Пособие "Вероятность и статистика"
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (11 класс)

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Иркутского районного муниципального образования

«Смоленская средняя общеобразовательная  школа»

Практическое пособие по теме «Вероятность и статистика. Базовый уровень»

Автор: Учитель математики Бочарова Любовь Алексеевна

с.Смоленщина

2023 год

Практическое пособие по теме: «Усложненные задачи на вероятность в ЕГЭ профильного уровня» 2023г., с.Смоленщина – 40стр.

Данное издание представляет собой практическое пособие по теме «Усложненные задачи на вероятность в ЕГЭ профильного уровня»

МОУ ИРМО «Смоленская СОШ», 2022г.

Практическое пособие

«Усложненные задачи на вероятность в ЕГЭ профильного уровня»

Введение

В 2021-2022 учебном году в варианты ЕГЭ профильного уровня, было включено новое задание – вторая задача на вероятность под номером 10, имеющая более высокую сложность нежели задача под номером 2. Для того, чтобы учащиеся решили данное задание, необходимо знать на какой вид вероятности данная задача и по какой формуле она решается. Так же очень много задач можно решать разными способами и в Интернете всегда можно найти решение той или иной задачи, но зачастую представленные способы бывают непонятными. Наша задача – выбрать из них более нам и детям   доступные и логичные. Поэтому основной целью данного пособия является составлениеклассификации задач по способу их решения, с рассмотрениемконкретных примеров. После разбора задач, будет предложен список задач для самостоятельного решения с ответами. Основная часть задач пособия содержит реальные  задачи из тренировочных вариантов ЕГЭ, содержащихся в различных источниках. Помимо этого - в начале пособия входная самостоятельная работа, для проверки начальных знаний по данной теме, а в конце две самостоятельных для учащихся по простым задачам на вероятность - задание №2 вариантов ЕГЭ.

В дальнейшем, для продуктивной работы, нам понадобятся следующие понятия и формулы: Факториал числа n — это произведение натуральных чисел от 1 до n. Примеры:

1. 4! = 1*2*3*4 = 24
2. 5! = 1*2*3*4*5 = 120
3. 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720

Формулы перестановок, сочетаний и размещений.

По способу решения, основные задачи, встречающиеся в ЕГЭ профильного уровня под номером 10, можно классифицировать следующим образом:

1. Классическое определение вероятности
2. Совместные и несовместные события
3. Независимые события
4. Зависимые события
5. Условная вероятность
6. Схема Бернулли
7. Полная вероятность
8. Формула Байеса

Входная самостоятельная работа

1.За круглый стол на 11 стульев в случайном порядке рассаживаются 9 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик

2.Васе нужно забить в стенку гвоздь Если гвоздь стальной, то он согнется с вероятностью 0,1, а если железный, то согнется с вероятностью 0,3. На столе лежат 6 стальных и 4 железных гвоздя. Он берет первый попавшийся гвоздь со стола и пытается забить его в стенку. Найдите вероятность того, что этот гвоздь согнется.

3.Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 4 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.

4.В ящике 8 фломастеров: 5 красных и 3 зеленых. Катя вытягивает фломастеры по очереди. Какова вероятность, что в первый раз зеленый фломастер она вытащит четвертым по счету. Ответ округлите до сотых.

5.В викторине участвуют 10 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее в первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая играет со следующим соперником. Известно, что в первых 6 играх победила команда А. Какова вероятность того, что она выиграет 7 раунд?

 6.Вероятность того, что маленький Миша заплачет, увидев в зоопарке медведя, составляет 0,3. Вероятность того, что маленькая Маша заплачет, увидев в зоопарке медведя, составляет 0,4. Вероятность того, что Миша и Маша вместе заплачут, увидев в зоопарке медведя, составляет 0,15. Какова вероятность того, что по крайней мере один из них заплачет, увидев в зоопарке медведя?

7. Петя бросил одновременно три игральные кости. Известно, что в сумме выпало 7 очков. Найти вероятность события «хотя бы один раз выпало три очка»?

8.Марина бросает симметрическую монету 13 раз. Найдите отношение вероятности события «решка     выпадет ровно 8 раз» к вероятности события «решка выпадет ровно 7 раз».

1. Классическое определение вероятности

Определение 1: Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных исходов для этого события (m) к общему числу исходов (n); P(A) = . В данных задачах нельзя складывать или умножать вероятности, поскольку это уже будет задача относиться к другому способу решения.

Определение 2: События А и В  называются противоположными друг другу, если любой исход благоприятен для одного из них.  Из данного определения следует, что противоположное событие находится вычитанием из 1.

Задача 1 (удаление одного участника из двух списков)

Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 8 спортсменов из России, в том числе Борис Барсуков. Найдите вероятность того, что в первом туре Борис Барсуков будет играть с каким-либо шашистом из России.

Решение.

При удалении из списка Бориса Барсукова, имеем – общее количество участников 25, участников из России 7, так как Барсуков из России сам занял там одно место. Таким образом искомая вероятность равна = 0,28

Ответ: 0,28

Задача 2 (удаление одного участника из одного списка)

Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 теннисистов, среди которых 9 спортсменов не из России. Найдите вероятность того, что в первом туреМаксим Зайцев будет играть с теннисистом не из России.

Решение.

При удалении из списка Максима Зайцева, имеем – общее количество участников 15, участников не из России 9, так как Зайцев не занял место в этой группе. Таким образом, искомая вероятность равна = 0,6

Ответ:0,6

Задача 3 (подсчет необходимых исходов)

Какова вероятность того, что последние три цифры телефонного номера случайного абонента совпадают?

Решение.

Цифры меняются от 0 до 9, значит, для первой цифры 10 вариантов, для второй 10 и для третьей 10 – всего исходов 1000. Совпадение трех последних цифр – это следующие комбинации: 000, 111, 222, …, 999, всего их 10.

Получаем значение искомой вероятности:

Ответ: 0,01.

Задача 4(монеты)

В случайном эксперименте монету бросают четырежды. Найти вероятность, что орел выпадет  1 раз.

Решение.

Общее число исходов n = 2 раз = 24= 16. Переберем все варианты, где орел выпадет ровно 1 раз: ОРРР, РОРР, РРОР, РРРО итого 4 исхода. Получаем значение искомой вероятности:Ответ: 0,25

Задача 5 (жребий)

Перед началом матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру. Команда «Финиш» играет два матча с разными командами. Найти вероятность, что команда «Финиш» будет начинать игру хотя бы один раз.

