног и длина рук в одинаковое количество раз. Переживания Алисы напрасны, она сама без труда смогла бы надеть и чулки и башмаки.

Л.Н.Толстой

«Человек есть дробь. Числитель - это сравнительно  с другими – достоинства человека; знаменатель – это оценка человеком самого себя.

      Увеличить свой числитель – свои достоинства – не во власти человека, но всякий может уменьшить свой знаменатель – свое мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к совершенству».

Л. Н. Толстой «Арифметика»

1.У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец.                                                                                                                         Ответ: 13 и 22.

     2.Муж и жена брали деньги из одного сундука, и ничего не осталось. Муж взял 7/10 всех денег, а жена 690 руб. Сколько было всех денег?                                                 Ответ: 2300 руб.

     3. Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. А младшим за то выделили деньги. Каждый из старших заплатил по 800 рублей младшим. Меньшие разделили эти деньги между собой, и тогда у всех братьев стало поровну. Много ли стоили дома?        

                                                                                             Ответ: 2000 руб. стоил каждый дом.

Задача про артель косцов

Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

Решение: Пусть x – число косцов в артели, а y – размер участка, скашиваемого одним косцом в один день.  Площадь большого луга: xy/2+xy/4 = 3xy/4. Площадь малого луга: y+xy/4 = (xy+4y)/4. Но первый луг больше второго в 2 раза, значит: 3xy/4: (xy+4y)/4 =2 или 3xy/(xy+4y)=2.         3x/(x+4) = 2      3x = 2x+8       x = 8           Ответ: было 8 косцов

Рассказ «Много ли человеку земли нужно?»
(о крестьянине Пахоме, покупавшем землю у башкирцев)

«-А цена какая будет?- говорит Пахом.

    -Цена у нас одна: 1000 рублей за день.

     Не понял Пахом.

-Какая же это мера – день? Сколько в ней десятин будет?

-Мы этого, - говорит, - не умеем считать. А мы за день продаем; сколько обойдешь в день, то и твое, а цена 1000 рублей.

     Удивился Пахом.

-Да ведь это, - говорит,- в день обойти земли много будет».

     Наутро он пустился по степи наперегонки с солнцем. Пришло время возвращаться, солнце приблизилось к закату, Пахом спешит вернуться, «в груди как мехи кузнечные раздуваются, а в сердце молотком бьёт».

 Солнце зашло, у Пахома подкосились ноги, и он упал замертво перед хохочущим пузатым башкиром. «Ай, молодец!» — закричал старшина. 

   — «Много земли завладел!». Поднял работник скребку, выкопал

   Пахому могилу, ровно насколько он от ног до головы захватил - три аршина, и закопал его.

Фигура, которая получилась у Пахома, имеет вид прямоугольного треугольника.   

Найдем площадь участка:  Х² = 15²-8²; х≈13 вёрст.       S= (2+10)·13=78 кв. вёрст

          1верста = 1,0668 км.  78 кв. верст ≈ 78 кв.км. 78 кв. км = 7800га.

А.П.Чехов     «Задачи сумасшедшего математика»

1.За мной гнались 30 собак, из которых 7 были белые, 8 серые, а остальные черные. Спрашивается, за какую ногу укусили меня собаки, за правую или левую?

2.Куплено было 20 цибиков чая, в каждом цибике было по 5 пудов, каждый пуд имел 40 фунтов. Из лошадей, везших чай, две пали в дороге, один из возчиков заболел, и 18 фунтов рассыпалось. Фунт имеет 96 золотников чая. Спрашивается, какая разница между

огуречным рассолом и недоумением?  и т. д.                                    

 «Каникулярные работы институтки Наденьки Н.»

«Три купца внесли для одного торгового предприятия капитал, на который через год было получено 8000 рублей прибыли. Спрашивается: сколько получил каждый из них, если первый внес 35000 рублей, второй 50000 рублей и третий 70000 рублей?».

Решение:

 1) 35000 + 50000 + 70000 = 155000 руб. – 100%

 2) 155000: 100 = 1550 руб. – 1%

 3) 8000: 1550 ≈ 5 %

 4) 35000: 100* 5 = 1750 руб. – 1 купец

 5) 50000: 100* 5 = 2500 руб. – 2 купец

 6) 75000:100* 5 = 3750 руб. – 3 купец.         

                                                      Ответ: 1750 руб., 2500 руб. и 3750 руб.

