Методика организации деятельности учителя и учащихся при изучении математических понятий
статья по теме

Методика организации деятельности учителя и учащихся при изучении математических понятий

Елена Александровна Платонова,

МБОУ средняя общеобразовательная школа №62

От качества каждого отдельного урока, от подготовки к нему, которую не должен недооценивать ни молодой, ни опытный учитель, в значительной степени зависят и результаты процесса обучения.  Имея 17-летний стаж работы учителем математики, а также посещая уроки педагогов как заместитель директора по учебно-воспитательной работе,  часто сталкиваюсь с тем, что учителя, планируя деятельность учащихся на уроках, уделяют недостаточно времени работе по формированию понятий, предпочитая дать учащимся готовые знания и как можно больше времени оставить на решение задач. Однако недостаточно передавать учащимся готовые знания понятий  и их определений, аксиом, теорем и способов решения математических задач необходимо строить работу на каждом уроке так, чтобы  процесс усвоения способствовал формированию  методологических знаний  и ключевых компетенций учащихся.

Большинство учебных программ, играя огромную роль в формировании научного мировоззрения и картины мира, не обеспечивают в полной мере преобразование знаний в социальные умения. Содержание образования, адекватное социальному опыту – это взаимосвязь четырех элементов: знания, опыт осуществления деятельности, опыт творческой поисковой деятельности, опыт эмоционально-ценностного отношения к деятельности и к ее объектам. При этом сущность образовательного процесса определяется как целенаправленное превращение социального опыта в личный опыт ученика. В содержании математического образования задаются две системы знаний: информационная компонента  и методологические знания.

Именно информационный компонент теоретического математического образования представлен в программах и учебниках по математике. В основном он выражен через основные дидактические единицы усвоения: понятия и их определения, аксиомы, теоремы, правила, задачи. Однако для достижения общих целей образования на современном этапе необходимо усвоение не только информационной компоненты, но и методологических знаний. Поэтому для успешного усвоения учащимися всех компонентов математического образования нужна технология обучения основным дидактическим единицам.[8]

Понятие – форма научного и обыденного мышления; результат обобщения свойств предметов некоторого класса  и мысленного выделения самого этого класса по определенной совокупности общих для предметов этого класса отличительных признаков. В понятие отражаются такие предметы и  их свойства, которые невозможно представить в виде наглядного образа.[6]

Под математическим понятием будем подразумевать систему логических взаимосвязанных упорядоченных суждений, высказанных о некотором математическом объекте.

Основными характеристиками понятия являются содержание и объем.

По содержанию можно выделить следующие четыре пары понятий:  

1. Конкретные и абстрактные понятия.
2. Относительные и безотносительные понятия.
3. Положительные и отрицательные понятия.
4. Собирательные и несобирательные понятия.

Формирование конкретного понятия тесно связано с усвоением учащимися соответствующего математического объекта и возникновением общего представления о нем. Усвоить понятие – это значит усвоить систему знаний о некотором объекте и научиться использовать их в деятельности.

Чтобы отличить одно понятие от другого, нет необходимости перечислять все его существенные свойства и признаки. Достаточно указать те из них, каждое из которых является необходимым, а вместе с тем – достаточными для того, выделить понятие из всех других. На основании этого строится определение понятия.

Определение (дефиниция) – логический прием, с помощью которого раскрывается содержание понятия, выявляются существенные признаки объектов, отображаемые в данном понятии. [6]

Классификация способов определения математических понятий

1. Реальные и номинальные
2. Явные и неявные

Существуют определенные требования к определениям математических понятий. Определение должно иметь форму категоричного суждения. В целом перед учителями стоят такие задачи: добиваться от учащихся глубокого усвоения основных понятий курса, выработки цельной системы раскрытия важнейших понятий математики, поэтапного расширения их объема и усложнения их структуры. Таков путь усвоения основных, опорных понятий, изучаемых в школьных курсах. А также необходимо предостеречь учащихся от возможных ошибок при определении понятий.

Для организации процесса обучения математике, при котором учащиеся качественно усваивают новые понятия, учитель, во-первых, должен владеть знаниями о логической структуре математического понятия. Во-вторых, ему необходимо создать условия, которые способствовали бы формированию понятийного мышления. Исследования психологов показали, что понятийное мышление оказывает влияние на когнитивную деятельность ученика, на развитие его интеллекта в целом. Методика формирования понятий в методической подготовке учителя математики должна занимать одно из центральных мест.

Под введением математического понятия будем подразумевать этап ознакомления учащихся с новым математическим объектом, заканчивающийся его определением.

Существуют различные подходы к введению математических понятий:

1. Конкретно-индуктивный (переход от частного к общему, от примеров – к определению)
2. Абстрактно-дедуктивный (переход от общего к частному, от определения  - к примерам)
3. Деятельностный (построение процесса обучения в соответствии со структурой учебной деятельности)[1]

У каждого из перечисленных подходов есть свои достоинства, которые способствуют успешному усвоению нового понятия учащимися. Использование какого-либо подхода при введении нового математического понятия должно быть продиктовано определенными условиями: способностями учащихся класса, содержанием учебного материала и др. При подготовке к уроку для успешной организации процесса усвоения понятий учащимися каждому учителю необходимо проводить логико-дидактический анализ формулировки определения.

