школьная олимпиада по математике 2012 г
олимпиадные задания по теме

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 6 классов, 2012-2013 уч.г.

1. Календарь представляет собой два кубика, у каждого кубика на всех гранях написано по цифре. Дату (день месяца) составляют, используя один или два кубика. Придумайте, как написать цифры на кубиках, чтобы можно было получить любую дату от 1 до 31. (В ответе напишите, какие цифры должны быть на одном кубике, а какие – на другом) 

2. Одной черепахе 300 лет, а другой 15 лет. Через сколько лет первая черепаха будет вдвое старше второй?

3. Сад разбит на квадраты. Садовник начал обход с верхнего правого квадрата, обошел весь сад и вернулся в тот же угловой квадрат. В закрашенных квадратиках он не был (там располагаются пруды). Во всех остальных квадратиках он побывал по одному разу, причем через вершины квадратов он не проходил. Начертите возможный путь садовника.

           4. Прямоугольник разрезали на три прямоугольника, два из которых имеют размеры 5x11 и 4x6. Какие размеры мог иметь третий прямоугольник? (Найдите все возможные варианты.)

5. Винни-Пуху дали полную тарелку манной каши. Он съел половину и положил в тарелку еще столько же меда. Затем он съел треть содержимого тарелки (каши с медом) и снова доложил мед. Потом съел четверть содержимого и опять доложил медом, после чего с аппетитом все съел. Чего в итоге Винни-Пух съел больше: каши или меда?

Максимальное количество баллов за работу – 35.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 6 классов, 2012-2013 уч.г.

1. Календарь представляет собой два кубика, у каждого кубика на всех гранях написано по цифре. Дату (день месяца) составляют, используя один или два кубика. Придумайте, как написать цифры на кубиках, чтобы можно было получить любую дату от 1 до 31. (В ответе напишите, какие цифры должны быть на одном кубике, а какие – на другом) 

2. Одной черепахе 300 лет, а другой 15 лет. Через сколько лет первая черепаха будет вдвое старше второй?

3. Сад разбит на квадраты. Садовник начал обход с верхнего правого квадрата, обошел весь сад и вернулся в тот же угловой квадрат. В закрашенных квадратиках он не был (там располагаются пруды). Во всех остальных квадратиках он побывал по одному разу, причем через вершины квадратов он не проходил. Начертите возможный путь садовника.

           4. Прямоугольник разрезали на три прямоугольника, два из которых имеют размеры 5x11 и 4x6. Какие размеры мог иметь третий прямоугольник? (Найдите все возможные варианты.)

5. Винни-Пуху дали полную тарелку манной каши. Он съел половину и положил в тарелку еще столько же меда. Затем он съел треть содержимого тарелки (каши с медом) и снова доложил мед. Потом съел четверть содержимого и опять доложил медом, после чего с аппетитом все съел. Чего в итоге Винни-Пух съел больше: каши или меда?    

Максимальное количество баллов за работу – 35.

Ключи, критерии оценивания олимпиадных заданий

школьного этапа по математике

6 класс

Каждая задача оценивается из 7 баллов. Каждая оценка – целое число от 0 до 7. Ниже приведены некоторые указания к проверке. Естественно, всех случаев жюри предвидеть не может. При оценке решения нужно исходить из того, является ли приведенное решение в целом верным (хотя, может, и с недостатками) – тогда решение оценивается не менее чем в 4 балла. Или оно неверное (хотя, может, и с существенными продвижениями) – в этом случае оценка должна быть не выше 3 баллов.

Задача 1.

Решение. Например, на одном кубике написаны цифры 0, 1, 2, 4, 5, 6, а на другом 1, 2, 3, 7, 8, 9.  Замечание. Существуют и другие примеры. Для проверки правильности примера, достаточно проверить, что 1) в каждой группе по 6 цифр, 2) все цифры встречаются, 3) можно составить числа 11, 22 и 30 (т.е. в каждой группе есть цифры 1 и 2, а цифры 0 и 3 находятся в разных группах). 