Решение: Общее число исходов n = 2 раз = 22 = 4. Переберем все варианты, где начинать будет хотя бы 1 раз команда «Финиш»: начнет в первом матче, начнет во втором матче и начнет в обоих матчах - итого 3 благоприятных исхода.

Получаем значение искомой вероятности:

Ответ:0, 75

Задача 6 (кости)

Одновременно бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Ответ округлите до сотых.

Решение.

Общее число исходов n = 6 раз = 62 = 36. Переберем все варианты, где сумма очков будет 4: 13, 31, 22, итого три исхода. Получаем значение искомой вероятности:

Задача 7 (рассадка по кругу с фиксацией одного участника)

11 человек случайным образом рассаживаются за круглым столом среди них Олег и Петр. Найти вероятность того, что Олег и Петр будут сидеть рядом.

Решение: Всего 11 мест, если детей рассадить по кругу, но один мальчик уже занял место, тогда свободных мест 10, а вариантов что с двух сторон будет сидеть второй мальчик– 2 (с двух сторон), отсюда значение искомой вероятности: . Так удобно решать задачи, если в условии есть 2 участника рассадки.

Ответ: 0,2

Задача 8 (подсчет необходимых исходов)

В классе 22 красивых ученика и 18 умных. Всего в классе 30 человек, и каждый из них умный или красивый. Найти вероятность того, что выбранный случайным образом ученик красивый, но не умный.

Решение: очевидно, что n = 30.  Логическими рассуждениями находим количество красивых, но не умных: m = 22 – (22+18 -30) = 12

Получаем значение искомой вероятности:

Ответ: 0,4

Задача 9

30 августа на запись в первый класс друг от друга пришли два будущих первоклассника. Считая, что приходы мальчика и девочки равновероятны, найдите вероятность того, что пришли две девочки.

Решение: данная задача по формулировке аналогична задаче на бросание монет. Решаем ее с помощью таких же рассуждений. Всего возможных вариантов 4 : ММ, МД, ДМ,ДД. Выберем нам подходящие: ДД  -1, отсюда

Ответ:0,25

Задача 10.

В викторине участвуют 15 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее в первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая играет со следующим соперником. Известно, что в первых 8 играх победила команда А. Какова вероятность того, что она выиграет 9 раунд.

Решение: Рассмотрим самый простой способ решения по готовой формуле, работающей для любых чисел в условии: вероятность выиграть в n+1 испытании равна 1-, где n  - это намечающийся раунд.

Подставим наши данные в формулу: 1-=0,9

Ответ: 0,9

Задача 11 (рассадка по кругу без фиксации одного участника, так как он остается после этого не один)

6 человек: 3 девочки и 3 мальчика случайным образом рассаживаются за круглым столом. Найти вероятность того, что рядом с любым мальчиком будут сидеть две девочки.

Решение: в данном случае нет смысла фиксировать участника, поскольку мальчиков и девочек по 3. Ищем количество вариантов выбора трех мест из 6 для мальчиков – это сочетания 3 из шести и их будет 20. Теперь ищем благоприятные исходы – их 2, разные девочки с разных сторон, отсюда значение искомой вероятности:

Ответ: 0,1

Задача 12

На фабрике по пошиву  босоножек 8%  произведенных пар имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 90% дефективных босоножек. Найти вероятность того, что выбранная пара босоножек не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.

Решение: найдем общее количество исходов – оно состоит из суммы бракованных и не бракованных босоножек: не бракованных 0,92, но при контроле может быть не замечено 10% брака 0,08∙0,1 = 0,008, складываем бракованные и не бракованные 0,92 +0,008 = 0,928

Находим искомую вероятность: 0,92:0,928= 0,991370,991

Ответ: 0,991

Задача 13 (подсчет необходимых исходов с помощью сочетаний)

В ящике лежат фломастеры: 12 синих, 10 красных и 11 зеленых. Кирилл  достает случайным образом два фломастера. Какова вероятность, что он достанет один синий  и один зеленый фломастер.

Решение: . Найдем n – это выбор двух элементов из 33 без учета порядка, значит – это сочетания. . Далее находим благоприятные исходы : 12∙11 = 132

Получаем значение искомой вероятности:

Задача 14. Найдите вероятность того, что из трех последних цифр случайно выбранного телефонного номера хотя бы две совпадают.

Решение: Найдем общее количество исходов: для каждой цифры 10 вариантов, т.е получаем 10∙10∙10 = 1000. Далее , задачи с условием «хотя бы …» лучше решать от противоположного события « все цифры разные». Тогда  таких вариантов: для первой цифры 10, для второй 9 и для третьей  8, итого 10∙9∙8 = 720. Оставшиеся варианты и будут находиться вычитанием 1000 – 720 = 280. Находим вероятность:

 P(A) =

Задача 15. В городе 45% взрослого населения составляют мужчины. Среди взрослого населения 19,5% не работают, при этом среди взрослых мужчин доля неработающих составляет 14%. Проводя в этом городе социологическое исследование, для опроса случайным образом выбрали взрослую женщину. Какова вероятность того, что выбранная женщина не работает?

Решение. Подробная информация о неработающих представлена через мужчин, их 14%, про женщин ничего не известно, поэтому будем находить m через мужчин. Переводим все данные в десятичные дроби: мужчин 0,45, женщин 0,55 ( это количество всех исходов n), неработающих мужчин 0,14 от 0,45, всего неработающих взрослых 0,195. Находим неработающих мужчин: 0,14∙0,45 = 0,063. Находим m (неработающих женщин)

 0,195-0063 = 0,132. Итак, искомая вероятность равна P(A) =

2. Несовместные и совместные события

Определение 1.Два события А и В называются несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как А так и В. Например, из колоды карт будет извлечена черва и из колоды карт будет извлечена пики.Вероятность таких событий находится сложением вероятностей А и В: P(A.Если же известна вероятность  объединениясобытий и одна из исходных вероятностей, то вторую вероятность находим вычитанием. Такие задачи математики называют «задачи на отрезки»

Определение 2. Два события А и В называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Например, из колоды карт будет извлечена черва и из колоды карт будет извлечена семерка. .В данном случае формула решения выглядит следующим образом: P(A - P(AB).

 Данный вид задач имеет отличительные формулировки, поэтому в дальнейшем их будем исключать из других видов задач на вероятность.

