Программа курсов по выбору "Комбинаторика и элементы статистики" для предпрофильной подготовки.
план-конспект по алгебре по теме

   МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ  ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 42»  г.  ВОРКУТЫ

169926, Республика Коми, г.Воркута, п. Северный, ул. Юго-Западная, д 5.

ПРОГРАММА КУРСА ПО ВЫБОРУ ДЛЯ ПРЕДПРОФИЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ

НОМИНАЦИЯ:  ПРЕДМЕТНО - ОРИЕНТИРОВАННЫЕ КУРСЫ

КОМБИНАТОРИКА И ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ

          Автор:    

                Курылева

         Эви  Ростиславовна

          учитель математики

          МОУ «СОШ № 42»

            г.    Воркуты                                                                                            

                                                                       2011

             Пояснительная   записка.

        Данная программа является модифицированной, т. е. разработанной на основе уже существующей примерной учебной программы. Но с изменениями и дополнениями в содержании предмета, последовательности изучения тем, количества часов, с использованием организационных форм обучения. Программа рассчитана  в основном для учащихся 8-х классов, т.к. её содержание соответствует уровню знаний и интересов детей именно этой возрастной категории, но может изучаться и в 9-х классах.

        Вид курсов: предметно-ориентированные.

        Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей постепенно возвращаются в школьную программу и становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования функциональной грамотности – умений воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчёты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчёт числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах. Именно при проведении уроков по этим курсам, учитель имеет возможность формировать устойчивый интерес к изучению математики, развивать интеллект воспитанников, способность ориентироваться в окружающей действительности, строить прогнозы. Однако на практике количество учебных часов, как правило, не позволяет включить данный курс в учебный процесс без ущерба для изучения других тем. Одним из выходов в данной ситуации является изучение элементов логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей в виде элективных курсов.

        Данный курс построен на основе учебного пособия «Элементы статистики и вероятность. 7-9» М. В. Ткачёвой, Н. Е. Федоровой и составлен с помощью различных источников, которые указаны в списке литературы. Он отличается от учебного пособия тем, что более подробно рассматриваются такие вопросы, как  размещения без повторений и с повторениями, сочетания с повторениями, перестановки с повторениями и т. д. В то же время статистика рассматривается более сжато и носит более ознакомительный характер, чем темы по комбинаторике, т.к. на рассмотрение выносится одна из её задач – «дизайн информации», т.к. навыки, полученные учащимися по этой теме, могут использоваться в исследовательской деятельности и по другим предметам.

Цели курса:

Создание условий для формирования и развития у обучающихся:

• интереса к изучению математики;
• системы математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности;
• интеллектуального развития, критичности мышления, интуиции, логического мышления;
• умения самостоятельно приобретать и применять  знания;
• творческих способностей;
• коммуникативных навыков, которые способствуют развитию умений работать в группе, вести дискуссию, отстаивать свою точку зрения;
• умения свободно ориентироваться в Интернет-пространстве.

В процессе обучения учащиеся приобретают следующие конкретные умения:

• решать комбинаторные задачи;
• применять полученные знания на практике;
• выдвигать гипотезы;
• точно формулировать вопрос;
• быстро вести поиск в Интернете;
• делать выводы;
• участвовать в дискуссии.

Содержание программы.

1. Простейшие комбинаторные задачи (4 часа). Правило умножения и правило сложения. Комбинаторная задача. Графический способ решения комбинаторных задач (дерево вариантов).  Правило суммы (сложения). Правило умножения. Решение задач на правило суммы, правило умножения, на оба правила вместе. Факториал.
2. Соединения в комбинаторике (7 часов). Перестановки без повторения, перестановки с повторением. Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями. Размещения без повторений. Размещения с повторениями. Решения задач на перестановки, сочетания, размещения.
3. Элементы статики (5 часов).  Статистика. Статистические данные. Статистическая совокупность. Генеральная и выборочная совокупности. Сводка и группировка данных. Наглядное представление информации (гистограммы, диаграммы, графики).
4. Итоговое занятие курса (1 час).

  Тематическое      планирование.

Список литературы.

1. Ткачёва М. В., Фёдорова Н.Е. Элементы статистики и вероятность. Учебное пособие для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2004.
2. Мордкович А.Г., Семёнов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2004.
3. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. – М.: издательство «Наука», 1969.
4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. – М.:Просвещение,2003.
5. Булатова Н.Ф. Комбинаторика. – Владимир: ВГПУ, 2001.
6. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. 7-9 кл./ Автор-составитель Студенецкая В.Н. – Волгоград: Учитель, 2005.
7. http://math.ru  На сайте можно найти видео-лекции, занимательные математические факты, различные по уровню и тематике задачи, истории из жизни математиков. В разделе «библиотека» можно найти интересные книги (по всем разделам математики), которые давно были изданы и более не переиздавались. В том числе и книги по комбинаторике и теории вероятностей.
8. http://scol-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/ckas.htm Сказка о Федоте и его математическом походе. Увлекательное путешествие для детей в мир комбинаторики. Также здесь можно пройти тестирование по комбинаторике и не только.
9. http://www.math-on-line.com/olimpiada-edu/katalog-math-combinat-kolich.html Список занимательных  комбинаторных задач для учеников 5-8 классов.       

   Занятие 1.  Понятие о комбинаторике и комбинаторной задаче.

              Представителям самых разных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр или иных объектов. Начальнику цеха надо распределить несколько видов работ между имеющимися станками, агроному – разместить сельскохозяйственные культуры на нескольких полях, завучу школы – составить расписание уроков, ученому-химику – рассмотреть возможные связи между атомами и молекулами, лингвисту -  учесть различные варианты значений букв незнакомого языка и т.д. Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.

            С задачами, в которых приходится выбирать те или иные объекты, располагать их в определенном порядке, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее расположение охотников, воинов во время битвы, инструмент для выполнения работы.

            Первые упоминания о вопросах, близких к комбинаторным, встречаются в китайских рукописях, относящихся к 12-13 в.в. до н.э. В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов, в которых заданные числа располагались так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же. В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата и т. д. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии ещё во II в. до н. э. Индейцы умели вычислять числа, которые сейчас называют «сочетаниями». В XII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что индийские учёные изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха и поэтических произведениях.

             Комбинаторика как наука возникла в  XVII веке. В жизни привилегированных слоев тогдашнего общества большое место занимали азартные игры. В карты и кости выигрывались и проигрывались золото и бриллианты, дворцы и имения, породистые кони и дорогие украшения. Широко были распространены всевозможные лотереи. Понятно, что первоначально  комбинаторные задачи касались в основном азартных игр – вопросов, сколькими способами можно выбросить данное число очков , бросая две или три кости, или сколькими способами можно получить двух королей в данной карточной игре. Эти и другие проблемы азартных игр являлись движущей силой в развитии комбинаторики и развивавшейся одновременно с ней теории вероятностей.

              Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья(ок.1499-1557). Он составил таблицу, показывающую , сколькими способами могут выпасть  r костей. Однако при этом не учитывалось, что одна и та же сумма очков может быть получена разными способами (например, 1+3+4=4+2+2).

              Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские ученые Б.Паскаль (1623-1662) и П. Ферма(1601-1661). Исходным пунктом их исследований тоже были азартные игры. Особенно большую роль сыграла задача о разделе ставки, которую предложил Паскалю его друг де Мере, страстный игрок. Проблема состояла в  следующем: «матч» в орлянку ведется до шести выигранных партий; он был прерван, когда один игрок выиграл 5 партий, а другой – 4; как разделить ставку? Было ясно , что раздел в отношении 5:4 несправедлив. Применив методы комбинаторики, Паскаль решил задачу в общем случае, когда одному игроку до выигрыша остается r  партий, а второму  - s партий. Другое решение задачи дал Ферма.

              Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Якова Бернулли(1654-1705), Г.Лейбница(1646-1716) и Л.Эйлера(1707-1783). Однако и у них основную роль играли приложения к различным играм. Термин «комбинаторика» стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы «Рассуждение о комбинаторном искусстве», в которой впервые было дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением размещений впервые занимался Я. Бернулли во второй части своей книги «Ars cojectandi» (искусство предугадывания) в 1713 г.

Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в XIX веке. Комбинаторными задачами интересовались и математики, занимавшиеся составлением и разгадыванием шифров, изучением древних письменностей. За последние годы комбинаторика переживает  период бурного  развития, связанного  с общим повышением к математике и информатике. Комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, в частности  задач по составлению расписаний;  для составления планов производства и реализации продукции. Теперь комбинаторика находит применение во всех областях науки и техники: биологии, где она находит применение для изучения состава белков и ДНК, в химии, в механике и т. д.

            В жизни вам  иногда  приходится встречаться с такими ситуациями:

1) выбрать двух дежурных из 25 учащихся класса;

2) выбрать председателя и секретаря собрания из 25 присутствующих;

3) угадать, как будут распределены золотая, серебряная и бронзовая медали в розыгрыше по футболу, если участвуют 16 команд;

4) угадать, как будут распределены эти 16 команд в итоговой таблице чемпионата;

5) выстроить 5 человек в ряд;

6) вычеркнуть 6 выигрышных номеров из 49 в карточке «Спортлото»;

7) записать все четырехзначные числа , используя цифры 1 и 0.

             Если мы захотим узнать, сколько существует способов осуществить действие в ситуациях 1-7, то получим семь задач.

             Что объединяет все эти задачи?

1. В каждой задаче дано конечное  множество.

2. Из элементов данного множества составляют (выбирают) некоторые соединения, элементы которого обладают указанными в задаче свойствами.

3. Вопрос, на который нужно ответить (сколько существует таких соединений или сколькими способами можно осуществить указанные действия?).

        Такие задачи называют комбинаторными.

Определение. Задачи на составление числа возможных соединений элементов с определенными свойствами, которые можно составить из элементов заданного множества, называются комбинаторными.

         Понимание проблем комбинаторики, умение подсчитывать число различных возможностей, связанных с упорядочением множеств, является весьма важным для правильного восприятия статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике, для восприятия законов природы, носящих вероятностный характер.

        Задания для учащихся на дом.

        Подготовить сообщения на темы «Биография Б.Паскаля», П.Ферма, Г.Лейбница или Я.Бернулли.

Занятие  2.  Способы решения комбинаторных задач. Графический способ. Дерево вариантов.

Графический способ решения  комбинаторных задач позволяет:

1) наглядно представить процесс составления соединений;

2) осознать  возможности составления соединений;

3) подсчитать число возможных соединений.

Задача 1.    Сколькими способами можно выбрать командира и санитара из пяти учеников?

Решение.    Пусть  М – множество учеников, обозначим его элементы

На первом шаге будем выбирать командира. У нас имеется 5 возможностей:  А, Б, В, Г, Д. На втором шаге будем выбирать санитара. Имеется 4 возможности, т.к. выбранный командир не может быть санитаром.

Все представленные возможности удобно изобразить графически.

                                                     Рисунок 1.

На схеме каждому варианту выбора командира и санитара соответствует путь, идущий  по стрелке из верхней строчки  в нижнюю. Например путь БД означает, что ученик Б - командир, а ученик Д - санитар. Число всех путей равно числу букв в нижней строчке и равно числу всех возможных вариантов выбора командира и санитара.

Итак, существует 20 способов  выбора командира и санитара из 5 учеников.

        Мы решили эту задачу, изобразив графически все возможные варианты. Такую схему принято называть деревом возможных вариантов, или просто - дерево вариантов.

Задача 2.    Сколькими способами можно выбрать двух дежурных из пяти учеников?

Решение.    Пусть  М - множество учеников, М=

Построим дерево вариантов. На первом шаге выбираем одного дежурного. Имеется 5 возможностей: А, Б, В, Г, Д. На втором шаге выбираем другого дежурного. В зависимости от выбора первого дежурного у нас будут различные возможности выбора другого дежурного.

Все предоставленные возможности изобразим графически (рис. 2).

                                                 Рисунок 2.

На дереве вариантов  каждому варианту выбора двух дежурных соответствует путь, идущий по стрелке из верхней строчки к нижней. Число всех таких путей равно 10, значит, существует 10 способов выбора двух дежурных из пяти учеников.

Примечание 1. На схеме видно, что каждый ученик дежурит с любым другим только один раз.

Примечание 2. На схеме у ученика Д нет стрелок, т.к. он уже дежурил с учениками А, Б, В, Г.

Задача 3.    Сколько трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 5 и 7.

Решение.   Пусть М – множество цифр, М =

Построим дерево вариантов. На первом шаге записываем цифру сотен, у нас имеется 2 возможности: 5 или 7.

На втором шаге записываем цифру десятков, у нас также две возможности: 5 или 7, т.к. цифры в записи числа могут повториться. На третьем шаге записываем цифру единиц. Имеется 2 возможности: 5 или 7.

                                                            Рисунок 3.

На схеме видно, что можно записать 8 трехзначных чисел с помощью цифр 5 или 7.

Задача 4.   Сколько трехзначных четных чисел можно записать, используя цифры 0, 1,2,3, причём все цифры в числе различные?

Решение.    Пусть М- множество цифр, m(M)= 4.

Построим дерево вариантов.

На первом шаге записываем цифру сотен. Имеем 3 возможности: 1, 2 или 3. Цифра нуль не может быть в разряде сотен  трехзначного числа. На втором шаге записываем цифру десятков.  Ей может быть любая  из трех цифр,  кроме записанной в разряде сотен.  На третьем шаге записываем цифру единиц. Ей может  быть 0 или 2 (т.к. по условию числа четные), причем только в тех случаях, где эти цифры не записаны в разряде сотен или десятков.    

Рис. 4 даёт наглядную возможность составления таких соединений.

Рисунок 4.

Всего можно записать 10 чётных трехзначных чисел: 102, 120, 130, 132, 210,230, 302, 310, 312, 320.

Этот способ решения комбинаторных задач доступен детям начальных классов.

Однако, этот способ решения задач целесообразно применять при небольшом числе элементов в множестве и в составляемом соединении.

Упражнения.