Правильное распределение – 7 баллов. Только неправильный пример – 0 баллов. Сказано, что 1 и 2 должны быть на обоих кубиках т.к. есть числа 11 и 22, а дальше пример неправильный из-за того, что 0 и 3 поместили на один кубик – 2 балла.

Задача 2.

Ответ. Через 270 лет. Решение. Разница между черепахами всегда 300-15=285 лет. Одна будет вдвое старше другой, когда второй будет столько лет, какова разница, т.е. 285. А 285 лет второй черепахе исполнится через 285-15=270 лет.  

Только ответ без всяких пояснений – 2 балла. Записаны правильные действия, но без пояснения - 4 балла.

Задача 3. Правильный пример – 7 баллов. Пример незамкнутого пути или пути не по всем клеткам – 0 баллов.

Ответ. Один из возможных примеров обхода приведен на рисунке (возможны и другие пути).

Задача 4.

Ответ. 5x4, 7x6, 1x6, 1x11. Решение. Посмотрим, как могут прилегать прямоугольники друг к другу. Прямоугольник 4x6 может примыкать к стороне 5 или к стороне 11, при этом прилегать он может стороной 4 или стороной 6, т.е. всего 4 варианта. Из них получаем размеры третьего прямоугольника: 5x4, 7x6, 1x6, 1x11.

Найдены все варианты (подтверждены картинками) – 7 баллов. Найдены только три из четырех вариантов – 5 балла. Найдено два варианта – 3 балла. Найден только один вариант – 1 балл. 

Задача 5.

Ответ. Меда он съел больше. Решение. Видно, что Пух в итоге съел тарелку каши. Посчитаем, сколько он съел меда: 1/2+1/3+1/4 = 13/12>1.Голый ответ 1 балл. Решение верное, но не доведено до конца – 2 балла. Вычислительная ошибка – минус 1 балл (если вычислительных ошибок несколько, соответственно вычитается больше).

Максимальное количество баллов за работу – 35.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 7 классов, 2012-2013 уч.г.

Решите уравнение: |2011-x| = 2012

Переложите одну из 7 спичек числа  так, чтобы получилась дробь

Котенок Малыш может облизать себя с головы до кончика хвоста за полчаса, а кот Тоша может облизать Малыша за 5 минут. Себя Тоша способен помыть за 20 минут. Сколько времени придется трудиться Малышу, чтобы помыть Тошу?

Мальчики в классе составляют  учащихся всего класса. их числа составляют отличники. Сколько в классе девочек?

Соедините попарно фигуры, имеющие одинаковую нумерацию, произвольными непрерывными линиями таким образом, чтобы эти линии не пересекались друг с другом.

Максимальное количество баллов за работу – 20.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 7 классов, 2012-2013 уч.г.

Решите уравнение: |2011-x| = 2012

Переложите одну из 7 спичек числа  так, чтобы получилась дробь

Котенок Малыш может облизать себя с головы до кончика хвоста за полчаса, а кот Тоша может облизать Малыша за 5 минут. Себя Тоша способен помыть за 20 минут. Сколько времени придется трудиться Малышу, чтобы помыть Тошу?

Мальчики в классе составляют  учащихся всего класса. их числа составляют отличники. Сколько в классе девочек?

Соедините попарно фигуры, имеющие одинаковую нумерацию, произвольными непрерывными линиями таким образом, чтобы эти линии не пересекались друг с другом.

Максимальное количество баллов за работу – 20.

Ключи, критерии оценивания олимпиадных заданий

школьного этапа по математике

7 класс

Ответ -1 и 4023.
Указания по проверке:
- ответ без решения – 0 баллов

- верные начальные рассуждения – 1- 3 балла,

- найден 1 корень, но с недочетами – 4 балла,

- найден 1 корень со всеми объяснениями – 5 балла,

- найдены оба корня, но с недочетами – 6 баллов,

- полное решение – 7 баллов.

Максимальное количество баллов за задание – 7.

