Цифровые образовательные ресурсы
учебно-методический материал по математике
Дополнительный материал (презентации)
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Числовые характеристики СВ | 251.3 КБ |
| История возникновения комплексных чисел | 1.88 МБ |
| История теории графов | 966.94 КБ |
| Комплексные числа | 995.99 КБ |
| Понятие случайной величины, ее виды | 322.23 КБ |
| Практическое применение комплексных чисел | 2.13 МБ |
| Логарифм числа | 1.93 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Математическим ожиданием M(x) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
Свойства математического ожидания 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: 2 . Постоянную можно выносить за знак математического ожидания:
Свойства математического ожидания 3 . Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:
Свойства математического ожидания 4 . Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: (для разности аналогично)
Дисперсией D (x) дискретной случайной величины X называется мера рассеивания данной случайной величины по отношению к ее математическому ожиданию.
Свойства дисперсии 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D 2 . Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D ( C X ) = C 2 D ( X );
Свойства дисперсии 3. Е сли X и Y независимые случайные величины, тогда D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ); D ( X – Y ) = D ( X ) + D ( Y ); 4. Д исперсия случайной величины X равна математическому ожиданию ее квадрата без квадрата ее математического ожидания: D ( X ) = M ( X 2 ) – [ M ( X )] 2 .
Среднее квадратическое отклонение (σ ) вычисляется по формуле
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ЧИСЛА Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа. Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы.
ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ЧИСЛА Введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э.
ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ЧИСЛА Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя.
ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ЧИСЛА В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.
ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ЧИСЛА Итальянский алгебраист Джероламо Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он называл такие величины “ чисто отрицательными ”, считал их бесполезными и старался их не употреблять.
ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ЧИСЛА В 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Название “ мнимые числа ” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт.
ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ЧИСЛА Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин “ комплексные числа ” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus ) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Родилась теория графов в Санкт-Петербурге . Ее родоначальником является Леонард Эйлер Леонард Эйлер - швейцарский , немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Эйлер - автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др.
В 1736 году в одном из своих писем он формулирует и предлагает решение задачи о СЕМИ КЁНИГСБЕРСКИХ МОСТАХ, ставшей впоследствии одной из классических задач теории графов Через остров протекает река Преголя . Она делится на два рукава, огибает остров и имеет семь мостов. Рассказывают, что однажды житель города спросил у своего знакомого, сможет ли он пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать только один раз и вернуться к тому месту, откуда началась прогулка.
Многие горожане заинтересовались этой задачей, однако придумать решение никто не смог. Этот вопрос привлек внимание ученых разных стран . Разрешить проблему удалось известному математику Леонардо Эйлеру. Причем, он не только решил эту задачу, но и придумал общий метод решения подобных задач . Эйлер поступил следующим образом: он сжал сушу в точки, а мосты вытянул в линии.
Такую фигуру, состоящую из точек и линий, связывающих эти точки, называют графом Вершины символизируют берега, реки и острова, а ребра обозначают семь мостов. Искомый маршрут соответствует обходу ребер графа таким образом, что каждое из них проходится только один раз
Кирх Гоф Кэлли Жордан В 1847 году Кирх Гоф разработал теорию деревьев для решения совместной системы линейных алгебраических уравнений, позволяющую найти значение силы тока в каждом проводнике (дуге) и в каждом контуре рассматриваемой электрической цепи. Кэлли в 1857 году, занимаясь чисто практическими задачами органической химии, открыл важный класс графов, называемый деревьями. Жордан (1869 год), независимо от Кэлли , ввел и изучал деревья как чисто математические объекты, совершенно не подозревая о значении своего открытия для современной химической науки.
Д . Кениг Л.В . Канторович Начало бурного развития и практического применения теории графов было положено венгерским математиком Д. Кенигом, который опубликовал в 1936 г. монографию «Теория конечных и бесконечных графов». Российский академик Л. В. Канторович разработал метод решения транспортных задач для их сетевой постановки.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
МНИМАЯ ЕДИНИЦА - это число, квадрат которого равен (-1)
Чи c ла вида где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными числами Число a называется действительной частью комплексного числа, а bi – мнимой частью комплексного числа, число b – коэффициент при мнимой части.
Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи КЧ
Два комплексных числа называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях ,
Два комплексных числа называются сопряженными тогда и только тогда, когда их действительные части равны, а коэффициенты при мнимых частях противоположны
Числа вида и н азываются противоположными
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Случайной величиной называется такая величина, которая случайно принимает какое-то значение из множества возможных значений. По множеству возможных значений различают дискретные и непрерывные случайные величины
Дискретными называются случайные величины , значениями которых являются только отдельные точки числовой оси. Например, число родившихся девочек среди ста новорожденных за последний месяц – это дискретная случайная величина, которая может принимать значения 1,2,3,… Например, число вызовов, поступающих на телефонную станцию в течение суток, число выстрелов до первого попадания в цель и т. д.
