Олимпиадные задачи_2020 - 2021 уч.год
олимпиадные задания по математике

Всероссийская олимпиада школьников – 2020-2021 уч.г. Школьный этап

Гатчинский муниципальный район

Математика – 5 класс

1. В промежутки между цифрами 1  6  3  1  7  надо вставить два знака «+» и два знака  « х » так, чтобы получился самый большой результат. Чему он равен?

2. У Карлсона в шкафу стоят 5 банок малинового, 8 банок земляничного, 10 банок вишнёвого и 25 банок клубничного варенья. Может ли Карлсон съесть всё варенье, если каждый день он хочет съедать две банки варенья, при этом обязательно из разных ягод?

3. Вася смотрел фильм продолжительностью 1 час. Середина первой трети фильма пришлась на полдень. Когда закончился фильм?

4. На листе бумаги нарисованы квадрат и прямоугольник. Квадрат имеет площадь 25 кв. см. Одна из сторон прямоугольника на 1 см больше стороны квадрата, а другая сторона на 2 см меньше стороны квадрата. Найдите площадь этого прямоугольника.

5. Каждое из двух чисел не делится на 10. Их произведение равно 1000. А чему может быть равна их сумма?

6. Из аэропорта на автовокзал через каждые три минуты отправляется автобус, который едет 1 час. Через 2 минуты после отправления автобуса из аэропорта выехал автомобиль и ехал до автовокзала 35 минут. Сколько автобусов он обогнал?

Всероссийская олимпиада школьников – 2020-2021 уч.г. Школьный этап

Гатчинский муниципальный район

Математика – 6 класс

1. Расставьте скобки в выражении  1 : 2 : 3 : 4 : 5  = 30 так, чтобы получилось верное равенство.

2. Петя сказал, что у него братьев и сестёр поровну, а Маша сказала, что у неё братьев в 3 раза больше, чем сестёр. Сколько детей в семье, если Петя и Маша – брат и сестра?

3. Запишите числа  1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 в строку так, чтобы из любых двух соседних чисел одно делилось на другое.

4. Пока пятиклассник Петя съедает пять конфет, восьмиклассник Вова успевает съесть восемь конфет. Вместе за большую перемену мальчики съели 39 конфет. На сколько конфет Вова съел больше, чем Петя?

5. В понедельник Паша пошёл в поход на 5 дней. Каждый день, начиная со вторника, он проходил на 2 км больше, чем в предыдущий. Всего Паша прошёл 70 км. Сколько км он прошёл в четверг?

6. Каждая грань куба разделена на девять квадратиков (см. рисунок). Какое самое большое число квадратиков можно покрасить, чтобы никакие два покрашенных квадратика не имели общей стороны?

Всероссийская олимпиада школьников – 2020-2021 уч.г. Школьный этап

Гатчинский муниципальный район

Математика – 7 класс

1.  Придумайте девятизначное число, у которого по крайней мере три разные цифры и которое делится на каждую из них.

2.   В ящике 25 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1 кг за два взвешивания отмерить 19 кг гвоздей?

3.  Расставьте скобки в левой части выражения  2 : 3 : 4 : 5 : 6 = 5  так, чтобы получилось верное равенство.

4. В два киоска поступил товар по одинаковой цене. Через неделю в первом киоске все цены были снижены на 10%, а ещё через неделю  - подняты на 20%. Во втором киоске через две недели цены были увеличены на 10%. В каком киоске через две недели после поступления товара цены ниже?

5. В конце каждого урока физкультуры учитель проводит забег и даёт победителю 3 конфеты, а всем остальным ученикам – по одной. К концу четверти Петя заслужил 29 конфет, Коля- 30, а Вася -33 конфеты. Известно, что один из них пропустил ровно один урок физкультуры, участвуя в олимпиаде по математике, остальные же уроков не пропускали. Кто из детей пропустил урок? Объясните свой ответ.

6. Каждая грань куба разделена на девять квадратиков (см. рисунок). Какое самое большое число квадратиков можно покрасить, чтобы никакие два покрашенных квадратика не имели общей стороны?