1. Сколькими способами можно рассадить в ряд на стульях трёх учеников? Ответ:6.
2. Вова точно помнит, что в формуле азотной кислоты подряд идут три буквы H, N, O и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка. Нарисуйте дерево возможных вариантов, из которых Вове придётся выбирать ответ. Сколько имеется вариантов, в которых индекс равен двойке? Сколько имеется вариантов, в которых индекс стоит на втором месте? Как изменится дерево вариантов, если Вова вспомнит, что на первом месте точно стоит буква Н, а порядок остальных букв забыл? Ответ:3;4
3. Из четырёх тузов поочерёдно выбирают два. Нарисуйте дерево возможных вариантов. Во скольких случаях среди выбранных будет бубновый туз? А в скольких – туз пик? В скольких случаях тузы будут разного цвета? Ответ: 6;3;8.

                          Занятие 3. Правило суммы.

            Комбинаторные задачи бывают самых разных видов. Но большинство из них решается с помощью двух основных правил – правила суммы и правила произведения.

             Часто удается разбить все изучаемые комбинации на несколько классов, причем каждая комбинация входит в один и только один класс. Ясно, что в этом случае общее число комбинаций равно сумме чисел комбинаций во всех классах. Это утверждение и называют правилом суммы. 

             Рассмотрим задачу.   В коробке 6 синих карандашей и 12 красных. Сколько всего карандашей в коробке?

Решение.    Пусть А – множество синих карандашей,  m(A)=6,  B – множество красных карандашей, m(B)=12.  AB – множество всех карандашей в коробке, причем  АВ =О.

Тогда   m(AB)=m(A)+m(B)=6=12=18.

             Изменим вопрос к задаче: сколькими способами можно выбрать из коробки один карандаш? Получим комбинаторную задачу. Число способов выбора одного карандаша равно числу всех карандашей в коробке, т.е. 18. Но 18 – это сумма 6 и 12, где 6 – число способов выбора синего карандаша, а 12 – число выбора красного карандаша. Т.о. правило суммы можно сформулировать следующим образом.

          Если объект а можно выбрать n способами, а объект b можно выбрать k способами, то выбор a или b можно сделать n+k способами.

            При использовании правила суммы надо следить, чтобы ни один из способов выбора объекта А не совпадал с каким-нибудь способом выбора объекта В (или , другими словами , чтобы ни одна комбинация не попала сразу в два класса). Если такие совпадения есть, правило суммы утрачивает силу , и мы получаем лишь  n+k-d, где d – число совпадений.

        Упражнения.

1. Сколькими способами можно выбрать гласную или согласную букву в слове «ученик»? Ответ: 7.
2. Несколько стан в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырёх вертикальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зелёный. У каждой страны свой, отличный от других , флаг. Сколько всего стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом? Ответ: 12.
3. У Аси есть любимый костюм, котором она ходит в школу. Она одевает к нему белую, голубую,  розовую или красную блузку. А в  качестве «сменки» берёт босоножки или туфли. Кроме того у Аси есть три разных бантика (№ 1,2,3), подходящих ко всем блузкам. Нарисуйте дерево возможных вариантов одежды Аси. Сколько дней Ася может выглядеть по новому в этом костюме? Сколько дней она будет ходить в туфлях? Ответ:24;12. 

   Занятие 4. Правило произведения.

           Второе правило , называемое правилом произведения , несколько сложнее. Часто при составлении комбинации из двух элементов известно, сколькими способами можно выбрать первый элемент, и сколькими способами второй, причем число способов выбора второго элемента не зависит от того, как именно выбран первый элемент. Пусть первый элемент можно выбрать n способами, а второй k способами.  Тогда пару этих элементов можно выбрать nk способами.

            Рассмотрим задачу.   Даны два множества А=   и В=.Сколько закрытых слогов можно записать из элементов множеств А и В?

Решение.    Выпишем все закрытые слоги : аб, аг, об, ог, уб, уг. Получили 6 слогов.

           Изменим вопрос к задаче. Сколькими способами можно записать закрытый слог из элементов множеств А и В? Получили комбинаторную задачу. Число способов записи закрытого слога равно числу  6=32, где 3 – число способов выбора первой компоненты пары, а 2 – число способов выбора второй компоненты пары.

   Вывод . Число способов записи закрытого слога равно произведению числа способов выбора первой и второй компоненты пары.

Если первую компоненту пары можно выбрать n способами , а вторую можно выбрать k способами , то число всевозможных комбинаций пар равно произведению чисел n и k.

Сформулированное утверждение   в комбинаторике  называется правилом произведения.

     Применим правило умножения к некоторым задачам.

Задача 1.   В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора?

Решение.   Первая лампочка может гореть или не гореть, т.е. имеется два возможных исхода. Тоже сеемое относится и ко второй , и к третьей лампочкам. Мы предполагаем, что лампочки горят или нет независимо друг от друга. По правилу умножения получаем, что число всех исходов освещения равно =.

Задача 2.   В семье – 6человек, и за столом в кухне стоят 6 стульев. Семья решила каждый вечер , ужиная, рассаживаться на эти стулья по новому. Сколько дней члены семьи смогут осуществлять задуманное?

Решение.   Ответ оказывается неожиданно большим: получается почти два года! Объясним его. Для удобства   рассуждений  будем  считать,  что семья (бабушка, дедушка, мама, папа, дочь, сын) будет рассаживаться на стулья поочередно. Нас интересует, сколько всего существует различных способов их размещения на стульях.

Предположим, что первой усаживается бабушка. У нее имеется 6 вариантов выбора стула. Вторым садится дедушка и независимо выбирает стул из 5 оставшихся. Мама делает свой выбор третьей и выбор у нее будет из 4 стульев. У папы будет уже три варианта, у дочки – 2, ну а сын сядет на единственный незанятый стул. По правилу умножения получаем, что имеется = различных способов размещения. Таким образом, в «игру с рассаживаниями»семья может играть 720 дней, т.е. почти два года.

        Упражнения.

1. Катя, Маша и Ира играют с мячом. Каждая из них должна по одному разу бросить мяч в сторону каждой подруги. Сколько раз каждая из девочек должна бросать мяч? Сколько всего раз будет подбрасываться мяч? Определите, сколько раз будет подбрасываться мяч, если в игре примут участие : четверо детей; пятеро детей. Ответ: 3 девочки – 6 бросков; 4 девочки – 12 бросков; 5 девочек – 20 бросков.
2. В клетки квадратной таблицы 2х2 произвольно ставят крестики и нолики. Сколькими способами можно заполнить эту таблицу? В скольких случаях в левой нижней клетке будет стоять крестик? В скольких случаях в верхней левой и нижней правой клетках будут разные значки? Решите задачи для таблицы 3х3. Ответ: 16; 8; 8; 512;256;256.

  Занятие  5.  Соединения  в комбинаторике. Размещения .

                  Мы рассмотрели некоторые способы решения комбинаторных задач. С их помощью можно решать задачи самых разных типов. Однако , можно указать задачи , которые неудобно решать по этим правилам. Например:

- сколькими способами можно составить список учеников класса, если их 25 человек?

- сколькими способами можно выбрать из 25 учеников 7 делегатов на школьную конференцию?

Для решения таких задач можно пользоваться формулами, которые позволяют найти число соединений различных типов.

Задача.    В первенстве области по футболу участвуют 17 команд. Разыгрываются медали: золотые, серебряные, бронзовые. Сколькими способами они могут быть распределены?