Задача 1

На зачете по геометрии школьнику достается один вопрос из списка. Вероятность того, что вопрос будет по теме «Внешние углы» равна 0,1. Вероятность того, что вопрос будет по теме «Вписанная окружность» равна 0,35. Вопросов, которые относятся одновременно к этим темам, нет. Найти вероятность, что школьнику достанется вопрос по одной из этих тем. (ИЛИ)

Решение: данные события несовместны, вопрос задачи будет являться объединением двух событий из условия задачи, поэтому   P(A) = 0,1 +0,35  = 0,45

Задача 2

  Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение.

Рассмотрим три заданных события:

А – чайник прослужит больше года, но меньше двух;B – чайник прослужит более двух лет;C – чайник прослужит ровно два года.

Все три события несовместны (не могут произойти одновременно), сумма вероятностей равна 0,93 – самый благоприятный из трех исходов.  В результате получаем равенство:

,.

Ответ: 0,06.

Задача 3

Вероятность того, что маленький Миша заплачет, увидев в зоопарке медведя, составляет 0,3. Вероятность того, что маленькая Маша заплачет, увидев в зоопарке медведя, составляет 0,4. Вероятность того, что Миша и Маша вместе заплачут, увидев в зоопарке медведя, составляет 0,15. Какова вероятность того, что по крайней мере один из них заплачет, увидев в зоопарке медведя?

Решение: данные события совместны.  Применяем формулу P(A) = 0,3 +0,4 -0,15 = 0,55

Ответ: 0.55

Задача 4

В торговом зале два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня кофе закончится, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. найти вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах.

Решение:условие «кофе закончится в обоих автоматах» нам указывает на то, что события совместные. Для решения будем использовать формулу: P(A - P(AB) , но сначала найдем нужные нам вероятности – в автомате кофе не закончится: 1-0,4 = 0,6, в обоих автоматах не закончится: 1-0,22 =0,78. Подставляем найденные вероятности в формулу:0,6+0,6-0,78 = 0,42

Ответ: 0,42

Задача 5

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в среду окажется меньше 40 пассажиров равна 0,89.Вероятность того, что в среду окажется меньше 28 пассажиров равна 0,37. Найти вероятность, что пассажиров будет от 28 до 39.

Рассмотрим три заданных события:

А –в среду окажется меньше 40 пассажиров, В - в среду окажется меньше 28 пассажиров, С- пассажиров будет от 28 до 39.

События несовместны (не могут произойти одновременно), сумма вероятностей равна 0,89 – самый благоприятный из трех исходов.  В результате получаем решение: 0,89 – 0,37 = 0,52

Ответ: 0,52

3. Независимые события

Определение: два события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события. Вероятность независимых событий является их пересечением и находится умножением вероятностейА и В. (в условии или в вопросе присутствует союз «и»)P(A∩B) = P(A)∙P(B)

Пример 1

Если гроссмейстер Иванов играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Петрова с вероятностью 0,45. Если Иванов играет черными, то он выигрывает с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры играют две игры, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найти вероятность, что Иванов выиграет оба раза.

Решение: события независимые. Используем формулу P(A∩B) = 0,45∙0,4 = 0,18

Пример 2

По отзывам покупателей Петр Петрович оценил надежность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что товар доставят из магазина А равна 0,85. Вероятность того, что товар доставят из магазина В равна 0,96. Петр Петрович заказал товар в обоих магазинах. Найти вероятность, что ни один магазин не доставит товар.

Решение: Для решения данной задачи нужно найти вероятность события «не доставит товар», так как именно оно звучит в вопросе задачи.

P(A∩B) = (1-0,85)∙(1-0,96) = 0,15∙0,04 = 0,006

Ответ: 0,006

Пример 3

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две батарейки. Найти вероятность, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение: 0,9∙0,9 = 0,81

Ответ: 0,81

Пример 4

В загородном доме установлены две видеокамеры. Вероятность неисправности первой равна 0,3, а вероятность неисправности второй – 0,2. Найти вероятность того, что хотя бы одна из видеокамер исправна.

Решение: данную задачу можно решать разными способами, здесь мы ее решим через формулу независимых событий. Рассуждаем так: в условии «хотя бы одна» скрывается сразу три условия: первая работает – вторая не работает, первая не работает – вторая работает и обе работают. Перебирать эти события не будем, так как в этом случае данная задача будет на полную вероятность. Удобнее решать через оставшееся событие. Единственным оставшимся событием остается событие – «обе не исправны» – это событие противоположное вопросу. Поэтому найдем вероятность того, что «обе не исправны» и вычтем ее из 1.

1 – 0,3∙0.2 = 0,94

Ответ: 0,94

Задача 5

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания при одном выстреле 0,6. Найти вероятность того, что он первые два раза попадет в мишени, а последние три – промахнется. Ответ округлите до сотых.

Решение: события независимые, поэтому перемножаем заданные по условию вероятности:

0,6∙0,6∙0,4∙0,4∙0,4 = 0,02304 0,02

Ответ: 0,02

Задача 6

Пенсионер гуляет по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Пенсионер начинает прогулку сточки А. Найти вероятность того, что он придет в точку G.

Решение: Рассмотрим нужный нам маршрут: сначала до точки В, затем до точки G, вероятность попадания из А в точку В – 0,5, из В вG -0.25. Перемножаем данные вероятности и получаем 0,125

Ответ: 0,125

Задача 7

В уличном фонаре 3 лампы. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,8. Найти вероятность того, что все три лампы перегорят.

Решение: 0,8∙0,8∙0,8 = 0,512

Ответ: 0,512

Задача 8

Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?

Решение.

Вероятность того, что на одном из требуемых мест окажется чётное число равна 0,5. Следовательно, вероятность того, что на двух местах одновременно окажутся два чётных числа равна 0,5 · 0,5 = 0,25.

Ответ: 0,25.

Задача 9

Телефон передает SMS – сообщение. В случае неудачи он делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение уйдет без ошибки, в каждой отдельной попытке равно 0,7. Найти вероятность того, что для отправки данного сообщения потребуется больше трех попыток.

Решение: под фразой «потребуется больше трех попыток» скрывается фраза с трех раз не отправил 0,3∙0.3∙0,3 = 0,027.

Ответ: 0,027

Задача 10

В магазине три продавца. Каждый из них занят с вероятностью 0,7 независимо от других продавцов. Найти вероятность того, что в случайный момент времени два продавца свободны, а третий занят с покупателем.

Решение: 0,3∙0,3∙0,7 = 0,063, Ответ: 0.063

Задача 10.