А.С. Пушкин «Скупой рыцарь» 

                      «И царь мог с высоты с весельем озирать

                        И дол, покрытый белыми шатрами,

                        И море, где бежали корабли…»

Даже полчища Атиллы не могли бы воздвигнуть холм выше 4,5м. Глаз наблюдателя, поместившегося на вершине холма, возвышался бы над почвой на 4,5 + 1,5, т.е. на 6 м, и, следовательно, дальность  горизонта равна была бы 

Это всего на 4 км больше того, что можно видеть, стоя на ровной земле.

И.С. Тургенев «Муму»

«…Из числа всей ее челяди самым замечательным лицом был дворник Герасим, мужчина двенадцати вершков роста, сложенный богатырем и глухонемой от рождения».

Решение: Зная соотношения между старорусскими мерами длины и современными вычислим рост Герасима: 12* 4,5 см = 54 см. Рост младенца в среднем составляет 51-53 см. Какой же Герасим тогда  богатырь? Но раньше указывали лишь число вершков, на которое он превышал два аршина. Проведем повторное вычисление:

1) 2*72см = 144см (2 аршина)

2)144 +54= 198см (2 аршина и 12 вершков).

Ответ: рост Герасима был 1м 98см -  высокий человек.

Н.А.Некрасов « Дедушка Мазай и зайцы»

« Вижу один островок небольшой-

Зайцы на нем собралися гурьбой.

С каждой минутой вода подбиралась

К бедным зверькам; уж под ними осталось

Меньше аршина земли в ширину,

Меньше сажени в длину».

Каковы же размеры островка в современных единицах длины и площади? S= а*в, а = 1аршин=72см,  в=1 сажень =216см.   S= 0,72 *2,16 =1,5552 м2.  Ответ: островок небольшой.

Ф.М.Достоевский «Братья Карамазовы»

…Но вот что, однако, надо отметить: если бог есть и если он действительно создал землю, то, как нам совершенно известно, создал он её по Евклидовой геометрии, а ум человеческий с понятием лишь о трех измерениях пространства. Между тем находились и находятся даже и теперь геометры и философы, … которые сомневаются в том, чтобы вся вселенная… была создана лишь по Евклидовой геометрии, осмеливаются даже мечтать, что две параллельные линии, которые по Евклиду ни за что не могут сойтись на земле, может быть и сошлись бы где-нибудь в бесконечности…

 «Задача с путешественниками» (Кондуит «Швамбрания»)

Из двух городов выезжают по одному направлению два путешественника, первый позади второго. Проехав число дней, равное сумме чисел верст, проезжаемых ими в день, они съезжаются и узнают, что второй проехал 525 верст. Расстояние между городами – 175 верст. Сколько верст в день проезжает каждый?

Л. Гераскина «В стране невыученных уроков»

Пять землекопов выкопали траншею в сто погонных метров за четыре дня.

Сколько погонных метров выкопал каждый землекоп в течение двух дней при условии, что все землекопы выполнили одинаковый объем работ?

Решение: 1)100: 4: 5 · 2 = 10 (м)      Ответ: выкопал каждый  землекоп в течение двух дней.

Задачи от Григория Остера:   «Задача про кактус»

 Федя с одноклассниками и учительницей пошел на экскурсию в ботанический сад и там присел отдохнуть на кактус. 27 колючек он сумел вытащить из себя сам. 56 колючек достала из него учительница. Каждый из 24 его одноклассников вынул из Феди по 12 колючек. Оставшиеся 187 штук помогли добыть другие посетители ботанического сада. Узнай, сколько колючек торчало из кактуса до того, как Федя присел на него отдохнуть, если во время этого события кактус расстался с третьей  частью колючек?       

Решение:  3· (27+56+12· 24+187) = 1674 (кол.)      Ответ: 1674 колючки торчало из кактуса.

« Зарядка для хвоста»

История о том, как главные герои измеряли рост удава. Оказывается, что он составляет 38 попугаев, 5 мартышек или 2 слоненка. А так ли это на самом деле? На самом деле, средний рост попугая = 22см, мартышки = 77см, слона = 335см, удава = 10м.

Выполнив несложные вычисления, получим, что в жизни длина 1 удава = 45 попугаям (1000: 22=45) = 13 мартышкам (1000: 77= 13) = 3 слонам (1000: 335 = 3) .

                     Автор в этом произведении пренебрег точными данными.

Г.Белых, Л.Пантелеев «Республика ШКИД»

«Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 28,  знаменатель равен 9/2, третий член в 3/2 раза больше знаменателя. Найти четвертый член прогрессии»

                                  Шкидец Воробей с этой задачей не справился.

И не мудрено: условие ее содержит противоречие. Чтобы привести ее к разрешимому виду, придется сделать два уточнения.

     Во-первых, будем считать, что одно из трех данных чисел задано неверно.

