Зачетная работа на курсах повышения квалификации
методическая разработка (8 класс)

ГБОУ ДПО РО РИПК и ППРО

Кафедра математики и естественных дисциплин

Выпускная работа

на курсах повышения квалификации

учителей математики.

Проблема «Конструирование процесса обучения математике, ориентированного на ребенка, в логике ФГОС»

Технология разработки в логике ФГОС

рабочей программы 

по теме «Квадратные корни»

Научный руководитель, автор идеи и технологии:

Зевина Любовь Васильевна – заведующий кафедрой

математики и естественных дисциплин ГБОУ ДПО РО РИПК и ППРО,

 кандидат педагогических наук, доцент,

 Master of education, ведущий консультант по вопросам

развития региональных систем образования

(подробно http://roipkpro.ru/fcpro-kons/1843-voproskons.html)

                   Учитель математики:

    Краснова Ирина Владимировна –    учитель математики МБОУ  СОШ №5

г.Зверево Ростовской области

                                                                                                                 (высшая категория, стаж 33 года)

Январь-март

2016 год

1 этап.

Оценочно-ценностная рефлексия нормативно - методической документации в логике ФГОС: основные результаты и выводы

1.1  Требования к математической подготовке обучающегося в 8 классе и выпускника основной школы

• Требования к математической подготовке обучающегося в 8 классе

1. Вербальная форма описания требований к математической подготовке

Уровень обязательной подготовки (УОП) обучающегося (использованы в качестве методического ориентира материалы «Требования к математической подготовке», Примерная программа, Москва, Просвещение, 1994г.):

• правильно употреблять термин «квадратный корень»; понимать его в тексте, в речи учителя; понимать формулировку задания: вычислить значение квадратного корня,

упростить выражение, содержащее квадратные корни, решать уравнения, содержащие квадратные корни, сравнивать квадратные корни;

• уметь строить график функции корня  и применять свойства функции при решении задач;

• понимать содержательный смысл важнейших свойств функций; уметь по графику функции отвечать на вопросы, касающиеся ее свойств: указывать промежутки возрастания и убывания, знакопостоянства;

• правильно употреблять функциональную терминологию (значение корня, арифметического квадратного корня ) и символику; понимать ее при чтении текста, в речи учителя, в формулировке задач.

Уровень возможностей (УВ) обучающегося (Сборник заданий для проведения письмен. экзамена по алгебре за курс основной школы, Кузнецова Л.В., Дрофа, 2009 г., стр. 107-108,, степень сложности 2):

• овладеть понятием «квадратный корень, область определения корня»;
• освоить основные приемы решения задач, связанных с квадратными корнями;
• использовать для описания математических ситуаций графический и аналитический языки; применять геометрические представления для решения и исследования свойств функции квадратного корня;
• овладеть системой функциональных понятий (сохранение знака); пользоваться ими в ходе исследования свойств функции  корня квадратного;
• понимать, как интерпретируется графически основные свойства функции корня квадратного; уметь иллюстрировать эти свойства схематически с помощью графика.

Требования к математической подготовке

выпускника основной школы

1.Вербальная форма описания требований к уровню обязательной подготовки выпускника

• Знать/понимать: как используются квадратные корни; примеры их применения для решения математических и практических задач;
• Уметь: решать задачи, связанные с квадратными корнями.

В вербальной форме требований на уровне возможностей выпускников нет ни в одном нормативе.

2.Описание требований к подготовке выпускника на языке « математических задач»

Уровень обязательной подготовки выпускника (Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс, Дрофа, 2006)используемый в ходе  аттестации выпускников основной школы за курс алгебры в традиционном формате:

• Найти значение выражения:  при х =  -  
• Какие из чисел: , , являются иррациональными?
• Решить уравнение, сводящееся к квадратному: Х+  -20 =0

• Аналогичные задания – в методических  ориентирах:

• «Оценка качества». Дрофа, 2000, на стр..
• «Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе», Кузнецова Л.В., Просвещение, 2009 (используется в ходе эксперимента по проведению итоговой аттестации в новом формате), стр.107  № 1.17, стр.108, № 1.19, стр.114 № 2.21).