С учетом логического и дидактического анализа понятия можно выделить следующую последовательность действий учителя по подготовке к работе с определением на уроке:

1. Прочитать определение. Раскрыть его содержание: выписать все характеристические свойства в виде элементарных действий или разделить свойства в тексте определения черточками.

2. Выявить логическую структуру определения, наметить работу в связи с ее разъяснением и составить, если возможно, таблицу истинности для отбора упражнений на узнавание.

3. В зависимости от уровня сложности вводимого понятия выбрать подход введения понятия на уроке, продумать форму записи определения на доске и в тетрадях учащихся.

4. С учетом логической структуры продумать обеспечение усвоения определения: работу по распознаванию; способ быстрого и безошибочного запоминания определения; разъяснение каждого слова.

5. Отобрать систему упражнений на закрепление определения на уроках.[4]

Изучение плоских многоугольников основывается на сформированных в 1-5 классах представлениях о простейших геометрических фигурах и служит средством развития логического мышления учащихся. В курсе геометрии 7-9 классов большое внимание уделяется изучению многоугольников, выявлению их свойств и признаков, определению величин, которые их характеризуют. Эта тема благоприятна для проведения работы по формированию понятий «свойство» и «признак». Здесь доказываются содержательные и, что очень важно, не сложные для самостоятельного доказательства учащимися теоремы. Логика построения темы способствует успешной организации процесса формирования понятий.

В главе «Четырехугольники» изучаются не менее 30 понятий и около 45 теорем и следствий. Большое количество взаимообратных теорем, некоторые теоремы не выделены в пунктах учебника, а представлены в виде задач. Практически все определения сформулированы через ближайшее родовое понятие и видовые отличия, причем изучаемые понятия тесно связаны, что позволяет строить с обучающимися схемы взаимосвязи понятий, классифицировать объекты по характеристическим свойствам, а также формировать представления учащихся о построении определений в курсе математики. Логическая структура всех определений конъюнктивная, это значит, что при подборе упражнений на узнавание перебираются все характеристические свойства, и не выполнимость одного свидетельствует о том, что объект не подходит под понятие. Формулировки определений не сложные, поэтому учащиеся могут сами их сформулировать, если будут выделены характеристические условия. Также необходимо отметить, что схема изучения всех понятий данной темы  имеет общую структуру: понятие→определение→свойство→признак.

Рассмотрим пример организации  действий учителя по подготовке к работе с определением параллелограмма.

Определение: «Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны».

Явное определение, логическая структура -  через род и видовые отличия

В=, где В – параллелограмм, А – четырехугольник, Р(х) – противоположные стороны попарно параллельны.

Составим таблицу для проверки выполнимости свойств путем перебора возможных случаев.

Данное определение можно заменить ему эквивалентным:

1. Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
2. Если у четырехугольника противоположные стороны попарно параллельны, то такой четырехугольник называется параллелограммом.
3. Если у четырехугольника  две пары параллельных сторон, то такой четырехугольник называется параллелограммом.

Сформулируем отрицание определения: «Фигура не является параллелограммом ↔когда он не является четырехугольником или хотя бы две противоположные стороны его не параллельны»

Данное понятие находится в тесной связи с понятиями «четырехугольник»,  «параллельность отрезков» «выпуклый четырехугольник», «противоположные стороны», что можно использовать при проведении мотивации и актуализации данного понятия.

В соответствии с проведенным логическим анализом покажем использование дидактического анализа данного определения.

Параллелограммом// называется //четырехугольник//, у которого //противоположные стороны попарно параллельны//.

На основании таблицы истинности составляем упражнения на узнавание:

Примеры заданий на различных этапах осознания и осмысления определения:

1. Верны ли утверждения:

1. Параллелограммом называется  невыпуклый четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
2. Параллелограммом называется многоугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
3. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны.

1. Вставьте пропуски в формулировку суждения:

«Параллелограммом называется четырехугольник, у которого ……………… стороны …………. параллельны»; «Параллелограммом называется ……………….., у которого противоположные стороны попарно …………….».

В школе должна проводиться активная методическая работа по формированию методологических математических знаний учащихся. Проектирование учебного процесса необходимо строить в соответствии с логической структурой материала и дидактическими принципами организации деятельности учащихся на уроке. Применение личностно-деятельностного подхода   в обучении является залогом успешного усвоения учащимися математических знаний. Это будут доказывать достижения учащихся школы на олимпиадах и конкурсах математического цикла, участие  школьников в научно-практических конференциях, поступление многих выпускников в ВУЗы на математические специальности, а также  учащиеся смогут показать высокое качество обученности по предметам математического цикла на выпускных экзаменах.