Решение.    Эта задача решается на основе правила произведения. Золотые медали может получить любая из 17 команд. Иными словами, здесь у нас 17 возможностей. Но если золотые медали уже получены какой-то командой, то остается лишь 16 претендентов на серебряные медали. Повторения здесь быть не может – одна и та же команда не может завоевать и золотую, и серебряную медали.

            Значит, после вручения золотых медалей какой-то команде остается 16 возможностей получения серебряных медалей. Точно так же если уже вручены и золотые, и серебряные медали, то бронзовые медали может получить лишь одна из 15 оставшихся команд.  Значит, по правилу произведения получаем, что медали могут быть распределены  17 1615=4080 способами.

    Решенная задача относится к классу комбинаторных задач без повторений. Общая формулировка этих задач такова

          Имеется  n различных предметов. Сколько из них можно составить k-расстановок?  При этом две расстановки считаются различными, если они либо отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, либо состоят из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке. Такие расстановки называются размещениями без повторений, а их число обозначают . При составлении k-размещений без повторений из n предметов нам надо сделать k  выборов. При этом на первом шаге можно выбрать любой из имеющихся n предметов. Если этот выбор уже сделан, то на втором шаге приходится выбирать из оставшихся  n-1 предметов – ведь повторять сделанный выбор уже нельзя. Точно так же на третьем шаге для выбора остается лишь n-2 свободных предметов, на четвертом – n-3 предметов… на k-м шаге n-k+1 предметов. Поэтому по правилу произведения получаем ,что число k-размещений без повторения из n  предметов выражается следующим образом:

           Задача 1.    Сколько словарей нужно составить, чтобы можно выполнять перевод с любого  из четырех языков на любой другой из этих языков?

   Решение.  М – множество языков, m(М)=4, М=  р, н, а, ф   .

Для составления словаря возьмем элементы х1 и х2 из множества М. Каждый элемент соединения х1, х2 обладает своим свойством, например, если х1=р, х2=н, то словарь дает перевод с русского на немецкий, а «словарь» х2,х1 дает перевод с немецкого на русский. Порядок записи выбранных элементов важен, значит, соединения включают два элемента. Элементы соединений различны, т.к. нет словаря, переводящего с одного языка на тот же самый язык. Таким образом, в задаче речь идет о нахождении числа размещений без повторений из 4 элементов по 2.

Ответ: 12 словарей.

Задача 2.  Сколько можно составить четырехзначных чисел из 5 различных цифр 0, 1, 2, 3, 4?

Решение .  М – множество цифр, m(M)=5.

По условию цифры в числе не повторяются, можно воспользоваться формулой числа размещений из 5 элементов по 4.

                                      .

          Среди 120 чисел будут числа , начинающиеся с нуля. Определим, сколько таких чисел. Это будут размещения без повторений из 4 по3.

                                          .

Значит, четырехзначных чисел, состоящих из различных цифр  данного множества будет

                                       .

Ответ: 96 чисел.

             В этой задаче мы не рассматривали числа с одинаковыми цифрами, т.е. равными компонентами. В комбинаторике такие задачи называются размещения с повторениями.

Число размещений с повторениями из n элементов по k равно произведению k чисел, каждое из которых равно n.

                                                .

Задача 3.   Сколько  трехзначных чисел можно записать из девяти цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, если все цифры в записи числа могут повторяться?

Решение.   М – множество цифр, m(M)=9. Трехзначное число имеет длину 3, компоненты которого  могут быть равными. Значит, нужно найти число размещений с повторениями из 9 по 3.

                                                  .

Ответ: 729.

        Упражнения.

1. В классе 27 учеников, из которых нужно выбрать троих. Сколькими способами можно сделать, если  первый ученик должен решить задачу, второй  - сходить за мелом, третий – пойти дежурить в столовую? Ответ:17550.
2. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны? Ответ:151200.
3. Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырёх из шести девушек на танец? Ответ: 36.

     Занятие 6. Перестановки.

            При составлении размещений без повторений из n элементов по k мы получали расстановки , отличающиеся друг от друга и составом , и порядком элементов. Но если брать расстановки , в которые входят все n элементов, то они могут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в него элементов. Такие расстановки называются перестановками из n элементов, или, короче, n-перестановками.

             Иными словами ,n-перестановками называют размещения без повторения из n элементов, в которые входят все элементы. Это всевозможные n-перестановки, каждая из которых содержит все эти элементы по одному разу и которые  отличаются друг от друга лишь порядком элементов. Число n-перестановок обозначают через . Формула для  сразу получается из формулы для числа размещений без повторений:

                                      .

        Таким образом, чтобы узнать , сколько перестановок можно составить из n элементов, надо перемножить все натуральные числа от 1 до n. Это произведение обозначают   n! (читается n-факториал). Итак, .

При этом полагают 1!=1, но 0!=1.

Заметим, что формулу для числа размещений без повторений можно записать в виде

                                     .

Задача 1. В пассажирском поезде вагоны имеют номера со второго по одиннадцатый. Сколькими способами можно переставить вагоны , составляя этот состав?

Решение.  Пусть М – множество вагонов, m(V)=10. Из элементов множества М составляют поезда, содержащие все 10 вагонов. Составы будут отличаться только порядком расположения вагонов, значит, это перестановки без повторений из 10 элементов.  Р10=10!=3628800.

Ответ:3628800.

Задача 2.Сколькими способами могут разместиться 4 пассажира в четырехместном купе?

Решение.  М – множество пассажиров, m(M)=4. В купе 4 места, каждое место займет один из пассажиров. Каждое размещение пассажиров будет отличаться только порядком. Это перестановки из 4 элементов.

Р4=4!=24.

Ответ: 24

Если в перестановках имеются повторения, то используют следующую формулу

                           .

Задача 3. Сколько перестановок можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Решение. У нас здесь буква «м» - 1, буквы «и» - 4, буквы «с» - 3, буквы «п» - 1, а всего 9 букв. Значит по формуле число перестановок равно

                           =2520.

Ответ: 2520.

Задача 4. Сколько семизначных чисел можно записать с помощью цифр 2, 3, 5 при условии,  что цифра 2 повторяется в каждом из чисел три раза, а цифры 3и5 – по два раза.

Решение. Искомое число, очевидно, является числом различных перестановок с повторениями из цифр 2, 3, 5, в которых цифра 2 повторяется три раза, а цифры 3 и 5 – по два раза. Поэтому оно равно

                        .

Ответ: 210.

                                                                                                                                                     .

        Упражнения.

1. Адъютант должен развести шесть копий приказа генерала шести полкам. Сколькими способами он может выбрать маршрут доставки копий приказа? Ответ:320.
2. Пусть вам нужно сходить в библиотеку, сберегательный банк, на почту и отдать в ремонт ботинки. Для того чтобы выбрать кратчайший маршрут, необходимо рассмотреть все возможные варианты. Сколько существует вариантов пути, если библиотека, сберегательная касса, почта и сапожная мастерская расположены далеко друг от друга? Ответ:24.
3. В гостинице семь одноместных номеров, и семеро гостей желают в них разместиться, причём трое заранее зарезервировали конкретные номера. Найдите число способов расселения семи гостей по семи номерам. Ответ:24.
4. Одиннадцать футболистов строятся перед началом матча. Первым становится капитан, вторым – вратарь, а остальные – случайным образом. Сколько существует способов построения? Ответ: 362880.
5. Сколькими способами можно обозначить вершины куба буквами A, B, C, D, E, F, G, K? Ответ: 40320.

