"Положительные и отрицательные числа. Сложение и вычитание рациональных чисел"
методическая разработка по математике (6 класс)

ТЕМА 1. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

1. Структура темы

 Координатная  прямая

 Прямую, с выбранными на ней началом отсчета, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой или числовой осью.    

Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой этой точки. 

 Обозначение: К(2), Е (- 5),  F (- 3,5), Р (- 1).

Ключевые задачи:

1. Запишите координаты точек N, K, D, M , изображенных на рисунке.

2. Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок длину четырех клеток тетради. Отметьте на этой прямой точки E (3), K (- 2), D (2,5), F (- 1,5),

S (- 3 ), P (- 2,75).

Изменение величин

Точка на координатной прямой может перемещаться влево и вправо. Перемещение точки вправо обозначают положительными числами, а влево — отрицательными.   

Ключевые задачи:

1. Отметьте на координатной прямой точку А (– 3). Найдите координату точки, в которую перейдет точка А при перемещении: а) на 2;  б) на – 6;  в) на 4;  г) на – 5.
2. Точка М при перемещении на 7 перешла в точку К (– 2), а точка В при перемещении на – 4 перешла в точку С (– 1). Найдите координаты точек М и В.
3. При перемещении точка С (5) перешла в точку К (– 2). Чему равно перемещение точки С?

 Противоположные числа

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами.

Для каждого числа есть только одно противоположное ему число.  

Целые числа –  это натуральные числа, противоположные им числа и нуль.

Рациональные числа –  это целые и дробные числа (обыкновенные дроби, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби).

Ключевые задачи:

1. Запишите число, противоположное числу: а) – 3,18;   б) 7;   в) – 5;   г) 2
2. Найдите значение , если  ;
3. Найдите значение , если ;

Модуль числа

 Модулем числа   a   называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки  a и обозначают | a |.

Модуль числа не может быть отрицательным, т.е.  | a | ≥ 0. 

Для положительного числа и нуля модуль равен самому числу, а для отрицательного — противоположному числу, т.е.

                                                                                     | a |
              Противоположные числа имеют равные модули: | – a | = | a |.  

Ключевые задачи:

1. Найдите модуль числа: а) 3;   б) – 2,8;   в) 7,2;   г) – 2.
2. Запишите числа, модули которых равны: а) 5;   б) 2,4;   в) 8
3. Найдите значение выражения:

4. Решите уравнение:

Сравнение рациональных чисел

1) Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

2) Любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное число меньше нуля.

3) Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.

Ключевые задачи:

1. Сравните:    в) 0 и 0,1;  

                   г) 0 и – 206457; .

2. Запишите все целые числа, которые заключены между: а) – 8,2 и 1;   б) – 7,8 и – 5,4.
3. Между какими соседними целыми числами заключено: а) – 0,824;   б) – 3
4. Расположите числа в порядке возрастания: 0; - 8; 15;  - 10;  2;  - 4;  12;  - 25;  - 15.

2. Задания для совместной деятельности

1. Отметьте на координатной прямой точки

А(– 2), В(5), С(– 4), М(2,5), Р(–1,5), Т(–0,25) и точки А1, В1, С1, М1, Р1 и Т1, координаты которых противоположны координатам данных точек, приняв за единичный отрезок две клетки.

2. Запишите координаты точек А, В, М и К, изображенных на рисунке.
3. Напишите числа, противоположные числам
4. Найдите значение n, если – n = –2,8;   – n = 13,2.
5. Найдите значение – у, если у = 3,8;  у = – 1,9;   у = 0.
6. Найдите модуль каждого из чисел: 2;  –3;  4,3;  12,6;  –17 Запишите соответствующие равенства.
7. Найдите значение выражения:

а)

      8) Решите уравнения:

      9) Сравните:

     10) Какие целые числа заключены между числами:

     11) Расположите числа в порядке убывания:

     12)Найдите все целые числа, которые являются одновременно решениями двух неравенств:

     13) Найдите все целые числа, удовлетворяющие неравенству:

     14) На координатной прямой отмечены точки a, b, c.

 Сравните:

     15) Точка С имеет координату . Отметьте на координатной прямой точку, в которую перейдет точка С при перемещении: а) на 6; б) на – 4.

     16) Точка М при перемещении на 3 перешла в точку К(2),  а точка Р при перемещении на – 4 перешла в точку Т( 1). Найдите координаты точек М и Р.

3. Задания для самостоятельной деятельности

1. Отметьте на координатной прямой точки

А(– 1), В(4), С(– 3), М(3,5), Р(–2,5), Т(–1,25) и точки А1, В1, С1, М1, Р1 и Т1, координаты которых противоположны координатам данных точек, приняв за единичный отрезок две клетки.

2. Запишите координаты точек А, К, Р и М, изображенных на рисунке.
3. Напишите числа, противоположные числам
4. Найдите значение с, если – с = –5,6;   – с = 12,8.
5. Найдите значение – х, если х = 4,2;  х = – 1,3;   х = 0.
6. Найдите модуль каждого из чисел:  Запишите соответствующие равенства.
7. Найдите значение выражения:

а)

      8) Решите уравнения:

      9) Сравните:

     10) Какие целые числа заключены между числами:

     11) Расположите числа в порядке убывания:

     12)Найдите все целые числа, которые являются одновременно решениями двух неравенств:

     13) На координатной прямой отмечены точки a, b, c.

