Метод рационализации
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (11 класс)

МКОУ "Михайловская средняя общеобразовательная школа Железногорского района Курской области"

Метод рационализации  

Выполнила:

 Фирсова Ольга Михайловна (учитель математики)

2020

Метод рационализации ( метод замены множителей, метод замены функции, правило знаков) позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству на области определения исходного неравенства.

Метод рационализации

Пример №1.   Решить неравенство

По формуле |f(x)| - |g(x)| у (f(x))2 – (g(x))2

Решаем неравенство  методом интервалов, получаем

Ответ: (-∞; -2), [ -1; 1], (2; 4).

Пример № 2. Решить неравенство

2x2+x+1 >= 0

x2+x+1>=0

Решаем методом интервалов и получаем:

Ответ: (-∞; -3/2), {0}, (2/3; +∞).

Пример № 3. Решить неравенство

ОДЗ

x>1                                    

ОДЗ: x>=3/2

                                 Ответ: [1,5; 3,25).        

Пример № 4. Решить неравенство

ОДЗ

        [  ;   ]

Решаем неравенство методом интервалов, получаем:

Ответ: [-2; 0,5), (2/3;  ].

Пример № 5. Решить неравенство

ОДЗ

Решаем неравенство методом интервалов, получаем:

Ответ: [0; 0,25), (1/3; 1).

Пример № 6. Решить систему неравенств

ОДЗ

Первое неравенство:

Введем замену

a – 25a<= - 360

a>= 15

Вернемся к замене:  

Второе неравенство по формуле:  log ₐ f = (a - 1)(f  – 1)

Решаем методом интервалов и сопоставляем решение с ОДЗ и решением второго неравенства.

Ответ: [                                            

Пример №7. Решить неравенство

x2= |x|2

По формуле |f(x)| - |g(x)| у (f(x))2 – (g(x))2

Решаем неравенство методом интервалов, получаем:

Ответ: (-∞; 1/3), (5/6; 1), (1; 3/2), [5/3; 2], [10; +∞)

Пример № 8.   Решить неравенство

Применяем формулу |f(x)| - |g(x)| у (f(x))2 – (g(x))2 дважды:

Решаем методом интервалов, получаем:

Ответ: (-∞; -3/2), (-1/2; 0), (0; 1], [2; +∞), {0}.

Пример №9. Решить неравенство

ОДЗ     x2+x+1≠ 1                x≠0, x≠-1

            x2+x+1>0                  

            2x2  - x/2 >0             x<0, x>1/4

По формуле logaf – 1 = (a-1)(f-a)

(x2+x)(2x2 – x/2 – x2 – x – 1) < 0

x(x – 1)(x2 – 3x/2 – 1) < 0

Решаем методом интервалов и объединяем решение с областью допустимых значений, получаем:

Ответ: ( - 1; - ½), (¼; 2).

Пример № 10. Решить неравенство

ОДЗ  x2 – 3x + 3 ≠ 1                    x ≠ 1, x ≠ 2

         x2 – 3x + 3 > 0

         2x2 – 7/2x + 3/2 > 0             x<3/4,  x>1

По формуле   logaf – 1 = (a-1)(f-a)

(x2 – 3x + 2)(2x2  - 7/2x + 3/2 – x2 + 3x – 3) < 0

(x2 – 3x + 2)(x2 – 1/2x – 3/2) < 0

x=1, x=2, x=-1, x=3/2

Решаем методом интервалов и объединяем решение с ОДЗ, получим:

         Ответ: (-1; ¾), (3/2; 2).

Пример № 11.  Решить неравенство

ОДЗ    x2 + 2x – 3 > 0        x ≠ - 1 ±

           x2 + 2x – 3 ≠ 1  

                     x  - 2,  x > 1

По формуле logaf – 1 = (a-1)(f-a)

Преобразуем модули по формуле |f| - |g| = f2 – g2

x = - 1 ± , x = 1, x = -17/7

Решаем методом интервалов и объединяем с ОДЗ

Ответ: (-∞; -1 - ), (-17/7; -2), (-1 + ; + ∞).

Задания для самостоятельного решения:

Литература

1. Уравнения, неравенство. Методическое руководство Л.Р.Шакирова, Н.В.Тимербаева г.Казань,2008г.

2. Никольский С.М.,Потапов М.К. Алгебра и начала математического анализа. Учебн. для общ.учреждений. Москва,2009г.

3. Сборник ЕГЭ,2016,2019г.Под редакцией Ф.Ф.Лысенко