Методическая разработка занятия "Решение логарифмических уравнений
методическая разработка по математике

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ГОРОДА МОСКВЫ

Государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение города Москвы

«Медицинский колледж №6»

Методическая разработка занятия для преподавателя

по дисциплине ОУП. 07 «Математика»

на тему: «Решение логарифмических уравнений»

Курс:  2

Специальность:  34.02.01 Сестринское дело

Москва 2024

Автор-составитель: Курмакаева Р.И. - преподаватель высшей квалификационной категории ГБПОУ «МК № 6»  

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка ------------------------------------------------------------------- 3 стр.

1. Методический блок

Цели ----------------------------------------------------------------------------------------   4  стр.

Компетенции-----------------------------------------------------------------------------     5 стр.

Технологическая карта-----------------------------------------------------------------     7 стр.

2. Информационный блок

Глоссарий--------------------------------------------------------------------------------    10 стр.

Опорный конспект ---------------------------------------------------------------------   12 стр.

3. Блок контроля

Вопросы и задания для контроля---------------------------------------------------    21 стр.

Эталоны ответов -----------------------------------------------------------------------    23 стр.

Приложения -------------------------------------------------------------------------------25 стр.

Пояснительная записка

Методическая разработка урока «Решение логарифмических уравнений» учебной дисциплины «Математика» предназначена для реализации рабочей программы по дисциплине и ориентирована на преподавателей и обучающихся СПО.

      Данное занятие проводится в соответствии с тематическим планом и относится к разделу «Алгебра и начала математического анализа». Тема «Логарифмические уравнения» - следующий этап в изучении логарифмов. Планируется продолжить знакомство обучающихся с основными типами логарифмических уравнений и способами их решений.

            Методами обучения, применяемые на данном занятии (словесные, наглядные, практические, информационные, игровые) способствует развитию логического мышления обучающихся, памяти, способности анализировать, выделять главное из общего, доказывать и опровергать, умение слушать и конспектировать, то есть создать условие развития общих и профессиональных компетенций

           На основе полученных знаний и нового материала, обучающиеся должны выполнить самостоятельную работу, что позволит им оценить усвоение данного материала и получить дополнительную оценку.

          Занятие включает в себя следующие этапы: организационный момент, проверка знаний путем выполнения устных и письменных заданий,  изучение нового материала и проверка усвоения нового материала, решая примеры и самостоятельную работу, объяснение домашнего задания, подведение итога занятия, рефлексия.

Целью занятия является продолжение изучения основных методов решения логарифмических уравнений, формирование профессионально-значимых качеств личности, совершенствование умений обучающихся выбирать нужный метод при решении логарифмических уравнений, а также предупреждение появления типичных ошибок.

Целесообразность использования на данном занятии наглядной презентации изучаемого учебного материала продиктована следующими факторами:

• улучшением наглядности изучаемого материала;
• увеличением количества предлагаемой информации;
• автоматизацией процесса контроля;
• уменьшением времени подачи материала;
• повышением эффективности усвоения учебного материала за счет групповой  самостоятельной деятельности обучающихся.

Тема занятия:   Решение логарифмических уравнений

Цели занятия:

Обучающая:

• закрепить основные знания по теме «Методы решения логарифмических уравнений»;
• отработать навыки решения логарифмических уравнений различными способами;
•  научить  решать логарифмические уравнения  на основе  определения логарифма и потенцирования, применения свойств логарифмов и введения новой переменной.

Развивающая:

• способствовать развитию познавательной активности, логического мышления;
• развивать навыки самостоятельной работы, работы в группах;
• развивать навыки самоконтроля и взаимоконтроля.

Воспитательная:

• способствовать воспитанию активности, ответственного отношения к работе, самостоятельности, коллективизма;
• содействовать воспитанию умения общаться, общей культуры.

Задачи занятия:

• закрепить знания  о типах логарифмических  уравнений;
• получить и систематизировать знания о методах решения логарифмических уравнений;
• продолжать отрабатывать навыки работы в группах;
• выявить пробелы, затруднения в процессе закрепления изученного материала, провести работу по их устранению.