                   Занятие 7. Сочетания.

Нас не всегда интересует порядок, в котором расположены элементы. Например, в первенстве по шахматам в полуфинале участвуют 20 человек, а в финал выходят лишь трое, то порядок, в котором располагается первая тройка не существенен – хоть третьим, а лишь бы выйти в финал! Ведь бывали случаи, когда чемпионом становился шахматист, занявший в полуфинале не самое высокое место.

В тех случаях, когда нас не интересует порядок элементов в комбинации, а интересует лишь ее состав, говорят о сочетаниях. Итак, k-сочетаниями из n элементов называют всевозможные  k-расстановки, составленные из  этих элементов и отличающиеся друг от друга составом, ноне порядком элементов. Число k-сочетаний, которые можно составить из n элементов, обозначают через . Формула для вычисления числа сочетаний:

                                 .

Задача 1. «Проказница Мартышка, Осёл, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Мишке поручили принести со склада 8 каких-нибудь попавшихся под лапы музыкальных инструментов из имеющихся 13 инструментов. Сколько способов выбора есть у Мишки?

Решение. По условию порядок выбора не важен. Значит, нам требуется найти количество всех выборок 8 элементов из 13 данных без учета порядка, т.е. число сочетаний из 13 элементов по 8:

                  .

Ответ:1287.

Сочетания обладают рядом важных свойств, приведем одно из них:

                                  .

В чем польза этой формулы? Представьте себе, что вам надо вычислить . Применив равенство , мы упростим вычисления:

                               .

Рассмотрим пример, в котором используется и правило умножения, и формула числа сочетаний, рассмотренная выше.

Задача 2. Собрание из 80 человек выбирает председателя, секретаря и трех членов редакционной комиссии. Сколько способами это можно сделать?

Решение. Председателем может быть любой из участников собрания – 80 вариантов. Если председатель выбран, то секретарем может оказаться любой из оставшихся 79 человек – 79 вариантов. По правилу произведения получаем, что выбор председателя и секретаря осуществляется 8079=6320 способами.

Если испытание А – выбор председателя и секретаря – завершено, то следует заняться испытанием Б – выбор трех членов редакционной комиссии из оставшихся 78 участников собрания. Редакционную комиссию выбирают списком, т.е. порядок выбора не имеет значения. Сделать это можно способами:

.

Поскольку испытания А и Б предполагаются назависимыми, остается лишь применить правило произведения: .

Ответ: 480800320 способов.

Рассмотрим теперь тип задач, в которых есть сочетания с повторениями. Например, из элементов а и в можно образовать соединения по 3 элемента:

                          а,а,а;   а,а,в;   а,в,в;   в,в,в.

Составленные соединения называются сочетаниями с повторениями из n различных  элементов по k, причем один и тот же элемент может входить в соединение несколько раз. Для вычисления таких сочетаний применяют следующую формулу

                               .

Задача 3. В почтовом отделении имеются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить: а)12 открыток; б) 8 открыток; в) 8 различных открыток?

Решение. А)  М – множество видов открыток, m(М)=10, нужно купить 12 открыток. Так как число открыток больше числа видов открыток, то в покупке будут одинаковые виды открыток. Порядок, в котором выбираются открытки, неважен, значит, это будут сочетания с повторениями из 10 видов открыток по 12.

                                 .

Б) Нужно купить 8 открыток из 10 открыток. В покупке могут быть открытки одного вида. Это будут сочетания с повторениями из10 по8.

                                .

В) Нужно купить 8 различных открыток. Порядок расположения в наборе неважен, значит, каждый набор будет сочетаниями без повторений из10 элементов по 8.

                                 .

        Упражнения.

1. Вычислите:  а)   ;  б)   ;  в)   ;  г) .  Ответ:  136; 4950; 10; 70.
2. Вычислите:  а) ;  б)   ;  в) .  Ответ: 26; 924; 67.
3. «Вороне где-то Бог послал кусочек сыра», брынзы, колбасы, сухарика и шоколада. «На ель ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж было собралась, да призадумалась»:

А) если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придётся выбирать;

Б) сколько получится «бутербродов» из двух кусочков;

В) если съесть сразу три кусочка, а остальные спрятать, то из скольких вариантов придётся выбирать? Ответ: 120; 10; 10.

           Занятие 8-9. Решение задач по комбинаторике.

Комбинаторика изучает некоторые операции над конечными множествами. Эти операции приводят к понятиям перестановок, размещений и сочетаний. Комбинаторика решает также и задачи, связанные с этими операциями. Основными задачами являются следующие типы задач:

1)определение видов сочетаний;

2)подсчет числа элементов.

Для установления вида соединений можно руководствоваться правилами, определяющими понятие того или иного из этих видов. Таких правил несколько. Одно из них приведено в таблице.

 Кроме того, при решении комбинаторных задач полезно  пользоваться следующей памяткой.

        При решении комбинаторных задач следует ответить на следующие вопросы:

1. Из какого множества осуществляется выбор (надо найти п)?

2.Что требуется: расставить всё в ряд (перестановки Р), или выбрать часть( найти к)?

3. Важен ли порядок? Если важен, то применяем правило размещений А, а если нет – правило сочетаний С.

4. Возможны ли повторения?

        Рассмотрим ещё один пример.

Сколькими способами можно составить букет из 3 цветов, если в вашем распоряжении 5 цветов: мак, роза, тюльпан, лилия, гвоздика?

        Решение. Основное множество:, значит п=5.

Соединение – букет из трёх цветков, значит k=3.

Проверим, важен ли порядок:

 и  - один и тот же букет, следовательно, порядок не важен, таким образом, это сочетание «из пяти по три».

                      (букетов).

Ответ: 10 букетов.

        Упражнения.