Всероссийская олимпиада школьников – 2020-2021 уч.г. Школьный этап

Гатчинский муниципальный район

Математика – 8 класс

1.Определите, чему равен угол между часовой и минутной стрелками часов в 23 часа 45 минут.

2. Найдите наименьший целый корень уравнения  (|х| -1)(х+2,5) = 0.

3. В забеге участвовало N человек (N<40). Число прибежавших раньше Ани в четыре раза больше тех, кто прибежал позже неё. А число прибежавших раньше Миши в пять раз меньше, чем число прибежавших позже него. Чему может быть равно N?

4. Вдоль забора растут 10 кустов смородины. Число ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 1000 ягод?

5. На острове живут рыцари и лжецы, всего 2020 человек. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Все жители поочерёдно выступили с заявлениями. Первый сказал: «Все мы лжецы». Остальные сказали: «Все, кто говорил до меня, лжецы». Сколько рыцарей на этом острове?

6. Сторона АС треугольника АВС разделена точками D и E на 3 равные части (точка D лежит между А и Е). Докажите, что если BD = BE, то треугольник АСВ равнобедренный.

Всероссийская олимпиада школьников – 2020-2021 уч.г. Школьный этап

Гатчинский муниципальный район

Математика – 9 класс

1. Поезд, двигаясь с постоянной скоростью, к 17-00 проехал в 1,25 раза больший путь, чем к 16-00. Когда поезд выехал?

2. На доске написано число  543254325432. Некоторые цифры стёрли так, чтобы получить наибольшее возможное число, делящееся на 9. Чему равно это наибольшее число?

3. В забеге участвовало N человек (N<100). Число прибежавших раньше Ани в четыре раза больше тех, кто прибежал позже неё. А число прибежавших раньше Миши в пять раз меньше, чем число прибежавших позже него. Чему может быть равно N?

4. Найдите сумму двух различных чисел a и  b, удовлетворяющих равенству

 a² + b = b² + a.

5. В треугольнике АВC проведена медиана АD. Найдите углы треугольника АВС, если угол ADC равен 120°, угол DAB равен 60°.

6. Придя в магазин, Винни-Пух обнаружил, что горшочек для мёда подорожал на 60%, а мёд подешевел на 60%, и теперь горшочек и мёд в нём стоят поровну. Как изменилась цена горшочка с мёдом?

Всероссийская олимпиада школьников – 2020-2021 уч.г. Школьный этап

Гатчинский муниципальный район

Математика – 10 класс

1. В мешке лежат 26 синих и красных шаров. Среди любых 18 шаров есть хотя бы один синий,  среди любых 10 шаров есть хотя бы один красный. Сколько красных шаров в мешке?
2. Среднее арифметическое десяти различных натуральных чисел равно 15. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих чисел.
3. Ваня составляет расписание тренировок по бегу на несколько месяцев. Он собирается тренироваться по три дня в неделю в одни и те же дни и не хочет тренироваться два дня подряд. Сколькими способами он может составить такое расписание?
4. В поезде 5 вагонов, в каждом вагоне есть хоть один пассажир. Будем говорить, что два пассажира едут рядом, если они едут в одном вагоне или в двух соседних вагонах. Известно, что рядом с каждым пассажиром едут ещё либо 5, либо 10 пассажиров. Сколько всего пассажиров в поезде?
5. В треугольнике АВС биссектриса АЕ равна отрезку ЕС. Найдите угол АВС, если АС = 2 АВ.
6. Пусть a и b – корни уравнения  x² + х – 7 = 0. Чему равно

3а² + 4b² +2a + 3b + 1 ?