У Пятачка есть три воздушных шарика: синий, желтый и зеленый. Винни Пух просит у него синий шарик и за это он обещает его угостить медом. Ослик Иа хочет зеленый шарик и за это обещает спеть песенку, причем шарики других цветов Пуху и Иа не нужны. Кролик готов сказать «спасибо» за шарик любого цвета. Известно, что Винни Пух с вероятностью 0,7 съест мед сам, а ослик Иа не захочет петь с вероятностью 0,4, получив шарик. Пятачок отправил по почте каждому из друзей по шарику, но при этом забыл, кому какого цвета нужен шарик. Найти вероятность, что все друзья Пятачка выполнят свои обещания.

 Решение: Для того, чтобы каждый выполнил свое обещание, необходимо выполнение следующих условий: 1) чтобы получил шарик нужного цвета. Всего 6 вариантов (перестановки из трех элементов). Нужная комбинация только одна: Винни Пух -  синий, Иа – зеленый, Кролик – желтый, имеем  . Далее идет выполнение условие каждым: ( кролика можно не учитывать, так как ему все равно), Винни Пух выполнит с вероятностью - 0,3, Иа – 06, соединяем все эти условия союзом «и» - независимые события и находим искомую вероятность, с помощью умножения вероятностей: ∙0,3∙0,6 = 0,03

Ответ: 0,03

4. Зависимые события

Определение: Событие В называется зависимым, если вероятность P(B) зависит от появления или непоявления события А. Вычисляется вероятность с помощью произведения вероятностей. Основное отличие задач данного типа – это последовательное извлечение элементов.

Задача 1

В классе 16 мальчиков и 9 девочек. Среди них выбирают двух дежурных. Найти вероятность того, что будут дежурить два мальчика.

Решение: выбор первого мальчика меняет ситуацию по количеству ребят. Значит данные события зависимые.  Дежурит первый мальчик с вероятностью , второй мальчик  , перемножаем данные события, получаем 0,4.

Ответ: 0,4

Задача 2

В ящике 26 цветных карандашей: 12 красных и 14 синих. Миша вытаскивает фломастеры по очереди. Какова вероятность, что в первый раз красный карандаш он вытащит третьим по счету.

Решение: События зависимые. Первое событие – Миша должен вытащить первым синий карандаш, вторым тоже синий и только третий раз – красный. Имеем: 0,14
Ответ: 0.14

Задача 3

Из колоды в 36 карт последовательно выбирают две карты. Найти вероятность того, что обе карты черной масти. Ответ округлить до сотых.

Решение: Данные события зависимые, следовательно имеем ,Ответ: 0,24
Задача 4

Из колоды в 36 карт наудачу вытаскивают две карты. Какова вероятность того, что две извлеченные карты одной масти?

Решение: Ответ: 0,57

5. Условная вероятность

Определение:если событие В происходит при уже свершившемся событии А, то событие В называется условной вероятностью.

Особенность решения таких задач заключается в том, что здесь количество общих исходовn – это количество исходов условия А при котором выполняется событие В, а количество исходов по количеству бросков здесь не нужно вовсе. В свою очередь, m –это количество исходов события В.

Задача 1

Артем бросил одновременно две игральные кости, ни на одной из них не выпало шесть. Какова вероятность при этом условии, что в сумме выпало 9 очков.

Решение: Количество исходов при двух бросках (36) нам не нужно при решении данной задачи. Ищем n – в данном случае количество исходов «ни на одной из них не выпало шесть», их 25 – 5 вариантов первого кубика и 5 у второго без шестерки (5∙5), m – это количество исходов события «в сумме выпало 9 очков, при первом условии», их 2.

Получаем значение искомой вероятности:

Задача 2

Петя  бросил одновременно три игральные кости. Известно, что в сумме выпало 7 очков. Найти вероятность события «хотя бы один раз выпало три очка»?

Решение:

Ищем n – в данном случае количество исходов «в сумме выпало 7 очков», их – 15 (511, 151,115,421,412,214,241,124,142, 322,232,223,331,313 и 133) m – это количество исходов события «хотя бы один раз выпало три очка», их 6.

Получаем значение искомой вероятности:

Задача 3

Игорь  бросил одновременно две игральные кости. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Какова вероятность, что  при этом условии при втором броске выпало 6?

Решение:

Ищем n – в данном случае количество исходов «в сумме выпало 8 очков», их – 5(26,62,53, 35,44) m – это количество исходов события «при втором броске выпало 6», их 1.

Получаем значение искомой вероятности:

Ответ:0,2

Задача 4.

Из слова «одиннадцатиклассница» случайным образом была выбрана одна буква. Оказалось, что выбранная буква встречается в слове несколько раз. Какова вероятность, что выбранная буква встречается в этом слове не менее трех раз?

Решение:

Второе условие выполняется при выполнении первого, поэтому данная задача является условной вероятностью: значит, вероятность n = это количество исходов события «выбранная буква встречается в слове несколько раз». Это буквы: д – 2 раза, и = 3 раза, н – 3 раза, а – 4 раза, с – 2 раза, ц – 2 раза, итого 16 исходов. Количество m – это количество исходов «выбранная буква встречается в этом слове не менее трех раз», таких исходов и = 3 раза, н – 3 раза, а – 4 раза всего 10. Находим исходную вероятность

Ответ: 0,625

6. Схема Бернулли

Предположим, проводится серия из nэкспериментов. В каждом из них вероятность наступления события А =p. Тогда вероятность того, что событие А наступит ровноk раз, вычисляется по формуле Бернулли:

P(A)=.

Задача 1

Петя бросает симметрическую монету 26 раз. Во сколько раз вероятность события «решка выпадет ровно 7 раз» превосходит событиесобытия «решка выпадет ровно 5 раз».

Решение: задача состоит из двух различных событий, вероятность каждого найдем отдельно по формуле Бернулли, а затем найдем их отношение: P(A1)=, считать здесь нет смысла. Далее мы при делении мы сократим данные выражения. P(A2)=, находим отношение первого ко второму и получаем 10.

Ответ в 10 раз

Задача 2

Марина  бросает симметрическую монету 13 раз. Найдите отношение вероятности события «решка выпадет ровно 8 раз» к вероятности события «решка выпадет ровно 7 раз».

Решение: задача состоит из двух различных событий, вероятность каждого найдем отдельно по формуле Бернулли, а затем найдем их отношение: P(A1)=, считать здесь нет смысла. Далее мы при делении мы сократим данные выражения. P(A2)=, находим отношение первого ко второму и получаем .

