Разработка урока математики, 10 класс по теме:

«Производная и её применение»

Цели урока:

Обучающие: знать формулы дифференцирования; правила дифференцирования; физический и геометрический смысл производной; уравнение касательной к графику функции.

Воспитательные: уметь находить производные функции; решать задачи с применением физического смысла, геометрического смысла; находить значение производной функции в точке; математически грамотно объяснять и обосновывать выполняемые действия.

Воспитательные: воспитывать умение работать с имеющейся информацией, слушать товарищей, точно, однозначно и лаконично формулировать свои ответы.

План урока:

• Организационный момент. (1 минута)
• Проверка уровня знаний и умений, уровня познавательной самостоятельности учащихся. (35 минут)
• Подведение итогов урока. (4 минуты)

Оборудование:        Компьютер, мультимедийный проектор, индивидуальные карточки – задания, карточка для работы в группе, лист самооценки самостоятельной работы.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний и умений.

Технология: урок с применением        информационно-коммуникативных   технологий.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, проблемный.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая

Вид урока по форме проведения: урок – игра.

Продолжительность: 40 минут.        Учебник: А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) М.: Мнемозина, 2021

Конспект урока

1. Организационный момент.

Учитель: Здравствуйте, ребята, у нас сегодня на уроке присутствуют гости, давайте с ними поздороваемся, садитесь.

Ребята, если вы правильно отгадаете ключевое слово, то узнаете тему нашего урока.

1. С ее появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ;
2. Имеет физический, геометрический смысл;
3. Бывает первой, второй, … ;
4. Обозначается штрихом.

Молодцы, тема нашего занятия “ Производная, всемогущая ”.

Как вы думаете, ребята, какова цель нашего урока? (Дети формулируют цель.)

Цель нашего урока – повторить основные направления применения производной для решения различных (избранных) задач дифференциального исчисления.

Я желаю вам на уроке удачи, точных расчетов и вычислений.

Активизация знаний учащихся. На одном из первых уроков изучения производной вы мне задали вопрос: «Мы изучили производную. А так ли это важно в жизни? Применяется ли производная в различных областях науки?»

Постараемся ответить на этот вопрос сегодня на уроке.

А чтобы у вас была путеводная звезда, к которой бы вы шли, я выдвинула гипотезу:

«Дифференциальное исчисление - это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники».

В ходе урока вы подтвердите, либо отвергните данную гипотезу.

2. Актуализация знаний, умений, навыков. Ребята, у вас на столах лежат оценочные листы, за каждый правильный ответ, выполненное решение вы будете начислять себе по одному баллу.

Приложение 1. Оценочный лист

Учитель: Принято, что к соревнованию человек готовится и свой день обычно начинает с зарядки, т.е. с разминки. Проведем разминку перед практической частью и мы.

1. Для этого найдем кроссворд, который вам нужно было дома разгадать по теме: «Производная»

По горизонтали

2. Производная чего равна нулю…
3. Как называется число, к которому стремится отношение приращения функции к соответствующему приращению аргумента, при стремлении приращения аргумента к нулю
4. Какой смысл производной заключается в том, что скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени (Механический)
5. Процесс изучения какого-либо объекта, например, функции.

По вертикали

1. Точки максимума и минимума называют точками Экстремума
2. Точки области определения, в которых производная функции не существует, называются….. точками

4. Промежутки возрастания (убывания) функции это промежутки…

Ставим баллы за правильно выполненное домашнее задание.

2. «Цветок понятий» (ассоциативный куст)

Предлагаю составить цветок понятий: для этого нужно назвать        понятия,        которые        ассоциируются        с        темой

«Производная».

Благодаря вашим понятиям у меня получился вот такой ассоциативный цветок.

Ставим баллы за ответы.

3. «Корзинка формул» Вспомним правила нахождения производных. Необходимо заполнить пустые места в равенствах, записанных на доске)   2 учащихся выходят к доске

(U*V)! =……        …..= (U!V –V!U)/V2        (kx+b)!=

(C*U)! = ....        ( U + V)! =        =f1(g(x))*g1(x)

Ставим баллы за ответы.

Прежде чем приступить к повторению основных направлений применения производной, проверим нашу готовность к вычислению производных.

4. «Найди соответствие»

Учитель: Укажите соответствие между функцией и её производной: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца. В таблице под каждой буквой, укажите номер её возможного значения. Ответ записать числом

Проверяем:        на слайде 2 136 574 Ставим баллы в оценочные листы.

Учитель: Сейчас постараемся применить полученные знания при решении задач.

5. «Значение производной в точке»

Предлагаю, вам задание, выполнив которое вы узнаете, как И.Ньютон называл производную функции.

Ответ: ФЛЮКСИЯ – производная функции

Ставим баллы в оценочные листы.

6. Учитель:        «Задачи-картинки». Работа в парах: пусть каждый знает, Кто из вас быстрей решает?