Всероссийская олимпиада школьников – 2020-2021 уч.г. Школьный этап

Гатчинский муниципальный район

Математика – 11 класс

1. В домике кота Леопольда есть 10 мышиных норок. Кот потребовал, чтобы в любых двух норках жили не более пяти мышек. Какое наибольшее количество мышек может жить в доме у кота Леопольда?
2. Известно, что   и  (у – 1)² = 4. Чему может равняться х?
3. Артём хочет покрасить клетки квадрата 3х3 так, чтобы в каждой строке, каждом столбце и на каждой из двух диагоналей все клетки были разного цвета. Какое наименьшее количество цветов потребуется?
4. Найдите все пары чисел х и у, для которых выполнено равенство

  + = х + у + 1.

5. Из середин сторон правильного треугольника площади 1 опущены перпендикуляры на стороны (см. рисунок). Чему равна площадь закрашенного на рисунке шестиугольника?

6. По круговой дороге велодрома едут два велосипедиста с неизменными скоростями. Когда они едут в противоположных направлениях, то встречаются каждые 10 секунд; когда же они едут в одном направлении, то один настигает другого каждые 170 секунд. Какова скорость каждого велосипедиста, если длина круговой трассы 170 метров?

Ответы и решения

5 класс

1. Ответ: 28

Решение: Расставив знаки всевозможными способами, мы получим 6 примеров: 1)1·6·3+1+7 =26; 2) 1·6+3·1+7 =16 ; 3) 1·6+3+1·7=16; 4)1+6·3+1·7 = 26; 5) 1+6·3+1·7 = 26; 6) 1+6+3·1·7 =28.

2.  Ответ: не может.

Решение: Каждую банку клубничного варенья Карлсон съедает вместе с какой-то из 5 +8+10 =23 банок другого варенья. Значит, он съест не более 23 банок клубничного варенья  и всё варенье съесть не сможет.

3. Ответ: 12:50.

Решение: Треть фильма – это 20 минут, а середина первой трети наступает через 10 минут от начала фильма. Значит, в полдень от начала фильма прошло 10 минут, а до конца осталось 50 минут.

4. Ответ: 18 кв. см.  

5. Ответ: 133 =125 + 8.

6. Ответ: 8.

Решение: Пусть автомобиль выехал в 16:00, тогда он приехал в 16:35. Обогнал он те автобусы, которые выехали раньше его, а приедут позже. Так как автобус едет ровно час, то нам надо подсчитать количество автобусов, которые отправились из аэропорта позже 15:35, но раньше 16:00. Последний из этих автобусов выехал за две минуты до автомобиля, то есть в 15:58. К этому моменту с 15:35 прошло 23 минуты, но 23 = 3·7+2, следовательно, кроме этого последнего автобуса автомобиль обгонит ещё семь (самый ранний из них выехал в 15:37).

6 класс

1. Ответ:  1 : (2 : 3 : 4 : 5 ) = 30.

2. Ответ: 5 детей (3 брата и 2 сестры)

Решение: Пусть сестёр в семье х. Тогда из ответа Пети следует, что братьев в семье х+1. Теперь из ответа Маши получаем уравнение:  х+1 = 3(х – 1), откуда х = 2.

3. Ответ: Например: 9 3 6 2 4 8 1 .

4. Ответ: 9. 

 Решение: За один промежуток времени Петя и Вова съедают, соответственно, 5 и 8 конфет. Следовательно, Вова «опережает» Петю на три конфеты, а в сумме за это время они съедают 13 конфет. За большую перемену съедено 39 конфет, то есть три раза по 13. Это значит, что Вова три раза съел на  три конфеты больше Пети, то есть «опередил»  его на 9 конфет. 

5. Ответ: 16 км.

Решение: Пусть в среду Паша прошёл а км.  Тогда в понедельник он прошёл а – 4 км, во вторник

а -2 км, в четверг а +2 км, в пятницу  а+4.Всего Паша прошёл 70 км, следовательно,

 (а - 4) + (а – 2) + а + (а + 2) + (а + 4 ) = 70, то есть 5а = 70. Таким образом, а = 14. Значит, в среду Паша прошёл 14 км, а в четверг -16 км.

