Квадрат (конверт) Пирсона и старинный метод Магницкого в решении задач на сплавы и смеси.
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (11 класс)

Слайд 1

Квадрат (конверт) Пирсона и старинный метод Магницкого в решении задач на сплавы и смеси. выполнила учитель математики МБОУ «Лицей №83 - ЦО» Зиннурова Л.Д.

Слайд 2

Карл (Чарлз) Пирсон — выдающийся английский математик, статистик, биолог и философ; основатель математической статистики, автор свыше 650 опубликованных научных работ). При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешения, или квадрат Пирсона. При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Эти разности и показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.

Слайд 3

Задача 1. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Ответ: концентрация составляет 5%

Слайд 4

Задача 2. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Ответ: концентрация составляет 17%

Слайд 5

Задача 3. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? Ответ: на 100 кг

Слайд 6

Задача 4. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ: 9 кг.

Слайд 7

Старинный способ решения задач на смешивание (сплавление) любого числа веществ. Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Леонтия Филипповича Магницкого (1703 г). Лео́нтий Фили́ппович Магни́цкий — русский математик, педагог. Преподаватель математики в Школе математических и навигацких наук в Москве (с 1701 по 1739), автор первой в России учебной энциклопедии по математике). Данный способ позволяет получить правильный ответ за очень короткое время и с минимальными усилиями.

Слайд 8

Задача 5. Имеются два сплава с 72% содержанием меди и с 80% содержанием меди. Сколько грамм каждого сплава надо взять, чтобы получить 800г сплава с 75% содержанием меди?

Слайд 9

Задача 6. В каких пропорциях нужно сплавить золото 375-й пробы с золотом 750-й пробы, чтобы получить золото 500-й пробы? Ответ: Нужно взять две части 375-й пробы и одну часть 750-й пробы.

Слайд 10

Задача 7. Имеется два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде? Пусть процентное содержание вещества в первом растворе равно х %, а во втором – y%. При заполнении первого квадрата масса смеси равна 30 + 20 = 50 (кг), а во втором – примем массы растворов равными 1 кг, тогда общая масса смеси равна 1 + 1 = 2 (кг).

Слайд 11

Задача 8. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие — 15% воды. Сколько получится сухих грибов из 34 кг свежих грибов? Содержание воды в свежих грибах 90 %, следовательно, содержание «мякоти» равно 10 %. А в сушеных грибах содержится 100 – 15 = 85 (%) «мякоти». В качестве второго «раствора» можно рассматривать 0 кг грибов с содержанием «мякоти» 0 %. Тогда квадрат Пирсона выглядит так: Составим и решим уравнение: 85 х = 34 ∙ 10 + 0, откуда х = 4 (кг). Ответ: 4 кг свежих грибов.

Слайд 12

Задача 9. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды? По аналогии с предыдущей задачей содержание «мякоти» в винограде равно 100 – 90 = 10 (%), а в изюме – (100 – 5) = 95 %. Составим уравнение: 10 х = 95 ∙ 20, х = 190 (кг). Ответ: 190 кг винограда.

Слайд 13

Дополнительные задачи 1. В 5 кг сплава олова и цинка содержится 80% цинка. Сколько кг олова надо добавить к этому сплаву, чтобы процентное содержание цинка стало 40%? 2. Имеется 4 литра 20%-го раствора спирта. Сколько воды него нужно, чтобы получился 10%-й раствор спирта? 3. Имелось два сплава серебра. Процент содержания серебра в первом сплаве был на 25% выше, чем во втором. Когда их сплавили вместе, то получили сплав, содержащий 30% серебра. Найдите вес сплавов, если в первом сплаве было 4кг, а во- втором 8 кг. 4. Имеется два раствора некоторого вещества. Один 15%-ный, а второй 65%-ный Сколько нужно взять литров каждого раствора, чтобы получить 200л раствора, содержание вещества в котором равно 30%? 5. В какой пропорции нужно смешать 10-ный и 15-ный растворы аммиачной селитры, чтобы приготовить из них 15-ный раствор селитры. 6. Если к сплаву меди и цинка добавить 20г меди, то содержание меди в сплаве станет равным 70%. Если же к первоначальному сплав добавить 70г сплава, содержащего 40% меди, то содержание меди станет равным 52%. Найдите первоначальный вес сплава.