Уровень возможностей выпускника (Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс, Дрофа, 2007-2009 г.г.):

Задачи, связанные с неравенствами:

• Сравните значение выражения: + и  +
• Сократить  дробь:     

• Указать при каких значениях х и у выражение принимает наименьшее значение: + .

Аналогичные задания – в методическом ориентире:

• «Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе», Кузнецова Л.В., Просвещение, 2009,

Стр.123 № 4.7 ; 4.33, стр.126, № 4.40;стр.127,№ 4.43.

Вывод 1. В результате рефлексивной деятельности в требованиях  к уровню обязательной математической подготовки обучающегося и выпускника нами установлено  противоречие, которое необходимо устранить.

В требованиях к уровню обязательной подготовки выпускника указано, что выпускник должен решать задачи на вычисление выражений содержащих квадратные корни, уметь выбирать рациональные и иррациональные выражения, располагать числа в указанном порядке («Оценка качества подготовки выпускников основной школы», Дорофеев Г.В., Дрофа, 2000, стр. 14, «Сборник нормативных документов, Э. Д. Днепров, Дрофа, 2009, стр.16). А в требованиях к математической подготовке обучающихся отмечено, что освоение основных приемов решения задач, связанных с корнями квадратными (нахождение области определения сложной функции, нахождение,  экстремальных значений выражений с корнями, решение неравенств ,содержащих корни   – это уровень возможностей обучающегося; а  на уровне обязательной подготовки обучающегося записано требование – понимать графическую интерпретацию корня которое, конечно же, отсутствует в требованиях к подготовке выпускника. Авторы УМК (в том числе А.Г.Мордкович) указывают в примерных программах по алгебре, что  основной прием решения задач с корнями вадратными – решение задач с помощью эскиза графика функции квадратного корня, в основе которого лежит понимание графической интерпретации.

Вывод 2. Из вышесказанного следует необходимость отсроченности результатов во времени и поэтапности в предъявлении обязательных требований к подготовке каждого обучающегося, чтобы он смог к окончанию 9–ого класса  осознанно овладеть прочной базовой математической подготовкой. Контрольные работы по данной теме  в дидактических материалах по алгебре не учитывают этот факт. Вот почему в школьной практике  современному учителю, заботящемуся о хорошем конечном результате, необходимо разработать соответствующую систему контроля математической подготовки школьников на основании оценочно-ценностной рефлексии нормативно – методической документации в логике ФГОС. Представим обоснование этому факту.

2.1 Экспертная оценка авторской контрольной работы по теме «Квадратные  корни»   (Дидактические материалы, М.А.Попов, контрольные и самостоятельные работы к учебнику А.Г.Мордковича, Алгебра,8 класс,М.Мнемозина,2011)

Краткое обозначение источников информации:

1. Требования к математической подготовке учащихся, 1994 – «Т»
2. Сборник заданий для проведения письмен. экзамена по алгебре за курс основной школы, Кузнецова Л.В., Дрофа, 2009г. – «С».

Рецензия на авторскую контрольную работу по теме «Неравенства»

 (Дидактические материалы ,М.А.Попов, контрольные и самостоятельные работы по алгебре к учебнику А.Г.Мордковича,М.Мнемозина,2011)

Данная контрольная работа содержит 5 заданий, в том числе:

- 1 задание , 20 %     - УОП

- 3 задания ,60 % - УВ

- 1 задание,  20% для одаренных детей.

Структура и содержание работы не отвечают цели построения системы дифференцированного обучения в современной школе: формированию у всех учащихся базовой математической подготовки.

Контрольная работа  содержит материал всего 1 задание, соответствующий базовому уровню математической подготовки обучающегося,  включает материал на этом уровне в соответствии с требованиями к подготовке выпускника, нарушая педагогический принцип отсроченности результата во времени и поэтапность в предъявлении требований к подготовке обучающегося в данном классе и выпускника основной школы.

Вместе с тем, основным требованием при составлении контрольной работы является обеспечение полноты проверки на уровне обязательной подготовки обучающегося, поскольку именно осознанное достижение этого уровня обеспечивает школьнику успешное продвижение в освоении материала на более высоком уровне. Данная контрольная работа не является нормативно-обоснованной и не позволяет сделать выводы о выполнении государственных требований (достижения учащимися уровня обязательной подготовки). В этой работе система оценивания не опирается на способ «сложения»  и не обеспечивает динамику образовательных достижений каждого обучающегося в логике ФГОС.