1. Номер автомобиля состоит из трёх букв и четырёх цифр. Сколько существует различных автомобильных номеров (три буквы берутся из 29 букв русского алфавита)? Ответ: 243890000.
2. Сколько трёхкнопочных комбинаций существует на кодовом замке ( все три кнопки нажимаются одновременно), если на нём всего 10 цифр? Ответ: 120.
3. При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать? Ответ: 1184040*116280*3432.
4. Обезьяну посадили за пишущую машинку с 45 клавишами. Определить число попыток, необходимых для того, чтобы она наверняка напечатала первую строку романа Л.Н.Толстого «Анна Каренина», если строка содержит 52 знака? Ответ:4552.
5. Имеется пять различных стульев и семь рулонов обивочной ткани различных цветов, Сколькими способами можно осуществить обивку стульев? Ответ: 16807.
6. На памятные сувениры в «Поле чудес» спонсоры предлагают кофеварки, утюги, телефонные аппараты, духи. Сколькими способами 9 участников игры могут получить эти сувениры? Сколькими способами могут быть выбраны 9 предметов для участников игры? Ответ: 49,220.
7. Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из офицера, 2 сержантов и 20 рядовых? Ответ: .
8. Из ящика, где находятся 15 шаров, занумерованных последовательно от1 до 15, вынимают три шара. Определить число возможных комбинаций номеров при этом. Ответ:455.
9. Сколько различных пятизначных чисел можно написать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (без повторений)? Ответ: 15120.
10. Группа учащихся в 30 человек пожелала обменяться своими фотографиями. Сколько потребовалось фотографий для этого? Ответ: 870.
11. Анаграммой называется слово (даже не имеющее смысла), составленное из всех букв данного слова, причем каждая буква повторяется столько раз, сколько раз она входит в данное слово. Сколько анаграмм можно сделать из слова «журнал»? Ответ: 720.
12. На студенческий вечер собрались юноши и девушки 8 факультетов университета (в том числе математического и филологического). Для исполнения народных танцев приглашаются 10 студентов. Сколькими способами можно выбрать эту десятку при условии участия в ней хотя бы одного студента математического и хотя бы одного студента филологического факультета? Ответ: 6435.
13. Сколько разных стартовых шестёрок можно образовать из числа 10  волейболистов? Ответ: 210.
14. В одной арабской сказке речь идёт о такой задаче. Вокруг солнца сидят 12 разбойников. Каждый из них смертельно ненавидит двух ближайших соседей. С целью спрятать награбленное необходимо выделить 5 разбойников. Сколькими способами атаман может назначить пятерых так, чтобы между ними не было распрей? Ответ: 36.
15. Сколько прямых можно провести через 8 точек, из которых никакие 3 не лежат на данной прямой? Ответ: 28.
16. В некотором сказочном королевстве не было двух человек с одинаковым набором зубов. Каково может быть наибольшее число жителей этого королевства, если у человека 32 зуба?

                  Занятие 10-11. Практические занятия.

Эти занятия необходимо посвятить работе учащихся на компьютерах в кабинете информатики.  

Сайты интернета, которые необходимо привлечь для работы учащихся:

http://math.ru  На сайте можно найти видео-лекции, занимательные математические факты, различные по уровню и тематике задачи, истории из жизни математиков. В разделе «библиотека» можно найти интересные книги (по всем разделам математики), которые давно были изданы и более не переиздавались. В том числе и книги по комбинаторике и теории вероятностей.

http://scol-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/ckas.htm Сказка о Федоте и его математическом походе. Увлекательное путешествие для детей в мир комбинаторики. Также здесь можно пройти тестирование по комбинаторике и не только.

http://www.math-on-line.com/olimpiada-edu/katalog-math-combinat-kolich.html Список занимательных  комбинаторных задач для учеников 5-8 классов.

         Занятие 12. Статистика, основные понятия статистики.

        «Статистика знает всё», - утверждали Ильф и Петров в своём знаменитом романе «Двенадцать стульев» и продолжали: «Известно, сколько какой пищи съедает в год средний гражданин республики… Известно, сколько в стране охотников, балерин, станков, велосипедов, памятников, маяков и швейных машинок. Как много жизни, полной пыла, страстей и мысли, глядит на нас со статистических таблиц!...» Это ироническое описание даёт довольно точное представление о статистике (от лат. Status – состояние) – науке, изучающей, обрабатывающей и анализирующей количественные данные о самых разнообразных массовых явлениях в жизни. Экономическая статистика изучает изменение цен, спроса и предложения на товары, прогнозирует рост и падение производства и потребления. Медицинская статистика изучает эффективность различных лекарств и методов лечения, вероятность возникновения того или иного заболевания в зависимости от возраста, пола, места проживания, условий работы, вредных привычек. Демографическая статистика изучает рождаемость, численность населения, его состав (возрастной, национальный, профессиональный). Кроме того есть ещё финансовая статистика, налоговая, метеорологическая…

        Статистика имеет многовековую историю. Уже в древнем мире вели статистический учет населения. Однако произвольные толкования статистических данных, отсутствие строгой научной базы статистических прогнозов позволили в конце XIX века английскому премьер-министру Б.Дизраэли не без основания заметить: «Есть три вида лжи: просто ложь, наглая ложь и статистика». В ХХ веке появилась математическая статистика – наука, основанная на теории вероятностей. Соединение накопленных к этому времени практических методов обработки данных с математическим аппаратом теории вероятностей превратило эти две отрасли человеческого знания в мощный инструмент для исследования законов природы и общества.

        Рассмотрим основные понятия статистики.

        Статистические данные. Так называют данные (чаще всего – числовые), полученные в результате различных наблюдений, опросов, экспериментов.

        Статистическая совокупность – множество объектов, сходных по ряду основных свойств, но имеющих индивидуальные отличия в других свойствах Например, население одного города, трудовые организации, трудовой коллектив школы – всё это различные совокупности, которые могут быть исследованы статистическими методами.

        Отдельные элементы, составляющие статистическую совокупность, называются её единицами. В рассмотренных ранее случаях единицами являются, соответственно, - горожане; отдельные магазины, киоски и т.д.; сотрудники и учителя школы. Общее количество единиц совокупности называют её объёмом.

        Единицы совокупности характеризуются, как правило, многими свойствами. В статистике используют понятие «признак» - это свойство единицы совокупности, выражающее одну из сторон её сущности. Например, у человека можно выделить признаки (свойства) национальность, пол, возраст и др. Некоторые признаки у всех единиц данной статистической совокупности; собственно, совпадение ряда таких признаков и объединяет разрозненные единицы в совокупность. Другие признаки могут изменяться, т.е. принимать различные значения у разных единиц одной совокупности; при этом конкретные значения изменяющегося признака называют вариантами. Например, для сотрудников школы одним из признаков является занимаемая должность, а его варианты – директор, завуч, учитель.

        Изменяющиеся признаки делятся на качественные и количественные. Признак называется качественным, если его отдельные элементы выражаются в словесной форме. Например, признак «уровень образования» может принимать значения «начальное», «среднее», «высшее», т.е. является качественным. Признак называется количественным, если его отдельные значения выражаются в виде чисел. Например, признак «заработанная плата» у разных людей принимает значения 2000 руб., 5000руб...,т.е. является количественным.

                Важнейшими этапами статистического исследования являются:

1. статистическое наблюдение;
2. сводка и группировка собранных данных;
3. математический анализ и обобщение статистической информации, выявление закономерностей в изучаемых явлениях.

Практически любое статистическое исследование включает 3 вышеперечисленных этапа. Каждый этап характеризуется собственной системой методов, направленных на достижение наиболее эффективного решения поставленных задач.

1. Чтобы охарактеризовать с количественной стороны любое массовое явление, необходимо сначала собрать информацию о составляющих его элементах. Это и достигается при помощи статистического наблюдения, осуществляемого на основе выработанных статистической наукой правил и способов.
2. Собранные в процессе статистического наблюдения сведения подвергаются в дальнейшем сводке (первичной обработке), в процессе которой выделяются характерные части (группы). Выделение групп и подгрупп единиц из всей массы называется в статистике группировкой. Группировка в статистике является основой обработки и анализа собранной информации. Осуществляется на основе определённых принципах и правил. Такая информация в виде таблиц, списков очень трудно читается, она не наглядна и занимает много места. Достаточно представить себе количество информации о числе и размерах вкладов Сбербанке России за текущий год или данные о производительности труда на предприятиях какой-нибудь отрасли по всей стране, результаты голосования по всем избирательным пунктам и т.п.

