Проектная работа "Теорема Пифагора"
проект по математике (9 класс)

         Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Актанышская средняя общеобразовательная школа №1» Актанышского муниципального района РТ

Индивидуальный проект

На тему: «Теорема Пифагора и её практическое применение»

Выполнила: ученица 9Б класса

                                                                       Шарафутдинова Гузель

                                                                                 Руководитель проекта:                                                    

                                                                                 Л.И.Гареева

с.Актаныш 2022

Цель:

 • Цель моей работы состоит в том, чтобы показать значение теоремы Пифагора в развитии науки и практической деятельности человека.

Проблемные вопросы:

• 1.Почему теорема Пифагора получила мировую известность?

 • 2.Чем интересны различные способы её доказательства?

 • 3.Каково её практическое применение?

Задачи:

  Для достижения поставленной цели я поставила перед собой следующие задачи:

 • 1. Узнать больше информации, мифов, легенд о Пифагоре и его теореме.

 • 2. Ознакомится с различными способами доказательства теоремы Пифагора.

 • 3. Рассмотреть применение теоремы Пифагора при решении задач.

 • 4. Исследовать практическое применение теоремы.

Гипотеза:

 • С помощью теоремы Пифагора можно решать не только математические задачи, но и использовать на практике.

• Методы исследования: 

     • Анализ различных источников литературы

     • Сравнение, систематизация и обобщение полученных результатов.

Пифагор Самосский

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это Пифагор Иоганн Кеплер Пифагор Самосский- древнегреческий философ-идеалист, математик, основатель пифагореизма, политический, религиозный деятель. Его родиной был остров Самос (отсюда и прозвище - Самосский), где он появился на свет приблизительно в 580 г. до н. э. Пифагор основывает школу союз, просуществовавший около двух веков. пифагорейский -

Открытия Пифагора 

• Он сделал открытия огромной важности в области таких наук, как математика, музыка, оптика, геометрия, астрономия, теория чисел, психология, педагогика, этика.

 •  В географии и астрономии: одним из первых выразил гипотезу, что Земля круглая, а также считал, что мы не одиноки во Вселенной.

• В музыке: определил, что звук зависит от длины флейты или струны.

 • В геометрии: построение отдельных многогранников и многоугольников, знаменитая и любимая всеми теорема Пифагора.

Формулировка теоремы:

 • «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов»

• Во времена Пифагора она звучала так: «Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равно-велик сумме квадратов, построенных на катетах» или «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».

Способы доказательства теоремы

 • Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур

• • Доказательства методом достроения

 • • Алгебраический метод доказательства.

 • • Простейшее доказательство

. • • Доказательство Мёльманна

 • • Доказательство Гарфилда.  

• • Аддитивные доказательства.

 • • «Пифагоровы штаны» (доказательство • • Евклида).

• • Древнекитайское доказательство.

• • Древнеиндийское доказательство.

 • • Доказательство Аннариция.

• Всего более 500 способов

Доказательство,основанное на равнодополняемости.

Учебник «Геометрия 79 классы» Атанасян Доказательство, основанное на  Л. С, Бутузов В.Ф. и др.

   Расположим  четыре  равных  прямоугольных  треугольника  так,  как  показано на рисунке.        Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади  квадрата  со  стороной  (а  +  в),  а  с  другой  стороны,  сумме  площадей  четырёх треугольников и внутреннего квадрата                                ( а + в ) ² = 4 ∙ 0,5 а в + с ²                                а ² + 2 а в + в ² = 2 а в + с ²                                            с ² = а ² + в ²                                       Теорема доказана.

Учебник «Геометрия 8 класс» автор Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.

 Доказательство основано на подобии треугольников.

Теорема.В прямоугольнои треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов.

Доказательство.Пусть АВС прямоугольный треугольник с прямым углом .Проведем высоту DC.Треугольники ABC и ACD подобны (по первому признаку подобия треугольников )Следовательно,

AB *AD =AC2.

Анологично треугольники ABC и CBD подобны (по первому признаку подобия треугольников)Следовательно AB*BD=BC2 . Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим AC2+BC2=AB(AD+DB)=AB^2

Учебник «Геометрия 7-9 классы» Погорелов А.В.

Значение теоремы

• До сегодняшнего дня теорема Пифагора очень важна и актуальна. Теорема применяется в геометрии на каждом шагу, с помощью нее решается ряд задач. Из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности.

• К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеяться, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к теореме Пифагора

Применение теоремы Пифагора в повседневной жизни.

Мобильная связь

Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора ,чтобы передачу можно было принимать в радиусе  R=200 км (радиус Земли равен 6380 км)

 • Пусть АВ = х, ВС = R = 200км, ОС = r = 6380 км. • ОВ = ОА + АВ • ОВ = r + х • решая уравнение, получим ответ 2,3 км.

Крыша

 Треугольник AВC – равнобедренный  AD=DC . Тогда: треугольник АВD – прямоугольный • Применяя теорему Пифагора найдем длину стропил: АВ=под корнем BD2+AD2

              Молниеотвод:

Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту. По теореме Пифагора h2 ≥ a2 + b2, значит h ≥ под корнем а2+b2.Так как молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты, то высота молниеотвода должна быть не меньше в два раза найденной. Ответ: h ≥под корнем а2+в2 деленный на два.

Расчет электропровода до здания.

 • Предположим, что от столба к дому натянут провод, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Вычислите длину провода, высота столба – 9м, если расстояние от дома до столба равно 8 м.

 Треугольник АВС прямоугольный, ВС= 8 см, АС= 9-3=6м, по т. Пифагора АВ=под корнем 36+64=10 Значит, длина провода составляет 10 м.

Применение теоремы Пифагора при решении задач ОГЭ

Теорема Пифагора достаточно широко применяется в практических задачах. Так и при сдаче ОГЭ выпускники 9 – х классов также сталкиваются с заданиями, базированными на применении геометрических заданий в реальной жизни. Как правило, при решении таких задач необходимо применить теорему Пифагора.

Рассмотрим задачи, при решении которых применяется теорема Пифагора.

Пример 1.

Сторона  равностороннего треугольника равна  . Найдите медиану этого треугольника.

Решение.

Так как треугольник  равносторонний, то его медиана ВН  является и биссектрисой, и высотой. Тогда треугольник ABН — прямоугольный. Тогда:

Ответ: 24

Пример 2.

Катеты прямоугольного треугольника равны  и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

Решение.

Пусть катеты имеют длины a и b, а гипотенуза — длину с. Найдём длину гипотенузы по теореме Пифагора:

Наименьший угол в треугольнике лежит против наименьшей стороны,  > 1, следовательно, синус наименьшего угла равен:

Ответ: 0,25.

Пример 3.

Площадь прямоугольного треугольника равна  Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Решение.

Катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы. Пусть а — длина катета, лежащего напротив угла 30°, тогда длина гипотенузы равна 2а. Найдем второй катет b по теореме Пифагора:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, тогда

Ответ:34

Вывод:

 • С помощью теоремы Пифагора можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. • Эта работа позволила мне узнать больше о биографии Пифагора, а также рассмотреть несколько различных способов доказательства теоремы Пифагора, как в школьном курсе геометрии, так и за пределами школьного курса, а также успешно подготовиться к сдаче ОГЭ.

• Увидеть примеры, как теорема Пифагора может применяться в обычной жизни.

 • При изучении на уроках геометрии теоремы Пифагора можно использовать данный проект.

 • Приложением к проекту служит подборка задач на применение теоремы Пифагора.