       Вывод. Отсюда вытекает необходимость в составлении учителем нормативно-обоснованной контрольной работы в логике ФГОС, учитывающей вышеназванный принцип и поэтапность требований к математической подготовке школьника.

На основании анализа всего вышеперечисленного можно сформулировать цель данной темы и спроектировать ее реализацию в образовательном процессе  в логике ФГОС следующим образом.

2 этап.

Постановка цели и проектирование процесса ее реализации

Пояснительная записка

Рабочая программа по теме «Квадратные корниа» к учебнику «Алгебра». Учебник для общеобразовательных учреждений 8 класс. Авторы: А.Г.Мордкович,

Нормативно-методические документы, обеспечивающие реализацию программы

1. Закон РФ «Об образовании». Вестник образования, 2004 г., № 12
2. Обязательный минимум содержания основного общего образования по математике, 2004 г.
3. Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика. Дрофа, Москва, 2004 г.
4. Федеральный компонент государственного стандарта общего образования по математике. Вестник образования, 2004г., №12

Тема «Квадратные корни» изучается  24   часа.

Раздел математики. Сквозная линия.

• Числа. Вычисления.
• Функции.
• Уравнения и неравенства.
• Основное содержание темы: Квадратные корни. Вычисление корней. Иррациональные и действительные числа. Свойства числовых неравенств. Функция квадратного корня. Свойства квадратных корней. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Алгоритм извлечения квадратных корней. Модуль действительного числа. Тождество                 .

Цель в ФГОС: организация в процессе изучения данной темы продуктивной деятельности обучающихся, направленной на достижение ими следующих результатов:

• Личностные

приобрести или реализовать:.

1. Ответственность, инициативность, находчивость, активность при решении математических задач.
2. Трудолюбие, усидчивость, заинтересованность.
3. Любознательность, стремление к самостоятельности в поисках дополнительных источников информации.
4. Критичность мышления.

• Метапредметные:

Познавательные

1. Излагать информацию, интерпретируя факты, разъясняя значение и смысл теории.
2. Применять знания в стандартной ситуации (самостоятельное выполнение заданий).
3. Осуществлять перенос знаний в изменённую ситуацию, видеть задачу в контексте проблемной ситуации.
4. Находить в различных источниках информацию, необходимую для решения практической задачи, представлять её в понятной форме.
5. Устанавливать взаимосвязь полученных знаний с окружающей действительностью.
6. Моделировать практическую ситуацию, исследовать построенные модели с использованием имеющейся системы знаний.

Коммуникативные

1. Уметь точно, грамотно излагать свои мысли, выстраивать аргументацию.
2. Использовать примеры для иллюстрации и контрпримеры для опровержения утверждений.
3. Участвовать в диалоге, признавать право на иное мнение.
4. Владеть умениями совместной деятельности.

Регулятивные:

1. Уметь самостоятельно обнаруживать и формулировать учебную проблему, определять цель учебной деятельности.
2. Фиксировать затруднения и устанавливать их причины, а затем устранять их.
3. Овладеть навыками самоконтроля и оценки собственной деятельности.

• предметные:

1. Знать и правильно употреблять термины «квадратный корень», «арифметический квадратный корень», «иррациональное число»; понимать их в тексте, в речи учителя; понимать формулировку задания: найти значение корня, найти область определения корня (УОП);
2. Различать линейные и квадратные уравнения, содержащие корни (УОП);
3. Понимать графическую интерпретацию решения задач, связанных с корнями: (УОП);
4. Определять, является ли заданное число иррациональным или рациональным(УОП);
5. Уметь решать задачи  с помощью эскиза графика функции  квадратного корня   (УВ);
6. Уметь решать квадратные и линейные неравенства и уравнения, содержащие квадратные корни (УВ);
7. Уметь решать модульные неравенства и уравнения (УВ);
8. Уметь использовать для описания математических ситуаций графический и аналитический языки (УВ);
9. Расширить систему имеющихся знаний по исследованию функции квадратного корня и функции модуля (УВ и УВ*).

