Лекции по математике. Раздел "Функции", 1 курс СПО
методическая разработка по математике

Лекция №1

Тема: Понятие функции. Способы задания функции. Область определения и область значений функции

Зависимость одной переменной от другой называется функциональной зависимостью. Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y. Обозначение: у=ƒ(х).

Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную  y – зависимой. Говорят, что y является функцией от x. Значение y, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.

Все значения, которые принимает x, образуют область определения функции; все значения, которые принимает y, образуют множество значений функции.

Обозначения: D(ƒ) – область определения функции, Е(ƒ) – область значений функции,  ƒ(х0) – значение функции в точке.

D(f) - значения аргумента. E(f) - значения функции. Если функция задана формулой, то считают, что область определения состоит из всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Графиком функции называется множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции. Если некоторому значению x=x0 соответствуют несколько значений (а не одно) y, то такое соответствие не является функцией. Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая параллельная оси Оу, пересекалась с графиком не более чем в одной точке.

Способы задания функции

1) Функция может быть задана аналитически в виде формулы. Например, 

2) Функция может быть задана таблицей из множества пар (x; y).

3) Функция может быть задана графически. Пары значений (x; y) изображаются на координатной плоскости.

Монотонность функции

Функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы "взбираться" вверх по графику.

Функция f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы "скатываться" вниз по графику.

Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

Нули функции и промежутки знакопостоянства

Значения х, при которых y=0, называется нулями функции. Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.

Такие промежутки значений x, на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.

Четные и нечетные функции

Четная функция обладает следующими свойствами:                                                    

1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a принадлежит области определения, то точка -a также принадлежит области определения.                                                                                                                                  

2) Для любого значения x, принадлежащего области определения, выполняется равенство f(-x)=f(x).

3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.

Нечетная функция обладает следующими свойствами:

1. Область определения симметрична относительно точки (0; 0).                        

2) для любого значения x, принадлежащего области определения, выполняется равенство f(-x)=-f(x)
3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).

Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.

Периодические функции

Функция f называется периодической, если существует такое число f(x), что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T). T – это период функции. Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период. Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.

Лекция №2

Тема: Линейная функция y=kx+b, ее свойства и график

Линейной функцией называется функция вида y=kx+b где k, b - некоторые числа.

Функция вида y=kx называется прямой пропорциональностью, является частным случаем линейной зависимости. Графиком линейной функции является прямая линия. Для построения графика достаточно знать координаты двух точек.

Свойства линейной функции

1) Область определения функции - множество всех действительных чисел D(ƒ): R

2) Множеством значений функции является множество всех действительных чисел Е(ƒ): R

3) Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

4) Функция не является ни четной, ни нечетной (кроме особых случаев).

5) Функция непериодическая.

6) График функции пересекает ось Ох в точке , а ось Оу - в точке (0; b).

7)  – является нулем функции.

8) Функция монотонно возрастает на области определения при k>0, монотонно убывает при k<0.

9) При k>0: функция принимает отрицательные значения на промежутке  и положительные значения на промежутке При k<0: функция принимает отрицательные значения на промежутке  и положительные значения на промежутке .

10) Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением Ох. Поэтому k называют угловым коэффициентом. Если k>0, то этот угол острый, если k<0 - тупой, если k=0, то прямая совпадает с осью Ох.

Для построения графика функции - прямой линии, очевидно, достаточно двух точек.

Особые случаи

1) Если b=0, получим уравнение y=kx. Функция такого вида называется прямой пропорциональностью. Графиком является прямая, проходящая через начало координат.

2) Если k=0, получим уравнение y=b. Графиком является прямая, параллельная оси Ох, проходящая через точку (0; b).

Лекция №3

Тема: Графический способ решения системы из двух линейных уравнений

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Решением системы уравнений называют пару значений переменных, которые обращают каждое уравнение системы в верное равенство.  Решить систему уравнений означает, найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Одним из эффективных и наглядных способов решения и исследования уравнений и систем уравнений графический способ.

        Способ заключается в построении графика каждого уравнения, входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графиков. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.

Алгоритм решения системы уравнений с двумя переменными

графическим способом.

1. Построить графики каждого из уравнений системы.
2. Найти координаты точки пересечения.
3. Записать ответ.

Пример 1 Решить графическим способом систему уравнений

В каждом уравнении выразим у через х: Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек.

Построим графики этих функций:

Координаты точки пересечения графиков (2;1)  Ответ: (2;1)

Пример 2. Решить графическим способом систему уравнений

    Выражаем у через х из каждого уравнения системы, а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений. Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1). Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).