Мне – таблицы вам раздать, Вам – в них плюсы расставлять.

Каждая пара получает задание-таблицу, в клетках которой нужно знаком «+» указать соответствие “функция – график производной этой функции”. Приготовить заполненную таблицу с пояснениями. Система оценки: каждый правильный ответ – 0,5 балла. (максимум за задание – 3 балла). Проверка осуществляется с помощью слайда с устными комментариями.        (Ответы к заданию на слайде):

Ставим максимально 3 балла в оценочные листы.

7. Геометрический смысл производной

Учитель:        Предлагаю выполнить работу по вариантам по 1 к доске (карточки), а потом мы обсудим, что необходимо было знать для решения данного задания.

1. вариант     Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции        в точке t = 3 и определите вид угла между касательной и положительным направлением оси Ox. (Ответ: tgα = 21, угол α - острый)
2. вариант    Найти угловой коэффициент касательной к графику функции  y = f(x) в точке с

абсциссой х0        Ответ: k= -3

Учитель:  Какие знания вы применяли при выполнении данных заданий?

В чем заключается геометрический смысл производной? Учитель:        Теперь поработаем с графиками:

а) На рисунке изображен график функции у = f (х) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0 .

Ставим баллы за ответы в оценочные листы.

8. Физический смысл производной.

Учитель:        Что вам необходимо знать о производной, чтобы решить данную задачу?

Материальная точка движется прямолинейно по закону s(t) = 6t² - 48t + 17, где s(t) — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9с.

Ответ учащихся: Необходимо знать физический смысл производной: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени.

Учитель: вызвать желающего решить к доске.

Решение.

1. Найдем производную функции s(t)=6t2 – 48t +17:

s1(t) = 12t – 48

2. Найдем значение производной в точке t = 9: s1(9)=12*9 – 48=60

Ответ: 60 м/с.        Оцените свою работу на уроке (лист самооценки).

Учитель: Давайте вспомним, что характеризует производная в физике?

Учащиеся: В физике производная характеризует скорость прямолинейного движения.

3. Применение знаний и умений в новой ситуации.

6. Учитель: а в каких науках, вы ещё можете встретить задачи на скорость?

Учащиеся: на уроке химии – скорость химической реакции.

Вопрос: Какое определение в химии вы даете скорости химической реакции? И как это записать?

Учащиеся: Скоростью химической реакции называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени. Если С=С(t),где С-концентрация некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени t. Отношение приращения

∆С/∆t- есть средняя скорость химической реакции за промежуток времени ∆t.

Учитель:   А как записываете?   ( v(t) = ∆С/∆t )

На языке математики - концентрация – это функция, а время – аргумент.

Скорость химической реакции – это Отношение приращения функции к приращению аргумента есть, значит v(t) = С’(t) производной концентрации вещества, вступившего в химическую реакцию

Учитель: Какой вывод можно сделать? Мы с вами вывели химический смысл производной, теперь решая химические задачи на нахождение скорости химической реакции вы будете использовать о производной. Давайте попробуем решить задачу:

Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию, задается зависимостью:

C(t) = t2/2 + 3t –3 (моль).

Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

Решение: v (t) = C‘(t);        v (t) = t + 3;        v (3) = 3+3 = 6. Ответ: 6 моль/с.

Учитель: С точки зрения химиков важно изучать скорость химической реакции?

7. Применяется ли производная в других областях науки? На этот вопрос помогут ответить 3 группы (лабораторий), которые работали дома по применению производной в различных отраслях науки.

1-я группа - применение производной в биологии; 2-я группа – применение производной в географии; 3-я группа – применение производной в экономики;

Слово предоставляем исследователям. (Выступление групп).

Учитель: Сделайте вывод «Производная, всемогущая?»

10. Теперь повторим свойства функций и свойства производных (если останется время)

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x).

1. На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, ..., x9. Среди этих точек найдите все точки, в        которых производная функции

y = f(x) отрицательна.

2. По графику функции y=f1(x) ответьте на вопросы:

1. Сколько точек максимума имеет эта функция?        (1)        назовите её?

2. Назовите точки минимума функции.
3. Сколько промежутков возрастания у этой функции?

4. Найдите длину промежутка убывания этой функции.

III. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

• Вспомните, каковы были цели, поставленные нами в начале урока?
• Достигнуты ли цели?
• Что удалось?
• Какой этап игры вам показался наиболее интересным?
• Что не получилось?
• Понравился ли вам урок? ДЗ вы получили.

Молодцы! Я хочу пожелать, чтобы у вас была только положительная производная, чтобы знания ваши только возрастали.

И в заключение урока я хочу вам прочитать стихотворение: “Музыка может возвышать или умиротворять душу, Живопись – радовать глаз,

Поэзия - пробуждать чувства,

Философия – удовлетворять потребности разума,

Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей, а математика способна достичь всех этих целей”.

Так сказал американский математик Морис Клайн.

Урок окончен. Спасибо за работу!