Статья "Элементарные математические функции"
статья по математике
В статье представлена информация о проекте «Элементарные математические функции», в котором практически реализовано построение графиков функций, изучение их свойств, генерация заданий на сравнение выражений на основе монотонности, рассмотрена роль функций в окружающем мире.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 statya_funktsii.docx | 813.91 КБ |
Предварительный просмотр:
Элементарные математические функции
В статье представлена информация о проекте «Элементарные математические функции», в котором практически реализовано построение графиков функций, изучение их свойств, генерация заданий на сравнение выражений на основе монотонности, рассмотрена роль функций в окружающем мире.
Ключевые слова: функция, аргумент, система программирования, элементарные математические функции, график функции, свойства функций.
При изучении различных явлений мы имеем дело с переменными величинами, которые связанны между собой так, что значения одних независимых переменных определяют значения других зависимых переменных или функций. Ни один процесс в окружающем мире не может быть изучен без математического описания, в том числе, с помощью функций и их свойств, что необходимо для понимания их сути, предсказания хода развития и управления ими.
Инструментом для реализации проекта выбрана система программирования Microsoft Visual Basic, так как является мощным средством разработки разнообразных приложений, баз данных, программ, работающих под управлением операционных систем семейства Microsoft Windows.
В математике Функция – это зависимость между двумя множествами Х и У, по которой каждому элементу х из множества Х соответствует единственный элемент у из множества Y. При этом переменную х называют независимой переменной или аргумент, а переменную у - зависимой переменной или функцией [2, с.16]. Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условию (x, f(x)), называется графиком функции y = f(x). Графическое представление функции удобно для непосредственного восприятия ее особенностей, описания свойств [2, с 19].
Среди всего многообразия функций выделяются функции, отличающиеся своей простотой и наиболее широкой областью применения. Это простейшие элементарные функции, основное значение которых состоит в том, что они составляют базу для изучения более сложных функций, являясь в большинстве своем составными элементами последних. Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится [2, с 6].
В проекте представлены функции: степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические. Выбор конкретной функции осуществляется с помощью элемента CheckBox. Для изучения выбранной функции в текстовое поле нужно ввести конкретное значение, щелкнуть по кнопке Функция, в окне PictureBox появится изображение графика, в таблице MSFlexGrid отобразятся свойства функции, в других двух таблицах сгенерируются задания на сравнение выражений, и в элементе RichTextBox выведется информация о применении соответствующих функций.
Например, Степенная функция y =xn, где n∈R. При этом в зависимости от n рассматриваются различные виды степенной функции.
Рис. 1. Степенная функция
Для каждого вида функции представлена информация о применении в окружающей действительности. Пример для степенной функции Таблица 1.
Таблица 1
Применение степенной функции
Линейная функция: Длина l тела рассматривается как линейная функция его температуры: l(t) = l0(1 + αt). Равномерное движение точки S(t) = vt+ S0. Зависимость расстояния на местности от расстояния на карте (масштабирование) S=10000К. Зависимость длины окружности от её радиуса. Плотность нефти от температуры, стоимость товара от количества и др[5,7]. |
Гипербола: Выигрыш в силе, получаемый с помощью рычага, определяется отношением плеч приложенных сил. Во сколько раз выигрываешь в силе, во столько раз проигрываешь в расстоянии[2, с. 7]. |
Гиперболические навигационные системы. Штурман на борту самолёта или морского судна принимал радиосигналы от двух пар станций на берегу. Используя разность времени между моментами приема сигналов от обеих станций, штурман строил две гиперболы, пересечение которых на карте позволяло определить место, где он находился. Зависимость между объемом инвестиций и ставкой процента. Гиперболоид вращения (Шуховские башни)[5,7] |
Парабола:Траектория камня, брошенного под углом к горизонту, мяча, струи воды, выпущенной из шланга, парашютиста, выпрыгнувшего из горизонтально летящего самолета, артиллерийского снаряда, это парабола[5,7]. Свойство параболических зеркал используют при конструировании солнечных печей, солнечных электростанций, отражательных телескопов – рефлекторов, прожекторов или фар автомобилей[5,7]. В архитектуре и технике, например, параболическая антенна, свод моста, арка. |
Зависимость интенсивности основного обмена от веса животного. А и α - параметры, постоянные для данного класса живых существ, например для млекопитающих А=70, α=0,74[5,7]. |
График таяния льда при комнатной температуре. С мороза в комнату внесли банку со льдом. С течение времени температура таяния льда, а затем нагревания воды изменяется по законам степенной функции[5,7]. |
Обратно пропорциональная квадратичная функция у=х-2 описывает процесс затухания волн и ослабления сил в зависимости от расстояния. Например, так затихает звук по мере удаления от источника[8, с. 88]. |
Инженер, производя расчеты на прочность, имеет дело с четвертыми степенями, и даже с шестыми степенями (например, при вычислении диаметра паропровода[6, с. 6]. |
Гидротехник при исследовании сил, с которой текучая вода увлекает камни, так же встречается с функцией шестой степени: если скорость течения в одной реке в четыре раза больше, чем в другой, то быстрая река способна перекатывать по своему ложу камни в 46 раза более тяжелые, чем медленная[6, с. 6]. |
Общая яркость раскаленного тела – например, нити накала в электрической лампочке от температуры, растет при белом калении с двенадцатой степенью температуры, а при красном – с тридцатой степенью температуры[6, с.6]. |
Аналогично для показательной и логарифмической функций рис.2, 3.