Ответ: 0,75

Задача 3

Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов. Известно, что вероятность поразить мишень 0,8. Во сколько раз вероятность события

 «стрелок поразит мишени ровно 4 раза» больше вероятности события «стрелок поразит мишени ровно 3 раза»?

Решение: очевидно, что задача на схему Бернулли, это понятно по формулировке вопроса, но есть еще условие, что «на каждую мишень дается не более двух выстрелов». Найдем сначала эту вероятность. Не более двух раз – попал с первого раза – вероятность 0,8 и попал со второго раза –с первого не попал, со второго попал 0,2∙0,8 = 0,16. Складываем вероятности и получаем 0,96.  Теперь используем формулу Бернулли для двух случаев.

P(A1) =

P(A2) =

Находим отношение, оно равно 12.

Ответ 12.

7. Полная вероятность

Определение: Если в результате эксперимента обязательно наступает одно из событийА,В, С …, причем вероятность каждого из них не равна 0, то такой эксперимент называют полной вероятностью.  Формула полной вероятности – есть сумма вероятностей каждой гипотезы, которая в свою очередь находится умножением.

Задача 1

В кафе на одной полке в случайном порядке стоят 50 чайных чашек: 30 зеленых, 10 красных и 10 синих. На другой полке в случайном порядке стоят 50 блюдец; 30 зеленых, 10 красных и 10 синих. Найдите вероятность того, что случайно выбранные чашка и блюдце будут одинакового цвета.

Решение:

Введем два события: А – выбрана зеленая чашка; B – выбрано зеленое блюдце. Вероятность события A равна отношению общего числа чашек n=50 к числу чашек зеленого цвета m=30:

Также и для вероятности события B:

Так как события A и B независимы, то вероятность выбора и зеленой чашки и зеленого блюдца, равна:

По аналогии находим вероятность выбора синей чашки и синего блюдца:

И вероятность выбора красной чашки и красного блюдца:

Искомая вероятность равна сумме всех этих вероятностей:

Ответ : 0,44

Задача 2

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение: стреляет из не пристрелянного пистолета – вероятность 0,8, из пристрелянного 0,2. Вероятность, что промахнется изпристрелянного 0,1,  что  промахнется изне пристрелянного 0,6 Применяем формулу: 0,8∙0,6 +0,1∙0,2 = 0,5

Ответ: 0,5

Задача 3

В уличном фонаре 3 лампы. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,8. Найти вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение: Событие «хотя бы одна лампа не перегорит» на самом деле содержит 8 гипотез: перегорит только первая, перегорит только вторая, перегорит только третья, перегорят первая и вторая, перегорят первая и третья, перегорят вторая  и третья и все три не перегорят.  Используем формулу полной вероятности: 3∙0,8∙0,2∙0,2+ 3∙0,8∙ 0,8∙0,2+ 0,2∙0.2∙0,2 = 0,488

Задача 4

Артём гуляет по парку. Он выходит из точки S и, дойдя до очередной развилки, с равными шансами выбирает следующую дорожку, но не возвращается обратно. Найдите вероятность того, что таким образом он выйдет к пруду или фонтану.

Решение.

Рассмотрим маршрут A-B-пруд. Вероятность его выбора будет определяться сначала выбором направления из точки А в точку В, а затем, из точки В в сторону пруда. Вероятность выбора из A в B, равна 1/4 (1 дорожка из 4-х возможных), а вероятность из В к пруду – 2/4=1/2 (2 дорожки из 4-х возможных). Следовательно, вероятность попадания из S к пруду через A и B, равна

.

К пруду также можно попасть через A-C-пруд. Вероятность этого маршрута, равна:

Наконец, к фонтану, можно пройти по маршруту A-C-D-фонтан. Вероятность этого пути:

.

Так как все три события несовместны, то искомая вероятность посещения или пруда или фонтана, равна сумме этих вероятностей:

Ответ: 0,3125.

Задача 5

Телефон передает SMS – сообщение. В случае неудачи он делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение уйдет без ошибки, в каждой отдельной попытке равно 0,9. Найти вероятность того, что для отправки данного сообщения потребуется не более двух попыток.

Решение: под фразой «потребуется не более двух попыток» скрывается два события: отправил с 1 попытки и придется отправить  со второй попытки. Если отправил сразу, значит вероятность равна 0,9, если пришлось отправлять два раза – это означает, что первый раз не ушло, второй ушло. Таким образом, получаем

 0,1∙0,9 = 0,09. Складываем данные вероятности и получаем: 0,9 + 0,99= 0,99

Ответ:0,99

Задача 6

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна 0,04. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система заблокирует неисправную батарейку 0,98. Вероятность того, что по ошибке заблокирует исправную батарейку, равна 0,03. Найти вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет заблокирована.

Решение: заблокирована батарейка может двумя способами: реально неисправная и по ошибке. Используем формулу полной вероятности и получим: 0,04∙0,98 +0,96∙0,03 = 0,068

Ответ:0,068

Задача 7

Владимир в тире стреляет до тех пор, пока не поразит мишень. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Какое наименьшее число патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил мишень с вероятностью не менее 0,75?

Решение: Будем подсчитывать вероятности при каждом выстреле и складывать их до тех пор, пока они не превысят 0,75.

Попал сразу – 0,3, попал со второго раза – первый не попал, второй попал 0,7∙0,3 и так далее по аналогии. Общая вероятность сейчас 0,51 – не хватает до 0,75. Продолжаем

Попал с третьего раза 0,7∙0,7∙0,3 = 0,147, общая 0,657. Продолжаем

Попал с четвертого раза 0,7∙0,7∙0,7∙0,3=0,1029, общая 0,7599 – достигли нужной вероятности на 4 выстреле, значит понадобилось 4 патрона.

Ответ: 4

Задача 8

В ресторане «дружба» администратор предлагает гостям  игру: гость бросает одновременно две игральные кости. Если он бросит комбинацию из двух одинаковых чисел, хотя бы в одной из попыток, то получит подарок от повара: пиццу. Какова вероятность, что гость получит подарок? Ответ округлить до сотых.

Решение: Всего испытаний 36, нам подходящих – 6: 11,22,33,44,55,66. Вероятность, что получит с первого раза  или, со второго =, складываем данные вероятности и получаем приблизительно 0,31

Ответ: 0,31

Задача 9

Маша коллекционирует принцесс из Киндер- сюрпризов, всего в коллекции 10 разных принцесс и они равномерно распределены в сюрпризах. В каждом очередном Киндер- сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из принцесс.  У Маши уже есть 6 разных принцесс из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придется купить еще одно или два шоколадных яйца. (0,64)

Решение: Имеем – 0,6 – уже есть такая кукла, 0,4 – еще нет такой куклы.

