Кружок по математике"математический олимп"
методическая разработка по математике (9 класс)

Отдел образования, опеки и попечительства

Беляевского района Оренбургской области

 Муниципальное бюджетное учреждение дополнительного образования

«Дом детского творчества»

Беляевского района Оренбургской области

                          Утверждаю

    Директор МБУ ДО ДДТ

______Л.И. Ерещенко

«____»________2021г.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОБЩЕРАЗВИВАЮЩАЯ  ПРОГРАММА ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ

«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ОЛИМП»

Возраст: 14-15 лет

Срок реализации: 2 года

Автор-составитель:

Маркова Валентина Викторовна,

педагог дополнительного образования

п. Карагач, 2021 г.

СОДЕРЖАНИЕ

I. Комплекс основных характеристик программы

1.1. Пояснительная записка

1.1.1.  Направленность

Дополнительная общеобразовательная общеразвивающая программа реализуется в рамках естественнонаучной  направленности.

Дополнительная общеобразовательная общеразвивающая программа составлена в соответствии с требованиями нормативных документов:

– Конвенция о правах ребенка (одобрена Генеральной Ассамблеей ООН 20.11.1989) (вступила в силу для СССР 15.09.1990г.);

– Федеральный закон от 29.12.2012 г.  № 273-ФЗ (ред. от 03.02.2014 г.  № 11-ФЗ) «Об образовании в Российской Федерации»;

- Приказ министерства просвещения РФ от 9 ноября 2018г. № 196 «Об утверждении Порядка организации и осуществления образовательной деятельности по дополнительным общеобразовательным программам»;

- Постановление Главного государственного санитарного врача Российской Федерации от 4 июля 2014 г. № 41 «Об утверждении СанПиН 2.4.4.3172-14 "Санитарно-эпидемиологические требования к устройству, содержанию и организации режима работы образовательных организаций дополнительного образования детей"»

– Письмо Минобрнауки России от 18.11.2015г. № 09-3242 «Методические рекомендации по проектированию дополнительных общеразвивающих программ (включая разноуровневые программы)».

На современном этапе развития человечества, когда математика нашла широкое применение во всех отраслях человеческой деятельности, особенно актуальным становится обеспечение надлежащего уровня математической подготовки учащихся. В математических дисциплинах заложен неиспользованный потенциал для решения задач компетентного образования. Помимо активной умственной работы, посредством занятий по математике  можно развивать некоторые психические функции, мало упражняемые на других предметах обучения. К таким функциям относятся: систематичность и последовательность мышления, способность к обобщению, сообразительность, способность к установлению связи между приобретёнными математическими знаниями и явлениями жизни, память на числа, сосредоточение внимания, выдержку и настойчивость в работе, причем последние три являются важными волевыми качествами необходимыми для человека, занимающегося любой деятельностью. Это свидетельствует о важности использования возможностей математики в образовании и развитии человека.

Существенным условием повышения эффективности обучения является формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, развитие их математических способностей, систематическое включение в самостоятельную познавательную деятельность.

Тематика данной программы предполагает знакомство с закономерностями окружающего мира, с математическими науками, не изучаемыми в школьном курсе, что позволяет расширить математический кругозор. Знакомство с историческим материалом расширяет интеллектуальный багаж каждого человека. Вопросы, связанные с прикладной направленностью математики, способствуют развитию интереса к предмету и к профессиям, связанных с ней, несут познавательную информацию. Решение нестандартных и логических задач позволяет формировать у учащихся интеллектуальные способности, развивать воображение и логическое мышление. Решение занимательных задач развивает любознательность, сообразительность, наблюдательность.

1.1.2. Уровень освоения программы: базовый

1.1.3. Актуальность  программы

 Актуальность программы определяется общей задачей оптимизации учебного процесса в условиях школы. Однообразность какой-либо работы снижает интерес к ней. Поэтому сегодня становится необходимым обучить обучающихся современным технологиям. Для этого на занятиях будут использоваться активные формы работы.

Содержание программы составляют разнообразные задачи, имеющие жизненно-практическую ценность, что положительно скажется на понимании обучающимися прикладного характера знаний по математике, поскольку математика проникла практически во все сферы человеческой жизни. Современное производство, компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требуют математической грамотности. Это предполагает определённый стиль мышления, вырабатываемый математикой. Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека. Изучение математики способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений.   Создание условий для повышения мотивации к обучению математики, стремление развивать интеллектуальные возможности  учащихся.

Новизна данной программы в том, что в школьном курсе не рассматриваются данные темы, содержание,  которых может способствовать интеллектуальному, творческому развитию школьников, расширению кругозора и позволит увидеть необычные стороны математики и ее приложений. Программа знакомит с «дискретной» математикой, т.е. областью математики, которая занимается изучением дискретных структур, к числу которых могут быть отнесены: теория множеств; теория графов; комбинаторика (отдельные главы).