6.   Ответ: 22

Решение: На рисунке показана развёртка кубика, на котором покрашено 22 квадратика (у такого кубика на одной паре противоположных граней покрашены все угловые квадратики и центр, на другой паре покрашено по 4 квадратика, примыкающих к серединам рёбер, и на третьей паре покрашено по два квадратика, примыкающих к серединам рёбер, общих с первой парой граней). Кубик, сложенный из такой развёртки,  удовлетворяет условиям задачи.

7 класс

1. Ответ: Например, 111111124.    

2. Решение: При первом взвешивании на одну из чашек весов кладём гирю и все гвозди раскладываем по чашкам так, чтобы установить равновесие.  Получим 13 кг и 12 кг гвоздей. Первую кучку откладываем, а остальные гвозди делим пополам, взвешивая без гири: 12 = 6 +6. Получим искомое количество гвоздей : 19 = 13 + 6.

3. Ответ: ( 2 : 3) : ((4 : 5) : 6) = 5.

4.  Ответ: в первом.

Решение: Если  х – начальная цена товара, то его конечная цена в первом киоске –

х· = 1,08х, а во втором  - х· = 1,1х.

5. Ответ: Коля.

Решение: После каждого забега все присутствующие на уроках школьники получают нечётное число конфет. Поэтому чётность количества полученных конфет у ребят,  посетивших все уроки, должна быть одинаковой. Но их трёх чисел 29, 30, 33 первое  и третье – нечётные, а второе –чётное. Значит, пропустил урок тот, у которого чётное количество заработанных конфет.

6. Решение: см. 6 класс № 6

8 класс

1. Ответ: 82,5°.

Решение: Угол между минутной стрелкой и 12:00 равен 90°, а между часовой и 12:00 равен четверти от угла между 11:00 и 12:00, т.е. равен  =7,5°.

2. Ответ: -1.

3. Ответ: 31.

Решение: Заметим, что количество участников без Ани делится на 5, так как разбивается на две группы, в одной из которых А участников, а в другой - 4А. Значит, N -1 делится на 5. Аналогичным образом из второго условия задачи следует, что N -1 делится на 6. Обоим этим условиям удовлетворяет только число 31.

4.  Ответ: не может.

Решение: Число ягод на двух соседних кустах отличается на 1, поэтому на двух соседних кустах нечетное число ягод. Тогда количество ягод на 10 кустах равно сумме пяти нечётных чисел, т.е. числу нечётному. Значит, на всех кустах вместе не могло быть 1000 ягод.

5. Ответ:  1.

Решение: Высказывание «Все мы лжецы» не может быть правдой, иначе бы оказалось, что тот, кто его произнёс, - и лжец, и рыцарь одновременно. Значит, первый говоривший – лжец. Тогда второй говоривший – рыцарь, так как его высказывание- правда. Но тогда все, кто говорил после него, солгали. Таким образом, рыцарь на этом острове только один.

6.  Решение: Так как треугольник АВС равнобедренный, то угол BDE равен углу BED. Значит, равны соответственно смежные углы ADB и CEB. По условию AD = EC и BD = BE, поэтому треугольник ADB равен треугольнику CEB по 2 сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что АВ = ВС, т.е. треугольник АВС равнобедренный.

9. класс 

1.Ответ: в 12 : 00.

Решение: За 1 час от 16 : 00 до 17 : 00 поезд проехал 0,25 пути с момента выезда до 16 :00. Значит, он ехал 4 часа и выехал в 12 : 00.

2.Ответ: 5435432532.

Решение: из признака делимости на 9 следует, что сумма стёртых цифр должна быть равна 6. Из двух чисел больше то, в записи которого больше цифр. Поэтому нужно стереть две цифры  - либо 3 и 3, либо 2 и 4. Из двух десятиразрядных чисел больше то,  у которого в старших разрядах стоят большие цифры. Поэтому надо стереть первую 2 и последнюю 4.

3.Ответ: 31; 61; 91

Решение: Заметим, что количество участников без Ани делится на 5, так как разбивается на две группы, в одной из которых А участников, а в другой - 4А. Значит, N -1 делится на 5. Аналогичным образом из второго условия задачи следует, что N -1 делится на 6. Обоим этим условиям удовлетворяют  числа 31; 61; 91.