Ответ: (-2; 5).

Особые случаи

Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, пересекаются, то система уравнений имеет единственное решение.

Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны, то система уравнений не имеет решений.

Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Не решая системы линейных уравнений, можно определить число ее решений по коэффициентам при соответствующих переменных. Пусть дана система (1)                                            

1) Если    , то система (1)  имеет единственное решение. Например система  имеет единственное решение.

2) Если      , то система (1)  решений не имеет. В этом случае прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны и не совпадают. Например система  не имеет решений.

3) Если  , то система (1) имеет бесконечное множество решений. В этом случае прямые совпадают друг с другом. Например система  имеет бесконечное множество решений.

Лекция №4

Тема: Квадратичная функция, ее свойства и график

Квадратичной функцией называется функция вида , где a, b, с – числа и a≠0. Графиком квадратичной функции является парабола.

Парабола имеет вершину, ось, проведенная через вершину и параллельная оси Оу, делит параболу на две симметричные части. Вершиной параболы называется точка . Корни уравнения – это абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox.  Ось Oy парабола пересекает в точке (0;c). Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх, если a<0, то ветви параболы направлены вниз.

Свойства квадратичной функции y=x2

1) Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т.е. 

2) Множеством значений функции является промежуток 

3) Значение функции y=0 является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет.

4) Функция  является четной, график симметричен относительно оси Оу.

5) Функция непериодическая.

6) Парабола имеет с осями координат единственную общую точку (0;0) - начало координат.

7) Значение аргумента x=0 является нулем функции.

8) На промежутке   функция убывающая, а на промежутке [0; +∞) - возрастающая.

9) Функция принимает положительные значения на множестве  [0; +∞).

Свойства квадратичной функции y= - x2

1) Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т.е. 

2) Множеством значений функции является промежуток 

3) Значение функции y=0 является наибольшим, а наименьшего значения функция не имеет.

4) Функция  является четной, график симметричен относительно оси Оу.

5) Функция непериодическая.

6) Парабола имеет с осями координат единственную общую точку (0;0) - начало координат.

7) Значение аргумента x=0 является нулем функции.

8) На промежутке   функция возрастающая, а на промежутке [0; +∞) - убывающая.

9) Функция принимает отрицательные значения на множестве  [0; +∞).

Пример. Найти пределы изменения графика, прочитать график .

Лекция №5

Тема: Построение графика квадратичной функции

Чтобы построить график функции есть два способа:

1 способ.

1. Выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена в виде  

2. Построить график с помощью двух параллельных переносов.

2 способ.

1. Найти координаты вершины параболы А(m;n) по формулам: ;  n = у(m) т.е. подставить найденное значение абсциссы m в формулу, которой задана функция и вычислить значение.

2. Прямая x=m является осью симметрии параболы. 

3. Заполнить таблицу значений функции: в таблице расположить вершину в середине таблицы и взять соседние симметричные значения х. 

4. Построить график функции: - отметить в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице; - соединить их плавной линией. 

Пример 1. Построить график функции .

Выделим квадрат двучлена  1

Построим график у=1 функции с помощью двух параллельных переносов: сдвиг по оси ОХ на 2 единицы вправо, сдвиг по оси ОУ на 1 единицу вниз.

Пример 2. Построить график функции . ; n=1-2-1=-2

Вершина параболы (1;-2). Прямая х=1 ось симметрии параболы.  Ветви параболы направлены вверх, т.к.  a=1>0.

Симметрично строим левую сторону параболы.

 Пример 3. Построить график функции .

1. Ветви параболы направлены вниз, так как а < 0.

2. Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины параболы определяется по формуле  .   .    .

3. Определим еще несколько точек вблизи вершины, принадлежащих параболе. Удобнее всего оформить эти точки в виде таблицы.

4. Отметить полученные точки и вершину параболы на координатной плоскости и соединить их плавной линией. В результате получится требуемый график квадратичной функции.

Лекция №6

Тема: Показательная функция, её свойства и график

Показательной функцией называется функция y = ax , где а – заданное число, а > 0,

 a ≠ 1.

Показательная функция обладает следующими свойствами:

1. Область определения показательной функции – множество R всех действительных чисел. Это свойство следует из того, что степень ах, где  а > 0, определена для всех x ∈ R.

2. Множество значений показательной функции – множество всех положительных чисел.

3. Показательная функция y = ax  является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если  a > 1, и убывающей, если 0 < a < 1.

Построим графики функций y = 2x  и  y = ,  используя  рассмотренные свойства и построив несколько точек, принадлежащих графику.

