Система заданий, способствующих развитию творческой

деятельности учащихся

        Предложенные ниже задачи называют цветными ребусами, потому что в условии речь идет о раскраске, а также потому, что логические рассуждения, которые требуются при решении этих задач, подобны тем, что используются при разгадывании математических ребусов. Вместе с тем, цветные ребусы гораздо красивее обычных (в ответе цветная картинка), а логика их решения богаче того разумного перебора, который используется при решении ребусов.

        Предлагаемые задачи естественным образом распадаются на три группы. Задачи первой группы (1–3) самые легкие, подготовительные. Но их формулировки многословны. С их помощью учитель демонстрирует, как важно внимательно прочитывать условие, вникать во все его нюансы, чтобы безошибочно провести логический анализ. Задачи второй группы (4–8) посвящены формированию представлений о топологических свойствах плоскости. Третья группа заданий (9–15) затрагивает вопросы стереометрии многогранников и тем самым развивает пространственное воображение учащихся. На вопросах, казалось бы, далеких от математики, учащиеся имеют возможность повторить свойства куба, тетраэдра, октаэдра, познакомиться с икосаэдром и додекаэдром.  

Задачи.

        1. Некоторые клетки квадрата 4×4 – белые, а остальные – черные. Соседними считаются клетки, у которых есть общая сторона. Известно, что у каждой белой клетки ровно три черные соседки, а у каждой черной – ровно одна белая соседка. Восстановите раскраску по этим условиям.

        2. Буратино взял квадрат клетчатой бумаги 8×8 клеток, некоторые клетки закрасил черным, а остальные оставил белыми. Посмотрел и говорит: «У каждой черной клетки ровно две черные соседки (по стороне)». Лиса Алиса картинки не видела, но утверждает, что черных клеток не больше, чем 36. Права ли она?

        3. Рома, Сема и Тома взяли по квадрату клетчатой бумаги 5×5 клеток. Каждый закрасил 16 клеток черным, а остальные оставил белыми. На всех трех получившихся картинках каждая черная клетка имела ровно две черные соседки (по стороне). Рома хотел пройти по всем черным клеткам, переходя из клетки в соседнюю, но на его картинке такой переход оказался невозможным. На чертеже Семы это сделать было можно, но некоторые черные клетки оказались без белых соседок. Наконец, рисунок Томы позволял пройти по всем черным клеткам, переходя от соседки к соседке, а каждая черная клетка имела белую соседку. Восстановите чертежи.

        4. Клетки квадрата 7×7 раскрасьте в наименьшее число цветов, каждую одной краской так, чтобы у каждой клетки все четыре соседки (по стороне) были разных цветов.

        5. Плоскость разбита на равные клетки – правильные шестиугольники. Каждый шестиугольник окрашен одним цветом. Оказалось, что у любой клетки каждая ее соседка окрашена не так, как остальные. Какое наименьшее число цветов отвечает этим условиям?

        6. Плоскость разбита прямыми линиями на равные равносторонние треугольники. Каждый треугольник окрашен одним цветом, причем любые два треугольника, соприкасающиеся сторонами или хотя бы вершинами, окрашены по-разному. Какое наименьшее число цветов удовлетворяет условиям задачи?

        7. Буратино взял квадрат клетчатой бумаги 5×5 клеток. Две клетки он называл соседними, если у них хотя бы одна общая вершина. Каждую клетку он закрашивал одним цветом и следил, чтобы у каждой клетки все ее соседки получались разных цветов. Какое наименьшее число цветов потребуется?

        8. Плоскость разбита прямыми линиями на клетки – равные равносторонние треугольники. Клетки, имеющие общую сторону или общую вершину, называются соседками. Каждая клетка окрашена одним цветом. Известно, что у каждой клетки все соседки разных цветов. Какое наименьшее число цветов удовлетворяет условиям задачи?

        9. Некоторые ребра куба красные, а остальные черные. Известно, что среди красных ребер нет параллельных. Какое наибольшее число красных ребер может быть у куба при этих условиях?

        10. Некоторые ребра куба красные, а остальные черные. Известно, что среди красных ребер никакие два не лежат в одной грани. Какое наибольшее число красных ребер возможно?

        11. Некоторые ребра октаэдра красные, а остальные черные. Известно, что в каждой вершине сходятся не более двух красных ребер. Какое наибольшее число красных ребер имеет такой октаэдр?

        12. Некоторые ребра октаэдра черные, некоторые красные, а остальные синие. Известно, что в каждой вершине сходятся ребра всех трех цветов.

а) Какое наибольшее число красных ребер имеет такой октаэдр?

б) Какое наименьшее число красных ребер возможно при этих условиях?

        13. Некоторые ребра тетраэдра черные, а остальные красные. Длина каждого ребра 1. Оказалось, что красные ребра составляют пространственную замкнутую ломаную без самопересечений. Какова наибольшая возможная длина такой ломаной?

        14. Некоторые ребра икосаэдра черные, некоторые красные, а остальные синие. Известно, что в каждой вершине сходятся ребра всех цветов. Какое наибольшее число красных ребер может иметь такой икосаэдр?

        15. Два ребра многогранника, имеющие общую вершину, назовем соседями. В какое наименьшее число красок можно покрасить ребра: а) икосаэдра; б) додекаэдра, так чтобы каждое ребро было покрашено, и у каждого ребра все его соседи были разных цветов?