Научность. Математика – учебная дисциплина, развивающая умения логически мыслить, видеть количественную сторону предметов и явлений, делать выводы, обобщения.

      Системность. Курс строится от частных примеров (особенности решения отдельных примеров) к общим (решение математических задач).

      Практическая направленность. Содержание занятий кружка направлено на освоение математической терминологии, которая пригодится в дальнейшей работе, на решение занимательных задач, которые впоследствии помогут ребятам принимать участие в школьных и городских олимпиадах и других математических играх и конкурсах.

    Обеспечение мотивации. Во-первых, развитие интереса к математике как науке физико-математического направления, во-вторых, успешное усвоение учебного материала на уроках и выступление на олимпиадах по математике.

    Курс ориентационный. Он осуществляет учебно-практическое знакомство со многими разделами математики, удовлетворяет познавательный интерес школьников к проблемам данной точной науки, расширяет кругозор, углубляет знания в данной  учебной дисциплине.

1.1.4. Отличительные особенности программы

Программа может содержать разные уровни сложности изучаемого материала и позволяет найти оптимальный вариант работы с той или иной группой обучающихся. Данная программа является программой открытого типа, т.е. открыта для расширения, определенных изменений с учетом конкретных педагогических задач, запросов детей. Построена на следующих принципах:

Личностно ориентированные принципы: принцип адаптивности; принцип развития; принцип комфортности.

Культурно ориентированные принципы: принцип картины мира; принцип целостности содержания образования; принцип систематичности; принцип смыслового отношения к миру; принцип ориентировочной функции знаний; принцип опоры на культуру как мировоззрение и как культурный стереотип.

Деятельностно - ориентированные принципы: принцип обучения деятельности; принцип управляемого перехода от деятельности в учебной ситуации к деятельности в жизненной ситуации; принцип перехода от совместной учебно-познавательной деятельности к самостоятельной деятельности учащегося (зона ближайшего развития); принцип опоры на процессы спонтанного развития; принцип формирования потребности в творчестве и умений творчества.

1.1.5.  Адресат программы

Программа рассчитана на детей возраста 14-15 лет. В этом возрасте  воспитанник ощущает свою принадлежность и причастность к определенной социальной группе. Он уже не просто подражает в поведении старшим,  анализирует и оценивает историю, традиции, существующую систему ценностей и мораль того общества, которое его воспитывает. Эта сложная работа вызывает у подростка яркий эмоциональный отклик. В этот период часто проявляются нравственные, интеллектуальные чувства.

В этот период следует учитывать, что именно  в подростковом возрасте возникают  глубокие, действенные, устойчивые интересы, развивается самостоятельность, исполнительность и дисциплинированность. Также в подростковом возрасте происходят существенные сдвиги в мыслительной деятельности: увеличивается объем внимания, памяти, происходит развитие наблюдательности. Они отличаются неустойчивостью в психоэмоциональном состоянии, неуравновешенностью характера,  поэтому  предметом заботы педагога является воспитание волевых качеств личности. Индивидуальный подход  предполагает учет  особенностей возраста, типа нервной деятельности,  темперамента, характера. В работе с каждым учащимся педагогу следует найти ту  психологическую  установку в их обучении, которая дает  возможность  преодолевать им противоречия своего характера, различные трудности на их жизненном пути.

1.1.6.  Объем и срок освоения программы

Программа рассчитана на 1 год обучения  и реализуется в объеме 64 часа: (2 ч на 32 недели)

Первая подгруппа – 32 ч; 

Вторая подгруппа – 32 ч.

Предлагаемая программа разработана так, что материал программы непосредственно не входит в базовый курс математики с учетом действующих стандартов. Успешное изучение тем занятий не предусматривает углубленное математической подготовки учащихся, но для решения многих задач преподавателю целесообразно кратко изложить основные положения теории с учетом основной и дополнительной литературы.

1.1.7.  Формы организации образовательного процесса

Форма обучения – очная, смешанная форма обучения. При реализации программы (частично) применяется электронное обучение и дистанционные образовательные технологии.

Форма организации образовательного процесса – индивидуальные, групповые.

Формы организации занятий – лекции, практические занятия, круглые столы, деловые и ролевые игры, тренинги, выполнение самостоятельной работы.

Подбираются такие методы, организационные формы и технологии обучения, которые бы обеспечили владение учащимися не только знаниями, но и предметными и общеучебными умениями и способами деятельности.

Ведущими методами обучения  являются:

объяснительно-иллюстративный,

частично-поисковый,

репродуктивный,

исследовательский,

проблемное обучение.

Данная программа может являться основой для творческой и исследовательской деятельности школьников.