         Отметим, что график функции y = 2x  проходит через точку (0;1) и расположен выше оси  Ох. Если x < 0 и уменьшается, то график быстро приближается к оси ох (но не пересекает её); если x > 0 и увеличивается, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид имеет график любой функции y = аx, если a > 1.

График функции y = ()х  также проходит через точку (0;1) и расположен выше оси  ох. Если x > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси ох (не пересекая её); если x < 0 и уменьшается, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид имеет график любой функции  y = ах, если a < 0 < 1.

Показательная функция часто используется при описании различных физических процессов. Так радиоактивный распад описывается формулой      m(t) = m0, где m(t) и m0 – масса радиоактивного вещества соответственно в момент времени t и в начальный момент времени t0.T – период полураспада (промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшается вдвое).

С помощью показательной функции выражается давление воздуха в зависимости от высоты подъёма, ток самоиндукции в катушке после включения постоянного напряжения и т.д.

Пример. Решить графически уравнение 3x=4-x. 

В одной координатной плоскости построим графики функций: у=3х и у=4-х.Графики пересеклись в точке А (1; 3). Ответ: 1.

Лекция №7

Тема: Показательные уравнения

Уравнения, содержащие неизвестные в показателе степени, называются показательными уравнениями. Простейшим из них является уравнение аx = b, где а> 0, а ≠ 1, b> 0. 

  1) При b <0 и b = 0 это уравнение, согласно определению показательной функции, не имеет решения.

  2) При b> 0 используя монотонность функции и теорему о корне, уравнение имеет единственный корень. Для того, чтобы его найти, надо b представить в виде b = aс, аx = bс ⬄ x = c.

Показательные уравнения путем алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнения, которые решаются, используя следующие методы.                            

1. Метод приведения к одному основанию

Способ основан на следующем свойстве степеней: если равны две степени и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнение надо попытаться свести к виду

Примеры.  Решить уравнение:                    

1.  3x = 81. Представим правую часть уравнения в виде 81 = 34 и запишем уравнение, равносильное исходному 3 x = 34; x = 4.  Ответ: 4.

2.  .  Представим правую часть уравнения в виде и перейдем к уравнению для   показателей степеней 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5. Ответ:0,5.

3. . Представим правую часть данного уравнения в виде 1 = 50 и перейдем к уравнению для показателей степеней x2-3x+2 = 0, откуда легко получить решения x = 1 и x=2. Ответ: 1; 2.

4. 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Используя свойства степеней, запишем уравнение в виде 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, далее 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, т.е. x+1 = 2, x =1. Ответ: 1.

2.  Метод введения новых переменных

Введение новой переменной (подстановка) обычно производится после преобразований (упрощения) членов уравнения.

Примеры. Решить уравнение:

1. 

Перепишем уравнение иначе:  . Обозначим 5x = t > 0, тогда   т.е. 3t2 – 2t – 1 =0, отсюда t1 = 1, -не удовлетворяет условию t > 0. Итак, 5x = 1 = 50 <=> x = 0. Ответ: 0.

2.   

Заменим , получим уравнение 8t2 – 6t +1 = 0, где t1 = 1, t2 = . Вернёмся к замене

 Ответ: 0; -2.

3.  Метод разложения на множители

В левой части уравнения вынести общий множитель за скобки

Примеры. Решить уравнение:

1.  5x+1 - 5x-1 = 24. Перепишем уравнение в виде    Теперь в левой части уравнения вынесем за скобки общий множитель 5x. Получим     Ответ:1.

2.  6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2                             

Вынесем за скобки в левой части уравнения 6x, а в правой части – 2x. Получим уравнение

6x(1+6) = 2x(1+2+4) ⬄ 6x = 2x. Так как 2x >0 при всех x, можно обе части этого уравнения разделить на 2x, не опасаясь при этом потери решений. Получим 3x = 1⬄ x = 0.

Ответ: 0.

Лекция №8

Тема: Показательные неравенства

Рассмотрим решение показательных неравенств вида  или  где b – некоторое рациональное число. Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания и убывания показательной функции. Для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента, а для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

После приведения неравенства к виду простейшего, перед тем, как перейти к неравенству показателей нужно оценить основание, т.е. сравнить его с «1». При этом, если для степеней:

• если основание  a > 1, то для показателей знак неравенства сохраняется;
• если основание 0 < a < 1,  то для показателей знак неравенства меняется на противоположный.

Простейшие показательные неравенства

Пример 1. Решить неравенство:  , ,  возрастает на всей области определения, .

Ответ:.