Единственный разумный выход – каким-то образом преобразовать первоначальные данные, получить сравнительно небольшое количество характеристик начальной информации и в дальнейшем оперировать именно с этими, как правило, численными характеристиками. Одна из основных задач статистики как раз и состоит в надлежащей обработке информации.

3. В процессе математической обработки статистической информации совокупность обследованных единиц и выделенные её части (группы) характеризуются системой обобщающих статистических показателей.

Таким образом, руководствуясь названными методами и правилами статистики вправе рассчитывать , что на основе собираемых им статистических данных он может раскрыть сущность изучаемого общественного процесса.

При этом мы не должны забывать, что возможны ошибки статистического наблюдения, т.е. расхождение действительных значений признаков с их величиной, полученной в результате сбора сведений. Ошибки статистического наблюдения разнообразны по происхождению и характеру. Они могут возникнуть из-за неполного охвата подлежащих регистрации единиц, в пропуске записи, неясной записи отдельных ответов, описки.

                     Занятие  14. Сбор и группировка статистических данных.

Для изучения различных общественных и социально-экономических явлений, а также некоторых процессов, происходящих в природе, проводятся статистические исследования. Всякое статистическое исследование начинается с целенаправленного сбора информации об изучаемом явлении или процессе. Этот этап называется этапом статистического наблюдения.

        Для обобщения и систематизации данных, полученных в результате статистического наблюдения, их по какому-либо признаку разбивают на группы и результаты группировки сводят в таблицы.

        Рассмотрим такой пример. Администрация школы решила проверить математическую подготовку восьмиклассников. С этой целью был составлен тест из 9 заданий. Работу выполняли 40 учащихся школы. При проверке каждой работы учитель отмечал число верно выполненных заданий. В результате был составлен такой ряд чисел:

5,6,4,0,4,5,7,9,1,6.8,7,9,5,8,6,7,2,5,7,6,3,4,4,5,6,8,6,7,7,4,3,5,9,6,7,8,6,9,8.

        Для того, чтобы было удобно анализировать полученные данные, упорядочим этот ряд:

                 0,                  1,                 2,                  3,3,                     4,4,4,4,4,

             5,5,5,5,5,5,                 6,6,6,6,6,6,6,6,                     7,7,7,7,7,7,7,                 8,8,8,8,8,                

                9,9,9,9.

        Представим полученные данные в виде таблицы, в которой для каждого числа верно выполненных заданий, записанного в верхней строке, укажем в нижней строке количество появлений этого числа в ряду, т. е. частоту.

Такую таблицу называют таблицей частот.

        В рассмотренном примере сумма частот равна общему числу проверяемых работ. Т.е. 40.

        Вообще, если результат исследования представлен в виде таблицы частот, то сумма частот равна общему числу данных в ряде.

        При проведении статистических исследований после сбора и группировки данных переходят к их анализу, используя для этого различные обобщающие показатели. Простейшим из них является такие статистические характеристики, как среднее арифметическое, мода, медиана, размах.

        Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

        В нашем примере, чтобы найти среднее арифметическое, надо общее число верно выполненных заданий разделить на число учащихся, т.е. 40. Получаем:

        Значит, в среднем учащиеся выполнили по 5,8 заданий, т.е. примерно  общего объёма работы.

        Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

В нашем примере наибольшее число верно выполненных заданий равно 9, а наименьшее  равно 0. Значит размах ряда равен 9-0=9, т.е. различие в числе верно выполненных заданий достаточно велико.

        Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в ряду.

        Из таблицы видно, что чаще всего встречаются работы , в которых верно выполнено 6 заданий, т.е. мода ряда равна 6.

        Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине , а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

        В нашем примере в ряду всего 40 чисел, то медиана равна среднему арифметическому 20-го и 21-го членов соответствующего упорядоченного ряда. Для того. Чтобы определить, в какие группы попадают эти члены, будем последовательно суммировать частоты и сравнивать суммы с числами 20 и 21. Найдём, что 1+1+1+2+5+6=16, 1+1+1+2+5+6+8=24, т.е. 20-й и 21-й члены ряда попадают в ту группу, которую составляют учащиеся, верно выполнившие 6 заданий. Значит, медиана ряда равна (6+6):2=6.

        В рассмотренном примере для анализа результатов выполнения теста учащимися была составлена таблица частот. Иногда составляют таблицу, в которой для каждого данного указывается не частота, а отношение частоты к общему числу данных в ряду. Это отношение, выраженное в процентах, называют относительной частотой, а саму таблицу – таблицей относительных частот.

        В нашем примере общая численность совокупности – это число учащихся, писавших работу, т.е. 40. Таблица относительных частот выглядит следующим образом:

Нетрудно убедиться, что сумма относительных частот составляет 100%.

Вообще, если по результатам исследования составлена таблица относительных частот, то сумма относительных частот равна 100%.

Заметим. Что при большом разбросе данных в ряду таблицы частот или относительных частот перестают быть наглядными и становятся излишне громоздкими. В таких случаях для анализа данных строят интервальный ряд. Для этого разность между наибольшим и наименьшим значениями делят на несколько равных частей (примерно 5-10) и, округляя полученный результат, определяют длину интервала. За начало первого интервала часто выбирают наименьшее данное или ближайшее к нему целое число, расположенное левее. Для каждого интервала указывают число данных, попадающих в этот интервал, или выраженное в процентах отношение этого числа к общей совокупности. При этом граничное число обычно считают относящимся к последующему интервалу.

Пусть, например, на партии из 50 электроламп изучали продолжительность их горения ( в часах). По результатам составили таблицу:

Пользуясь составленной таблицей, найдём среднюю продолжительность горения. Для этого составим новую таблицу частот, заменив каждый интервал числом, которое является его серединой. Получим:

Для получения ряда данных найдём среднее арифметическое:

 (с точностью до десятков).

Значит, средняя продолжительность горения электроламп приближенно равна 870 часов.

        В рассмотренном в начале занятия  примере были  проанализированы результаты  выполнения теста восьмиклассниками одной школы. Тот же тест можно было бы использовать для более широкой проверки математической подготовки учащихся, например, предложить его восьмиклассникам всех школ города или региона. Заметим, что организация такой проверки связана с серьёзными трудностями по пересылке текстов заданий в школы, сбору и проверке работ учащихся, обработке полученных результатов. Вообще, проведение любого массового исследования требует больших организационных усилий и финансовых затрат. Например, перепись населения страны связана с подготовкой разнообразной документации, выделением и инструктажем переписчиков, сбором информации, обработкой собранных сведений.

        В тех случаях, когда бывает сложно или даже невозможно провести сплошное исследование, его заменяют выборочным.  При выборочном исследовании из всей изучаемой совокупности данных, называемых генеральной совокупностью, выбирается определённая её часть, т.е. составляется выборочная совокупность (выборка), которая подвергается исследованию. При этом выборка должна быть представительной, или как говорят, репрезентабельной. Т.е. отражающей характерные особенности исследуемой генеральной совокупности.        