В программе "Математический олимп" для решения поставленных задач применяются также и беседы, вводящие детей в мир основных понятий математики, практические работы с использованием готовых программных продуктов, уроки-игры, творческие уроки с элементами логики и дидактических игр, которые рассматриваются как один из ведущих методических приемов в организации творческой работы.

Особое внимание в курсе математики уделяется содержанию задач. Подбор задач направлен на развитие абстрактного, пространственного, операционного, ассоциативного и образного видов мышления. Задачи продуманы и подобраны так, чтобы охватить самые разные темы, которые способствуют развитию интереса школьников к математике.

1.1.8.  Режим занятий

Занятия проводятся 1 раз в неделю по 1 академическому часу в каждой группе.

При дистанционном обучении: 30 мин, во время онлайн -  занятий проводится динамическая пауза, гимнастика для глаз.

1.2. Цель и задачи программы

 Цель – развитие творческих способностей, логического мышления, расширение общего кругозора ребенка в процессе рассмотрения различных практических задач и вопросов.

Задачи программы:

обучающие:

- приобретение знаний о культуре правильного мышления, его формах и законах;                                                                                                                       - приобретение знаний о строе рассуждений и доказательств;                            - удовлетворение личных познавательных интересов в области смежных дисциплин таких, как информатика, математика и т.д.                - формирование элементов IT- компетенций.

развивающие – развивать и совершенствовать у учащихся умение применять знания в измененной ситуации; развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения; развитие памяти, внимания, логики, математического мышления, умения правильно и последовательно рассуждать.
воспитывающие – воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности – воспитание общечеловеческих ценностей, например, воспитание трудолюбия, аккуратности, уважительного отношения к старшим и друг к другу, честности, взаимопомощи; расширение кругозора.      

1.3.Содержание программы                                                                                              1.3.1. Учебный план курса первого года обучения (8 класс).

1.3.2. Учебный план первого года обучения (9 класс).

1.3.3. Содержание учебного плана первого года обучения(8 класс)

1. Введение (1 ч).

Знакомство с программой работы кружка.

Практикум. Математическая викторина.

2. Решение задач.(4ч)

Задачи Древнего Востока.

Пёстрые картинки из разных стран.

Лабиринты.

Античные этюды.

Практикум. Математический КВН.

3. Графы и их применение в решении задач.(2 ч)

Решение задач с использованием графов.

 Знакомство с биографией Леонарда Эйлера, А.Кэли, А Мёбиуса, К. Ферма (рефераты).

Высказывания о математике.

4. Решение олимпиадных задач.(5 ч)

Проблема четырех красок.

 Практикум. Конкурс «А ну-ка, математики!»

5. В стране удивительных чисел (решение задач) (2ч)

Практикум.  Конкурс «Ты + я = 7я»

6. Математика на каждом шагу.(2 ч)

Практикум. Викторина «Ох, эта математика!»

7. Модуль числа.(4 ч)

Решение уравнений, содержащих модули.

Графики функций, содержащих выражения под знаком модуля.

8. Логические задачи.(2 ч)

Решение логических задач.

Практикум. Решение задач конкурса «Кенгуру».

9. Решение олимпиадных задач.(3 ч)

Решение задач методом перебора.

Олимпиада для кружковцев.

10. Решение задач на движение.(2 ч)

Скорость, расстояние, время и таинственные отношения между ними.

11. Решение задач на проценты.(2 ч)

Проценты в окружающем мире.

12. Вокруг часов.(1 ч)

13. Встреча с геометрией.(3 ч)

Решение геометрических задач.

14. Итоговое занятие (1 ч).

Игра «Морской бой» (решение сюжетных задач).

1.3.4. Содержание учебного плана первого года обучения (9 класс)

1. Введение (1 ч).

Знакомство с программой работы кружка.

Практикум. Математическая викторина.

2. Решение задач.(21 ч)

Треугольник Паскаля.

Формула бинома Ньютона.

Задача Пуассона.

Круги Эйлера.

Принцип Дирихле.

Практикум. Математический КВН.

3. Графы и их применение в решении задач.(3 ч)

Решение задач с использованием графов.

4. Решение олимпиадных задач.(4 ч)

Решение олимпиадных задач.

Практикум. Решение задач конкурса «Кенгуру»

5. Решение задач с помощью идеи раскраски (2 ч)

Знакомство с идеей раскрашивания.

Практикум.  Задачи на разрезание.

6. Встреча с геометрией (2ч)

Решение геометрических задач.

7. Итоговое занятие (1 ч).

Игра «Морской бой» (решение сюжетных задач).

