Презентация Некоторые следствия из аксиом стереометрии
презентация к уроку (10 класс)

Слайд 1

Некоторые следствия из аксиом стереометрии Понарьина Евгения Валентиновна МБОУ СОШ №43 2016 год г.Воронеж

Слайд 2

Аксиомы стереометрии Аксиома 1 (А1) Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Аксиома 2 (А2) Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Аксиома 3 (А3). Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Слайд 3

Решим задачу Дано: ABCD – плоский четырехугольник, M  ABC Требуется: Найти прямую пересечения плоскостей МАВ и МВС.

Слайд 4

Теорема 1 Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Дано: Прямая a , M  a . Доказать: 1) Существует плоскость α , a ϵ α , M ϵ α . 2) Плоскость α единственна

Слайд 5

Доказательство первого пункта: Докажем, что существует плоскость α , a ϵ α , M ϵ α . На прямой a выберем любые две точки Р и Q : P,Q ϵ a . Тогда имеем 3 точки – Р, Q, M , которые не лежат на одной прямой. По аксиоме А1, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, т.е. Плоскость α , которая содержит и прямую a , и точку М , существует.

Слайд 6

Доказательство второго пункта: Следует доказать единственность такой плоскости. Предположим, что существует иная плоскость α ’ , которая проходит и через точку М , и через прямую a . Например, это будет плоскость, проходящая через точки , P’, Q’ прямой a , и точку M . Но тогда эта плоскость α ’ проходит и через прямую a , и через точку М , а значит, и через точки Р, Q, M . А через три точки Р, Q, M , не лежащие на одной прямой, в силу 1 аксиомы, проходит только одна плоскость. Значит, эта плоскость α ’ совпадает с плоскостью α . Значит, единственность доказана. Вся теорема доказана.

Слайд 7

Теорема 2 Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Дано: a∩b =M Доказать: 1) Существует плоскость α , a ϵα , b ϵα . 2) Такая плоскость α единственна.

Слайд 8

Доказательство: На прямой b возьмем точку N , которая не совпадает с точкой М , то есть N ϵ b, N M . Тогда имеем точку N , которая не принадлежит прямой a . По предыдущей теореме, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость. Назовем ее плоскостью α . Значит, такая плоскость, которая проходит через прямую a и точку N , существует. Но эта плоскость также проходит и через всю прямую b , так как две точки М и N прямой b лежат в этой плоскости ( аксиома A2) . То есть и прямая a и прямая b принадлежат плоскости α . Значит, существует такая плоскость, которая проходит через две пересекающиеся прямые, что и требовалось доказать в первом пункте.

Слайд 9

Докажем единственность этой плоскости. Предположим противное. Пусть существует иная плоскость α ’ , такая, которая проходит и через прямую a , и через прямую b . Но тогда она также проходит и через прямую a , и точку N . Но по предыдущей теореме эта плоскость единственна, т.е. плоскость α ’ совпадает с плоскостью α . Значит, мы доказали существование единственной плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.

Слайд 10

Решение задач Дано: – куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Какой плоскости принадлежат отрезок АВ и точка D 1 ? Найдите прямую пересечения плоскостей D 1 B 1 B и B 1 A 1 D 1 . Какие плоскости пересекаются в точке А?