Дистанционное обучение
презентация к уроку по математике (10, 11 класс)

Слайд 1

. Исследование графиков производной функции, сравнительный анализ графика функции и графика производ-ной. Решение заданий № 7 из открытого банка заданий ЕГЭ 2019.

Слайд 2

Свойства График функции График производной функции Возрастание (Слева направо) у ’>0 . График расположен выще оси Ох Убывание (Слева направо) y’<0 . График расположен ниже оси Ох Точки экстремума Точки, в которых меняется монотонность функции у ’=0. Точки пересечения с осью Ох Точки максимума Возрастание функции сменяется убыванием Знак производной меняется с «+» на «-» Точки минимума Убывание функции сменяется возрастанием Знак производной меняется с «-» на «+»

Слайд 3

Дан график функции , определенной на интервале (-5; 5) . 1. Найти количество промежутков убывания. Ответ: 2 2. Найти количество целых точек, входящих в промежутки убывания Ответ: 8 3. Найти сумму абсцисс всех целых точек, входящих в промежутки убывания. -4-3-2-1+0+1+3+4=-2 Ответ: -2

Слайд 4

Дан график функции , определенной на интервале ( -3; 11) 3 . -2 1 4 5 8 10 1. Укажите количество точек экстремума на интервале ( 2; 7) Ответ: 3 3. Укажите количество корней уравнения на этом интервале. Ответ: 7

Слайд 5

y=f ‘(x ) + - Дан график производной функции , определенной на интервале ( -19; 5) 1. Укажите количество промежутков возрастания функции + + Ответ; 4 2. Укажите количество промежутков убывания. Ответ; 4 3. Укажите количество точек максимума - - + - Ответ; 4 Ответ; 4

Слайд 6

+ - + - Дан график производной функции , определенной на интервале ( -19; 5) 1. Укажите количество точек минимума на промежутке ( -10;0) - + Ответ: 2 2. Укажите количество точек экстремума. Все точки пересечения с осью Ох Ответ: 7

Слайд 7

1 . На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке . 1. Определяем угол наклона касательной с положительной полуосью Ох Угол наклона острый – производная положительная 2. Находим тангенс угла наклона в любом прямоугольном треугольнике с таким же острым углом и «удобными» катетами Ответ: 0,75

Слайд 8

2. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. у=1 Ответ: 3

Слайд 9

6. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. -3 Ответ: 4

Слайд 10

4. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них. Ответ: 6

Слайд 11

. 5. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой . Ответ: 6

Слайд 12

7. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. -1 4 0 1 2 3 -1+0+1+2+3+4=… Ответ: 9

Слайд 13

9. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите точку экстремума функции на интервале . + - Ответ: -2

Слайд 14

10. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение. + - 3 -3 2 Ответ: 2

Слайд 15

Скоро ЕГЭ! Еще есть время подготовиться!

Слайд 1

Первообразная Задание №7 Площадь фигур

Слайд 2

Определение первообразной

Слайд 3

Геометрический смысл определенного интеграла

Слайд 4

1. На рисунке изображён график функции y = F ( x ) — одной из первообразных функции f ( x ), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f ( x )=0 на отрезке [−2; 4]. Решение. По определению первообразной: Решениями уравнения f ( x )=0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F ( x ) ( или точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс .Таких точек 12. Из них на отрезке [−2;4] лежат 10 точек. Ответ: 10

Слайд 5

2. На рисунке изображён график некоторой функции (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F (8) − F (2), где F ( x ) — одна из первообразных функции f ( x ). Решение:

Слайд 6

3. На рисунке изображён график функции y = f ( x ). Функция одна из первообразных функции y = f ( x ). Найдите площадь закрашенной фигуры Решение: Ответ: 6

Слайд 7

4. На рисунке изображен график некоторой функции Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл Решение: Ответ: 12

Слайд 8

Площадь криволинейной трапеции Пример типовой задачи Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: Первый и важнейший момент решения – построение чертежа . Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО .

Слайд 9

Нетипичное расположение фигуры Если криволинейная трапеция расположена под осью Ох Если фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости Если фигура не является криволинейной трапецией

Слайд 10

Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Если криволинейная трапеция расположена под осью Ох, то ее площадь находится по формуле

Слайд 11

Внимание! Не следует путать два типа задач Если нужно решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным. Если предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

Слайд 12

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ВАЖНО!!! при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение: Этим способом лучше, по возможности, не пользоваться . Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».

Слайд 13

Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями А теперь рабочая формула : Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми , , можно найти по формуле: Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, и, грубо говоря, важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ .

Слайд 14

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Слайд 15

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом! Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов.