Решение

За верно переложенную спичку 3 балла, за сокращение дроби – 1 балл.

Максимальное количество баллов за задание – 4.

Ответ: 120 минут или 2 часа.
Решение: Тоша работает языком в 6 раз быстрее, чем Малыш, т.к. он моет малыша в 6 раз быстрее, чем тот это делает сам. Себя Тоша моет за 20 минут. Следовательно, моя Тошу, малыш будет трудиться в 6 раз дольше: 20 х 6 = 120 минут или 2 часа.
Указания по проверке:
- ответ без основания – 1 балл,

- верный ответ, с недочетами – 2 балла,
- ответ с обоснованием – 3 балла.

Максимальное количество баллов за задание – 3.

Ответ: 21 девочка
решение: обозначим число всех учащихся в классе за Х, тогда мальчиков среди них , а отличников среди них , т.к. число отличников будет целым при наименьшем числе учащихся в классе, равном 35 (классов по 70, 105 и более учеников не бывает), то  мальчиков будет , а девочек 35-14= 21
указания по проверке:
Если дан ответ без основания – 1 балл,

Если есть обозначения – 1 балл,

Если есть обозначения и верно найдено количество мальчиков – 2 балла,

Если полное решение, дан ответ со всеми обоснованиями -  4 балла.

Максимальное количество баллов за задание – 4.

Решение:

Максимальное количество баллов за задание - 2.

Максимальное количество баллов за работу – 20.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 8 классов, 2012-2013 уч.г.

Решите уравнение: | x -2011 |+ |2011-x| = 2012

Найдите значение выражения , если    

Ваня дернул Маню за косичку. Маня стукнула Ваню по голове учебником, из которого выпал книжный блок. На первой странице его стоял номер 143, а номер последней страницы записан теми же цифрами, но в ином порядке, сколько страниц выпало из книги?

Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие грибы – 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 11 кг свежих?

Найдите сумму пяти внутренних углов произвольной пятиконечной звезды.

        1

                   5                             2

                 4                     3

Максимальное количество баллов за работу – 24.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 8 классов, 2012-2013 уч.г.

Решите уравнение: | x -2011 |+ |2011-x| = 2012

Найдите значение выражения , если    

Ваня дернул Маню за косичку. Маня стукнула Ваню по голове учебником, из которого выпал книжный блок. На первой странице его стоял номер 143, а номер последней страницы записан теми же цифрами, но в ином порядке, сколько страниц выпало из книги?

Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие грибы – 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 11 кг свежих?

Найдите сумму пяти внутренних углов произвольной пятиконечной звезды.

        1

                   5                             2

                 4                     3

Максимальное количество баллов за работу – 24.

Ключи, критерии оценивания олимпиадных заданий

школьного этапа по математике

8 класс

Ответ: 1005  и 3017
Решение: Заметим, что |x-2011|=|2011-x|, поэтому исходное уравнение можно переписать так: 2 |x-2011| = 2012, |x-2011|=1006. Последнее равенство выполняется, если х-2011 = 1006 или х-2011 = - 1006, отсюда х = 1005 или х=3017
указания по проверке:
- ответ без решения – 0 баллов

- верные начальные рассуждения – 1- 3 балла,

- найден 1 корень, но с недочетами – 4 балла,

- найден 1 корень со всеми объяснениями – 5 балла,

- найдены оба корня, но с недочетами или вычислительными ошибками – 6 баллов,

- полное решение – 7 баллов.

Максимальное количество баллов за задание – 7.

Решение (возможны другие варианты):  

Указания по проверке:
- ответ без решения – 1 балл,

- верный ответ, с недочетами – 2 балла,
- верное решение – 3 балла.

Максимальное количество баллов за задание – 3.

Ответ: 172 страницы

Решение: первая выпавшая страница имеет нечетный номер, следовательно, номер последней выпавшей страницы четный и равен 314 (единственное четное число, большее 143 и составленное из тех же цифр). В книге осталось 142 страницы, предшествующие выпавшим. Поэтому число выпавших страниц равно 314-142 = 172
Указания по проверке:
- ответ без обоснования – 1 балл
- решение по идее верно, но содержит ошибки и является неполным – 2 балла

- полное решение – 3 балла.