Непрерывными называются случайные величины , которые могут принимать все значения из некоторого числового промежутка. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле – это непрерывная случайная величина, значения которой принадлежат некоторому промежутку [а; в]. Например, время безотказной работы микросхемы; концентрация соли в морской воде и т. д.
Случайные величины обозначаются буквами X, Y, Z и т.д., а их возможные значения x, y, z и т.д. Для задания случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения. Необходимо также знать, как часто могут появиться те или иные ее значения в результате испытаний при одних и тех же условиях, т. е. нужно задать вероятности их появления.
Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями .
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений Х x 1 x 2 х 3 … х n Р р 1 р 2 р 3 ... р n где р 1 + р 2 +…+ р n = 1.
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают все возможные значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие вероятности, строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами ( x i ;p i ) , i= 1,2, …n .
Полученную линию называют МНОГОУГОЛЬНИКОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Свойство: сумма ординат вершин многоугольника распределения, представляющая собой сумму вероятностей всех возможных значений случайной величины, всегда равна единице.
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ случайной величины любого типа может быть задан аналитически (в виде формулы) – задается функция распределения случайной величины. Функцией распределения случайной величины называют функцию F ( x ), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее х, т.е. F ( x )< P ( X < x ).
Задача 1. Выпущено 1000 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – выигрыш в 50 рублей, на 50 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.
Задача 2. Составить закон распределения числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.
Задача 3. Стрелок делает два выстрела. Вероятности попадания при соответствующем выстреле равны 0,9 и 0,8. Составить закон распределения СВ Х – числа попаданий в мишень.
Задача 4. Абитуриент сдает три вступительных экзамена: математику, физику и русский язык. Вероятности получения пятерки по математике равна 0,8, по физике – 0,6, по русскому языку – 0,3. Составить закон распределения СВ Х – числа полученных пятерок.
Х 1 3 6 8 Р 0,2 0,1 0,4 p 4 Задача 5. Дискретная СВ Х задана законом распределения. Найти вероятность p 4
Задача 5. Дискретная СВ Х задана законом распределения. Построить многоугольник распределения Х 1 2 3 5 7 9 Р 0, 1 0,2 0,1 0, 2 0, 1 0,3
Задача 6 . Дискретная СВ Х задана законом распределения. Построить многоугольник распределения Х 1 3 6 8 Р 0,2 0,1 0,4 0,3
БИНОМИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ э то закон распределения числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события вычисляют по формуле Бернулли:
Задача 1. В городе 4 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в течение года составляет 20%. Составьте закон распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года.
Задача 2. Устройство состоит их двух независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.
Задача 3. В урне 8 шаров из которых 5 белых, остальные – черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНОЙ СВ некоторые количественные показатели , которые дают в сжатой форме достаточную информацию о случайной величине математическое ожидание д исперсия среднее квадратическое отклонение
Математическим ожиданием M(x) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
Свойства математического ожидания 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: 2 . Постоянную можно выносить за знак математического ожидания:
Свойства математического ожидания 3 . Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:
Свойства математического ожидания 4 . Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: (для разности аналогично)
Х -1 2 5 10 20 Р 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1 Задача 1. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной рядом:
Задача 2. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной рядом: Х -4 6 10 Р 0,2 0,3 0,5
Дисперсией D (x) дискретной случайной величины X называется мера рассеивания данной случайной величины по отношению к ее математическому ожиданию.
Свойства дисперсии 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D 2 . Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D ( C X ) = C 2 D ( X );
Свойства дисперсии 3. Е сли X и Y независимые случайные величины, тогда D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ); D ( X – Y ) = D ( X ) + D ( Y ); 4. Д исперсия случайной величины X равна математическому ожиданию ее квадрата без квадрата ее математического ожидания: D ( X ) = M ( X 2 ) – [ M ( X )] 2 .