Краткое обозначение источников информации:

1. Требования к математической подготовке учащихся, 1994 – «Т»
2. Сборник заданий для проведения письмен. экзамена по алгебре за курс основной школы, Кузнецова Л.В., Дрофа, 2009г. – «С»
3. Программа для общеобразовательных  школ, гимназий, 2004г., «Дрофа» - «П»

Тематическое планирование в логике ФГОС

 ( Глава 6.  Квадратные корни ).

Обозначения:

   (зеленый треугольник) – учебный материал, обязательный для усвоения каждым школьником (инвариант содержания; УОП);

   (желтый квадрат) – учебный материал, который могут усвоить обучающиеся (инвариант содержания; УВ);

     (красный круг) – учебный материал, который могут усвоить одаренные в математике школьники (вариатив содержания или дополнительный материал, УВ*).

     (желтый квадрат с зеленым треугольником внутри) – учебный материал, усвоение которого    является УОП для выпускника основной школы, но является УВ для восьмиклассника (педагогический принцип отсроченности  результатов во времени).

Нормативно – обоснованная контрольная работа

в логике ФГОС

• Пояснения  к контрольной работе по алгебре  для 8 класса

по теме «Квадратные корни».

Структура контрольной работы.

                Работа состоит из трёх частей и содержит 30 заданий.

  Часть I содержит 10 заданий базового уровня: 6 заданий с выбором верного ответа и 4 задания  с кратким ответом.

        Часть II содержит 7 заданий с развернутым ответом, соответствующих уровню возможностей  и  доступных учащимся,  хорошо успевающим по математике.

        Часть III содержит 13 заданий с развернутым ответом, в том числе 7 задач, соответствующих уровню возможностей, но доступных учащимся  с высоким уровнем математической подготовки, любящим занятия математикой (задачи повышенной сложности и олимпиадные), и 6 занимательных задач, для решения которых не требуется специальных математических знаний,  а лишь смекалка. 

Порядок проведения работы

        На выполнение данной  работы даётся 90 минут.  

        Проводится работа в два этапа. При этом реализуется основной принцип  итоговой аттестации в основной школе: успешное выполнение заданий второй части работы не компенсирует отсутствие результата выполнения заданий первой части. Оценивание осуществляется способом «сложения».

        На первом этапе в первый день в течение 30 мин учащиеся выполняют только первую часть работы (один вариант  для всех) и сдают тетради, выписав ответы в рабочую тетрадь. В оставшиеся 15 минут урока (урок длится 45минут) после сдачи учащимися контрольных работ проводится проверка ответов и устанавливается, кто из школьников не преодолел «порог» (50% верно выполненных заданий первой части), позволяющий получить положительную отметку. Проводится анализ возможных причин затруднений школьников и допущенных ошибок.

        На втором этапе во второй день в течение 45 минут (оставшиеся 5 минут после сдачи тетрадей идет проверка ответов) минут учащиеся, не прошедшие «порог» в первый день, вновь пытаются это сделать, решая задания первой части (другой вариант). Остальные учащиеся выполняют задания второй и третьей части работы (один вариант). При этом некоторые из них могут попытаться улучшить результат выполнения заданий первой части (другой вариант).

Оценивание

        Правильное решение каждого из заданий 1-10 части I контрольной работы оценивается 1 баллом. Полное правильное решение каждого из заданий  II части  оценивается следующим образом:  11, 12 – по 2 балла; 13 - 17 – 3балла;  III часть: 18-30 - по 4 балла.

Максимальное количество баллов 81.

        Для получения положительной отметки необходимо преодолеть «порог», то есть выполнить верно не менее пяти заданий первой части контрольной работы. Это отвечает минимальному уровню подготовки, подтверждающему освоение учеником 8 класса содержания основной общеобразовательной программы по данной теме.

         К каждому заданию с развёрнутым ответом, включённому в контрольную работу, учащимся может быть предложено несколько способов  решения, за каждый из которых даётся бонус – дополнительный балл.