 1 гипотеза: пусть Маша купит новую куклу с первого раза, в этом случае вероятность будет равна 0,4.

2 гипотеза: если ей придется ее купить со второго раза – это означает, что первый раз попалась уже купленная кукла, а второй раз новая: 0,6∙0,4 = 0,24.

 Находим искомую вероятность по формуле полной вероятности: 0,4+0,24 = 0,64

Ответ: 0,64

Задача 10

В урне 10 фиолетовых шаров, 7  красных и 3 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар окажется фиолетовым или красным? 

Решение: событие «или» содержит на самом деле два события: вытянула фиолетовый – вытянула красный, при этом они не являются зависимыми. По формуле полной вероятности, имеем:

Ответ: 0,85

Задача 11.

Баскетболист пробивает три штрафных броска. Вероятность попадания при первом , втором и третьем бросках равна соответственно 0,8; 0,6 и 0,3. Найти вероятность того, что мяч залетит кольцо ровно два раза.

Решение:

1 гипотеза: попадет с первого и второго раза: 0,8∙0,6 = 0,48

2 гипотеза: попадет с первого и с третьего раза: 0,8∙0,3 = 0,24

3 гипотеза: попадет со второго и третьего раза: 0,6∙0,3 =0,18

Полная вероятность: 0,48 +0,24+0,18 = 0,9

Задача 12.

Каждый вечер Хуан Гарсия играет на гитаре под окном неприступной красавицы Сесилии. Вероятность того, что она в знак любви бросит ему красную розу в отдельно взятый вечер равна 0,1. Найти вероятность, что Хуан завоюет сердце Сесилии, если ее соседи согласны терпеть его бренчание только четыре вечера?

Решение:

1 гипотеза: Хуан получит розу в первый вечер – 0,1

2 гипотеза: получит розу во второй вечер, т.е в первый не получит во второй получит:  0,9∙0,1 = 0,09

3 гипотеза: не получит в 1 и 2, получит в третий: 0,9∙0,9∙0,1 = 0,081

4 гипотеза: не получит в 1,2 и 3, получит в 4: 0,9∙0.9∙0,9∙0,1 = 0,0729

Находим полную вероятность: 0,1+0,09+ 0,081+0,0729 = 0,3439

Ответ: 0,3439

Задача 13.  

Жил  старик со своею старухой у самого синего моря. Старик ловил неводом рыбу, закидывая невод до тех пор, пока не поймает хотя бы одну. Вероятность поймать рыбу при первом закидывании невода равна 0,4, а при последующих 0,6. Сколько раз старику нужно закинуть невод, что бы вероятность поцмать хотя бы одну рыбу  была не менне 0,95?

Решение:

Будем просчитывать суммы вероятностей, до тех пор пока не достигнем нужной вероятности 0,95

1 гипотеза: поймает рыбку с первого раза – 0,4

2 гипотеза: со второго раза, т.е первый не поймает, второй поймает: 0,6∙0,6 = 0,36

Складываем, и получаем 0,76, еще не достигли 0,95. Продолжаем.

3 гипотеза: с третьего раза: 0,6∙0,4∙0,6 = 0,144. Складываем 0,76 +0,144 = 0,904. Не достигли 0,95.

4 гипотеза: с 4 раза: 0,6∙0,4∙0,4∙0,6 = 0,0576. Складываем 0,904+0,0576 = 0,9616. Достигли 0,95 с четвертой попытки.

Ответ: 4

Задача 14.

Маша купила для всей семьи пирожков: 3 с капустой, 3 с вареньем и 4 с рисом. Пирожки лежат в одном пакете и внешне все одинаковы. По дороге домой Маша чувствует непреодолимое желание съесть 2 пирожка, причем разных и не с рисом. С какой вероятностью ей удастся выбрать нужные пирожки из пакета?

Решение: Маша выберет первый пирожок с вероятностью 0,3. Теперь всего осталось 9 пирожков.

 Маша выберет второй пирожок с вероятностью .

1 гипотеза: первый с капустой, второй с вареньем: 0,3∙

2 гипотеза: первый с вареньем, второй с капустой: 0,3∙

Складываем вероятности: 0,1+0,1 =0,2

Ответ: 0,2

Задача 15.

Что бы пройти в следующий тур соревнований , футбольной команде «Буратино» нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Вероятности выигрыша и проигрыша в каждой игре одинаковы и равны  0,2. За победу в игре команде дается 3 очка, за ничью одно очко, за поражение о очков. Какова вероятность того, что команда «Буратино» выйдет в следующий тур соревнований?

Решение:

Данная задача разбивается на три гипотезы: или 1) оба раза выиграет: 0,2∙0,2 = 0,04

Или 2) первый раз ничья, второй выигрыш. Найдем вероятность ничьей: 1 – 0,2 -0,2 = 0,6. Получаем

0,6∙0,2 = 0,12

или 3) первый раз выигрыш, вторая ничья: 0,2∙0,6 = 0,12

Складываем данные вероятности: 0,04+0,12+0,12 = 0,28

Ответ: 0,28

8. Формула Байеса

Предположим, что событие А наступило, и необходимо найти вероятность наступления одной из гипотез. Для этого применяется формула Байеса:

P(A) = (полная вероятность) : (вероятность нужной гипотезы)

Задача 1

На склад поступило 2 партии изделий: первая – 4000 штук, вторая – 6000 штук. Средний процент нестандартных изделий в первой партии составляет 20%, а во второй – 10%. Наудачу взятое со склада изделие оказалось стандартным. Найти вероятность того, что оно из первой партии.

Решение:

Первая часть решения состоит в использовании формулы полной вероятности. Рассмотрим две гипотезы:
 – наудачу взятое изделие будет из 1-й партии;
 – наудачу взятое изделие будет из 2-й партии.

Всего: 4000 + 6000 = 10000 изделий на складе.
.

Рассмотрим зависимое событие:  – наудачу взятое со склада изделие будет стандартным.

В первой партии 100% – 20% = 80% стандартных изделий, поэтому:  – вероятность того, что наудачу взятое на складе изделие будет стандартным при условии, что оно принадлежит 1-й партии.

Аналогично, во второй партии 100% – 10% = 90% стандартных изделий и  – вероятность того, что наудачу взятое на складе изделие будет стандартным при условии, что оно принадлежит 2-й партии.

