Дерево вероятностей в задачах ЕГЭ
презентация к уроку по математике (11 класс)

Слайд 1

Дерево вероятностей в задачах ЕГЭ ЕГЭ Морозова Н.М. учитель математики гимназии № 399 Санкт-Петербурга

Слайд 2

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению этих вероятностей: Р(АВ)=Р(А)·Р(В) Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) Пусть А и В — зависимые события. Условной вероятностью P A ( B ) события В называется вероятность события В , найденная в предположении, что событие А уже наступило. Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ) = Р(А) · P A ( B ). Теория

Слайд 3

№ 319353 Две фаб­ри­ки вы­пус­ка­ют оди­на­ко­вые стек­ла для ав­то­мо­биль­ных фар. Пер­вая фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет 45% этих сте­кол, вто­рая — 55%. Пер­вая фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет 3% бра­ко­ван­ных сте­кол, а вто­рая — 1%. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но куп­лен­ное в ма­га­зи­не стек­ло ока­жет­ся бра­ко­ван­ным. По формуле умножения вероятностей: 0,45∙0,03 и 0,55 ∙0,01. Т.к. события несовместны: 0,45∙0,03 + 0,55 ∙0,01= 0,019 Ответ: 0,019

Слайд 4

По формуле умножения вероятностей: 0,02∙0,99 и 0,98∙0,01. Т.к. события несовместны 0,02∙0,99 + 0,98∙0,01 = 0,0296 Ав­то­ма­ти­че­ская линия из­го­тав­ли­ва­ет ба­та­рей­ки. Ве­ро­ят­ность того, что го­то­вая ба­та­рей­ка не­ис­прав­на, равна 0,02. Перед упа­ков­кой каж­дая ба­та­рей­ка про­хо­дит си­сте­му кон­тро­ля. Ве­ро­ят­ность того, что си­сте­ма за­бра­ку­ет не­ис­прав­ную ба­та­рей­ку, равна 0,99. Ве­ро­ят­ность того, что си­сте­ма по ошиб­ке за­бра­ку­ет ис­прав­ную ба­та­рей­ку, равна 0,01. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ная ба­та­рей­ка будет за­бра­ко­ва­на си­сте­мой кон­тро­ля. № 320211 Ответ: 0,0296

Слайд 5

№ 319355 Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Шахматист А играет белыми Белые Выигрывает 0,5 Белые Проигрывает 0,5 Черные Выигрывает 0,3 Черные Проигрывает 0,7 Решение Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,5 ∙ 0,3 = 0,15 Ответ: 0,15

Слайд 6

Решение Вероятности событий «промахнется из пристрелянных» и «промахнется из непристрелянных револьверов» равны соответственно 0,4·0,1 и 0,6·0,8. Т.к. события несовместны, получаем: 0,4· 0,1 + 0,6 · 0,8 = 0,52 Ответ: 0,52 10 пистолетов Пристрелянные 0,4 Непристрелянные 0,6 Попал 0,9 Не попал 0,1 Попал 0,2 Не попал 0,8 · № 320180 Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Слайд 7

По формуле умножения вероятностей: 0,05∙0,9 и 0,95∙0,01 . Т.к. события несовместны, то 0,05∙0,9 + 0,95∙0,01 =0,0545 № 320207 Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным . У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным. Ответ: 0,0545

Слайд 8

№ 320200 На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,98

Слайд 9

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства. Т.к. яиц высшей категории в обоих хозяйствах 35% , то составим уравнение 0,4х + 0,2(1 – х) = 0,35 0,4х+0,2-0,2х = 0,35 х = 0,75 Ответ: 0,75 № 320177

Слайд 10

0,5 0,5 0,5 № 526004 Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Мотор» по очереди играет с командами «Статор», «Стартер» и «Ротор». Найдите вероятность того, что «Мотор» будет начинать с мячом только вторую игру. Статор Стартер Ротор По формуле умножения вероятностей: 0,5· 0,5· 0,5 = 0,125 Ответ: 0,125

Слайд 11

№ 320206 В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода. Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,8·0,8·0,2 + 0,8·0,2·0,8 +0,2·0,2·0,2 + 0,2·0,8·0,8 = 0,392 Ответ: 0,392 3.07 4.07 5.07 6.07

Слайд 12

№ 320187 При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98? Решение (решение РешуЕГЭ) Вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов: 1) Р (1) = 0,6. 2) Р (2) = Р (1)·0,4 = 0,24. 3) Р (3) = Р (2)·0,4 = 0,096. 4) Р (4) = Р (3)·0,4 = 0,0384. 5) Р (5) = Р (4)·0,4 = 0,01536. Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени.

Слайд 13

№ 320188 Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4. 1 игра 2 игра Решение ВВ = 0,4 · 0,4 = 0,16 ВН = 0,4 · 0,2 = 0,08 0,16 +0,08 +0,08 = 0,32 НВ = 0,2 · 0,4 = 0,08 Ответ: 0,32

Слайд 14

Коммерция Математика 0,6 Русский 0,8 Обществознание 0,5 Поступит на лингвистику 0,6·0,8·0,7=0,336 0,6·0,8·0,5=0,24 Поступит на лингвистику и на коммерцию 0,6·0,8·0,7·0,5=0,168 Поступит хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей 0,336 + 0,24 – 0,168 = 0,408 Поступит на коммерцию № 320199 Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З . получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5. Найдите вероятность того, что З . сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей. Ответ:0,408