4.Ответ: а + b = 1.

Решение: Уравнение можно преобразовать к виду (a – b)(a + b - 1) = 0. А так как a≠ b, то

a+b -1 =0, откуда a+b = 1.

5.Ответ: ˪А = 90°,  ˪В = 60°, ˪С = 30°.

Решение: Так как ˪ADC =120°, то ˪ADВ =60°. Значит, ∆АDB равносторонний (и ˪ABD = 60°). Тогда BD = AD = DC, и ∆АDС равнобедренный. Значит, ˪DАC = ˪DCA =

(180° - 120°) : 2 = 30°, откуда ˪ВАC = 90°.

6. Ответ: уменьшилась на 36%.

Решение: Пусть стоимость мёда в горшочке сначала была М, а стоимость самого горшочка – Г. Тогда после изменения цен мёд стал стоить 0,4М, а горшочек -1,6Г. По условию 0,4М = 1,6Г, то есть М = 4Г. Итак, сначала цена горшочка с мёдом была равна М + Г = 4Г +Г = 5Г, а потом стала равной 2·1,6Г = 3,2Г. Число 3,2 составляет 64% от числа 5 (так как 3,2 : 5 = 0,64), поэтому горшочек с мёдом подешевел на 36%.

10. класс

1.Ответ: 17.

Решение: Так как из 18 шаров найдётся хотя бы один синий, то красных не более 17, а из любых 10 шаров найдётся хотя бы один красный, то есть синих не более 9. Так как всех шаров 26, то синих  - 9, а красных – 17.

2.Ответ: 105.

Решение: Сумма данных чисел равна 150. Так как все числа различны, то сумма девяти наименьших из них не меньше, чем 1 + 2 + 3 + …+9 = 45. Следовательно, наибольшее число не может быть больше, чем 105. Это возможно: ( 1 + 2 + …+ 9 + 105) : 10 = 15.

3.Ответ: 7.

Решение: Если Ваня тренируется в понедельник, то ни в воскресенье, ни во вторник тренировок быть не должно. Поэтому для двух остальных тренировок возможны 3 варианта: среда и пятница, среда и суббота, четверг и суббота. Если первая на неделе тренировка состоится не в понедельник, а во вторник, то для двух остальных тренировок тоже возможны 3 варианта: четверг и суббота, четверг и воскресенье, пятница и воскресенье. Если же первый день тренировок –среда, то продолжить расписание можно лишь одним способом: пятница и воскресенье. Ясно, что других вариантов нет. Всего получилось 7 вариантов.

4.Ответ: 17.

Решение: Пронумеруем вагоны подряд от1 до 5. Рассмотрим пассажира из первого вагона. Рядом с ним едут только пассажиры из первого и второго вагонов, и их либо 5, либо 10, то есть в первом и втором вагонах вместе либо 6, либо 11 пассажиров. Но аналогичные рассуждения для пассажира из второго вагона показывают, что в первом, втором и третьем вагоне вместе тоже едут либо 6, либо 11 пассажиров. Из этих двух наблюдений следует, сто в первом и втором вагоне вместе 6 пассажиров, а в первом, втором  и третьем вместе 11 пассажиров, то есть в третьем вагоне 5 пассажиров. Рассуждая аналогично, мы видим, что в четвёртом и пятом вагонах вместе тоже 6 пассажиров, а всего пассажиров в поезде 6 +5 + 6 = 17. Нам остаётся заметить, что если в третьем вагоне едет 5 пассажиров, а в остальных  - по 3, то все условия задачи выполнены. Т.о, описанное в задаче распределение возможно, и для  этого их общее число должно равняться 17.

5.  Ответ: ˪АВC = 90°.