           Предполагается, что такой подход даёт возможность

учащемуся

- проконтролировать себя, подтвердив правильный ответ, решая задачу другим способом, или обнаружить ошибку в решении при несовпадении ответов (опыт рефлексивной деятельности - метапредметный результат);

- проявить оригинальность мышления и математические способности (личностный результат);

проверяющим

выявить учащихся, обладающих способностями мыслить творчески, оригинально, критично; а также математически одаренных детей.

Нормы оценивания

        Для оценивания результатов выполнения работы применяются два количественных показателя: отметки «2», «3», «4», или «5» и рейтинг – сумма  баллов за верно выполненные задания. За задание, выполненное несколькими способами, начисляются бонусы (дополнительные баллы) – по одному баллу за каждый способ решения. За каждое верно выполненное задание базового уровня (части I) начисляется 1 балл.  

Отметка «3» выставляется за верное выполнение 50 – 80% заданий базового уровня (5 – 8 заданий) – 5 – 8  баллов. Тем самым задается динамика достижений обучающихся на базовом уровне.

Отметка «4» выставляется, если набрано от 9 до 15 баллов. Тем самым задается динамика достижений обучающихся на повышенном уровне.

Для получения отметки «5» необходимо верно выполнить 90%-100% заданий части I* и любые 2 задания (одно из которых трехбалльное) части II. Кроме того, за каждые дополнительные 4-5 баллов (каждые две дополнительно решенные задачи из части II или одну задачу из части III) ученик получает дополнительно отметку «5» (это личностный результат). Тем самым задается динамика достижений обучающихся на высоком уровне, поощряется стремление к оригинальности решения математических задач, то есть к достижению личностного результата.

*Замечание для учителя:

Шкала оценивания учитывает, что ученик должен иметь право на ошибку в процессе учения, как любой человек в стрессовой ситуации, которой, как показывает практика, традиционно является урок контроля.

• Инструкция по выполнению работы для обучающегося**

        Работа состоит из трёх частей и содержит 30 заданий.

         Часть I содержит 10 заданий базового уровня: 6 заданий с выбором верного ответа и 4 задания с кратким ответом. Задания части I считаются выполненными, если  указана буква верного ответа (в заданиях 1,2,4,5,6,9); дан верный ответ (в заданиях 3,7,8,10) в виде числа или величины, или верно выполнена штриховка; при этом ответ верно обоснован***  любым способом (приведена цепочка логических умозаключений; даны контр-примеры, представлено кратко или полностью письменное решение и др.).

        Часть II содержит 7 заданий с развернутым ответом, соответствующих уровню возможностей и доступных учащимся, хорошо успевающим по математике. При их выполнении надо записать полное решение и ответ.

        Часть III содержит 13 заданий с развернутым ответом, в том числе 7 задач, соответствующих уровню возможностей, но доступных учащимся  с высоким уровнем математической подготовки, любящим занятия математикой (задачи повышенной сложности и олимпиадные), и 6 занимательных задач, для решения которых не требуется специальных математических знаний,  а лишь смекалка.        

            На выполнение контрольной работы даётся 65 минут.  

        Проводится работа в два этапа. При этом реализуется основной принцип  итоговой аттестации в основной школе: успешное выполнение заданий второй части работы не компенсирует отсутствие результата выполнения заданий первой части.

          Оценивание осуществляется способом «сложения». Для получения положительной отметки необходимо преодолеть «порог», то есть выполнить верно не менее пяти заданий первой части контрольной работы.

        На первом этапе в первый день в течение 30 мин учащиеся выполняют только первую часть работы. В оставшиеся 10 минут урока после сдачи учащимися контрольных работ проводится проверка ответов и устанавливается, кто из школьников не преодолел «порог», позволяющий получить положительную отметку. Проводится анализ возможных причин затруднений школьников и допущенных ошибок.

        На втором этапе во второй день в течение 35 минут учащиеся, не прошедшие «порог» в первый день, вновь пытаются это сделать, решая задания первой части (другой вариант). Остальные учащиеся выполняют задания второй и третьей части работы. При этом некоторые могут попытаться улучшить результат выполнения заданий первой части.

        Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению пропущенных заданий можно вернуться, если у вас останется время.

Желаем успеха!