        Пусть, например, ходе кампании по выборам мэра города со стотысячным населением хотят узнать, кто из кандидатов имеет наибольшие шансы на успех. Для этого проводят опрос, например 1,5 тысячи избирателей, в ходе которого выясняется, за кого они собираются голосовать. При этом нельзя опрашивать только молодых или только пенсионеров, так какэто может привести к неправильным выводам. Необходимо, чтобы среди опрашиваемых было примерно одинаковое число мужчин и женщин. Кроме того, должны быть представлены люди с разным социальным положением и образованием:

                            Упражнения.

1. Найдите медиану ряда чисел:

А) 30, 32, 37,40, 41, 42, 45, 49, 52;

Б) 102,104, 205, 207, 327, 408, 417.

2. Найдите среднее арифметическое и медиану ряда:

А) 27,29,23,31,21,34;

Б) 56, 58, 64, 66, 62,74.

3. В ходе опроса 34 учащихся школы было выяснено, сколько времени  (с точностью до 0,5 ч) в     неделю они затрачивают на занятия в кружках и спортивных секциях. Получили следующие данные:

5,  1,5,  0,  2,5,  1,  0,  0,  2,  2,5,  3,5,  4,  5,  3,5,  2,5,  0,  1,5,  4,5,  3,  3,  3,5,  4,  3,5,  3,  2,5,  2,  1,  2,  2,  4,5,  4,  3,5,  2,  5.

Представьте этот ряд данных в виде таблицы частот. Найдите, сколько времени в среднем тратят учащиеся на занятия в кружках и спортивных секциях.

4. Учащиеся восьмых классов школ некоторого города была предложена контрольная работа по алгебре, содержащая 6 заданий. При подведении итогов составили таблицу, в которой указали число учащихся, верно выполнивших одно, два, три ит.д. задания:

            Пользуясь таблицей, составьте таблицу относительных частот (с точностью до 1%).

  Занятие 14. Наглядное представление статистической информации.

        Для наглядного представления данных, полученных в результате статистического исследования, широко используются различные способы их изображения.

        Одним из хорошо известных вам способов наглядного представления ряда данных является построение столбчатой диаграммы.

        Столбчатые диаграммы используют тогда, когда хотят проиллюстрировать динамику изменения данных во времени или распределение данных, полученных в результате статистического исследования.

        В таблице показан расход электроэнергии (с точностью до 5кВт/ч) некоторой семьёй в течение года:

        Соответствующая столбчатая диаграмма построена на рисунке 1. Она состоит из12 прямоугольников с выбранными произвольно равными основаниями, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Высота каждого прямоугольника равна (при выбранном масштабе) расходу электроэнергии в указанный месяц.

                                                                                          Рисунок 1

        Если в ходе статистического исследования проведена группировка одинаковых данных и для каждой группы указана соответствующая частота (или относительная частота), то каждая группа изображается на столбчатой диаграмме прямоугольником, высота которого при выбранном масштабе равна соответствующей частоте (или относительной частоте).

        Пусть, например, на основе изучения вопроса о количестве детей в семьях, проживающих в посёлке, была составлена таблица частот:

   Рисунок 2

        Соответствующая столбчатая диаграмма построена на рисунке 2. Высота каждого столбца (при выбранном масштабе) равна частоте, с которой в ряду данных встречается указанное количество детей.

        Допустим. Что на основе изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими цеха была составлена таблица относительных частот:

        Соответствующая столбчатая диаграмма построена на рисунке 3.                

                                                                                                                          Рисунок 3.

        Для наглядного изображения соотношения между частями исследуемой совокупности удобно использовать круговые диаграммы.

        Если результат статистического исследования представлен в виде таблицы относительных частот, то для построения круговой диаграммы круг разбивается на секторы, центральные углы которых пропорциональны относительным частотам, определенные для каждой группы данных.

        Построим,  например,  круговую диаграмму, иллюстрирующую распределение рабочих цеха по времени, которое они затратили на изготовление одной детали (см. пример выше). Так как 3600:100=3,60, то одному проценту соответствует центральный угол, равный 3,60. Учитывая это, определим для каждой группы соответствующий центральный угол:

        Разбив круг на секторы, получим круговую диаграмму, изображенную на рисунке 4.

                                     Рисунок 4.

        В тех случаях,  когда результат статистического исследования представлен в виде таблицы частот, удобно для построения круговой диаграммы предварительно заменить её таблицей относительных частот.

        Заметим, что круговая диаграмма сохраняет свою наглядность и выразительность лишь при небольшом числе частей совокупности. В противном случае её применение малоэффективно.

        Динамику изменения статистических данных во времени часто иллюстрируют с помощью полигона. Для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат моменты времени, а ординатами – соответствующие им статистические данные. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают ломаную. Которую называют полигоном.

        Имеются, например, следующие данные о производстве заводом приборов в первом полугодии 2009 г. (по месяцам):

                                                               Рисунок 5.

        Полигон, иллюстрирующий производство заводом приборов в первом полугодии 2009 г., построен на рисунке 5.

        Полигоны используют также для наглядного распределения данных, полученных в результате статистического исследования.

        Если данные представлены в виде таблицы частот или относительных частот, то для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат статистические данные, а ординатами – их частоты или относительные частоты. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают полигон распределения данных.

        Пусть, например, проверочную работу по алгебре выполняли 180 учащихся. В результате группировки работ по полученным оценкам составили таблицу:

       Отметим в координатной плоскости точки с координатами (1;0), (2;16), (3;77), (4;65), (5;22). Соединив последовательно эти точки отрезками, получим полигон распределения оценок за проверочную работу (рисунок 6).

                                       Рисунок 6.

        Интервальные ряды данных изображают с помощью гистограмм. Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, составленную из сомкнутых прямоугольников. Основание каждого прямоугольника равно длине интервала, а высота – частоте или относительной частоте. Таким образом,  гистограмма, в отличие от обычной столбчатой диаграммы, основания прямоугольников выбираются не произвольно, а строго определены длиной интервала.

        Построим, например, гистограмму для интервального ряда, характеризующего продолжительность горения 50 электроламп, воспользовавшись следующей таблицей:

Пусть единица на горизонтальной оси соответствует продолжительности горения 200 ч, а единица на вертикальной оси – частоте, равной 1. Гистограмма представляет собой фигуру, составленную из восьми сомкнутых прямоугольников (рисунок 7). Сумма высот прямоугольников равна общей численности исследуемой совокупности, т.е. 50.

                                           Рисунок 7.

Упражнения.

1. Постойте столбчатую диаграмму, показывающую распределение рабочих цеха по тарифным разрядам, которое представлено в следующей таблице:

2. В таблице показано распределение сотрудников отдела по стажу работы:

Постройте круговую диаграмму, иллюстрирующую распределение сотрудников отдела по стажу работы.

Занятия 15-16 Практические занятия.

• Составить диаграмму температуры воздуха за последние две недели (заранее велся дневник наблюдений).
• Построить столбчатую диаграмму, характеризующую распределение учащихся по четвертным оценкам по алгебре и геометрии за 7 и 8 класс.
• Построить гистограмму, характеризующую учеников класса по росту.
• Построить столбчатую диаграмму, характеризующую родителей учащихся класса по образованию (высшее, среднее, среднее техническое и т.д.).

Занятие 17. Итоговое занятие по элективному курсу.

Учащиеся выступают с сообщениями о биографиях ученых, показывают результаты практических занятий, анализируя проделанную работу.