 Сравните:

     14) Найдите все целые числа, удовлетворяющие неравенству:

     15) Точка С имеет координату . Отметьте на координатной прямой точку, в которую перейдет точка С при перемещении: а) на 7; б) на – 2.

     16) Точка Х при перемещении на перешла в точку А(1),  а точка Т при перемещении на 2,5 перешла в точку В(0,5). Найдите координаты точек Х и Т.

4. Практическая работа «Положительные и отрицательные числа»

1. Отметьте на координатной прямой точки  Какие из этих точек имеют противоположные координаты?
2. Найдите значение выражения:
3. Сравнить числа: .
4. Решить уравнения:

5.  Сколько целых чисел расположено между числами
6. Запишите все целые значения х, если

1. Структура темы

Сложение и вычитание рациональных чисел

Ключевые задачи: 

Ключевые задачи: 

Вычислить:  4) 8 – (–16);

                      5) 4 – (–4);  6) – 7 – (21);   7) – 9 – (+11);  8) 2,65 + 4,75;

Алгебраическая сумма — это выражение, которое можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел.

Пример: (+8) – (+7) + (+4) – (–5) – (+3) + (–9)

В алгебраической сумме всякое вычитание можно заменить прибавлением числа, противоположного вычитаемому.

Пример: (+8) – (+7) + (+4) – (–5) – (+3) + (–9) =  (+8) + (–7) + (+4) + (+5) + (–3) + (–9)

Для упрощения записи алгебраических выражений договорились знак «+» перед скобками опускать.

Пример:  (+8) + (–7) + (+4) + (+5) + (–3) + (–9) = 8 – 7 + 4 + 5 – 3 – 9

То есть  в выражении  8 – 7 + 4 + 5 – 3 – 9  каждый знак относится к следующему за ним числу и между ними стоит знак «+». Это выражение показывает, что нужно сложить числа: 8; – 7;  4;  5; – 3; – 9.

Используя переместительное и сочетательное свойства сложения при нахождении значения алгебраической суммы  удобно сначала сложить противоположные числа, если таковые есть, затем отдельно сложить все положительные числа и все отрицательные числа, а потом сложить полученные суммы.

Пример:  8 – 7 + 4 + 5 – 3 – 9  = (8 + 4 + 5) + (–7 –3 –9) = 17 – 19 = –2

Ключевые задачи:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 7 – 8 – 19 + 5 – 7 + 15 + 8 – 21 + 8;
6. 6,1 – 5,5 + 4,8 – 3,5 + 4,3 – 2,7 + 3,5 – 4,7;
7. 2,5 + 6,7 – 4,9 – 3,7 + 5,2 – 8,3 + 10,5;
8. – 9,5 – 7,21 + 71,26 + 9,5 – 8,66 + 10,8 – 24,08;
9. 
10. 

Расстояние между точками координатной прямой

Чтобы найти длину отрезка (расстояние между точками) на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.

Ключевые задачи:

1. Найдите расстояние между точками:

А(2) и В(8);       М(- 14) и К(- 23);      Р(5,6) и Т(- 4,7).

2. На координатной прямой отмечены точки А(х) и В(у). Точка С – середина отрезка АВ. Найдите координату точки С, если:

а) х = 3, у = 7;                   в) х = - 3, у = - 7;

б) х = - 3, у = 7;                 г) х = 3, у = - 7.

3.  Найдите координаты точек, удаленных от точки:

а) М  на ;    б) Т (3,8) на 2,4;   в) Р (4,5) на 6,8.

2. Задачи для совместной  деятельности

1. Вычислить:  

2. Вычислите:

3. Вычислите наиболее рациональным способом:

4. Упростите выражение  и найдите его значение при
5. Найдите расстояние между точками:

6. На координатной прямой отмечены точки А (14) и В (17). Найдите координату середины отрезка АВ.

3. Задачи для самостоятельной  деятельности:

1. Вычислить:  

2. Вычислите:

3. Вычислите наиболее рациональным способом:

4. Упростите выражение  и найдите его значение при
5. Найдите расстояние между точками:

6. На координатной прямой отмечены точки А (12) и В (16). Найдите координату середины отрезка АВ.

4. Итоговая контрольная работа  

1. Вычислите:

2. Сравните числа:

3. Найдите значение выражения:

4. Упростите выражение:

5. Даны точки А(- 4,6) и В(- 1,4). Найдите расстояние от точки В до точки А1, координата которой противоположна координате точки А.

Литература:

1. Виленкин Н. Я. Математика. 6 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. организаций / Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. – М.: Мнемозина, 2015. – 288с.
2. Ершова А. П., Голобородько В. В. Самостоятельные и контрольные работы по математике для 6 класса. – М.: ИЛЕКСА, 2010. – 192с.
3. Зубарева И. И. Математика. 6 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. организаций / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2014. – 264с.
4. Мерзляк А. Г. Математика. 6 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. организаций / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. – М.: Вентана-Граф, 2014. – 304с.
5. Чесноков А. С., Нешков К. И. Дидактические материалы по математике: 6 класс: практикум / А. С. Чесноков, К. И. Нешков. – М.: Академкнига/Учебник, 2014. – 160с.