1.4.  Планируемые результаты освоения программы

Программа позволяет добиваться следующих результатов освоения  программы

личностные:

у учащихся будут сформированы:

1) ответственное отношение к учению;

2) готовность и способность обучающихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию;

3) умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры;

4) начальные навыки адаптации в динамично изменяющемся мире;

5) экологическая культура: ценностное отношение к природному миру, готовность следовать нормам природоохранного, здоровьесберегающего поведения;

6) формирование способности к эмоциональному восприятию языковых объектов, лингвистических задач, их решений, рассуждений;

7) умение контролировать процесс и результат учебной деятельности;

8) учащиеся будут иметь сформированные элементы IT- компетенций.

метапредметные:

учащиеся научатся:

1) формулировать и удерживать учебную задачу;

2) выбирать действия в соответствии с поставленной задачей и условиями её реализации;

3) планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач;

4)предвидеть уровень усвоения знаний, его временных характеристик;
5) составлять план и последовательность действий;

6) осуществлять контроль по образцу и вносить необходимые коррективы;

7) адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, её объективную трудность и собственные возможности её решения;

8) сличать способ действия и его результат с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;

предметные:

формирование знаний нестандартных методов решения различных математических задач;

формирование знаний логических приемов, применяемые при решении задач;

формирование знаний  по истории развития математической науки

формирование знаний видов логических ошибок, встречающихся в ходе доказательства и опровержения.

II. Комплекс организационно-педагогических условий

2.1.  Календарный учебный график

2.1.1. Календарный учебный график  первого года обучения

                                           (8 класс)

2.1.2. Календарный учебный график первого года обучения

                                               (9 класс)

2.2. Условия реализации программы

2.2.1. Кадровое обеспечение

Педагог дополнительного образования, учитель математики.

2.2.2. Материально-техническое обеспечение

Результат реализации программы «Математический олимп» во многом зависит от подготовки помещения, материально-технического оснащения и учебного оборудования.

Оборудование: столы; стулья; компьютер, стенды для демонстрации информационного, дидактического, наглядного материала, выставочных образцов.

Размещение учебного оборудования соответствует требованиям и нормам СаНПина и правилам техники безопасности работы.

Инструменты и приспособления: тетради, авторучки, линейки, карандаши.

Для реализации электронного обучения и дистанционных образовательных технологий необходимо наличие компьютера с выходом в Интернет, соответствующего программного обеспечения.

2.3. Формы аттестации/контроля

Результативность обучения отслеживается следующими формами контроля:

тематический контроль (тестовые задания);

проверочная работа обучающего характера;

взаимопроверка;

самостоятельное конструирование задач;

защита творческих работ.

2.3.1. Формы отслеживания и фиксации образовательных результатов

Планируемые результаты, в соответствии с целью программы, отслеживаются и фиксируются в формах:

• аналитическая справка,
• журнал посещаемости,
• материал  анкетирования  и  тестирования,  
• методическая разработка

Реализация программы предусматривает следующие формы промежуточной и итоговой аттестации:

• выполнение практической/лабораторной работы (постановка опыта, эксперимента);
• выполнение творческой работы;
• индивидуальный письменный и устный опрос, фронтальный опрос;
• викторина;
• работа по квест-картам;
• тестирование ;
• решение кроссвордов;
• презентация и защита  индивидуальных и коллективных  проектов  и  творческих работ (на занятии);
• защита портфолио (проходит на итоговом занятии в форме презентации).

2.3.2  Формы предъявления и демонстрации образовательных результатов

Образовательные результаты, в соответствии с целью программы, демонстрируются в формах):

• выставка,
• готовое изделие,
• демонстрация моделей,
• защита творческих работ,
• контрольная работа,
• олимпиада,  
• открытое занятие,
• отчет итоговый,

Для отслеживания и фиксации образовательных результатов используются:

- фотоматериалы;

- материалы анкетирования и тестирования.

-  карты мониторинга индивидуального развития обучающегося.

• итоговое занятие по окончании года обучения, которое проходит в форме «Игра-практикум ».

2.4 Оценочные и диагностические  материалы

Входная диагностика.

(Личная олимпиада)

Принцип Дирихле.

(математическая регата)

2.5. Методическое обеспечение

Задания на развитие внимания

К заданиям этой группы относятся различные лабиринты и целый ряд игр, направленных на развитие произвольного внимания детей, объема внимания, его устойчивости, переключения и распределения.

Выполнение заданий подобного типа способствует формированию таких жизненно важных умений, как умение целенаправленно сосредотачиваться, вести поиск нужного пути, оглядываясь, а иногда и возвращаясь назад, находить самый короткий путь, решая двух - трехходовые задачи.