     Второе уточнение почуднее: третий член прогрессии в точности равен сумме в рублях, которую автор заплатил недавно на рынке за картошку.

Решение:  (bn) – геометрическая прогрессия. S3 = 28                     q = 9/2                   b3 = 3/2 · q                        b4 = ?     b n+1 = bn· q – формула для нахождения члена геометрической прогрессии.

b4 = b3 · q = 3/2q · q = 3/2 · 81/4 = 243/8 = 30,375

Алигьери Данте «Божественная комедия»

«Заискрилась всех тех кругов краса,

И был пожар в тех искрах необъятный,

Число же искр обильней в сотни раз,

Чем клеток счет двойной в доске шахматной»

          Счет двойной означает нарастание чисел при помощи удвоения   предыдущего.

Мы все знаем задачу Архимеда об изобретателе игры в шахматы, который согласился на скромное вознаграждение –именно, чтобы ему на первую клетку шахматной доски положили одно зерно, на вторую – два зерна, на третью – четыре зерна и так далее, удваивая число зерен каждый раз. Оказывается, для выполнения этого условия потребовали бы обильный

урожай поля, превосходящего величиною всю сушу земного шара в 28 раз.

Я. Гашек «Похождения бравого солдата Швейка»

«Стоит четырехэтажный дом, в каждом этаже по восьми окон, на крыше - два слуховых окна и две трубы, в каждом этаже по два квартиранта. А теперь скажите, господа, в каком году умерла у швейцара его бабушка?».

 Эту задачу предложил решить солдат Швейк в литературном произведении Я.Гашека «Похождения бравого солдата Швейка». Задача кажется сродни пословице: в огороде бузина, а в Киеве дядька. Швейк рассказал свою задачу в 1914 году. Год кончины бабушки равен произведению общего числа окон этого дома на число труб и на возраст (в 1914 году) одного из квартирантов, лично присутствовавшего на похоронах. Итак, в каком же году умерла у швейцара бабушка?

А.Блок «Скифы»

Мы любим всё – и жар холодных чисел,

И дар божественных  видений,

Нам внятно всё –

и острый галльский смысл,

И сумрачный германский гений.                        

Илья Ильф и Евгений Петров «Двенадцать стульев»

«Потом отец Федор подошел к комоду и вынул из конфетной коробки 50 рублей трехрублевками и пятирублевками. В коробке оставалось еще 20 рублей».

Напрашивается вопрос: сколько трех- и пятирублевок отец Федор взял и сколько оставил? А для единственности решения, добавим условие: отец Федор взял с собой большую часть трехрублевок и большую часть пятирублевок. Найдите решение.

Решение:

а) Пусть x – взято трехрублевок, а y- взято пятирублевок. Тогда составим уравнение: 3x+5y=50. Найдем пары решений: (5 и 7), (10 и 4), (15 и 1).

б) Пусть а – осталось трехрублевок, и b – осталось пятирублевок. Составим уравнение: 3а+5b=20. Найдем пары решений: (5 и 1), (0 и 4). Путем анализа результатов получаем: 5 трехрублевок и 7 пятирублевок или 10  трехрублевок и 4 пятирублевок взял отец Федор.

Илья Ильф и Евгений Петров «Золотой теленок»

«Было по равному количеству служащих. На станции Дроздово было комсомольцев  в 6 раз  меньше, чем на двух других, вместе  взятых,  а на станции Воробьево партийцев было на 12 человек больше, чем на станции Грачево.  Но на этой последней беспартийных было на 6  человек больше, чем на первых двух. Сколько служащих было на каждой станции и какова там была  партийная и комсомольская прослойка?»

Эта задача требует дополнительного условия, иначе решения не будет. Сформулируем его в виде вопроса: Какое наименьшее число служащих надо знать, чтобы задача получила единственное решение?

Проценты в художественных произведениях

Задача № 1

Сын Порфирия Владимировича Петя проиграл в карты казенные 3000 рублей и попросил у бабушки эту сумму взаймы.

Он говорил: «Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц».

Простые проценты начисляются только на начальный вклад.  S=P (1+n* (r/100))

Дано: 3000 руб. - 100%, Х  руб. -  5%.

 Х = 3000:100*5 = 150 (руб).   S=3000+150*12 = 4800 (руб)

Сложные проценты начисляется на наращенный капитал.      S=P (1+r/100)n

Дано: Р =3000 рублей, r = 5% в месяц, n = 12 мес.                      

 S=3000 (1+5/100)12 =3000 (21/20)12=3000 (1,05)12=5387,57≈5400 (руб)   

Задача № 2

«Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька, Арина Петровна, подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 руб, ассигнациями, не присвоила себе, а положила бы в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 руб. ассигнациями!».

