Элективный курс «Элементы теории множеств»
элективный курс по математике (8, 9 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №15

Элементы теории множеств

элективный курс для учащихся 8-9-х классов

                                         Автор: Аксенова Надежда Васильевна

                                                       (учитель математики высшей категории )

Ковров - 2019

Теория множеств.

Для 8,9-х классов в рамках предпрофильной подготовки обучающихся

Структура программы:

Программа является обучающей и содержит:

-пояснительную записку

-цели и задачи курса

-требования к уровню освоения  содержания курса

-примерное тематическое планирование

- дидактические материалы

-информационные ресурсы

курс рассчитан на  18 часов

Пояснительная записка

Курс посвящён одному из важнейших понятий математики понятию множества.

Понятие множества находит широкое применение как при изучении математики так и других наук. Нахождение множества решений уравнений, неравенств, их систем, понятие совокупности решений системы при выполнении различных заданий алгебры и геометрии - это не что иное как использование понятий и языка теории множеств. Язык теории множеств помогает красиво и наглядно оформлять задачи, экономить время.

Соответствующий материал нацелен на  математическое развитие обучающихся, формирование у них умения точно, сжато и ясно излагать мысли в устной и письменной речи.

Цель курса

Дать понятие множества, подмножества, элементов множеств, изучить операции , проводимые над множествами ,показать применение элементов теории множеств при решении задач.

Требования к уровню содержания курса

Административной проверки материала не предполагается, задачи не будут включаться в контрольные работы, выноситься на экзамены.

В технологии проведения занятий присутствует этап самопроверки, учитель может провести обучающие самостоятельные работы, которые позволят оценить уровень  освоения вопросов

-операции над множествами

-использование языка теории множеств

Формой итогового контроля может стать обучающая самостоятельная работа, собеседование, или защита проекта учащегося по теме курса.

Учебно - тематический план

Теория множеств (основные вопросы теории)

Множество, элемент множества, пустое множество.

В жизни мы часто встречаемся с понятием " множество". множество людей, множество книг, множество деревьев и т. д..В обычной речи мы имеем в виду под значением слова "множество" большое количество каких - либо предметов. Заметим, что и в математике мы часто встречаемся с этим понятием, например " множество точек", множество решений уравнения".

    В математике " множество" - совокупность, набор каких- либо предметов ( объектов) . Это не есть точное математическое определение. Также как и понятие точки, числа , прямой понятие множества  является одним из тех первоначальных, наиболее общих понятий, которые приходится принимать без определений.

Элемент множества - предмет , составляющий  это множество. Для записи того, что элемент принадлежит множеству, пользуются знаком принадлежности  " . То, что элемент а в ходит в множество А записывают  так   "аА"( читается - а есть элемент множества А или а принадлежит множеству А).Если элемент а не принадлежит множеству А, то пишут так "а  А".

Например: 2  Z; -2 N ( N - множество натуральных чисел,  Z -  множество целых чисел,   R - множество действительных чисел).

Пустое множество - множество  не содержащее ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом . примером пустого множества может быть множество треугольников, сумма углов которых отлична от 180.

Способы задания множеств:

-перечислением элементов, для этого пользуются фигурными скобками. Это как правило конечные множества В=

-описанием, указывая свойство, которым должны обладать элементы, входящие в него; например интервал  - это множество действительных чисел х, удовлетворяющих неравенству  . символически это можно записать так . Это свойство называют характеристическим.

Равенство множеств. Подмножество. Универсальное множество.

В жизни мы также часто встречаемся с равными множествами. Например число учащихся разных классов может совпадать, число страниц в разных книгах может быть одинаково . Не подозревая этого, мы сами определяем равенство этих множеств(множество учеников, множество страниц).  

Множества состоящие из одних и тех же элементов называются равными. Символически это записывается так :  А = В.

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что А  -  подмножество В. Каждое непустое множество имеет, по крайней мере, два подмножества: пустое множество и само это множество. Например: множество учеников класса является подмножеством всех учеников этой школы, множество жителей города является подмножеством всех жителей России. Если А-подмножество В , а В - подмножество А, то А =В.