Тип занятия: комбинированное.

Методы: информационный, наглядный, практический, игровой.

Формы организации деятельности обучающихся: индивидуальная, групповая

Место проведения занятия: кабинет математики

Материально – техническое и дидактическое оснащение урока:

Мультимедиа проектор, презентация к уроку, план – конспект урока, учебники, задания на закрепление изученного материала, рабочие тетради

Литература:

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. Для общеобразоват.орг: базовый и углубл. уровни/[Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др.]. – 3-е изд. – М.: Просвещение.

Изучив тему, обучающиеся должны:

Знать:

• определение логарифмического уравнения;
• методы решения логарифмических уравнений;
• классификацию типов логарифмических уравнений по методу решения.

Уметь:

• решать логарифмические уравнения различными способами;
• применять полученные знания для решения практических задач;
• организовать свою работу внутри группы;
• анализировать полученную информацию;
• уметь проводить взаимоконтроль и самоконтроль учебной деятельности.

Компетенции и их оценка:

Междисциплинарные связи

Внутридисциплинарные связи

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА

Глоссарий

Этимология   слова  «Логарифм»

Этот   математический   термин   был   заимствован   из   французского,   где   logarithme   восходит   к   научной   латыни:   слово   logarithmus.

Латинский   термин   был   было   образован   искусственно   в   1614   году   шотландским   ученым   Джоном   Непером   (1550   -  1617)      из   греческого   λόγος   (legos)   -   «расчет,   отношение,   соответствие»   и    ἀριθμός   (arithmos)   -    «количество,   число».

В   XVIII   в.   в   связи   с   развитием   точных   наук   произошло   заимствование   данного   термина   в   русском   языке.

Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0, a ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b.

Определение логарифма можно кратко записать так: 

Это равенство справедливо при b > 0, a > 0, a ≠ 1. Его обычно называют логарифмическим тождеством.
Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.

Свойства логарифмов:

Логарифм произведения:

Логарифм частного от деления:

Замена основания логарифма:

Логарифм степени:

Логарифм корня:

Логарифм со степенным основанием:

Десятичные и натуральные логарифмы.

Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут   lg b
Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e - иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом пишут ln b.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное находится под знаком логарифма или в основании логарифма.

Алгоритм решения уравнений:

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной.
2. Решить уравнения, выбрав метод решения.
3. Проверить найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение или выяснить, удовлетворяют ли они условиям ОДЗ.

Записать ответ, исключив посторонние корни

Методы решения логарифмических уравнений

1. Решение уравнений на основании определения логарифма. 

loga х = с (а > 0, а≠ 1) имеет решение  х = ас.

2. Метод потенцирования.

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е.

 loga f(х) = loga g(х), то f(х) = g(х), при условии, что f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.

3. Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества
4. Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма.
5. Уравнения, решаемые введением новой переменной

Информационный блок

Конспект занятия

1. Организационный момент

(Обучающиеся делятся на 3 группы по 15 человек)

Добрый день, присаживайтесь!

Давайте отметим отсутствующих.

Вы, наверное, уже заметили, что сегодня у нас необычное занятие. Во-первых, на занятии присутствуют гости, во-вторых наша работа будет строиться на групповом методе, в-третьих, в аудитории звучит музыка. Почему именно сегодня мы слышим её на занятии математики?

Известный физик А. Эйхенвальд заметил, что «играя по клавишам современного рояля, мы играем по логарифмам». Дело в том, что ступени 12-ти звуковой гаммы частот звуковых колебаний и есть логарифмы. (Звучит музыка И.С.Бах. Прелюдия и фуга до-минор) (Слайд №2)

    Надеюсь, что это занятие пройдет интересно, с большой пользой для всех. Мы изучаем раздел Алгебры и начал анализа: «Корни, степени, логарифмы». С историей появления и развития понятия «Степень» Нас познакомит ….

На предыдущих занятиях мы с вами выучили определение логарифма, основные свойства логарифма, дали понятие логарифмического уравнения и рассмотрели два метода их решения.

Изученные определение логарифма, свойства логарифмов и логарифмической функции позволят нам решать логарифмические уравнения. Все логарифмические уравнения, какой бы сложности они не были, решаются по единым алгоритмам.

Правильно выбранный метод позволяет упростить решение уравнения, быстрее решить его. Поэтому, важным этапом решения уравнения является выбор метода его решения. Запишите в тетради тему урока: «Решение логарифмических уравнений» (Слайды№№ 3,4).

Сегодня нашей основной целью будет систематизировать и обобщить знания по теме «Логарифмические уравнения», отработать навыки решения уравнений различными способами.

II. Актуализация знаний обучающихся

1.Какие знания будут нам необходимы для решения логарифмических уравнений? (Слайд №5)

Чтобы решать логарифмические уравнения нужно знать:

- определение логарифма

- формулы и свойства логарифмов

- методы решения логарифмических уравнений

Сформулируйте определение логарифма

На доске плакат:

1 задание для групп. В папках найдите 1 задание. Решив примеры, вы составите слово. На листе с примерами и решением пишете название команды и слово. Листы сдаете моим помощникам. Они за правильность и за скорость поставят баллы. (Слайды № № 6, 7)                                     (Приложение 2)

Вычислить:

log 2 16;            log 2 64;                log 2 2;        

log 2 1 ;             log 2 (1/2);            log 2 (1/8);

log 3 27;            log 3 81;                log 3 3;

log 3 1;              log 3 (1/9);            log 3 (1/3);

log1/2 1/32;        log1/2 4;                 log0,5 0,125;

log0/5 (1/2);        log0,5 1;                 log1/2 2.

КОРНИ, СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ связаны между собой. С сообщением по истории развития «Корни» выступит …

2 задание для групп.  Какие формулы и свойства логарифма мы используем при решении логарифмических уравнений? Найдите в папке 2 задание, заполните пропуски и сдайте листы (Слайды №№ 8,9)

3 задание для групп. 2 часть. Используя свойства и определение логарифма, вычислите устно (Слайд10)

а)  ,         б)    ,    в) ,
г)  ,         д)  ,        е)  ,

Вы видите равенства содержащие переменную (Слайды №№ 11,12, 13):

1. log2x=3
2. log55 -1 =2+x2 
3. log5(x+4)=2
4. log55=2+x

Как называют эти равенства?

-Эти равенства содержащие переменную называют уравнениями

- 1,3 логарифмические

Кто может сформулировать определение логарифмического уравнения?

Какой алгоритм решения логарифмических уравнений?

Алгоритм решения уравнений:

4. Найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной.
5. Решить уравнения, выбрав метод решения.
6. Проверить найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение или выяснить, удовлетворяют ли они условиям ОДЗ.

Записать ответ, исключив посторонние корни

Какие методы решения логарифмических уравнений мы рассмотрели на прошлом занятии?

-Решение уравнений на основании определения логарифма. (Слайды№№14, 15)

loga х = с (а > 0, а≠ 1) имеет решение  х = ас.

На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:

• по данным основаниям и числу определяется логарифм,
• по данному логарифму и основанию определяется  число,
• по данному числу и логарифму определяется основание.

Пример 1. Решить уравнение

log 5(4 + x) = 2

Как вы предлагаете его решать?

Предполагаемый ответ: По определению логарифма.

Преподаватель: Верно! Первым нашим действием будет нахождение ОДЗ.

Решение.

ОДЗ: 4 + x ≠ 0

х ≠ – 4

Вторым действием решим данное уравнение на основании определения логарифма.

52 = 4 + x

x = 25 – 4

x = 21

Число 21 удовлетворяет ОДЗ (21 ≠ – 4), значит 21 – корень исходного уравнения. Запишем ответ: х = 21.

- Метод потенцирования. (Слайды №№16,17)

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е.

 loga f(х) = loga g(х), то f(х) = g(х), при условии, что f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.

Пример 2. Решить уравнение

Log 0,5(3x -1) = log 0,5(6x + 8)

Преподаватель: Какую особенность вы заметили? 

Предполагаемый ответ: Основания одинаковы и логарифмы двух выражений равны.

Преподаватель: Верно! Каким способом будем решать данное уравнение? 

Предполагаемый ответ: Способом потенцирования.

Преподаватель: Приступим к решению.

Log 0,5(3x -1) = log 0,5(6x + 8)

(3x -1) = (6x + 8)

x = – 3.

Сделаем проверку:

Log0,5(3·(– 3) -1) = log0,5(– 3·6 + 8).

Получаем, что

Log0,5(–10) = log0,5(–10)

С одной стороны, имеем верное равенство, но под знаком логарифма получили число «– 10», какой вывод можем сделать?

Предполагаемый ответ: Под знаком логарифма получили отрицательное число. Но мы знаем, что под знаком логарифма могут стоять только положительные числа.

Преподаватель: Да, так как область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел, то x = – 2 не является корнем данного уравнения. И в ответе запишем, что корней нет.

4 задание для групп. Решить уравнения (Слайд №18)

Прежде, чем будем рассматривать другие методы решения логарифмических уравнений, послушаем сообщение … о истории развития понятия «Логарифм»

III. Организация деятельности по изучению новых методов решения логарифмических уравнений и закреплению знаний обучающихся

1. Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма. (Слайды №№ 19,20, 21)

Пример:

Решите уравнение  log2 (х +1)  -  log2 (х -2 ) = 2.

ОДЗ:

х+1>0;

х-2>0.         х>1.

Воспользуемся формулой преобразования разности логарифмов логарифм частного, получаем   log2 = 2, откуда следует  = 4.

- =0

=0

=0

х-2≠0

-3х+9=0

Решив последнее уравнение, находим х = 3, 3>1 - верно

Ответ: х = 3

2. Уравнения, решаемые введением новой переменной. (Слайды №№ 22,23)

Этот метод вам хорошо известен, вы не раз применяли его при решении различных уравнений. Покажем на примерах, как он применяется при решении тригонометрических уравнений.

Пример1:    Решите уравнение    lg2х - 6lgх+5 = 0.

ОДЗ: х>0.

Пусть lgх = р, тогда р2-6р+5=0.

р1=1, р2=5.

Возвращаемся к замене:

lgх = 1,                                                 lgх =5

х=10, 10>0 – верно                              х=100000, 100000>0 – верно

Ответ: 10, 100000

М. В. Ломоносов говорил “Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения”. Сейчас вам нужно показать умения решать логарифмические уравнения.

Примеры для закрепления (Слайды №№24,25)

 Пример 1. Решите уравнение  log2 (х - 2)  +  log2 (х -3 ) = 1

Решение:

ОДЗ:    х >2 и    х >3, значит, х >3      

log2 (х - 2)(х -3 ) = 1  

(х - 2)(х -3 ) = 2

Х2 – 5х+4 = 0

Д=9,

Х1 = 4; х2 =1

Ответ: 4.

Пример 2: Решите уравнение:  .

Решение:  

ОДЗ:    х >0.      

 Ответ:  2; 8.

  IV. Организация деятельности обучающихся по применению полученных знаний

5. задание для групп. (Слайды №№ 26,27)

Вашему вниманию представлена «Логарифмическая мишень» с уравнениями разного уровня сложности и вариантами ответов. Ваша задача найти корни этих уравнений, а посторонние и неправильные корни убрать с мишени. (Каждой группе раздается «Логарифмическая мишень». Студенты решают уравнения, соответствующие их уровню знаний).

6 задание для групп. А сейчас у вас на столах карточки с логарифмическими уравнениями, рядом написано, сколько баллов можно заработать при их решении. Каждый выбирает задание по желанию.

Используя алгоритм решения логарифмических уравнений выполните самостоятельную работу. (Слайды №№28,29)

Алгоритм (план) решения логарифмических уравнений

• Записать условия, задающие ОДЗ
• Выбрать метод решения
• Решить уравнение
• Проверить получившиеся корни, подставив их в условие ОДЗ
• При записи ответа, исключить посторонние корни

РЕЗЕРВ. 7 задание для групп. Работа по одному представителю от каждой команды у доски. Примеры из учебника. № 337 (1-3)

V.         Подведение итогов урока

Рефлексия. Составление кластера.