Максимальное количество баллов за задание – 3.

Ответ: 1,25 кг.
Решение (возможны другие варианты):

вода                         вода                         вода

          11 кг                                        Х кг

Составляем уравнение по сухой массе, т.к. она не меняется

0,88х=0.1*11

0,88х = 1,1

Х=1,25

Указания по проверке:
- есть верные идеи  – 2 балла,
- верное решение – 7 баллов.

Максимальное количество баллов за задание – 7.

Ответ: 180°
Решение:

  1

                        5                                     2

                                7

                                       6

                            4                                3

На рисунке    7=    1 +     3,      6 =    2  +   5  (по теореме о свойстве внешнего угла треугольника), тогда  1  +   2  +   3   +   4   +   5  =  7   +   6   +   4 = 180°

Указания по проверке:

- ответ без обоснования – 1 балл

- есть верные идеи – 2 балла

- ответ с объяснением – 4 балла.

Максимальное количество баллов за задание – 4.

Максимальное количество баллов за работу – 24.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 9 классов, 2012-2013 уч.г.

   1.Покупатель взял у продавца товара на 10 рублей и дал 25 рублей. У продавца не нашлось сдачи, и он разменял деньги у соседа. Когда они расплатились и покупатель ушел, сосед обнаружил, что 25 рублей фальшивые. Продавец вернул соседу 25 рублей и задумался. Какой убыток понес продавец?

    2. В треугольнике АВС  угол А равен 60°, а угол В равен 82°. АD, ВЕ и СF- высоты, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОF.

    3.Каждый юноша в 9 классе играет либо в футбол, либо в хоккей. При этом треть футболистов еще и хоккеисты, а среди хоккеистов футболом увлекается каждый четвертый. Кого среди юношей этого класса больше: увлеченных футболом или увлеченных хоккеем?

     4.В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза. 

(Математическая монета  или симметричная монета,  лишена многих качеств настоящей монеты. У математической монеты нет цвета, размера, веса и достоинства. Она не сделана ни из какого материала и не может служить платежным средством. Монета с точки зрения теории вероятностей имеет только две стороны, одна из которых называется "орел", а другая — "решка". Монету бросают, и она падает одной из сторон вверх.  Ни какие другие свойства математической монете не присущи).

      5. Можно ли расставить в таблице 4Х4 различные натуральные числа от 1 до 16 так, чтобы во всех квадратиках 2Х2 сумма чисел делилась на 17?

  Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 9 классов, 2012-2013 уч.г.

   1.Покупатель взял у продавца товара на 10 рублей и дал 25 рублей. У продавца не нашлось сдачи, и он разменял деньги у соседа. Когда они расплатились и покупатель ушел, сосед обнаружил, что 25 рублей фальшивые. Продавец вернул соседу 25 рублей и задумался. Какой убыток понес продавец?

    2. В треугольнике АВС  угол А равен 60°, а угол В равен 82°. АD, ВЕ и СF- высоты, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОF.

    3.Каждый юноша в 9 классе играет либо в футбол, либо в хоккей. При этом треть футболистов еще и хоккеисты, а среди хоккеистов футболом увлекается каждый четвертый. Кого среди юношей этого класса больше: увлеченных футболом или увлеченных хоккеем?

     4.В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза. 

(Математическая монета  или симметричная монета,  лишена многих качеств настоящей монеты. У математической монеты нет цвета, размера, веса и достоинства. Она не сделана ни из какого материала и не может служить платежным средством. Монета с точки зрения теории вероятностей имеет только две стороны, одна из которых называется "орел", а другая — "решка". Монету бросают, и она падает одной из сторон вверх.  Ни какие другие свойства математической монете не присущи).