Пусть дано какое-либо множество Е.Будем рассматривать всевозможные подмножества  множества Е. Исходное множество Е в данном случае называют универсальным. 

 Пример1.  Множество книг. в это множество входят подмножества научных, художественных книг. книг по искусству, среди научных есть подмножества книг по математике. биологии и т. д. Таких подмножеств очень много.

Пример 2. Пусть универсальное  множество Е  состоит из трёх элементов. перечислим все подмножества множества Е:   . Их всего = 8.

Если универсальное множество Е состоит из n элементов, то число всех подмножеств множества Е равно 2n.

Если множество А- некоторое подмножество универсального множества Е.  Тогда множество , называется дополнением множества А.

Пример Если Е=;  А = ,  = .

Операции над множествами

Объединением С двух множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А или множеству В . С = А. Не исключается возможность одновременной принадлежности некоторых элементов и множеству А и множеству В. при этом такие элементы причисляются к множестве С один раз. Объединение часто называют суммой множеств.

1. Примером может служить изображённая диаграмма Венна.

 Закрашено искомое множество.

2. Объединением числового отрезка и числового отрезка является числовой отрезок

3. Решить уравнение: (х2 - 4)(х2 - 9)= 0

Решение.

Используя условие равенства 0 произведения, мы решаем два уравнения :  х2 - 4 = 0 ;                   х2 - 9 = 0, а потом объединяем множества корней уравнений. множество корней уравнения А =

В случае. когда ищут значения неизвестного или нескольких неизвестных, удовлетворяющие хотя бы одному из нескольких уравнений, говорят, что задана совокупность уравнений:    

3. Решить систему уравнений:

применяя условие равенства 0 произведения двух множителей, вместо данной системы решаем совокупность двух систем6

Решение данной системы - совокупность четырех частных решений:

Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А и множеству В одновременно. С =А  В. иными словами пересечение образовано всеми общими элементами множеств.

1. Примером может служить изображённая диаграмма Венна.

 Закрашено искомое множество.

2.  А - множество натуральных делителей числа 72;

А=

В - множество натуральных делителей числа 54

В

А - общие делители чисел 72 и 54.

НОД(72; 54)= 18 -наибольший общий делитель.

Разностью С двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А , не входящих в В.  С = В/А. .

1. Примером может служить изображённая диаграмма Венна.

 Закрашено искомое множество.

2. пусть А - множество натуральных чётных чисел, а В -множество всех целых чисел, делящихся на 4. Тогда А/В -множество всех чётных натуральных чисел, которые не делятся на 4.

3. Разностью множества чётных чисел и множества целых чисел является пустое множество.

Множества точек плоскости, задаваемые уравнениями или неравенствами с двумя переменными.

Пусть на плоскости выбрана система координат .Тогда любое уравнение с двумя переменными  F (x, y) = 0 задаёт на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению.  Например: y = kx + b - прямая линия   - парабола . Точно также любое неравенство с двумя переменными задаёт какое-либо множество точек на плоскости .

Например: y - множество точек плоскости. лежащих выше прямой y = kx + b.

Когда имеется система уравнений или неравенств с двумя переменными, то множество решений такой системы - пересечение множеств решений каждого уравнения или неравенства, входящих в систему.

Отображение множеств. Понятие числовой функции.

Рассмотрим множества А и В .Если каждому элементу а множества А некоторым способом поставить в соответствие один элемент b множества В. то говорят, что задано отображение множества А в множество В. Записывают это так:   f: A   b=f(a).

А                                  В

Через f обозначают то правило, по которому соответствие устанавливается.

Если каждому элементу из множества А поставлен в соответствие один элемент из множества В и при этом каждый элемент из множества В соответствует одному и только одному элементу из множества А, то говорят, что между множеством А и множеством В установлено взаимно-однозначное соответствие. Например:

1. Взаимно-однозначное соответствие существует между множеством действительных чисел и множеством точек на числовой прямой.

 А и В числовые множества. Одно множество обозначим D, его элементы x: x; другое обозначим Е, его элементы у: у Е.  Отображение числового множества D в числовое множество Е называют функцией и записывают y = f(x).