Решение: Пусть точка D – середина отрезка АС (см. рис).Тогда АD =  =АВ. Значит, ∆АBЕ=∆АDЕ (сторона АЕ – общая, ˪ВАЕ = ˪CAЕ). Тогда ˪АВС = ˪ADЕ = 90°, т.к. ED – медиана равнобедренного треугольника АЕС (АЕ = ЕС по условию) и, значит, его высота.

6.Ответ: 51.

Решение: Преобразуем выражение: 3а² + 4b² +2a + 3b + 1= а² +b² +2(а²+а – 7)+3(b²+b – 7) +14 +21 +1 = (a+b)² - 2ab +2(а²+а – 7)+ 3(b²+b – 7) +36. Поскольку a и b – корни уравнения  х² + х  -7 =0, то а²+а – 7= 0 и b²+b – 7 = 0. Кроме того, из теоремы Виета следует, что a+ b = -1, ab = - 7. Подставляя эти значения в полученное выше равенство, видим, что 3а² + 4b² +2a + 3b + 1=(-1)² - 2·(-7) +2·0 +3·0 +36 = 1 +14 +36 =51.

11. класс

1.Ответ: 21.

Решение: Заметим, что в любой норке живёт не более пяти мышек. Если в какой –то норке будут жить 5 мышек, то другие норки должны быть пустыми (иначе требование Леопольда не будет выполнено). Итак, в этом случае в домике могу жить всего 5 мышек. Если бы в какой-то норке жили 4 мышки, то в остальных было бы не больше, чем по 1 мышке, и всего в домике могло бы жить не более 9 +4 = 13 мышек. Если бы в какой-то норке жили 3 мышки, то в остальных было бы не больше, чем по 2 мышки, и всего было бы не более чем 9·2+ 3 = 21 мышка. Если же в каждой норке поселить не более 2 мышек, то всего мышек окажется не более 20.

2.Ответ: -3;-1;1;3

Решение: Из второго равенства в условии задачи следует, что у -1= ±2, то есть у =3 или у = -1. А так как   , то х = ± у. Следовательно, х может быть только одним из следующих чисел: 3;-3; -1;1.

3.Ответ: 5.

Решение: Покрасим клетку А на рисунке 1 в цвет 1. Тогда клетку В придётся красить в другой цвет -2. Клетка С стоит в одном столбце с А и на одной диагонали с В, так что для её покраски нужно использовать новый цвет 3. Ясно, что клетку D нельзя покрасить ни в один из цветов 1 2, 3. Покрасим её в новый цвет 4. Наконец, клетка Е на одной диагонали с каждой из клеток А, В, С, D, так, что её придётся покрасить в очередной цвет 5. Итак, меньше, чем пятью цветами не обойтись, а рисунок  2 показывает,  что пяти цветов достаточно.

4.Ответ: х = у = -0,5.

Решение: в силу неотрицательности подкоренных выражений должны одновременно выполняться неравенства х ≥ у, х≤ у, откуда и следует, что х = у = -0,5.

5.Ответ: .

Решение: Соединим между собой середины сторон данного треугольника. Отрезки, которые мы провели, являются средними линиями треугольника, и они разбивают его на 4 равных правильных треугольника (таким образом, площадь каждого из них равна ). Перпендикуляры из условия являются высотами в трёх из этих треугольников ( а именно, тех, которые примыкают к вершинам). Легко видеть, что три высоты разрезают любой правильный треугольник на 6 равных прямоугольных треугольников с углами 30° и 60°. Таким образом, если мы дополним наш чертёж высотами исходного треугольника, то каждый из меньших треугольников, примыкающих к вершинам, будет разбит на 6 прямоугольных треугольников площади . Причём два из них входят в закрашенную область, а 4 – в белую. Итак, закрашенная область разбивается на центральный треугольник площади  и  6 прямоугольных треугольников площади , следовательно, её площадь равна  + 6· =  + = .

6.Ответ: 9 м/с и 8 м/с.

Решение: Пусть скорости велосипедистов равны х км/ч и у км/ч (х ˃ у), тогда

10(х + у) = 170; 170(х –у) = 170. Отсюда х = 9, у = 8.