     Под какой фиксированный процент годовых надо было положить 100 рублей, подаренные Порфирию дедушкой, в банк, чтобы через N лет он увеличился в 8 раз? Решите задачу, считая, возраст Порфирия Владимировича равным 50 годам.

         На вклады с длительными сроками хранения банки обычно устанавливают сложные проценты. Вот и ломбард, взяв на хранение деньги (во времена описанных в романе событий он выполнял эту функцию банка), должен был начислять на них сложные проценты.

    Итак, согласно условию задачи a = 100 руб., n = 50 и a50 = 800 руб.

    Процент годовых найдём из уравнения 100×(1 + 0,01p)50 = 800.  Получим p ≈ 4,25%.

Ф. М. Достоевский «Преступление и наказание»

Алёна Ивановна, старуха - процентщица предлагала Раскольникову деньги под заклад на весьма выгодных для себя условиях: «Вот-с, батюшка: коли по гривне в месяц с рубля, так за полтора рубля (в которые оценён заклад) причтётся с вас пятнадцать копеек, за месяц

вперёд-с. Да за два прежних рубля (за старый заклад) с вас ещё причитается по сему же счёту вперёд двадцать копеек. А всего, стало быть, тридцать пять. Приходится же вам теперь всего получить за часы ваши рубль пятнадцать копеек».

О.Бальзак «Гобсек»

Господин Дервиль взял у ростовщика Гобсека сумму в 150000 франков сроком на 10 лет под 15% годовых. Если бы он выплачивал сложные проценты от исходной суммы:

a10 = 150 000 × (1 + 0,01 × 15)10 ≈ 606 834 франка.
 Если бы расчёты велись по формуле простых процентов: а10 = 150 000 × (1 + 0,01 × 15 × 10) = 375 000 франков.                                                   Разница  более 230 тысяч франков.

В.В.Маяковский

Конторские счеты – русская народная счетная машинка, долго служили русскому народу.                 

 На арену!                С купцами сражаться иди!                Надо счетами бить учиться.

     Современные счетные машины, калькуляторы и компьютеры оставляют далеко позади русские счеты.

Задачи от Николая Носова

1. «Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Они сорвали всего 120 штук. Девочка сорвала в  два раза меньше мальчика. Сколько орехов собрал каждый из них?»

 Решение: Пусть девочка сорвала х, а мальчик 2х. Составим и решим уравнение: х+2х=120. 

                                                         Ответ: девочка собрала 40, а мальчик – 80 ор.

2. «В магазине было 8 пил, а  топоров  в три раза больше. Одной бригаде плотников продали половину топоров и три пилы за 84 рубля. Оставшиеся топоры и пилы продали другой бригаде плотников за 100 рублей.  Сколько стоит один топор и

одна пила?».

Решение: Составим и решим систему уравнений. Пусть  топор стоит х руб., а пила стоит у руб.  12х + 3у=84   и 12х +5у=100.                   Ответ:  топор стоит 5 руб. и пила стоит 8 руб.

Н. Н. Носов «Федина задача»

«На мельницу доставили четыреста пятьдесят мешков ржи, по восемьдесят килограмм в каждом. Рожь смололи, причем, из шести килограммов зерна вышло 5 килограммов муки. Сколько понадобилось машин для перевозки всей муки, если на каждой машине помещалось по три тонны муки?»

Решение: 1)450· 80 = 3600 (кг) – всего ржи доставили на мельницу.

                 2)3600: 6 = 600 (раз) – по 6 кг зерна имелось на мельнице.

                 3)5· 600 = 3000 (кг) – муки получилось после перемола зерна.

                4)3000: 3000 = 1 (м) – понадобилась для перевозки всей муки.  Ответ: одна машина.

И.А.Крылов «ЛЕБЕДЬ, ЩУКА И РАК»

Когда в товарищах согласья нет,

На лад их дело не пойдет,

И выйдет из него не дело, только мука.

Однажды Лебедь, Рак да Щука

Везти с поклажей воз взялись

И вместе трое все в него впряглись;

Из кожи лезут вон, а возу все нет ходу!

Поклажа бы для них казалась и легка:

Да Лебедь рвется в облака,

Рак пятится назад, а Щука тянет в воду.

Кто виноват из них, кто прав - судить не нам;

Да только воз и ныне там.

Сложение векторов движения лебедя и щуки выполним по правилу параллелограмма. Диагональ параллелограмма будет суммой двух векторов. Вектор  движения рака будет направлен в противоположную сторону, значит, сумма этих векторов будет равна 0.

Поэтому воз не двинется с места.