Пример 2. Решить неравенство: , ,  убывает на всей области определения, .

Ответ: .

Пример 3. Решить неравенство:  

Ответ: .

Типы показательных неравенств и методы их решения

1. Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим.

Пример. Решить неравенство: . ,

 возрастает на всей области определения

, , , .

Ответ: .

2. Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным неравенствам.

Пример. Решить неравенство: . , .

Пусть  тогда     

Вернёмся к переменной:   при    функция  возрастает при всех х из области определения

Ответ:.

3. Однородные показательные неравенства первой степени.

Пример. Решить неравенство: . , ,

, ,,  возрастает на всей области определения

, .

Ответ: .

4. Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным неравенствам.

Пример. Решить неравенство: . , .

Пусть  тогда

,        

Вернёмся к переменной .

,  возрастает на всей области определения

.

Ответ:

Лекция №9

Тема: Логарифмы

             Решим уравнение 2х = 32. Легко найти корень методом подбора – это число 5, т.к. 25 =32. А как решить уравнение 2х = 35. Методом подбора не решить, но мы понимаем, что корень этого уравнения число больше 5, но меньше 6.

С подобной ситуацией мы уже встречались, когда, решая уравнение х2 =5, поняли, что надо вводить новый символ математического языка – корень квадратный из 5.

Чтобы решить уравнение 2х = 35, ввели понятие логарифма числа. Корень уравнения 2х = 35 можно записать так: х = log2 35 (читается: «логарифм числа 35 по основанию 2)

Вывод: Любое уравнение вида ах = b, где a и b – положительные числа, причем, число а не равно 1 имеет единственный корень: х = logab (логарифм числа b по основанию а)

Числа a и b – положительные по определению степени, число а не равно 1, т. к. в противном случае уравнение ах = b может иметь бесконечное множество корней.

Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Например, , так как 23 =8; , так как ; , так как =25 =32.

Число log2 35 – это иррациональное число. Такие числа нельзя записать в виде обыкновенной дроби или бесконечной периодической дроби. С помощью программируемого калькулятора можно вычислять логарифмы, получиться бесконечная непериодическая десятичная дробь (также как и при вычислении квадратного корня из 5 или очень знакомое нам число π).

Очень часто приходиться иметь дело с логарифмом по основанию 10. Такой логарифм называют десятичным. Вместо символа log10 принято использовать символ lg (гораздо проще). Например, вместо log106,7 записываем lg6,7.

Определение логарифма можно кратко записать так:  Это равенство называют основным логарифмическим тождеством. Здесь хорошо видно, что логарифм – это показатель степени. Таким образом, если основания степени и логарифма одинаковы, то результат – это выражение, стоящее под знаком логарифма, т.е. сама степень.

 Например, ,

,

.

Операцию нахождения логарифма числа обычно называют логарифмированием. Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием.

Лекция №10

Тема: Свойства логарифмов

При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и решении уравнений, часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.

            Для a>0; a≠1; b>0; c>0 и для любого действительного числа p справедливы формулы:

Примеры: а)

б)  

 в)  

  г)

Десятичные и натуральные логарифмы

Десятичные логарифм числа называют логарифм этого числа по основанию 10.

Примеры:         
                          

Натуральным логарифмом числа называется логарифм этого числа по основанию е, где  .

Иррациональное число е можно представить как сумму:

Примеры:   

            Для натуральных и десятичных логарифмов составлены специальные таблицы.

Для вычисления других логарифмов используют формулу перехода к другому основанию:
  ;  .

Пример:  

Лекция №11

Тема: Логарифмическая функция, её свойства и график

Функцию, заданную формулой y = logax, где a > 0, a называют логарифмической функцией с основанием a.

Основные свойства логарифмической функции:

1. Область определения логарифмической функции - множество всех положительных чисел. D(f)=(0;+∞);

2. Множество значений логарифмической функции - множество R всех действительных чисел. E(f)=(−∞;+∞);

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает при  или убывает при ;

4. Если , то функция y = logax принимает положительные значения при, отрицательные при . Если , то функция y = logax принимает положительные значения при , отрицательные при .

Из рассмотренных свойств логарифмической функции следует, что график расположен правее оси Оу и имеет вид, указанный на рисунке:

         График функции y=logax, где a>1            График функции y=logax, где 0

Пример: Построить график функции:

1. y=log2x, основание 2>1

2. , основание   0 < 1/3 <1        

Отметим, что график любой логарифмической функции проходит через точку (1;0).

Логарифмическая функция y=loga x и показательная функция y=ax, где (, a≠1),  взаимно обратны.