Задания, развивающие память

В рабочие тетради включены упражнения на развитие и совершенствование слуховой и зрительной памяти. Участвуя в играх, школьники учатся пользоваться своей памятью и применять специальные приемы, облегчающие запоминание. В результате таких занятий учащиеся осмысливают и прочно сохраняют в памяти различные учебные термины и определения. Вместе с тем у детей увеличивается объем зрительного и слухового запоминания, развивается смысловая память, восприятие и наблюдательность, закладывается основа для рационального использования сил и времени.

Задания на развитие и совершенствование воображения

Развитие воображения построено в основном на материале, включающем задания геометрического характера;

дорисовывание несложных композиций из геометрических тел или линий, не изображающих ничего конкретного, до какого-либо изображения;

выбор фигуры нужной формы для восстановления целого;

вычерчивание уникурсальных фигур (фигур, которые надо начертить, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну и ту же линию дважды);

выбор пары идентичных фигур сложной конфигурации;

выделение из общего рисунка заданных фигур с целью выявления замаскированного рисунка;

деление фигуры на несколько заданных фигур и построение заданной фигуры из нескольких частей, выбираемых из множества данных;

- складывание и перекладывание спичек с целью составления заданных фигур.

Совершенствованию воображения способствует работа с изографами (слова записаны буквами, расположение которых напоминает изображение того предмета, о котором идет речь) и числограммы (предмет изображен с помощью чисел).

Задания, развивающие мышление

Приоритетным направлением обучения в начальной школе является развитие мышления. С этой целью в рабочих тетрадях приведены задания, которые позволяют на доступном детям материале и на их жизненном опыте строить правильные суждения и проводить доказательства без предварительного теоретического освоения самих законов и правил логики. В процессе выполнения таких упражнений дети учатся сравнивать различные объекты, выполнять простые виды анализа и синтеза, устанавливать связи между понятиями, учатся комбинировать и планировать. Предлагаются задания, направленные на формирование умений работать с алгоритмическими предписаниями (шаговое выполнение задания).

В конце каждого занятия ученики получают домашнее задание. В зависимости от сложности изучаемой темы домашние задания носит индивидуальный характер. Проверка домашнего задания оценивается с учетом индивидуальных возможностей каждого ученика.

2.6 Список литературы

2.6.1 Основная литература:

1. Альхова З. И. Внеклассная работа по математике. Саратов, ОАО «Лицей», 2001г.
2. Клименко Д.В. Задачи по математике для любознательных.- М.: Просвещение, 1991.
3. Кардемский Б.А. Увлечь  школьников математикой.- М.: Просвещение,1981.
4. Чистяков П.Н. Исторические задачи. –Киев: «Наукова думка», 1960.
5. Шапиро А.Д. Зачем нужно решать задачи. – М: Просвещение, 1996.
6. Семенов В.F. Изучаеи геометрию. _ М.: Просвещение,1987.
7. Леман И. Увлекательная математика. _ М: «Мир», 1978.

Фарков А.В. Математические кружки в школе. 5-8 классы.- М.: Айрис-пресс, 2005г Власова Т.Г. Предметная неделя математики в школе. Ростов-на-Дону: «Феникс» 2006г

2.6.2.Дополнительная литература:

1. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. «Математическая шкатулка», Просвещение, 1984.
2. Мартин Гарднер «Математические головоломки и развлечения», М.: Мир, 1999.
3. Иоханнес Леман «Увлекательная математика», М.: Знание, 1985.
4. Кордемский Б.А. «Великие жизни в математике». Книга для учащихся 8-11 кл. М.: Просвещение,1995.

2.6.2 Наглядный материал (альбомы, атласы, карты, таблицы и т.п.)

1. таблицы

2. дидактический материал

3.объемные модели

4.схемы

5.диаграммы

2.6.3 Интернет-ресурсы:

http://www.research.att.com/ ~njas/sequences/- онлайн-энциклопедия

http://olympiads.mccme.ru/mmo ; http://www.turgor.ru/problems; http://olympiads.mccme.ru/regata - турниры им. А.П.Савина

Приложение

Задачи

1. Витя сложил из карточек пример на сложение, а затем поменял местами две карточки. Какие карточки он переставил?

З 1 4 1 5 9 + 2 9 1 8 2 8 = 5 8 5 7 8 7

2. У овец и кур вместе 36 голов и 100 ног. Сколько овец?

3. Хозяин обещал работнику за 30 дней 9 рублей и кафтан. Через три дня работник уволился и получил кафтан. Сколько стоит кафтан?

4. На какое наибольшее число частей можно разделить тремя разрезами: а) блин; б) булку?

5. В бутылке, стакане, кувшине и банке налиты молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко находятся не в бутылке, в банке – не лимонад и не вода, а сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Определите, где какая жидкость.

6. Три подруги были в белом, красном и голубом платьях. Их туфли были тех же трех цветов. Только у Тани цвета платья и туфель совпадают. Валя была в белых туфлях. Ни платье, ни туфли Лиды не были красными. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг.