      5. Можно ли расставить в таблице 4Х4 различные натуральные числа от 1 до 16 так, чтобы во всех квадратиках 2Х2 сумма чисел делилась на 17?

Ключи, критерии оценивания олимпиадных заданий

школьного этапа по математике

9 класс

Задача 1. Ответ: 25 рублей. Решение: Одолженные и возвращенные соседу деньги можно не принимать во внимание. Так как покупатель расплатился фальшивыми деньгами, то продавец понес убыток 25 рублей.

Задача 2. Ответ:82°.Решение: одно из возможных обоснований:

 1) Рассмотрим треугольник АВD: угол АDВ равен 90°,т.к. АD- высота треугольника АВС, тогда угол  ВАD=90°-82°=8°.

 2) Рассмотрим треугольник АFО: угол АFО равен 90°,т.к. СF- высота треугольника АВС, тогда  угол АОF=90°-8°=82°.

Задача 3. Ответ: Хоккеистов. Решение: Пусть одновременно футболом и хоккеем в классе увлекаются к человек. Тогда  футболистов в классе 3к, а хоккеистов -4к. При этом кǂ0, так как футболисты и хоккеисты в классе заведомо есть.

Задача 4. Ответ: 0,375.  Решение:

 Какие возможны исходы трех бросаний монеты?
1) Решка, решка, решка.
2) Решка, решка, орел.
3) Решка, орел, решка.
4) Орел, решка, решка.
5) Решка, орел, орел.
6) Орел, решка, орел.
7) Орел, орел, решка.
8) Орел, орел, орел.
Это все возможные события, других нет. Нас интересует вероятность 5-го, 6-го или 7-го события.
Всего возможных исходов - 8.
Благоприятных иcходов - 3.
Отношение 3/8 = 0,375.

Задача 5.Ответ: Можно. Решение: Один из примеров расстановки на рис.

            Дополнительные указания к проверке и оценке

Задача 1. За правильный ответ без обоснования-2 балла, с обоснованием-7 баллов.

Задача 2. За правильный ответ без обоснования-2 балла,  за обоснование в 3 и более шагов- 5 баллов, за  полное решение -7 баллов.

Задача 3. За правильный ответ без обоснования-2 балла,  с обоснованием-7 баллов.

Задача 4. За правильный ответ без обоснования-2 балла, за подсчет всех возможных исходов-3 балла, за подсчет всех возможных и благоприятных исходов-4 балла, за полное решение-7 баллов.

Задача 5.    Ответ «можно», не обоснованный примером, оценивается

                   в 0 баллов. Верный вариант расстановки -7 баллов        

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 10 классов, 2012-2013 уч.г.

В одном магазине  молоко подешевело на 40%, а в другом – сначала на 20%, а затем еще на 25%. Первоначальная цена на молоко в каждом из магазинов была одна и та же. Где молоко стало стоить дешевле?

Даны два различных числа х и у (не обязательно целых) таковы, что х2 – 2012 х = у2 – 2012 у.

      Найдите сумму х и у.

На рисунке изображена «змейка» из одинаковых кубиков. Какое минимальное число кубиков потребуется, чтобы замкнуть ее?

4. Постройте график функции  и определите, при каких значениях к прямая  у = кх не будет иметь с графиком ни одной общей точки.

5. Высоты остроугольного треугольника АВС, проведенные из вершин В и С, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках В1 и С1. Оказалось, что отрезок В1С1 проходит через центр описанной окружности. Найдите угол ВАС.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 10 классов, 2012-2013 уч.г.

В одном магазине  молоко подешевело на 40%, а в другом – сначала на 20%, а затем еще на 25%. Первоначальная цена на молоко в каждом из магазинов была одна и та же. Где молоко стало стоить дешевле?

Даны два различных числа х и у (не обязательно целых) таковы, что х2 – 2012 х = у2 – 2012 у.

      Найдите сумму х и у.

На рисунке изображена «змейка» из одинаковых кубиков. Какое минимальное число кубиков потребуется, чтобы замкнуть ее?

