Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике Школьный этап 2023-2024 учебный год 6 класс
методическая разработка (6 класс)

Задачи Всероссийской олимпиады школьников по  математике

Школьный этап 2023-2024 учебный год

6 класс

Критерии оценивания олимпиадных работ

  Любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение обучающегося отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри.

   Олимпиадная работа не является контрольной работой обучающегося, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачёркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов.

    Баллы не выставляются «за старание обучающегося», в том числе за запись в работе большого по объёму текста, но не содержащего продвижений в решении задачи.

ЗАДАНИЕ №1 100 синиц за 100 дней съедят 100 кг зерна. Сколько килограммов зерна съедят 10 синиц за 10 дней?

ЗАДАНИЕ №2 Пять винтиков, два шпунтика и три гаечки весят столько же, сколько весят один винтик, семь шпунтиков и четыре гаечки. Что тяжелее:
винтик или шпунтик?

ЗАДАНИЕ №3  .  В порту пришвартовались 4 теплохода. В полдень 2 января 2023 года они одновременно покинули порт.    Известно, что первый теплоход возвращается в этот порт через каждые 4 недели, второй – через каждые 8 недель, третий – через 12 недель, а четвёртый – через 16 недель.  Когда в первый раз теплоходы снова сойдутся все вместе в этом порту?

ЗАДАНИЕ №4 Если от задуманного мной трёхзначного числа отнять 7, то оно разделится на 7, а если отнять от него 8, то оно разделится на 8, если отнять от него 9, то оно разделится на 9.  Какое число я задумал?

ЗАДАНИЕ №5 Из пяти различных фигур тетрамино требуется сложить прямоугольник 4х5. Можно ли осуществить требуемое?
Если да, то покажите как; если нет, то объясните, почему.

ЗАДАНИЕ №6 Земной шар стянули обручем по экватору. Затем увеличили обруч на 1 м. Пролезет ли кошка в образовавшийся зазор? 

Радиус земного шара по экватору 6378,8 км.

Совет 1. Если в задаче есть громоздкие числовые
данные, то попробуйте заменить их буквами

Совет 2. Не бойтесь вводить лишние буквы!

Ответы и решения.

Задача 1. 100 синиц за 100 дней съедят 100 кг зерна. Сколько килограммов зерна съедят 10 синиц за 10 дней?

Решение:

               100                 100                      100

               10                   100                      10

               10                   10                         1

Задача 2. Пять винтиков, два шпунтика и три гаечки весят столько же, сколько весят один винтик, семь шпунтиков и четыре гаечки. Что тяжелее:
винтик или шпунтик?

    Решение: Пусть в, ш, г — массы винтика, шпунтика и гаечки соответственно. Запишем условия задачи:

    5в + 2ш + 3г = в + 7ш + 4г,

    4в + 2ш + 3г = 7ш + 4г,

    4в + 3г = 5ш + 4г,

    4в = 5ш + г.

    4в > 5ш, но 5ш > 4ш, значит, 4в > 4ш, в > ш.  

Задача 3.  В порту пришвартовались 4 теплохода. В полдень 2 января 2023 года они одновременно покинули порт.    Известно, что первый теплоход возвращается в этот порт через каждые 4 недели, второй – через каждые 8 недель, третий – через 12 недель, а четвёртый – через 16 недель.  Когда в первый раз теплоходы снова сойдутся все вместе в этом порту?

Решение:   НОК чисел 4, 8,12, и 16 есть 48. Следовательно, теплоходы сойдутся через 48 недель, т.е. 4 декабря 2023 года.

Задача 4.  Если от задуманного мной трёхзначного числа отнять 7, то оно разделится на 7, а если отнять от него 8, то оно разделится на 8, если отнять от него 9, то оно разделится на 9.  Какое число я задумал?

Решение: Очевидно, что задуманное число кратно 7, 8 и 9.

Значит, оно равно 7×8×9 = 504.

Других множителей у него нет, так как при наличии самого меньшего из них, то есть ещё одной двойки, искомое число стало бы уже четырёхзначным.

Задача 5.  Из пяти различных фигур тетрамино требуется сложить прямоугольник 4х5. Можно ли осуществить требуемое?
Если да, то покажите как; если нет, то объясните, почему.

Решение: Если закрасить квадратики в шахматном порядке, получится, что в прямоугольнике количество закрашенных квадратиков равно количеству не закрашенных. А в тетрамино равенство закрашенных и не закрашенных соблюдается во всех, кроме Т-образного тетрамино. Т.о. Кол-во закрашенных и не закрашенных квадратиков не совпадает!)

Задача 6. Земной шар стянули обручем по экватору. Затем увеличили обруч на 1 м. Пролезет ли кошка в образовавшийся зазор? 

Радиус земного шара по экватору 6378,8 км.

Совет 1. Если в задаче есть громоздкие числовые
данные, то попробуйте заменить их буквами

Совет 2. Не бойтесь вводить лишние буквы!

Решение:  Пусть r — радиус земного шара (в см). Тогда длина обруча равна 2П r. Новая длина обруча равна 2П r+100. Пусть R – новый радиус обруча. Тогда новая длина обруча равна 2ПR.

2ПR= 2Пr +100

2ПR-2Пr=100

2П(R-r)=100

R-r=100/(2П) это приближенно равно 15,9… Значит кошка пролезет.