7. Три товарища – Владимир, Игорь и Сергей – окончили один и тот же педагогический институт и преподают математику, физику и литературу в школах Тулы, Рязани и Ярославля. Владимир работает не в Рязани, Игорь – не в Туле. Рязанец преподает не физику, Игорь - не математику, туляк преподает литературу. Какой предмет и в каком городе преподает каждый из друзей?

8. Как из бочки с квасом налить ровно 3 л кваса, пользуясь пустыми девятилитровым ведром и пятилитровым бидоном?

Принцип Дирихле.

Принцип Дирихле утверждает следующее:

Утверждение 1. Если m>n, то при отнесении каждого из m предметов к одному из n классов хотя бы в один класс попадет не менее двух предметов.

В популярной литературе принцип Дирихле объясняется на примере «зайцев и клеток»: если в клетках больше nk зайцев, то хотя бы в одной клетке сидит больше n зайцев.

Подобные соображения используются в различных задачах для доказательства существования.

Самая популярная задача на прямое применение принципа Дирихле такова: на Земле живет 3 млрд. человек, у каждого на голове – не более миллиона волос. Нужно доказать, что обязательно найдутся два человека с одинаковым числом волос. Приняв в качестве «классов» возможное число волос от 0 до 1 000 000 (всего 1 000 001 класс), а в качестве «предметов» население Земли (всего 3 000 000 000 предметов) и применив принцип Дирихле, получим, что обязательно найдутся, по крайней мере, 2 000 людей, имеющих одинаковое число волос на голове.

Приведем еще несколько похожих на принцип Дирихле утверждений, используемых в геометрических и аналитических задачах.

Утверждение 2. Если сумма площадей нескольких фигур меньше S, то ими нельзя покрыть фигуру площади S.

Утверждение 3. Если на отрезке длины 1 расположено несколько отрезков с суммой длин L, то найдется точка, покрытая не более чем L этими отрезками.

Утверждение 4. Если среднее арифметическое нескольких чисел больше a, то хотя бы одно из этих чисел больше a.

Рассмотрим задачи, при решении которых применяется принцип Дирихле.

Задача 1. В розыгрыше кубка по футболу (в один круг) участвуют 30 команд. Доказать, что в любой момент найдутся две команды, сыгравшие одинаковое число игр.

Решение. Рассмотрим два случая.

Хотя бы одна из 30 команд не сыграла еще ни одной игры.

Каждая команда сыграла хотя бы одну игру.

Докажем утверждение для I-го случая.

Так как хотя бы одна из 30 команд не сыграла еще ни одной игры, то число игр у любой команды не более 28, то есть возможное число игр у каждой из команд может быть: 0, 1, 2, …, 28 (всего 29 чисел), а команд по условию 30. Тогда по принципу Дирихле, приняв в качестве «классов» числа проведенных игр (всего 29 «классов»), а в качестве «предметов» - команды (всего 30 «предметов»), получим, что хотя бы 2 команды будут соответствовать одному числу проведенных игр, а значит, хотя бы 2 команды сыграли одинаковое число игр.

Докажем утверждение для II-го случая.

Так как каждая из 30 команд сыграла хотя бы одну игру, то число проведенных игр может принимать значения: 1, 2, …, 29 (всего 29), я команд 30, тогда по принципу Дирихле найдутся хотя бы 2 команды, сыгравшие одинаковое число игр.

Задача 2. Доказать, что среди шести любых чисел найдутся два, разность которых делится на пять.

Решение.

Из теории делимости известно, что разность чисел (a –b) делится на m тогда и только тогда, когда a и b при делении на m дают одинаковые остатки. Учитывая это утверждение, переформулируем задачу:

Доказать, что среди шести любых чисел найдутся два числа, которые при делении на пять, дают одинаковые остатки.

Докажем это утверждение.

По теореме о делении с остатком, при делении числа на пять может быть один из пяти остатков: 0, 1, 2, 3, 4. При этом рассматриваются шесть любых чисел.

6>5, по принципу Дирихле получаем, что, приняв в качестве «классов» – остатки, в качестве «предметов» - числа, учитывая, что хотя бы два числа из шести имеют одинаковые остатки при делении на пять, а значит, их разность делится на пять.

Задача 3. Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырехугольника, площади которых относятся как 2:3. Докажите, что, по крайней мере, три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

Решение.

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат либо на два прямоугольника, либо на две трапеции.

Площадь трапеции равна , где h – высота трапеции (в нашем случае сторона квадрата), C – длина средней линии трапеции (отрезок на средней линии квадрата).

Так как по условию площади получившихся трапеций или прямоугольников делятся как 2:3, то в том же отношении (п.2) прямая делит и среднюю линию квадрата.

