Разработка урока по теме "Решение прикладных задач" 11 класс
план-конспект урока по математике (11 класс)

Класс: 11 (физико-математический профиль)

Тема урока: Решение прикладных задач.

Цели урока:

1. Изучить формулы и их доказательство, которые позволяют применять интегральное исчисление при решении физических задач. Формировать умения применять выше указанные формулы при решении прикладных задач.
2. Способствовать развитию интереса к предмету, активизации мыслительной деятельности, научного мировоззрения, творческого мышления, устной и письменной математической речи.
3. Способствовать воспитанию самодисциплины, потребности в беспрерывном самообразовании.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование: презентация «Решение прикладных задач (применение определенного интеграла в физике)», подборка задач и заданий для работы в группах, бланк оценивания.

Ход урока

1. Организация класса

Проверка готовности учащихся к уроку, настрой на работу.

2. Проверка домашнего задания

Проверка правильности выполнения домашнего задания координаторами групп.

3. Постановка целей урока

• Цели урока (СЛАЙД 2)
• Эпиграф к уроку (СЛАЙД 3)

4. Актуализация знаний

Установите соответствие (физический смысл производной)

(СЛАЙД 4)

5. Историческая справка

(СЛАЙДЫ 5 – 10)

        Трудно найти другое имя, которое оказало бы столь сильное влияние на историю мировой науки и культуры, как Исаак Ньютон. Известный математик и историк науки Б. Л. Ван-дер-Варден пишет в своей книге “Пробуждающаяся наука”: “Каждый естествоиспытатель безусловно согласится, что механика Ньютона есть основа современной физики. Каждый астроном знает, что современная астрономия начинается с Кеплера и Ньютона. И каждый математик знает, что самым значительным и наиболее важным для физики отделом современной математики является анализ, в основе которого лежат дифференциальное и интегральное исчисления Ньютона. Следовательно, труды Ньютона являются основой огромной части точных наук нашего времени”. И не только наук: “Математика и техника влияют даже на нашу духовную жизнь, и настолько, что мы редко можем представить это себе полностью. Вслед за необычайным взлётом, которое пережило и XVII веке естествознание, последовал неизбежно рационализм XVIII века, обожествление разума, упадок религии... Кто отдает себе отчет в том, - спрашивает автор, - что с исторической точки зрения Ньютон является самой значительной фигурой XVII века?”

        Дух времени требовал аналитического пути развития точных наук, применения дифференциального и интегрального исчисления для описания физических явлений. Этот путь и начал прокладывать Леонард Эйлер.

        Конечно, и до последней четверти XVIII века концепция Ньютона сталкивалась с трудностями. В этот период встречались элементарные функции, первообразные которых не могут быть выражены через элементарные функции. Знали математики и некоторые несобственные интегралы, в том числе и расходящиеся. Но такого рода факты были единичными и установившейся эффективной концепции интеграла нарушить не могли. Иным оказалось положение в последней четверти XVIII и особенно в начале XIX века.

        С 70-х годов XVIII века решение задач аналитической механики, физики и других дисциплин потребовало значительное развитие понятия определенного интеграла. Особое значение приобретают двойные и тройные интегралы (Эйлер, Лагранж, Лаплас и др.).

        Разработка приемов вычисления двойных и тройных интегралов показала, что вычислять эти интегралы так, как вычисляли обычный определенный интеграл - при помощи неопределенного, очень трудно или даже невозможно. Поэтому математики вынуждены были сохранять концепцию Ньютона только на словах, а на деле, при решении задач точных наук, стали на путь Лейбница. Они вычисляли соответствующие интегральные суммы (в прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах) и находили их пределы.

        В связи с этим возник вопрос о существовании пределов интегральных сумм, слагаемые которых были бы бесконечно малыми. В первой четверти XIX века были получены основополагающих результаты, которые с именем связаны Коши.

        Мы до сих пор следуем пути, намеченному Огюстеном Луи Коши, с теми усовершенствованиями, которые были внесены во второй половине XIX века К. Вейерштрассом.

        Работы Коши и Вейерштрасса завершили создание классического математического анализа, тем самым подведя итог многовекового развития интегрального исчисления.

6. Изучение нового материала

Защита мини-проектов участниками групп

(СЛАЙДЫ 11 – 16)

Движение

Пример 1.

Тело движется прямолинейно со скоростью (м/с). Найдите путь, пройденный телом за первые 5 с.

Решение:

Используем доказанную ранее формулу, получим

  (м).

Работа

        Пример 2.

Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если известно, что для ее растягивания на 0, 01 м нужна сила в 1 Н?

Решение:

Согласно закону Гука , где  - коэффициент пропорциональности (жесткость пружины).

Найдем , согласно условию задачи .

Значит,

 Дж.

Масса тонкого стержня

        Пример 3.

Дан прямолинейный неоднородный стержень длиной 2, плотность в точке задана формулой . Найдите массу стержня.

        Решение:

Используем доказанную ранее формулу, получим

 m .

7. Формирование навыков учащихся

Учащиеся у доски решает выбранную задачу

(СЛАЙД 17)

№ 1.        

Чему равен путь, пройденный точкой,  движущейся по прямой, за 5 секунд от начала движения, если скорость точки заданна формулой:

Решение:

(м).

№ 2

Вычислить работу необходимую для запуска ракеты весом  Н с поверхности Земли на высоту  км, если радиус Земли            км.

Решение:

По закону всемирного тяготения сила притяжения Землей зависит от расстояния  до центра Земли: . На поверхности Земли сила равна весу тела , а  равен радиусу Земли, тогда

 .

:

.

(Дж).

8. Работа в группах

(СЛАЙД 18)

Задача 1. 

Найдите скорость, которую будет иметь материальная точка за 3 секунды, считая от начала движения, если она движется по прямой, с ускорением .

Решение:

 (м/c).

Задача 2. 

Сила в 3Н растягивает пружину на 1 см. Какую работу нужно произвести, чтобы растянуть эту пружину на 4 см?

Решение:

 (Дж).

Задача 3. 

Найдите массу прямолинейного стержня длиной 6 м, если его плотность в точке задана формулой: .

 (кг).

После группового обсуждения и решение соответственных заданий, член каждой группы представляет краткое решение задачи.

9. Итоги урока

(СЛАЙД 19 – 20)

Тестирование (с проверкой по ключевому слову)

1. Какую физическую величину позволяет найти интеграл ?

Р) S;                  Л) ρ;                К) A;                 П) V.

2. Тело движется со скоростью  (м/с). Найдите путь, пройденный телом за промежуток времени от 1 с до 2 с.

А) 5,25м;          Е) 4,5 м;          О) 5,5 м;            И) 4,75 м.

3. По какой формуле можно найти ускорение тела?

Б)           В)      

Н)                   Ж)

4. Найдите массу стержня длиной 2 м, плотность .

Ф)                С)              Я)                   Т) .

БЛАНК ОЦЕНИВАНИЯ (КАЖДЫЙ ПУНКТ – ОТ 0 Б. ДО 2 Б.)

10. Домашнее задание

(СЛАЙД 21 – 22)

Составить и решить задачу на применение интеграла в физике.