По формуле полной вероятности: 0,4∙0,8 + 0,6∙0,9 = 0,86

По формулам Байеса:

 – вероятность того, что выбранное стандартное изделие принадлежит 1-й партии;

Задача 2

В одном из регионов производством постельного белья занимаются две фабрики. Первая выпускает 30% постельного белья, вторая – 70%. Среди комплектов постельного белья, произведенных на первой фабрике, дефекты пошива имеют 6% комплектов, на второй фабрике -2% комплектов. Случайным образом купленный в данном регионе комплект постельного белья имеет дефект. Найдите вероятность того, что этот комплект пошит на первой фабрике?

Решение. Решение:

Первая часть решения состоит в использовании формулы полной вероятности. Рассмотрим две гипотезы:
 – наудачу взятый комплект будет бракованным из 1-ой фабрики: 0,3∙0,06 =0,18
 – наудачу взятый комплект будет бракованным из 2-ой фабрики: 0,7∙0,02=0,14

По формуле полной вероятности: 0,18 + 0,14 = 0,32

По формулам Байеса:

Ответ: 0,5625

Задача 3

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 88% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 92% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 11% пациентов, направленных на тестирование.

При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Решение.

В отличие от предыдущей задачи, здесь нет вероятности, что взятый наудачу пациент болен, обозначим его за х.Пусть событие A — пациент болен, событие B — тест выявляет наличие заболевания. Тогда P(A) = x — вероятность того, что пациент болен. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 88% случаев, значит, вероятность того, что пациент болен и тест подтверждает это, равна P(AB) = x · 0,88. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в 92% случаев, значит, вероятность того, что пациент не болен, а тест дал положительный результат, равна (1 − x) · (1 − 0,92). По формуле полной вероятности имеем: 0,88х=0,08(1-х) = 0,11, Тогда вероятность того, что тест окажется положительным, равна 0,375. Вероятность гипотезы, что пациент здоров 0,88∙0,375 подставляем в формулу Байеса данные: (0,88∙0,375):0,11 = 0,3

 Ответ:0,3

Задачи для самостоятельного решения

1.Ковбой Джо попадает в муху на стене с вероятностью 0,92, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,23. На столе лежит 23 револьвера, из них только 18 пристрелянные. Ковбой Джо видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джо попадет в муху? ( 0,77)

2.В урне 12 желтых шаров, 5 красных и 8 белых. Какова вероятность того, что взятый наугад шар окажется желтым или красным?  (0,68)

3. Если гроссмейстер Иванов играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Петрова с вероятностью 0,56. Если Иванов играет черными, то он выигрывает с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры играют две игры, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найти вероятность, что Иванов выиграет оба раза. (0,168)

4. Маша коллекционирует принцесс из Киндер- сюрпризов, всего в коллекции 10 разных принцесс и они равномерно распределены, в каждом очередном Киндер- сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из принцесс.  У Маши уже есть 2 разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придется купить еще два или три шоколадных яйца. (0,192)

5. Петя бросил одновременно три игральные кости. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найти вероятность, что второй раз выпало 3 очка. (0,2)

6. В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трёх играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет четвёртый раунд? (0,8)

7. Из ящика, в котором лежат фломастеры, не глядя достали два фломастера. Найдите вероятность того, что эти фломастеры оказались одного цвета, если известно, что в ящике 12 синих и 13 красных фломастеров.(0,48)

8. Монету бросили 11 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»? (1,4)

1. Биатлонист стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле 0,5. Найдите вероятность, что биатлонист первые 3 раза попал, а 2 последние раза промахнулся. (0,02)
2. Телефон передает SMS – сообщение. В случае неудачи он делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение уйдет без ошибки, в каждой отдельной попытке равно 0,8. Найти вероятность того, что для отправки данного сообщения потребуется не больше трех попыток (0,992)
3. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 91% случаев. Если заболевание нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 93% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание? Результат округлите до сотых.(0,33)
4. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит ее. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,5?(4)
5. В ящике три красных и три синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что в первый раз синий фломастер появится третьим по счету?(0,15)
6. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события "стрелок поразит ровно три мишени" больше вероятность события "стрелок поразит ровно две мишени"? (5,25)
7. Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определен жребием. Всего в турнире будет 8 игр и  16 игроков, причем все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5.Среди игроков два друга - Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придется сыграть друг с другом? (0,125)
8. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 5 мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 4 мишени»?(1,05)
9. Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,21. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. ( 0,990739)
10. Вероятность того, что новый персональный компьютер прослужит больше года, равна 0,95. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. (0,08)
11. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.(0,52)
12. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.(0,47)
13. Среди 8 лотерейных билетов 4 выигрышных. Наудачу взяли 5 билетов. Определить вероятность того что среди них 2 выигрышных. (0.429)
14. Футбольную секцию посещают 51 человек, среди них два друга –Роман и Семен.  Посещающих секцию случайным образом делятна 3 команды. Найдите вероятность того, что Роман и Семен окажутся в разных командах. (0,34)
15. На детском утреннике за круглый стол на 17 стульев в случайном порядке посадили 15 мальчиков и две девочки. Найти вероятность, что обе девочки будут сидеть рядом.(0,125)
16. Сергей в салоне сотовой связи выбирает наугад номер мобильного телефона. Какова вероятность того, что последние две цифры телефонного номера различны?(0,9)
17. В ящике лежат фломастеры: 12синих, 10 красных и 11 зеленых. Кирилл  достает случайным образом два фломастера. Какова вероятность, что он достанет один синий  и один зеленый фломастер.(0,25)
18. Футбольную секцию посещают 33 человека, среди них два брата - Антон и Дмитрий.  Посещающих секцию случайным образом делятна три команды по 11 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Антон и Дмитрий окажутся в одной команде.(0,75)

19. За круглый стол на 11 стульев в случайном порядке рассаживаются 9 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик (0,2)

20. В викторине участвуют 10 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее в первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая играет со следующим соперником. Известно, что в первых 6 играх победила команда А. Какова вероятность того, что она выиграет и 7 раунд? (0,875)
21. В ящике 8 фломастеров: 5 красных и 3 зеленых. Катя вытягивает фломастеры по очереди. Какова вероятность, что в первый раз зеленый фломастер она вытащит четвертым? Ответ округлите до сотых. (0,05)
22. Из колоды в 36 карт одну за другой вытаскивают 2 карты. Какова вероятность, что среди них 2 туза? Ответ округлите до сотых. (0,01)
23. В классе 26 учащихся, среди них три подружки - Оля, Аня и Юля. Класс поделили на две равные группы. Найти вероятность того, что все три девочки окажутся в одной группе. (0,22)
24. В ящике три красных и три синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что в первый раз синий фломастер появится третьим по счету? (0,12)
25. В городе 56 % взрослого населения составляют женщины. Среди взрослого населения пенсионеры составляют 17,8 % ют, при этом среди взрослых женщин доля пенсионеров равна 20 %. Проводя в этом городе социологическое исследование, для опроса случайным образом выбрали взрослого мужчину.  Какова вероятность того, что выбранный мужчина пенсионер? (0,15)