   4. Постройте график функции  и определите, при каких значениях к прямая  у = кх не будет иметь с графиком ни одной общей точки.

   5. Высоты остроугольного треугольника АВС, проведенные из вершин В и С, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках В1 и С1. Оказалось, что отрезок В1С1 проходит через центр описанной окружности. Найдите угол ВАС.

Ключи, критерии оценивания олимпиадных заданий

школьного этапа по математике

10 класс

1.   Ответ: одинаково

 Решение: Пусть х рублей первоначальная цена молока.

      В первом магазине цена уменьшилась на 40%, то есть составила 0,6х рублей. Во втором    магазине после первого понижения цена была 0,8х рублей, а после второго - 0,75(0,8х)=0,6х. Таким образом, молоко в каждом из магазинов вновь стоит одинаково.

       Ответ без обоснования 1 балл.

      Решена задача для частного случая -  2балла.

     Составлено уравнение, но не решено – 5 баллов

      Составлено уравнение, решено, но допущена вычислите6льная ошибка – 5 баллов Полное решение 7 баллов

2.  Ответ: 2012.

Решение: Преобразуем исходное уравнение: х2 – у2 = 2012 (х –у).Так как числа х и у различны, то можно разделить обе части уравнения на х –у, получим х +у =2012.

      Ответ без обоснования  1  балл.

     Выполнено преобразование с применением формулы разности квадратов, но ответ до конца не доведён – 3 балла

      Разделили обе части равенства на х – у, но не объяснили почему это можно сделать – 5 баллов

      Полное решение 7 баллов

3.   Ответ: 5 кубиков.

Одно из возможных решений: Пусть кубик, показанный стрелкой, имеет координаты                   (0; 0; 0).Найдем координаты кубиков, которые следует соединить. Левый из них будет иметь координаты (1; -5; 5), а правый (3; -2; 4).поэтому, чтобы соединить их потребуется кубиков. Например, это могут быть кубики (2; -5; 5), (3; -5; 5), (3; -4; 5), (3; -3; 5), (3; -2; 5).

Правильный ответ без обоснования 1  балл.

В качестве обоснования достаточно найти «расстояние»  между концами змейки по трем измерениям. Если расстояния по трем измерениям найдены правильно, но дальше при нахождении необходимого количества кубиков ошибка в один кубик – 4 балла.

Полное решение 7 баллов.

Преобразуем выражение к виду  при

Значит,  , при условии, что .

На рисунке видно, что прямая  у = кх не имеет с построенным графиком общих

точек, если она горизонтальна, либо если она проходит через одну из

удаленных точек  или . Этим случаям соответствуют

 значения к = 0; ;  .

Выполнены преобразования – 1 балл

Учтена область определения функции – 2 балла

Выполнены преобразования и построен график первой функции – 3 балла

Если не учтен случай к<0  – 5 баллов

Если не учтен случай к=0  – 6 баллов

Правильное построение графика оценивается в 7 баллов.

Ответ: 450.

           Решение:

Так как  С1В1  - диаметр, то  Так как  ВВ1 АС, то С1В ‌‌‌‌‌| | АС.

Поэтому     Углы ВС1С и ВАС равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Следовательно,   Пусть Н- основание высоты, опущенной из вершины С.  Прямоугольный треугольник АНС – равнобедренный,  т.е.

Ответ без обоснования – 1 балл. Рассмотрение частных случаев обоснованием не является.

Полное решение 7 баллов.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 11 классов, 2012-2013 уч.г.

1. В одном магазине  молоко подешевело на 40%, а в другом – сначала на 20%, а затем еще на 25%. Первоначальная цена на молоко в каждом из магазинов была одна и та же. Где молоко стало стоить дешевле?

2. При сложении двух целых чисел Коля поставил лишний ноль на конце одного из слагаемых и получил в сумме 777777 вместо 111111. Какие числа он складывал?

3. На рисунке изображена «змейка» из одинаковых кубиков. Какое минимальное число кубиков потребуется, чтобы замкнуть ее?