Рис. 2. Показательная функция | Рис. 3. Логарифмическая функция |
Для показательной и логарифмической функций, предусмотрена проверка вводимых в текстовое поле данных, с учетом того, что основание больше нуля и не равно 1. Если введены не корректные данные, то на форму выводится текст «Введите значение а>0» и кнопка «Функция» будет не активна, до тех пор, пока не ввести верные значения.
Свойства функций перечисляются по пунктам из Таблицы 3.
Таблица 3
Пункты свойств функций
Обозначение | Название пункта |
"D(f)" | Область определения |
"E(f)" | Множество значений |
"y(-x)= y(x)" | Четность |
"y(-x)= -y(x)" | Нечетность |
"^ OX, y=0" | Пересечение с осью ОХ |
"^ OY, x=0" | Пересечение с осью ОУ |
y(T)=y(x+T) | Периодичность |
"y>0" | Промежутки, на которых функция положительна |
"y<0" | Промежутки, на которых функция отрицательна |
"y →" | Возрастание функции |
"y ←" | Убывание функции |
"Y max" | Наибольшее значение функции |
"Y min" | Наименьшее значение функции |
"Asimptota" | Асимптоты |
Для закрепления свойства монотонности функций, в программе предусмотрены задания на сравнение выражений. Выбор знака сравнения осуществляется с помощью элемента ComboBox. После, нужно щелкнуть по кнопке «Проверить» и отобразится информация о правильности выполнения задания. Например, функция у=cos x с выполненным заданием на сравнение выражений рис. 4.
Рис. 4. Функция y=cos x
Описанный в статье проект способствует повышению интереса к математике, реализует интерактивность информационного взаимодействия между преподавателем и обучающимися, визуализацию учебного материала, автоматизацию поиска информации и контроль уровня знаний и умений.
Программное приложение «Элементарные математические функции» может быть использовано:
- преподавателями математики и обучающимися при изучении, закреплении, обобщении: понятия функции, виды, свойства и графики, применении функций, взаимно-обратные функции, при решении различных уравнений, неравенств на основе свойств функций.
- преподавателями информатики, алгоритмизации и программирования для демонстрации возможностей компьютера, знакомства с элементами системы программирования VisualBasic, алгоритмическими конструкциями, подпрограммами.
Литература:
|
|
|
|
|
|
|
|
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Применение математических функций в физике
Предлагаемый предпрофильныйкурс предназначен для учащихся 9 классов, желающих научиться решать задачи по математике и физике, используя метод графических образов.Особенностью разработанного курса яв...
Математические функции языка Паскаль
Конспект урока по информатике...
Спецкурс "Математические функции"
Курс включает в себя следующие темы: «Определение и свойства функции», «Построение графиков функций, содержащих знак модуля» и «Преобразования графиков функций». По каждой теме предусмотрено нап...
Знаки ДД в математических функциях
Урок математики проводиттся в 11 классе. Предназначен для повторения функций и знаков ДД...
Урок в 9 классе по теме «Математические функции. Свойства функций».
Урок проведен в 9 классе при повторении материала по подготовке учащихся к итоговой аттестации....
Урок в 9 классе по теме «Математические функции. Свойства функций».
Урок проведен в 9 классе при повторении материала по подготовке учащихся к итоговой аттестации....
Практическая работа "Использование математических функций в расчетах Excel"
Дидактический материал практическая работа по теме "Использование математических функций в расчетах Excel" предназначена для учащихся 8 класса .Для выполнения работы используется прогр...