D - область определения функции, х - аргумент

Е -область значений функции, у - функция

Функцию можно задать таблицей, графически, аналитически, описанием.

Кванторы.

в начале 20 века математики в силу внутренних проблем. возникших в математической науке, были вынуждены обратить внимание на сами логические основы своей науки, на язык, который используется в ней. В процессе исследований были введены так называемые кванторы: квантор общности, обозначаемый символом  "для любого" и квантор существования , обозначаемый символом  и соответствующий слову "существует" Эти символы оказались полезными для краткой записи математических утверждений.

Примеры.

1.  Утверждение: Квадрат всякого действительного числа неотрицателен.                                           .   Читается " для всякого , .

2. Утверждение: Найдётся действительное число, квадрат которого не является положительным числом.

 .  

3.     .  Это можно прочитать так: для любого целого числа х и для любого целого числа у существует целое число z такое. что х + z =у.

Предложения, логическая запись которых начинается с квантора общности, называются общими. универсальными.

Если запись утверждения начинается с квантора существования, то оно называется высказыванием о существовании.

Само слово" квантор" произошло от  латинского "quantum", означающего "количество" и в математическом утверждении оно указывает на количество элементов рассматриваемого множества, которые обладают указанным свойством

Общие высказывания утверждают, что все элементы х некоторого множества А обладают некоторым свойством Р(х):   

Высказывание о существовании утверждает, что в множестве А существуют элементы х , обладающие некоторым свойством Р(х):   

Выполнение операций над множествами

Алгоритм

1. Определить, какие элементы принадлежат множеству, а какие -нет.

2. Найти объединение, пересечение, разность множеств.

3. Установить, является ли соответствие между множествами взаимно-однозначным.

Тренинг умений.

Пример выполнения упражнений.

Задание. Даны два множества А=;   B=.

Найти: а)  А ;  б)  А в) В/А;  г)установить. является ли соответствие А , заданное формулой у =  взаимно - однозначным.

Ответ: а) А ;  б) А ;   в) В/А = ;   соответствие не является взаимно- однозначным.

Задания для работы в классе и дома

1. Даны два множества А= и В =. Найти следующие множества:  а) А;  б) А/В;  в)В/А;  г)А

2. Найти область определения функции. Записать решение с использованием множественной символики:   f(x)=.

3. Даны два множества на координатной плоскости

А=;   B=.  Изобразить на чертеже следующие множества:

а)  А ;  б)  А в) А/В;  г).

4. Из 20 человек двое изучали только английский язык, трое - только немецкий, шестеро - только французский. Никто не изучал трёх языков. Один изучал немецкий и английский, трое - французский и английский. Сколько человек изучали французский и немецкий языки.

5. Каждому квадратному уравнению ставится в соответствие его положительный корень. Является ли это соответствие взаимно-однозначным?

Самостоятельная работа.

1. Даны два множества   А=;   B=;                             Найти: а)  А ;  б)  А в) А/В;  г)установить. является ли соответствие А , заданное формулой у = х+1 взаимно - однозначным.

2. Даны два множества А=;   B=. Найти следующие множества:  а) А;   б)В/А;  в)А

Тезаурус

Заключение.

Материалы, представленные в работе, входят в школьный курс частично: символы теории множеств и логические символы при оформлении решений уравнений, неравенств, их систем, при решении геометрических задач.

Некоторые операции над множествами используются при решении математических задач. Изучение элементов теории множеств способствует развитию логического мышления обучающихся. Язык теории множеств помогает красиво и наглядно оформлять задачи, экономить время, развивает них умения точно, сжато и ясно излагать мысли в устной и письменной речи.

Информационные источники.

1. В.Ф. Бутусов и др. Математика. Учебник для гуманитариев. 10-11 кл. М., Просвещение, 1996г.

2. Виленкин Н.Я. Избранные вопросы математики М. Просвещение 1978г.

3. Дорофеев Г.В. Алгебра и начала анализа 1 ч. 10 кл.  М., Дрофа 2003

4. Гафический способ решения систем неравенств. Яндекс. Картинки.

5. wikipedia.ru. Теория множеств.