26. В одном из регионов доступ в интернет предоставляют два провайдера: первый обслуживает 45 % всех подключений к сети интернет, второй – 55 %. Среди клиентов первого провайдера 86% полностью довольны качеством предоставляемых услуг, среди клиентов второго  провайдера 94 %. Оказалось, что случайным образом выбранный пользователь в данном регионе имеет претензии к качеству услуг. Найдите вероятность того, что этот клиент первого провайдера. (0,65625)

27. Каждый вечер Хуан Гарсия играет на гитаре под окном неприступной красавицы Сесилии. Вероятность того, что она в знак любви бросит ему красную розу в отдельно взятый вечер равна 0,2. Найти вероятность, что Хуан завоюет сердце Сесилии, если ее соседи согласны терпеть его бренчание только три вечера? (0,488)

28. Жил  старик со своею старухой у самого синего моря. Старик ловил неводом рыбу, закидывая невод до тех пор, пока не поймает хотя бы одну. Вероятность поймать рыбу при первом закидывании невода равна 0,3, а при последующих 0,8. Сколько раз старику нужно закинуть невод, что бы вероятность поймать хотя бы одну рыбу  была не менне 0,971? (3)

29. Из слова «достопримечательность» случайным образом была выбрана одна буква. Оказалось, что выбранная буква встречается в слове несколько раз. Какова вероятность, что выбранная буква – это буква «о»? (0,25)

Самостоятельная работа №1 для учащихся. Задание ОГЭ №10.

Разгадать поговорку, решив задачи на вероятность.

 А) В такси 10 зеленых машин, 14 желтых и 1 черная.Найти вероятность, что на вызов приедет желтая машина?

Б) Вероятность того, что батарейка бракованная 0,2. Какова вероятность, что батарейка не бракованная?

С) На чемпионате 26 участников, среди них 15 из России в том числе Кирилл. Найти вероятность, что Кирилл будет играть с участником не из России?

Х) Вероятность, что насос рабочий 0,91. Найти вероятность, что насос бракованный.

Л) В группе туристов 51 человек, среди них Егор и Иван. Для поездки на экскурсию группу разделили на три ровные части. Найти вероятность, что Егор и Иван окажутся в разных группах?

И) В группе туристов 21 человек, среди них Егор и Иван. Для поездки на экскурсию группу разделили на три ровные части. Найти вероятность, что Егор и Иван окажутся в одной группе?

В) Какова вероятность, что выбранное число от 58 до 82 делится на 6?

Т) В группе туристов 21 человек, среди них в группе из 10 человек Иван. Найти вероятность, что Иван и Олег окажутся в одной группе?

Д) Среди 20 насосов один бракованный. Какова вероятность, что насос исправен.

Е) Монету бросают два раза. Найти вероятность, что решка выпадет ровно один раз.

У) В турнире по шахматам 16 человек их них двое из России. Участников  разбили на четыре равные группы. Какова вероятность, что Петров будет играть с участником из России?

Я) Какова вероятность, что выпадет число кратное трем при бросании кости? Ответ округлите до сотых.

Й) Кубик бросают два раза. Найти вероятность, что сумма очков равна 5. Ответ округлите до сотых.

О) В ЕГЭ два задания из 20 на вероятность. Какова вероятность, что ученик начнет решения с задачи не на вероятность?

Р) Найти вероятность, что двузначное число  кратно 10 .

В) На чемпионате 26 участников, среди них 13 из России в том числе Анна. Найти вероятность, что Анна будет играть с участницей из России?

П) Монету бросают три раза. Найти вероятность, что решка не выпадет ни разу?

Н) На чемпионате 26 участников, среди них 10 из России в том числе Елена. Найти вероятность, что Елена будет играть с участницей не из России?

Самостоятельная работа №2 для учащихся. Задание ЕГЭ №2.

1. В корзине 9 красных шаров и 3 синих. Шары различаются только цветом. Наугад (не глядя) достаём один из них. Какова вероятность того, что выбранный таким образом шар окажется синего цвета?

2. Конференция длится три дня. В первый и второй день выступают по 15 докладчиков, в третий день – 20. Какова вероятность того, что доклад профессора М. выпадет на третий день, если порядок докладов определяется жеребьевкой?

3. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Македонии, 8 спортсменов из Сербии, 3 спортсмена из Хорватии и 6 — из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Сербии.

4. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Великобритании, 8 спортсменов из Франции, 10 спортсменов из Германии и 10 — из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Франции.

5. В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.

6. В сборнике билетов по географии всего 25 билетов, в 20 из них встречается вопрос по рекам и озерам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по рекам и озерам.

7. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 200 качественных сумок приходится четыре сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

8. В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 20 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

9. В сборнике билетов по философии всего 45 билетов, в 18 из них встречается вопрос по Пифагору. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по Пифагору.

10. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 60 докладов — первые три дня по 14 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

11. На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками.

12. Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5.

13. На тарелке 12 пирожков: 5 с мясом, 4 с капустой и 3 с вишней. Наташа наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

14. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 9 черных, 4 желтых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.

15. В каждой десятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Варя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Варя не найдет приз в своей банке.

16. Миша с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двадцать четыре кабинки, из них 5 — синие, 7 — зеленые, остальные — красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Миша прокатится в красной кабинке.

17. У бабушки 20 чашек: 5 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

18. Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 15 с машинами и 10 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Толе достанется пазл с машиной.

19. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 50. Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет однозначный номер?

20. В коробке 14 пакетиков с чёрным чаем и 6 пакетиков с зелёным чаем. Павел наугад вынимает один пакетик. Какова вероятность того, что это пакетик с зелёным чаем?

21. Из 1600 пакетов молока в среднем 80 протекают. Какова вероятность того, что случайно выбранный пакет молока не течёт?

22. В магазине канцтоваров продаётся 100 ручек, из них 37 – красные, 8 – зелёные, 17 – фиолетовые, ещё есть синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что Алиса наугад вытащит красную или чёрную ручку.

Ответы: