МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ЗАНЯТИЯ по теме: " Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами" с применением активных и интерактивных методов обучения"
учебно-методическое пособие по математике (10, 11 класс)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Улан-Удэнский колледж железнодорожного транспорта

Улан-Удэнского института железнодорожного транспорта - филиала

Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего образования

«Иркутский государственный университет путей сообщения»

(УУКЖТ УУИЖТ ИрГУПС)

Стогова О.О.

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

 занятия по теме «Линейные однородные уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами»

с применением активных и интерактивных методов обучения

по дисциплине ЕН.01 Математика

для специальности

23.02.06 Техническая эксплуатация подвижного состава

железных дорог (локомотивы)

УЛАН-УДЭ 2016

Автор: Стогова О.О., преподаватель высшей квалификационной категории УУКЖТ

Рецензент: Мартынова Т.Ю., преподаватель высшей квалификационной категории, методист УУКЖТ

Пояснительная записка

Данное занятие рассматривается в разделе Математического анализа курса Математики, является занятием по теме «Линейные однородные уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами». Эта тема помогает дальнейшему развитию логического мышления и речи; умения проводить систематизацию.

           В ходе занятия формируется и совершенствуется математический язык (словесный, символический); качества личности, необходимые для жизни в современном мире (ясность, точность мысли, интуиция); отношение к математике как к части общечеловеческой культуры; российскую гражданскую идентичность, патриотизм, уважение к своему народу, чувства ответственности перед Родиной, гордости за свой край, свою Родину, прошлое и настоящее многонационального народа России;  основы саморазвития и самовоспитания в соответствии с общечеловеческими ценностями и идеалами гражданского общества; готовность и способность к самостоятельной, творческой и ответственной деятельности.

 На занятии ведется повторение формул для общего решения ЛОДУ и фундаментальной системы решений с опорой на ранее изученный материал такой, как квадратные уравнения, комплексные числа, показательная функция, вынесение общего множителя за скобки; при решении показывается связь между данными темами, а также связь темы с другими дисциплинами (информатикой, историей математики) , а так же с внешним миром. Последнее является важным звеном в сознательном восприятии учебного материала. Для обеспечения оптимального взаимодействия между преподавателем и студентами на занятии предусмотрены: организация проблемного диалога; использование «готовых» знаний; применение обучающих серий;   компьютерная презентация; самостоятельная работа; работа в парах; в малых группах,  само- и взаимоконтроль, тестирование.

Для поддержания интереса и устойчивой концентрации внимания предусмотрена смена видов деятельности: фронтальная работа – учебный диалог; индивидуальная работа – работа в паре или группе; компьютерная презентация – знакомство с новым материалом и новыми  понятиями; самостоятельная работа – закрепление материала; работа в парах и  в группах – решение задач; компьютерная презентация – связь с реальным миром.

Контроль над деятельностью студентов в ходе занятия осуществляется со стороны преподавателя, предусмотрены самоконтроль, самооценивание и взаимооценивание.

Технологическая   карта  занятия

Дисциплина:  математика           группа  ЭПСл-15147

Преподаватель: Стогова Ольга Олеговна

Тема: Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  

Тип занятия: урок систематизации и обобщения знаний 

Вид: интегрированный

Форма:  фронтальная, групповая, индивидуальная, парная.

Цель:

Образовательная: обобщить, систематизировать и закрепить теоретические знания, подчеркнуть роль и практическое значение формул для общего решения и фундаментальной системы решений при решении задач по математике и физике.

Развивающая: развивать навыки самоконтроля, логическое мышление, пространственное восприятие, познавательный интерес, математически грамотную речь, использовать межпредметные связи, осуществить перенос знаний с одного учебного предмета на другой, прививать любовь и бережное отношение к природе;

Воспитательная: совершенствовать навыки самостоятельной работы, воспитывать внимание, создать у студентов  необходимую базу для выбора нужного подхода к решению математических  задач.

Формирование личностных результатов:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3.Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4.Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

Формируемые профессиональные компетенции, включающие в себя способность:

ПК 2.2. Планировать и организовывать мероприятия по соблюдению норм безопасных условий труда. 

ПК 2.3. Контролировать и оценивать качество выполняемых работ.

ПК 3.1. Оформлять техническую и технологическую документацию.

ПК 3.2. Разрабатывать технологические процессы на ремонт отдельных деталей и узлов подвижного состава железных дорог в соответствии с нормативной документацией.                            

Умения:

-применять математические методы дифференциального и интегрального исчисления для решения профессиональных задач;

-использовать приемы и методы математического синтеза и анализа в различных профессиональных ситуациях.

Знания:

 -значения математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

-основных  математических методов решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

-основных понятий и методов математического анализа, линейной алгебры, теории вероятностей и математической статистики;

-основ интегрального и дифференциального исчисления

Планируемые результаты обучения: студент должен

знать: производную функций, производную сложной функции, основные правила дифференцирования, решение квадратных и линейных уравнений, решение систем линейных уравнений, основные формулы интегрирования, непосредственное интегрирования, определение и формулы дифференциальных уравнений и  характеристического уравнения, как найти частное, общее решение, фундаментальную систему решения дифференциального уравнения.

 уметь: применять  определения, формулы, правила, свойства   при решении, вычислении, преобразовании, упрощении   выражений при решении уравнений и систем линейных уравнений.

Применяемые педагогические технологии:        

Коммуникативные, интерактивные,  групповые; проблемный диалог;  технология организации самостоятельной работы, элементы информационных технологий.

Методы:

- мотивации: осознание значимости изучаемого материала, включение студентов в учебную деятельность, необычные элементы обучения, осознанное стремление работать вместе с другими, хорошо и быстро получать нужный всем результат.

 - обучения: коммуникативные, интерактивные, познавательные,  систематизирующие.

- контроля: индивидуальный, фронтальный, взаимоконтроль, самоконтроль, карточки-задания, тестовый контроль, просмотр.

Обеспечение занятия:         

1. ТСО, раздаточный материал и наглядные пособия:

Презентация к уроку, лист самооконтроля (для каждого студента),   текст для самостоятельной работы,  мультимедийный  проектор, ноутбук, раздаточный материал.

2. Используемая литература:

1. Богомолов Н.В. Математика: учебник для бакалавров. М.: Юрайт, 2013.

или [Электронный ресурс]: Богомолов, Н. В. Математика : учебник для СПО / Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. — 5-е изд., перераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2016. — 396 с. — Режим доступа: - URL: https://www.biblio-online.ru/book/F7C570BC-85B6-4E2D-9B5A-4CB297E61C8E

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. М.: Юрайт, 2013. или [Электронный ресурс]: Богомолов, Н. В. Практические занятия по математике в 2 ч. Часть 1 : учебное пособие для СПО / Н. В. Богомолов. — 11-е изд., перераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2016. — 285 с. —  Режим доступа: - URL: https://www.biblio-online.ru/book/B2077BBB-EF95-4E5F-AFE1-9AAB6EB69A17

2. Дополнительная учебная литература:

2.1 Кузнецов, Б.Т. Математика : учебник / Б.Т. Кузнецов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Юнити-Дана, 2015. - 719 с. : ил., табл., граф. - (ВПО: Экономика и управление). - Библиогр. в кн. - ISBN 5-238-00754-Х; То же [Электронный ресурс]. - URL: //biblioclub.ru/index.php?page=book&id=114717 

2.2 Дегтярева, О.M. Краткий теоретический курс по математике для бакалавров и специалистов: учебное пособие / О.M. Дегтярева, Г.А. Никонова; Министерство образования и науки России, ФГБОУ ВПО «Казанский национальный исследовательский технологический университет». - Казань: Издательство КНИТУ, 2013. - 136 с.: ил. - Библиогр. в кн. - ISBN 978-5-7882-1523-5; То же [Электронный ресурс]. - URL: //biblioclub.ru/index.php?page=book&id=427858 

Структурно-логические связи:

1. Междисциплинарные связи:  информатика, алгебра

2. Внутри дисциплинарные связи:

СТРУКТУРА ЗАНЯТИЯ

Ход занятия.

I.Организационный этап.

Студенты разделились на 4малые  группы. В каждой малой группе есть консультант – студент, который помогает ребятам своей группы, оценивает их работу. 

1.Здравствуйте, студенты и гости, присутствующие на нашем занятии.

Цель нашего занятия: обобщить и систематизировать знания по теме «Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами».  Работа на занятии пройдет по плану:

1. «Продолжи предложение» по теоретической  части;
2. Заслушивание сообщений и просмотр мини презентаций к домашней , групповой работе по теме: « История развития понятия ДУ, применение в других дисциплинах»;
3. Проверка решения  домашних задач;
4. Найди ошибку;
5. Групповая работа по решению задач с последующим комментированием решения;
6. Тестовая работа по теме;
7. Домашнее задание .
8. Рефлексия .

2. Мотивационная беседа

Теория дифференциальных уравнений является заключительной темой после изучения дифференциально–интегрального исчисления. Тема эта очень сложная. Она является важной для получения фундаментального естественно – научного образования. Для формирования представлений о математике, как о необходимой для каждого человека составляющей общих знаний о мире и понимания значимости этой науки для общественного прогресса.
«Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой», – писал А.Н.Колмогоров (выдающийся математик современности).

3. Актуализация опорных знаний

«Скажи мне – и я забуду.
Покажи мне – и я запомню.
Вовлеки меня – и я научусь»

Древняя китайская пословица

На ваших столах лежат  листы  самоконтроля, которые вы должны заполнять, и  итоговая оценка   покажет вашу оценку  за работу на занятии.

Подпишите свой лист и укажите дату проведения урока.

Лист самоконтроля.

Ф.И. студента

Напишите, пожалуйста, фамилию и имя. Наш урок состоит из нескольких этапов. После прохождения каждого этапа вы будете получать определенное количество баллов. Суммируя их, при подведении итогов сегодняшнего занятия, вы можете получить следующие отметки:

«5»:29-40 баллов.

«4»:20-28баллов.

«3»:12-19баллов.

Итак, ребята в добрый путь!

II. Основной этап.

1. «Продолжи предложение»

Каждая пара получает задание на карточке, в которой приготовлены вопросы из теоретической части. Теоретическая часть к занятию была студентам предоставлена на предыдущей паре. (Приложение 1)

Вспомним определения:  

1. Какое уравнение называется дифференциальным?

Ответ: Дифференциальным уравнением называется уравнение,..

2.Что называется порядком дифференциального уравнения?

Ответ: Порядком дифференциального уравнения называется…

3.Что называется решением дифференциального уравнения?

Ответ: Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется…

4. Какое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянным коэффициентами ?

Ответ: Линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянным коэффициентами называется уравнение вида:…

5. Какое алгебраическое выражение называется характеристическим уравнением?

Ответ: Характеристическим уравнением для ЛОДУ называется… 

6. Что называется фундаментальной системой решений  ЛОДУ  

Ответ: Фундаментальной системой решений  ЛОДУ  называется…

7.Какое выражение является общим решением ЛОДУ?

Ответ: Общее решение ЛОДУ имеет вид …  

Проверка получившихся результатов осуществляется взаимопроверкой, обменявшись карточками с соседней  партой.

Подведем итог:

1)Если ответили на все 7 поставленных вопросов правильно  то, ставите  оценку  « 5»

2)Если ответили на  6 поставленных вопросов правильно то, ставите оценку   « 4»

2)Если ответил на  5 или 4 поставленных вопроса правильно то, ставите оценку   « 3»

 Ответы на слайдах  6,7  и в Приложении 2

2)Заслушивание сообщений и просмотр презентаций (групповая домашняя работа) по теме: « История развития понятия ДУ, применение в других дисциплинах» 

 Подведение итогов данного этапа осуществляется способом сложения оценок  которые поставили  малые группы  своим оппонентам. Критерии оценивания были предоставлены заранее ( слайд 8)  в Приложении 4

3) Проверка решений домашних задач

Примеры для решения дома:

 Найти фундаментальную систему решений и общее решение ДУ    

а)  ; ;   ;                    ;   ;  

)Найти общее решение уравнения  .

) Найти общее решение уравнения  .

Проверка  осуществляется с помощью вызова четырех студентов  к доске, записи и объяснения  их  решения. Ответы к заданиям предоставлены  на (слайде 9) и  в Приложении 5. 

Подведение итогов данного этапа осуществляется взаимопроверкой  студентов сидящих за одной партой.

Подведем итог:

1)Если решили  все 6 заданий правильно  то, ставите  оценку  « 5»

2)Если решили  5  заданий  правильно то, ставите оценку   « 4»

2)Если решили 4 задания правильно то, ставите оценку   « 3»

4) Найди и исправь ошибку (групповая работа)

При нахождении частного решения допущены ошибки, найти и исправить.

1)Составим характеристическое уравнение: 

    Его корни равны:    

Следовательно, общее решение имеет вид:   

2)Найдем yʹ(x);

    =   

3)Составим систему из двух уравнений:      

подставим  вместо  заданные  начальные условия:

 Таким образом, искомым частным решением является функция

Правильное  решение предоставлено на слайде 12, в Приложении 6

Подведение итогов данного этапа осуществляется способом взаимной проверки между малыми группами.

Подведем итог:

1)Если нашли ошибки и решили  правильно  то, ставите  оценку  « 5»

2)Если нашли только ошибки, но не справились с решением до конца ставите оценку   « 4»

2)Если нашли ошибки, но не смогли решить  задания совсем  то, ставите оценку   « 3»

5) Мозговая  атака( групповая работа)

Каждой малой группе выдается карточки с заданиями, их необходимо решить и проверить решение

Карточка1

Найти частное решение 

;

Карточка 2

Найти частное решение 

Карточка 3

Найти частное решение 

 Карточка 3

Правильное  решение предоставлено  в Приложении 7

Подведем итог:

1)Если решили  два  предоставленных задания правильно  или  в решении допустили не более одного недочета  то, ставите  оценку  « 5»

2) Если решили  полностью одно из  предоставленных заданий правильно  и  в решение второго задания  не успели  дорешать четвертую часть задания , то, ставите  оценку   « 4»

2)Если решили только одно из  поставленных заданий  правильно то, ставите оценку   « 3»

Проверка правильности осуществляется взаимопроверкой, с помощью предоставленного преподавателем  решения (на листах).

6) Тестовая самостоятельная работа

Вариант 1

1.Определите порядок дифференциального уравнения:

А) первого порядка;        Б) второго порядка;

В) третьего порядка;        Г) четвертого поря

2) К какому типу относятся дифференциальное уравнение:

А) линейное дифференциальное уравнение первого порядка;

Б) уравнение Бернулли;

В) первого порядка с разделяющимися переменными

Г) неполное уравнение второго порядка.

3) Вычислите производную функции:  

А)       Б) 

В)         Г) 

4)В каком из двух дифференциальных уравнении можно найти

частное решение:   1.     2. 

А) в первом и во втором;      Б) в первом;

В) во втором;                           Г) нет правильного ответа.

5)  Решением характеристического уравнения для дифференциального уравнения  являются:

А) корни оба положительные числа;      Б) корни оба отрицательные числа;

В) корни разных знаков;               Г)корни  комплексно сопряженные числа.

Вариант 2

1.Определите порядок дифференциального уравнения:

А) первого порядка;               Б) второго порядка;

В) третьего порядка;              Г) четвертого поря

2) К какому типу относятся дифференциальное уравнение:    

 А) линейное дифференциальное уравнение первого порядка;

Б) уравнение Бернулли;

В) первого порядка с разделяющимися переменными

Г) неполное уравнение второго порядка.

3) Вычислите производную функции: . 

А) 2 ctg 2x                        Б) 

В) 2tg 2x        Г) 

4)В каком из двух дифференциальных уравнении можно найти

частное решение:   1.   

                                  2. y

А) в первом и во втором;      Б) в первом;

В) во втором;                           Г) нет правильного ответа.

5)  Решением характеристического уравнения для дифференциального уравнения  являются:

А) корни оба положительные числа;      Б) корни оба отрицательные числа;

В) корни разных знаков;               Г)корни  комплексно сопряженные числа.

Правильность  выполнения производится с помощью взаимопроверки (слайд 12)   Поменяться листочками и проверить задания с ответами .

Подведем итог:

1)Если  решили все задания  правильно  то, ставите в таблице самооценки свою оценку  « 5»;

2)Если  верно 4 ответа  то, ставите в таблице самооценки свою оценку  

« 4»;

3)Если  верно 3ответа  то, ставите в таблице самооценки свою оценку

  « 3»;

4) Если  верны  менее 3 то, ставите в таблице самооценки свою

оценку « 2».

8)Домашнее задание

Вот закончился урок, подведём сейчас итог,

Мы много вспомнили, друзья, без этого никак нельзя.

Правила мы повторили, и на практике их применили

Задачи, находя решенье, развивали мы  мышленье,

Память и внимание, закрепляли знания.

А теперь, внимание,  домашнее задание: 

1)Богомолов Н.В. Математика: учебник для бакалавров, стр 282, 68 читать, ответить на вопросы на стр 287.

2) Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, стр243-253, решить №50-53

9) Рефлексия. Подведение итогов урока.

Итог занятия: ребята  подсчитав средний результат по всем этапам, получают оценку за занятие. Кто поставил себе за  работу на уроке отлично? Хорошо?    Кто считает, что ему надо еще повторить этот материал?

Отличившимся студентам выставляется по две оценки.