Задачи с избыточными, противоречивыми данными как один из способов повышения интереса учащихся к математике
статья по математике

Дронова Валентина Григорьевна,

учитель математики,

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №48 им. Р.М. Каменева»

Задачи с избыточными, противоречивыми данными

как один из способов повышения интереса учащихся к математике

Если внимательно проанализировать содержание школьного курса математики, то можно увидеть, что он состоит из теоретического обоснования способов решения различных видов задач. Поэтому естественно, что решению задач уделяется огромное внимание и значительное учебное время. Часто я задаю себе вопрос: правильно ли мы в школе  работаем с ребятами, увлекающимися математикой?  Достаточно ли интересны и серьёзны задачи, которые им предлагаются? Где найти задания, которые высоко поднимались бы над стандартным уровнем учебника, но в то же время были доступны и  интересны?

Развитие нелинейного мышления, устранение формализма в знаниях учащихся продолжают оставаться важнейшими целями обучения школьников математике. Среди задач, наиболее содействующих достижению вышеназванных целей, отмечу задачи-альтернативы, задачи с неоднозначно понимаемым условием, недостающими (неопределенные), избыточными (переопределенные), противоречивыми данными. Такие задачи способствуют расширению кругозора, адекватному применению знаний на практике, развитию мыслительных операций, логики рассуждений, критичности мышления, нестандартного подхода к решению проблем.

Учащиеся, как правило, игнорируют важные вопросы о переизбыточности, недостаточности или противоречивости задач, так как задачи из школьных учебников не требуют размышления над такими вопросами – в них обычно всегда имеется столько данных, сколько необходимо для решения. Этот факт является недостатком в математическом образовании школьников, так как не побуждает их к оценке условия задачи, а между тем задачи, возникающие из практики, как раз нуждаются в подобном анализе. Остановлюсь на двух последних из перечисленных выше типов задач, т.е на задачах с избыточными (переопределенные) и противоречивыми данными.

1. В прямоугольнике стороны равны 8,4 см и 3,9 см, а периметр 24,6 см. Найти площадь прямоугольника. (5 класс, тема «Повторение. Площадь. Площадь прямоугольника», автор: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир Математика)

Возможны различные варианты выделения лишнего данного в условии задачи. Избыточным данным можно считать одну из сторон прямоугольника или его периметр. Поскольку учащимся для вычисления площади прямоугольника нужны длины смежных сторон, а они даны в условии, то они объявляют периметр лишним данным, т. е. условие задачи избыточно. Учащиеся, как правило, удивляются переопределенности задачи и только. Поэтому следует им предложить задачу, убеждающую их в том, что данные условия, кажущиеся лишними, помогают оценить корректность задачи.

2. В прямоугольнике длины сторон равны 6,7 см и 4,2 см, а площадь равна 25,3 см². Требуется найти периметр прямоугольника. (5 класс, тема «Повторение. Площадь. Площадь прямоугольника» Автор: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир Математика)

Учащиеся делают вывод, что площадь – лишнее данное. Однако длины сторон в задаче не соответствуют периметру данного прямоугольника (т.е. с заданной площадью). Иначе говоря, формально «решив» задачу: (6,7 + 4,2)·2 = 21,8 (см), учащиеся нашли периметр не того прямоугольника, который дан, а прямоугольника с площадью 6,7·4,2 = 28,14 см². Данная же задача решения не имеет в силу противоречивости условия, т. е. условие этой задачи не только избыточно, но и противоречиво.

Эта задача побуждает учащихся вернуться к предыдущей задаче и решить, является ли полученный формально ответ ее решением. Школьники приходят к положительному заключению, так как в ситуации первой задачи длины сторон соответствуют периметру: (8,4 + 3,9)·2 = 24,6, что, как они только что убедились, бывает не всегда и требует проверки.

3. Найти площадь треугольника со сторонами 10 см, 19 см и 8 см. (8 класс, тема «Площадь треугольника», автор Л.С. Атанасян Геометрия)

Учащиеся привыкли к тому, что им предлагаются всегда лишь корректные задачи, т.е. с однозначно трактуемым и «правильным» условием, допускающие вполне определенное (однозначное) решение. Поэтому, нисколько не сомневаясь, они используют формулу Герона, но под квадратным корнем получают отрицательное число. Это приводит их в тупик, но они и мысли не допускают, что здесь что-то не так в условии задачи, и перепроверяют свои вычисления. Редкий ученик обратится к критической оценке условия. Учителю приходится давать учащимся необходимую подсказку – воспользоваться неравенством треугольника, т.е. необходимым и достаточным условием (критерием) существования треугольника. Проверив условие при помощи неравенства треугольника, учащиеся убеждаются, что условие задачи противоречиво (8 < 19 – 10, т.е. одна из сторон треугольника меньше разности двух других сторон, а не больше!), откуда и следует вывод, что задача не имеет решения.