Преподаватель: Давайте обобщим сведения, полученные сегодня на занятии. Какие уравнения мы сегодня решали и какие знания нам помогали их решать?  

     Преподаватель совместно со студентами составляет на доске кластер.  (Слайд № 30)                                                                                (Приложение3)

VII.   Итог урока  (Слайд№ 31)

Преподаватель. И в конце занятия давайте оценим ваши впечатления. Что узнали нового? Было ли интересно, познавательно? Какие возникли трудности в усвоении нового материала? Сложно ли было вам включиться в учебный процесс?

Для этого я предлагаю заполнить «лист самоанализа деятельности обучающегося». (В кейсе)                                                             (Приложение4)

Спасибо за работу!

VI. Домашнее задание (Слайды № №32, 33)

Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением.                                                                              А. Дистервег                                        

1. Работа с конспектом, учебник §19, с.105-107;

2. Решить уравнения:

Творческое задание (по желанию): На занятии мы рассмотрели не все методы решения логарифмических уравнений. Их гораздо больше. К следующему занятию я попрошу вас отыскать недостающие методы. Вы должны будете указать их название, принцип решения и привести пример.

Блок контроля

Блок контроля

1. Вопросы для контроля

- определение логарифма

- формулы и свойства логарифмов

- методы решения логарифмических уравнений

2. Вычислить:

log 2 16;  Л О         log 2 64; С                log 2 2; К        

log 2 1 ;   ГА          log 2 (1/2); Т             log 2 (1/8);О

log 3 27;  Р             log 3 81; Е                 log 3 3; Р

log 3 1;    И            log 3 (1/9);  П            log 3 (1/3); Е

log1/2 1/32; Ф         log1/2 4;   Е                log0,5 0,125; Н

log0/5 (1/2); М       log0,5 1;  НЬ               log1/2 2. Ь

3. Какие формулы и свойства логарифма мы используем при решении логарифмических уравнений?

4. Вычислить, используя свойства логарифма

а)  ,         б)    ,    в) ,
г)  ,         д)  ,        е)  ,

5. Решить уравнения

6. Логарифмическая мишень. Решить уравнения и расставить корни

6 задание. Выполните самостоятельную работу.

Алгоритм (план) решения логарифмических уравнений

• Записать условия, задающие ОДЗ
• Выбрать метод решения
• Решить уравнение
• Проверить получившиеся корни, подставив их в условие ОДЗ
• При записи ответа, исключить посторонние корни

Решить уравнения:

РЕЗЕРВ

7 задание для групп. Учебник № 337 -№ 339

Эталоны ответов

Эталоны ответов

1. Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0, a ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b.

Определение логарифма можно кратко записать так: 

2. Свойства логарифма (Информационный блок)

3. Вычислить, используя свойства логарифма а)1, б)2,  в)3,   г)4,    д)2,  е) -3

4. Решить уравнения

5. Логарифмическая мишень

1. 25; 2) 27; 3) 25; 4) 0,5; 5) 1000 и 0,1; 6) 25 и 0,2

7 задание

8.РЕЗЕРВ Примеры из учебника № 337. 1)12 , 2) 3,  3)2 ,  4) 21/2.

Приложение

                                    Приложение 1.

Исторические сведения.

Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением корней. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, а извлечение корня степени n сводится к делению логарифма подкоренного выражения на n. Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.

В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. Теорию логарифмов Непер изложил в другой своей книге «Построение удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), изданной посмертно в 1619 году его сыном.

Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образом[3]:

Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать.

К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера. Уже спустя 5 лет, в 1619 г., лондонский учитель математики Джон Спайделл (англ. John Speidell) переиздал таблицы Непера, преобразованные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов (хотя масштабирование до целых чисел Спайделл сохранил). Термин «натуральный логарифм» предложил итальянский математик Пьетро Менголи (англ. Pietro Mengoli)) в середине XVI века[4].

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера.

Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748).  Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма.

Приложение 2.

ЛИСТ ОЦЕНКИ

Приложение 3.

ЛИСТ РЕФЛЕКСИИ

Название группы ___________________________________________________

Что нового Вы узнали_________________________________________________

Приложение 4.