Среднее квадратическое отклонение (σ ) вычисляется по формуле
Задача 1. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины Х , заданной следующим законом распределения : X 1 2 3 4 P 0,3 0,1 0,4 0,2
Задача 2. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины Х , заданной следующим законом распределения : X 2 3 5 P 0,1 0,6 0,3
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Комплексные числа, несмотря на их недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ Для расчета цепей постоянного тока Для расчета цепей переменного тока Упрощение расчетов Для расчета сложных цепей, которые другим путем решить нельзя Описание электромагнитных процессов в цепях переменного тока сводится к решению множества интегралов, а решение становится столь сложным, что взять их не под силу даже опытным математикам. Определение крайне упростилось при применении комплексных чисел.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ Комплексные числа используются в приборах измерения переменного тока
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ В КОМПЬЮТЕРНОЙ ТЕХНИКЕ Во многих материнских платах современного компьютера используются знания о комплексных чисел. Благодаря им существует ряд дополнительных возможностей в наших компьютерах.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ В КОСМИЧЕСКОЙ ИНДУСТРИИ Комплексные числа применяются в расчетах при конструировании ракет и самолетов
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ В Других отраслях науки и техники Комплексные числа применяются при вычерчивании географических карт В исследованиях течения воды
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ХИМИИ Изучение комплексных соединений – одна из интереснейших областей химии, в том числе биологической химии Пример комплексного соединения – красное вещество гем ( составная часть гемоглобина крови)
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
прямое действие обратное действие СЛОЖЕНИЕ УМНОЖЕНИЕ ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ ВЫЧИТАНИЕ ДЕЛЕНИЕ ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ? - НЕИЗВЕСТНАЯ ОПЕРАЦИЯ
ТЕМА ЛОГАРИФМ ЧИСЛА познакомиться с новым действием алгебры – логарифмом числа; привыкнуть к новой математической модели; - получить представление о применении незнакомого логарифма в знакомых вещах.
a - основание N - данное число (выражение, стоящее под знаком логарифма) m - логарифм, _____________________ ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Логарифмом _______________N по данному ___________ а называется такой ___________________________ m, в который нужно возвести ____________ a, чтобы получить _______________ N. д анного числа основанию показатель степени основание данное число показатель степени
"ПРИВЫКАНИЕ" К НОВОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОИЗНЕСИ ПРАВИЛЬНО
"ПРИВЫКАНИЕ" К НОВОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Записать в виде показательного равенства
"ПРИВЫКАНИЕ" К НОВОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Записать в виде логарифмического равенства
УРА! УРА! ФИЗКУЛЬТ УРА! график линейной функции график квадратичной функции
"ПРИВЫКАНИЕ" К НОВОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Вычислить логарифм числа
МАТРИЦА для ответов
Немного истории
Немного истории Логарифмическая линейка - аналоговое вычислительное устройство, позволяющее выполнять несколько математических операций
Немного истории Все расчеты на современных вычислительных устройствах выполняются с помощью логарифмов
Применение в специальности При изучении переходных процессов в электрических цепях решаются уравнения с логарифмами
При изучении защитного заземления для расчета сопротивления растекания тока используется формула Применение в специальности
ЧТО ОБЩЕГО?
Применение в окружающем мире Раковины моллюсков, улиток , рога млекопитающих закручены по логарифмической спирали
Хищные птицы кружат над добычей по логарифмической спирали. Дело в том, что они лучше видят, если смотрят на добычу не прямо, а чуть в сторону. Применение в окружающем мире
Семечки в подсолнухах расположены по дугам, близким к логарифмической спирали Применение в окружающем мире
В реле напряжения показатели зависят от натяжения спиральной противодействующей пружины Применение в окружающем мире
ЧТО ОБЪЕДИНЯЕТ? ЛОГАРИФМ
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Авторский цифровой образовательный ресурс"Полезные адреса Интернет-ресурсов"
Цифровой образовательный ресурс представляет собой презентация, рассказывающую о услугах сети Интернет, числе пользователей Интернета, ранжированию поисковых запросов и много другой статичтической инф...
Мастер-класс "Знакомство с ресурсами и инструментами Единой Коллекции цифровых образовательных ресурсов"
Мастер-класс:познакомит Вас с возможностями Единой Коллекции цифровых образовательных ресурсов, а также научит находить ресурсы и добавлять их в PowerPoint презентации...
Использование цифровых образовательных ресурсов в коррекционно – развивающее обучении с целью повышения качества образовательного процесса в школе. Проект "Помогай-ка".
Проблема оказания помощи неуспевающим детям многие годы является актуальной в педагогике. Классы выравнивания, компенсирующего обучения, коррекции, педагогической поддержки, адаптации, здоровья,...
НЕОБХОДИМОСТЬ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЦИФРОВЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ РЕСУРСОВ В ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ ПРОЦЕССЕ
Интенсификация обучения достигается за счет создания новых способов обучения, возможности хранить, пополнять, систематизировать и оперативно использовать банк знаний в любой области, за счет более выс...
Выступление на педсовете «На пути к цифровой школе» «Цифровые образовательные ресурсы, их типология, требования к разработке».
Постоянные изменения, происходящие в жизни современного информационного общества, безусловно, должны находить адекватное и незамедлительное отражение как в самом учебном процессе, так и в учебных мат...
Цифровые образовательные ресурсы как составляющая часть электронного образовательного пространства учителя
Глобальное развитие информационных технологий, их стремительное проникновение в сферу образования определяет развитие образовательных учреждений....