4. Найти площадь прямоугольного треугольника с катетами 9 см, 40 см и гипотенузой 42 см. (8 класс, тема «Площадь треугольника», автор Л.С. Атанасян Геометрия)

Учащиеся подходят формально к решению задачи: 9·40:2 = 180 (кв. см) и торопятся сообщить ответ учителю и классу. Каково же их удивление, когда учитель говорит, что их ответ неверен. Некоторые учащиеся по аналогии с предыдущей задачей начинают проверять корректность условия задачи с помощью неравенства треугольника, и поскольку оно выполняется для каждой из трех сторон, подтверждают ответ. Однако они забывают, что прямоугольный треугольник, кроме того, должен удовлетворять равенству теоремы Пифагора. Нередко учащимся в выборе критерия нужна помощь со стороны учителя, и обсуждение теоретической стороны этого вопроса весьма полезно для школьников. Треугольника с заданными длинами катетов и гипотенузы не существует: 92 + 402 ≠ 422, а потому неправомерно говорить о площади несуществующего объекта. Ответ здесь: задача не имеет решения, так как условие противоречиво. Без этого выяснения решение задачи не полно.

5. В параллелограмме стороны 3 см и 5 см, а высота 4 см. Найти площадь параллелограмма. (8 класс, тема «Площадь параллелограмма», автор Л.С. Атанасян Геометрия)

Учащиеся, как правило, уверенно проводят высоту к каждой из сторон параллелограмма и получают два разных ответа (12 см² и 20 см²), т.е. рассматривают два случая, не задумываясь, возможны ли они. Между тем, высота длиной 4 см может быть опущена лишь на сторону параллелограмма длиной 3 см, так как в противном случае перпендикуляр к прямой оказывается длиннее наклонной, проведенной к этой же прямой из той же точки. Иначе говоря, при рассмотрении второго случая условие задачи становится противоречивым. Ответ один: 12 см².

6. В параллелограмме стороны 4 см и 5 см, а высота 3 см. Найти площадь параллелограмма. (8 класс, тема «Площадь параллелограмма», автор Л.С. Атанасян Геометрия)

Если через некоторое время дается эта задача (а она похожа на предыдущую), то учащиеся, чаще всего, дают один ответ. Как говорится: обжегшись на молоке, дуют на воду. Между тем, в этой задаче оба случая возможны (это можно обосновать, и к этому надо приучать школьников). Ответ: 12 см² или 15 см².

7. Найти значение выражения    -   при х =  +5, у = . (9 класс, тема «Повторение. Алгебраические выражения», подготовка к ОГЭ).

Это задание из типовых экзаменационных вариантов ОГЭ. При упрощении заданного выражения переменная х сокращается, используется только значение переменной у. Но некоторые учащиеся сразу подставляют значения х и у в данное выражение, что приводит к сложнейшему числовому выражению, и не могут прийти к ответу. Поэтому надо приучать детей сначала упрощать выражения.

Из всего сказанного видно, что учащиеся не задумываются над вопросами об избыточности, недостаточности или противоречивости условий задач, не анализируют условие задачи, прежде чем начать её решение, не находят все возможные решения задач с неоднозначно понимаемым условием, не возвращаются с полученным результатом к началу задачи, чтобы проверить его. Работает стереотип: задача дана, значит, надо найти ее решение. Между тем, обоснованный вывод об отсутствии решения у задачи – это тоже решение, и понимание этого следует формировать у учащихся на протяжении всех лет обучения в школе.

Литература.

1. Журнал «Математика в школе».
2. Аммосова Н.В., Коваленко Б.Б. Решение задач по математике с избыточными или противоречивыми данными в общеобразовательной школе // Успехи современного естествознания. – 2015. – № 5.

URL: https://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=35125 (дата обращения: 10.10.2018).

3. Шоркина Л.В. Конструирование математических задач как средство творческого развития исследовательских способностей учащихся. – Дис. Канд. Пед. Наук , 2007.

URL:  https://www.dissercat.com/content/konstruirovanie-matematicheskikh-zadach-kak-sredstvo-tvorcheskogo-razvitiya-issledovatelskik (дата обращения: 09.10.2018).