4. Постройте график функции  и определите, при каких значениях к прямая  у = к х не будет иметь с графиком ни одной общей точки.

5. Высоты остроугольного треугольника АВС, проведенные из вершин В и С, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках В1 и С1. Оказалось, что отрезок В1С1 проходит через центр описанной окружности. Найдите угол ВАС.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике для учащихся 11 классов, 2012-2013 уч.г.

1. В одном магазине  молоко подешевело на 40%, а в другом – сначала на 20%, а затем еще на 25%. Первоначальная цена на молоко в каждом из магазинов была одна и та же. Где молоко стало стоить дешевле?

2. При сложении двух целых чисел Коля поставил лишний ноль на конце одного из слагаемых и получил в сумме 777777 вместо 111111. Какие числа он складывал?

3. На рисунке изображена «змейка» из одинаковых кубиков. Какое минимальное число кубиков потребуется, чтобы замкнуть ее?

4. Постройте график функции  и определите, при каких значениях к прямая  у = к х не будет иметь с графиком ни одной общей точки.

5. Высоты остроугольного треугольника АВС, проведенные из вершин В и С, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках В1 и С1. Оказалось, что отрезок В1С1 проходит через центр описанной окружности. Найдите угол ВАС.

Ключи, критерии оценивания олимпиадных заданий

школьного этапа по математике

11 класс

Ответ: одинаково

Решение: Пусть  х рублей первоначальная цена молока.

      В первом магазине цена уменьшилась на 40%, то есть составила 0,6х рублей. Во втором    магазине после первого понижения цена была 0,8х рублей, а после второго - 0,75(0,8х)=0,6х. Таким образом, молоко в каждом из магазинов вновь стоит одинаково.

       Ответ без обоснования 1 балл.

      Решена задача для частного случая -  2балла.

     Составлено уравнение, но не решено – 5 баллов

      Составлено уравнение, решено, но допущена вычислите6льная ошибка – 5 баллов Полное решение 7 баллов

2.  Ответ: 37037 и 74074.

            Решение: Из условия х + у = 111111, х + 10у = 777777. Откуда 9у = 666666, у=74074.

     Тогда х = 37037.

     Ответ без обоснования  1  балл.

    Найдено одно число – 4 балла

   Полное решение 7 баллов

3.   Ответ: 4 кубика.

Одно из возможных решений:

Пусть кубик, показанный стрелкой, имеет координаты (0; 0; 0).Найдем координаты кубиков, которые следует соединить. Левый из них будет иметь координаты ( 1; -4; 5), а правый (3; -2; 4).поэтому, чтобы соединить их потребуется кубиков. Например, это могут быть кубики (2; -4; 5), (3; -4; 5),  (3; -3; 5),  (3; -2; 5).

Правильный ответ без обоснования 3 балла.

В качестве обоснования достаточно найти «расстояние»  между концами змейки по трем измерениям. Если расстояния по трем измерениям найдены правильно, но дальше при нахождении необходимого количества кубиков ошибка в один кубик – 4 балла.

     Полное решение 7 баллов

4.  Преобразуем выражение к виду  при

Значит,  , при условии, что .

На рисунке видно, что прямая  у = кх не имеет с построенным графиком общих

точек, если она горизонтальна, либо если она проходит через одну из

удаленных точек  или . Этим случаям соответствуют

 значения к = 0; ;  

Выполнены преобразования – 2 балла

Выполнены преобразования и построен график первой функции – 3 балла

Если не учтен случай к<0  – 5 баллов

Если не учтен случай к=0  –6 баллов

Правильное построение графика оценивается в 7 баллов.

5.     Ответ: 450.

 Решение:

Так как  С1В1  - диаметр, то  Так как  ВВ1 АС, то С1В ‌‌‌‌‌| | АС.

Поэтому     Углы ВС1С и ВАС равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Следовательно,   Пусть Н- основание высоты. Опущенной из вершины С. Прямоугольный треугольник АНС – равнобедренный, т.е.