* *Замечание для учителя

 С данной инструкцией необходимо ознакомить школьников до проведения контрольной работы. Инструкция и текст работы выдаются каждому школьнику.

***Замечание для учителя 

Полугодовые и годовые работы по объему контролируемого содержания намного превосходят текущие контрольные работы, поэтому в них не требуется обоснование ответа в заданиях первой части. В текущих же – это важный элемент контроля, поскольку на этом этапе учения важен не столько верный ответ, сколько путь к нему.

• Контрольная работа  по алгебре  для 8 класса

по теме «Квадратные корни»  

          Часть 1        

Во всех заданиях первой части постарайтесь дать письменное обоснование.

В заданиях  1, 2, 3, 5, 7, и 9 выберите верный ответ из числа предложенных.

1.  Укажите, какие из следующих  числовых равенств  являются верными:  

А.    = -5    ;   Б +;    В    = -4.   ;    Г   =256

2. Найдите значение выражения:     при х = -

А.  ;     Б. ;    В.1   ; Г.при х=-

 3.Число 0,(13) является

А.натуральным;   Б.целым;  В.рациональным;   Г.действительным?

4.Найти значение выражения: -25.

5.Единственным корнем  какого  уравнения  является число :

А.х-6=0 ;  Б. х  -=0;    В.+3 =0;     Г.  -3=0

6.Вычислите:.

7.  График какой функции изображен на рисунке:

А.у=2х+2 ;   Б у= ;      В.  у=   ,    Г. у= .

 8.Найдите а, при котором  х=3 является корнем уравнения  а=2.

9. Какое из неравенств не имеет решений?

А.    х² - 1 > 0;         Б.   -3 > 0;       В.    + 1 < 0;       Г.   х² -4 < 0.

10. Указать наибольшее значение у = ,если   1≤ х≤ 10.                                                          

           Часть 2*

11. [2 балла].   Решите неравенство: -3≤ 0.

Ответ:      ____________

12.  [2 балла].   Решить неравенство:   ≤1   Ответ:      ____________

13. [3 балла].  Решите уравнение:   х+ -12=0.

14. [3 балла].  Имеет ли корни уравнение: ++14= - 4х?

Ответ:      ____________

15.  [3 балла].  Решить неравенство:   3(6-3х)>10(6-3х).

Ответ:      ____________

16. [3 балла].  При каких значениях х  имеет смысл выражение:  .

Ответ:      ____________

17. [3 балла].  Какое число больше:3+или +?

 Ответ:      ____________        

  Часть 3

3.1 Задачи, повышенной сложности, и олимпиадные задачи (для детей, склонных к занятиям математикой)

18. [4балл]. Сократить дробь   .

19. [4 балла].  Найдите наименьшее значение выражения и укажите пары значений х и у, при которых оно достигается:  +.

20. [4 балла]. Сравните числа:   -и  - .

21. [4 балла]. Найдите целые значения   х, при которых выражение    не имеет смысла.

22. [4 балла]. Найдите все значения a, при которых решением неравенства  

является любое число.

23. [4 балла]. На какую цифру оканчивается число

24. [4 балла]. Число 2005 представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел 

3.2 Занимательные задачи на смекалку, не требующие специальных математических знаний (для каждого учащегося)

25.(4 балла). Что больше: квадратный корень из двух или кубический корень из трех?

26.(4 балла) Математик написал на листке двузначное число. Когда он перевернул листок вверх ногами, число уменьшилось на 75. Какое число было написано?

27. (4 балла) Кусок бумаги имеет форму прямоугольника, одна сторона которого равна 4, другая — 9 единицам длины. Как разрезать этот прямоугольник на две равные части таким образом, чтобы, сложив их, получить квадрат?

28.(4 балла) Прямоугольный лист бумаги сложили пополам шесть раз. На сложенном листе сделали 2 дырки. Сколько дырок будет на листе, если его развернуть? (Дырки сделаны не на сгибах.)

29(4 балла). В бассейн площадью 1 га налили 1 000 000 литров воды. Можно ли плавать в таком бассейне?

 30.( 4 балла). На какие три числа (не считая единицу) делятся без остатка следующие числа: 1110, 999, 888, 777 666, 555, 444, 333, 222, 111?