Таких точек, которые делят одну из средних линий квадрата в отношении 2:3 всего 4 (см. рис.), прямых по условию 9, и каждая из них должна пройти через одну из этих точек.

И так «классов» – 4, «предметов» –9>2×4, тогда по принципу Дирихле, найдется три прямых проходящих через одну из этих четырех точек.

Задача 4. Доказать, что найдется число вида 200120012001…2001001…0, которое делится на 2002.

Решение.

Рассмотрим 2002 числа 2001, 20012001, …, 

Рассмотрим остатки от деления каждого числа на 2002: ни одно из этих чисел не делится на 2002, так как это число четное, а числа п.1 нечетные, поэтому возможные остатки: 1, 2, …, 2001 (всего 2001).

Так как чисел из п.1 больше чем возможных остатков, то по принципу Дирихле найдутся хотя бы два из этих чисел, которые при делении на 2002 дадут одинаковые остатки.

Разносить чисел, имеющих одинаковые остатки при делении на 2002, делится на 2002 и имеет вид 20012001…2001000…0. Утверждение доказано.

Задачи про рыцарей и лжецов

1.В чашке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в чашке; сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом; в банке не лимонад и не вода; стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?

На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят только правду, лжецы – всегда лгут.

 2.Путник встретил троих островитян и спросил каждого: «Сколько рыцарей среди твоих спутников?» Первый ответил «Ни одного», второй ответил: «Один». Что сказал третий?

 3.Малыш спрятал от Карлсона банку с вареньем в одну из трех разноцветных коробок. На коробках Малыш сделал надписи: на красной – «Здесь варенья нет»; на синей – «Варенье - здесь»; на зеленой – «Варенье в синей коробке». Только одна из надписей правдива. В какой коробке Малыш спрятал варенье?

 4.На остров рыцарей и лжецов приехал путешественник и нанял себе проводника. Однажды, увидев вдали туземца, путешественник сказал проводнику: "Пойди и спроси у того человека: рыцарь он или лжец". Вскоре проводник вернулся и сказал: "Этот человек сказал, что он лжец". Кем был проводник, рыцарем или лжецом?

 5.Федя всегда говорит правду, а Вадим всегда лжёт. Какой вопрос надо им задать, чтобы они дали на него одинаковые ответы (оба ответили “да” или оба ответили “нет”)?

 6.На дверях двух комнат висят таблички. Известно, что надписи на них либо одновременно истинны, либо одновременно ложны. На первой сказано «Либо в этой комнате тигр, либо принцесса в другой», а на второй «Принцесса в другой комнате». В какой из комнат принц найдет принцессу?

Дополнительные задачи 1

 7.

В Стране Чудес проводилось следствие по делу об украденном бульоне. На суде Мартовский Заяц заявил, что бульон украл Болванщик. Соня и Болванщик тоже дали показания, но что они сказали, никто не запомнил, а запись смыло алисиными слезами. В ходе судебного заседания выяснилось, что бульон украл лишь один из подсудимых и что только он дал правдивые показания. Так кто украл бульон?

 8.Однажды на лестнице была найдена странная тетрадь. В ней было записано сто утверждений:

"В этой тетради ровно два неверных утверждения";

"В этой тетради ровно три неверных утверждения";

...

"В этой тетради ровно сто неверных утверждений".

Есть ли среди этих утверждений верные, и если да, то какие?

 9.Путешественник, попавший на остров рыцарей и лжецов, встретил четырех людей и задал им вопрос:"Кто вы?". Он получил такие ответы:

1-ый: "Все мы лжецы".

2-ой: "Среди нас 1 лжец".

3-ий: "Среди нас 2 лжеца".

4-ый: "Я ни разу не соврал и сейчас не вру".

Путешественник быстро сообразил, кем является четвертый житель. Как он это сделал?

Дополнительные задачи 2

 10.12 кандидатов в мэры рассказывали о себе. Через некоторое время один сказал: "До меня соврали один раз". Другой сказал: "А теперь - дважды". "А теперь - трижды" - сказал третий, и так далее до 12-го, который сказал: "А теперь соврали 12 раз". Тут ведущий прервал дискуссию. Оказалось, что по крайней мере один кандидат правильно посчитал, сколько раз соврали до него. Так сколько же раз всего соврали кандидаты?

 11.По кругу сидят рыцари и лжецы – всего 12 человек. Каждый из них сделал заявление: "Все кроме, быть может, меня и моих соседей – лжецы". Сколько рыцарей сидит за столом, если известно, что лжецы всегда врут, а рыцари всегда говорят правду?

Теоретический материал к теме “Графы”.

Введение

Графы – замечательные математические объекты, с их помощью можно решать очень много различных, внешне не похожих друг на друга задач. В математике существует целый раздел – теория графов, который изучает графы, их свойства и применение. Мы же обсудим только самые основные понятия, свойства графов и некоторые способы решения задач.

