Реферат

Составил учитель математики

                                                               МБОУ СОШ №2

Лийка Владимир Владимирович.

Н о в о п а в л о в с к

2010

Арифметические выражения в математике и информатике

Как известно, при изучении математики сначала изучается математический алфавит, затем, используя алфавит, составляются математические «слова» т.е. выражения.  Что же такое выражение?

Выражение – синтаксическая единица языка, определяющая способ вычисления некоторого значения.

А арифметическое     выражение  - это совокупность чисел, скобок, объединенных знаками   арифметических   действий, так, чтобы оно имело определенное числовое значение. Для вычисления значения арифметического  выражения существуют определенные правила, требующие безукоснительного их  выполнения.

При дальнейшем изучении математики в арифметическое  выражение добавили буквы и стали говорить уже о выражении как об алгебраическом.  Итак с появлением новых понятий в математике круг названий выражений расширяется:  рациональные, иррациональные, тригонометрические, степенные, логарифмические и т. д.

В информатике же арифметическое  выражение приобретает смысл общего определения выражения. Так в языке программирования Паскаль выражения формируются в соответствии с рядом правил из констант, переменных, компонент массивов, полей записей, полей объектов, функций, знаков операций и круглых скобок.

Переменные – параметры программы, значения которых могут изменяться в процессе выполнения её.

Константы – параметры программы, значения которых в процессе выполнения её не меняются.

Стандартные функции – заранее разработанные подпрограммы-функции, которые могут использоваться как готовые объекты.

Знаки операций:

арифметические

  логические

и другие.

Действия выполняются в соответствии с их приоритетом:

     a)  Действия в скобках;

          б)  Вычисление функций;

          в)  Умножение, деление, DIV, MOD;

          г)   Сложение, вычитание.

В математике арифметические  выражения могут записываться многоэтажными дробями, могут пропускаться, например, операция умножения, что не допустимо в информатике.  В информатике арифметические  выражения записываются в строку, и все действия прописываются обязательно.

Например:

Видно, что в функции требуется обязательное заключение аргумента в скобки и т. д.

Первичные выражения. Арифметические  выражения строятся из элементов – так называемых первичных выражений, которые с помощью знаков операций и скобок объединяются в более сложные арифметические  выражения.  Сами первичные выражения представляют собой частные случаи арифметического  выражения.  К первичным выражениям относятся: число, переменная, функция, арифметическое  выражение в круглых скобках.

Например:   135,   В,    cos(x),    (a + c/z),    (…).

Многоточие означает произвольное арифметическое  выражение (возможно громоздкое), которое, будучи заключенное в скобки, представляет собой первичное выражение.  

Заключенное в круглые скобки арифметическое выражение любой сложности, становится первичным выражением, в частности, числом, переменной, функцией.

Рассмотрим еще несколько аспектов работы с арифметическими выражениями в математике и информатике.

С к о б о ч н ы е    в ы р а ж е н и я.     К таким выражениям относятся так называемые «пустые скобки».  Например:  {[(a+b)*c+e/(k-m)]*p+[(x+y)*a+b]/a}*c.

Опустив буквы и знаки операций, оставит только скобки, получим:

                      {[(   )      (   )   ]    [(   )    ]  }   -    «пустые скобки».

Запишем этот набор скобок в более сжатом виде:

                              {[()()][()]}  -  скобочное выражение.

Но так как скобок разной конфигурации на клавиатуре ограничено, то используют только круглые скобки (редко используют другие) при этом наше выражение примет вид ((()())(())).

При такой записи выражений можно допустить описки, а для контроля можно указывать уровни скобок. Номера уровней запишем под скобками. Каждая открывающая скобка должна иметь закрывающую скобку соответствующего уровня.

     (  (  (  )  (  )  )  (  (  )  )  )

     1   2   3  3    3  3   2    2   3  3   2   1

Контроль за правильностью скобочного выражения представляет собой необходимый этап проверки записи арифметического выражения, как в математике, так и в информатике.

В математике правильность записи может проверить сам ученик или учитель, но в информатике строгость контроля должна быть усилена, так как компьютер реагирует на  любую ошибку, включая очевидную описку. Машинный контроль правильности всей программы осуществляется транслятором.  Он выявляет ошибки и выдает сообщение об ошибке.

Б е с к о н е ч н а я   з а п и с ь   а р и ф м е т и ч е с к и х   в ы р а ж е н и й.  В информатике имеются способы записи арифметических выражений без использования скобок. Существует несколько способов такой записи.

Префиксная запись.  В этом  способе сначала записывается символ операции, а затем по порядку слева направо – операнды. Если же операнд содержит действие, то к нему применяется то же правило.  Например.  Исходное выражение  (a+b)*(c-a),  запишется

*  +ab   –ca  -  польская  бесконечная запись.

Подчеркнуты два операнда операции умножения  «*».  Каждый операнд содержит одну операцию, за которой следует так же два операнда  +ab  и  -ca.  Операнды друг от друга отделены пробелами.

Постфиксная запись.  В этом виде записи символ операции располагается после списка операндов.  Рассмотрим только польскую инверсную запись постфиксной  записи.

Исходное выражение  

                                         (a+b)*(c-a)      представится  в виде:

                                          ab+ ca- *,  где   ab+  и   ca-  первый  и  второй  операнды операции  «*».

Такую запись арифметических выражений можно наблюдать при работе с микрокалькуляторами.

Первый элемент с индикатора микрокалькулятора отсылается в рабочий регистр, а далее  набирается второй аргумент  и  так далее.

Представление  арифметических   выражений  в  виде дерева.

Для того чтобы представить арифметическое выражение  в  виде дерева, введем условные обозначения, с помощью которых будем строить дерево:

Корень  -  соответствует главной операции.

Узлы     -   изображают операции промежуточного уровня.

Листья -   ссылки на данные  или  константы.

Корень  и  узлы  изображаются кружками  и  овалами,  а  листья  -  квадратиками  и  прямоугольниками. 

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1. х*у  - одна  главная  операция

Пример 2.  –х    -  унарная операция,

                         иногда её обозначают буквой «М».

Пример 3.    -  унарная операция обозначают SQRT – во многих языках                                  

программирования.

Пример 4.     x*y*z   -   здесь в качестве главной операции

                                  можно взять первую и них.  Пунктиром

выделены по одному из операндов для главной операции.

Сам операнд (в пунктирном прямоугольнике)   является  

сложным, и  он раскрывается в нем.

Пример 5.   ((a+b)*c)+e   представляет следующее дерево,   где  главная операция взята после последней   операции «+»:

Анализ записи арифметических выражений, их  представление в бесконечном виде, изображение   структуры   с  помощью  деревьев,  контроль  за  правильностью  записей  и

его машинная реализация, а также разработка алгоритмов  соответствующих задач могли бы способствовать реализации  связей математики и информатики.

Список используемой литературы:

1.   Журнал  «Математика в школе»   №3  1998г.   И.Н. Антипов, О.А. Боковнев  «Арифметические  выражения  в  математике  и  информатике»,   с.  43 – 46.

2. А.Епанешников,  В. Епанешников  Программирование в среде TURBO PASCAL 7.0  М.:  «ДИАЛОГ – МИФИ»,  1993г.

3. Арифметические выражения. htm, сайт: http://mukfrn.narod.ru 

4.  Арифметические выражения. htm, сайт: http://kurs-vb.narod.ru

5. Г.В.Дорофеев,  Л.Г.Петерсон    Математика   учебник для 5 класса  I часть.  «Ювента»  2006.