Понятие графа

Рассмотрим две задачи.

Задача 1. Между девятью планетами солнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий; Плутон – Венера; Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий – Вене; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер; Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса ?

Решение: Нарисуем схему условия: планеты изобразим точками, а маршруты ракет – линиями.

Теперь сразу видно, что долететь с Земли до Марса нельзя.

Задача 2. Доска имеет форму двойного креста, который получается, если из квадрата 4x4 убрать угловые клетки.

Можно ли обойти ее ходом шахматного коня и вернуться на исходную клетку, побывав на всех клетках ровно по одному разу ?

Решение: Занумеруем последовательно клетки доски:

А теперь с помощью рисунка покажем, что такой обход таблицы, как указано в условии, возможен:

Мы рассмотрели две непохожие задачи. Однако решения этих двух задач объединяет общая идея – графическое представление решения. При этом и картинки, нарисованные для каждой задачи, оказались похожими: каждая картинка – это несколько точек, некоторые из которых соединены линиями.

Такие картинки и называются графами. Точки при этом называются вершинами, а линии – ребрами графа. Заметим, что не каждая картинка такого вида будет называться графом. Например. если вас попросят нарисовать в тетради пятиугольник, то такой рисунок графом не будет. Будем называть что рисунок такого вида, как в предыдущих задачах, графом, если есть какая-то конкретная задача для которой такой рисунок построен.

Другое замечание касается вида графа. Попробуйте проверить, что граф для одной и той же задачи можно нарисовать разными способами; и наоборот для разных задач можно нарисовать одинаковые по виду графы. Здесь важно лишь то, какие вершины соединены друг с другом, а какие – нет. Например, граф для задачи 1 можно нарисовать по-другому:Такие одинаковые, но по-разному нарисованные графы, называются изоморфными.

(математическая регата)

1 ТУР1. В школе 30 классов и 1000 учеников. Докажите, что есть класс, в котором не менее 34 учеников.(2 балла)

2. Можно ли отмерить 8 литров воды, находясь у реки и имея два ведра: одно вместимостью 15 литров, другое – вместимостью 16 литров? (2 балла)

3. Найдите значение выражения (В∙А∙Р∙Е∙Н∙Ь∙Е) : (К∙А∙Р∙Л∙С∙О∙Н).(3балла)

2 ТУР

1. В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом ящике лежали яблоки одного сорта. Найдутся ли 9 ящиков одного сорта?(2 балла)

2. Один сапфир и три топаза ценней, чем изумруд, в три раза. А семь сапфиров и топаз его ценнее в восемь раз. Определить прошу я вас, сапфир ценнее иль топаз? (3 балла)

3. Таня пошла покупать ручки и карандаши. На все деньги, которые у нее были, она могла купить 6 ручек. На те же деньги она могла купить 12 карандашей. Но она решила купить одинаковое количество ручек и карандашей. Сколько?(4 балла)

3 ТУР

1. В школе 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в один день года.(2 балла)

2. Бутылка и стакан весят столько же, сколько кувшин. Бутылка весит столько же, сколько стакан и тарелка. Два кувшина весят столько же, сколько три тарелки. Сколько стаканов уравновешивают одну бутылку?(4 балла)

3. Используя ровно пять раз цифру 5, представьте любое число от 0 до 10.(5 баллов)

(математическая стрельба)

1. До царя дошла весть, что кто-то из трех богатырей убил Змея Горыныча. Приказал царь им явиться ко двору. Молвили богатыри:

Илья Муромец: Змея убил Добрыня Никитич.

Добрыня Никитич: Змея убил Алеша Попович.

Алеша Попович: Я убил Змея.

Известно, что только один богатырь сказал правду, а двое слукавили. Кто убил змея.

2. На улице, став в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом и Валей. Кто какое платье носит?

3. Из числа 382818 вычеркните две цифры так, чтобы получилось наибольшее возможное число.

4. Расставьте знаки арифметических действий и скобки, чтобы получились верные равенства: а) 4 4 4 4=5; б) 4 4 4 4=17; в) 4 4 4 4=20; г) 4 4 4 4=32;

д) 4 4 4 4=64.

5. Разделите 7 полных, 7 пустых и 7 полупустых бочек меда между тремя купцами, чтобы всем досталось поровну и бочек, и меда. (Мед из бочки в бочку не переливать!)

6. Продолжите последовательность чисел: 1, 11, 21, 1112, 3112, 211213, 312213, 212223, 114213, …

7. Отлейте из цистерны 13 литров молока, пользуясь бидонами емкостью 17 и 5 литров.

8. Решите ребус: КНИГА + КНИГА + КНИГА = НАУКА.