Слайд 16

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 1) На отрезке [-1;1] над осью Ох расположен график прямой у = х + 1 2) На отрезке [1;3] над осью Ох расположен график гиперболы 3)

Слайд 1

Информационные ресурсы для организации дистанционного обучения

Слайд 2

Организация индивидуальной и групповой работы с использованием инструментов трансляции и видеосвязи www.skype.ru https://zoom.us/ Назначение: система проведения видеоконференций и вебинаров. Сервис для проведения видеоконференций в формате высокой четкости. Позволяет вести запись вебинаров до сорока минут и поддерживать видеосвязь с 50 участниками. Для конференции можно использовать как компьютеры или ноутбуки, так и планшеты и смартфоны.

Слайд 3

портал " Российская электронная школа " содержит интерактивные уроки по всему школьному курсу с 1 по 11 класс. Здесь можно найти различные тематические курсы, видео-уроки, фильмы и музыкальные концерты. Для учителей на сайте подготовлен обширный список дидактических и методических материалов. https://resh.edu.ru/

Слайд 4

" Московская электронная школа ". В библиотеке МЭШ в открытом доступе находятся более 769 тыс. аудио-, видео- и текстовых файлов, свыше 41 тыс. сценариев уроков, более 1 тыс. учебных пособий и 348 учебников издательств, более 95 тыс. образовательных приложений. С помощью этой платформы можно проверять домашнее задание, общаться с педагогами и находить интересные материалы для подготовки к уроку. https://uchebnik.mos.ru/catalogue

Слайд 5

канал Мособртв Видеоуроки для средней и старшей школы https://mosobr.tv/archive

Слайд 6

(городской методический центр г . Москва ) Материалы для организации дистанционного обучения ссылки на видеоматериалы, которые могут быть использованы для организации учебных занятий по программам начального и основного общего образования в дистанционном режиме по следующим предметам: математика, алгебра, геометрия, физика, информатика .. https://mosmetod.ru/sh404sef-custom-content/materialy-dlya-organizatsii-distantsionnogo-obucheniya.html

Слайд 8

сервис ЯндексУчебник Ученики 1-5х классов могут продолжить занятия по русскому языку и математике с помощью сервиса ЯндексУчебник . Ресурс содержит более 35 000 заданий разного уровня сложности, разработанных опытными методистами с учётом федерального государственного стандарта. https://education.yandex.ru/home/

Слайд 9

портал ЯКласс На портале ЯКласс можно создавать проверочные работы. Если ребенок ошибается, система объясняет ход решения задания и предлагают выполнить другой вариант. Учитель, в свою очередь, получает отчет о том, как ученики справляются с заданиями. https://www.yaklass.ru/

Слайд 10

Образовательная платформа Учи.ру предлагает интерактивные курсы по основным предметам и подготовке к проверочным работам, а учителям и родителям – тематические вебинары по дистанционному обучению. Методика платформы помогает отрабатывать ошибки учеников, выстраивает их индивидуальную образовательную траекторию и позволяет следить за прогрессом. https://uchi.ru/

Слайд 11

Моя школа в online На портале доступны учебные материалы для самостоятельного изучения (14 предметов для школьников 1 - 11 класс). Каждую неделю, не отставая от программы 4 четверти, будут появляться новые уроки.

Слайд 12

издательство " Просвещение ". Бесплатный доступ к электронным версиям учебно-методических комплексов, входящих в Федеральный перечень, предоставляет издательство " Просвещение ". Доступ распространяется на учебники и специальные тренажеры для отработки и закрепления полученных знаний. При этом для работы с учебниками не требуется интернет. Открылся новый раздел для педагогов, школьников и родителей « Пока мы дома » . Ресурс состоит из трех основных блоков: «Дистанционное образование» , «Каждый день — активный» «Мое здоровье» , https://media.prosv.ru/ https://prosv.ru/pages/distancionnoe-obrazovanie.html

Слайд 13

Бесплатный доступ к своим ресурсам предоставила корпорация " Российский учебник " на цифровой образовательной платформе LECTA . Доступ распространяется также на все электронные формы учебников (ЭФУ) и онлайн-сервисы "Классная работа" и " Атлас+ ". Инструкция о том, как получить электронные учебники, представлена на сайте организации. https://rosuchebnik.ru/digital-help/

Слайд 14

Документы Google . индивидуальная и коллективная работа над документами, таблицами, презентациями, формами (опросами). Google открыл центр помощи учителям в период эпидемии коронавируса (COVID-19): информация и полезные инструменты. https://teachfromhome.google/intl/ru/

Слайд 15

видеоканал Центра развития образования размещены плейлисты с видео по различным предметам. https://www.youtube.com/channel/UCd6owgHL1XYXKHtf_rqNUUw/playlists

Слайд 16

Инструменты для дистанционного обучения (материал сайта Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики») https://elearning.hse.ru/if_you_want_to_create

Слайд 17

Минпросвещения России разместила на сайте методические рекомендации по организации обучения на дому с использованием дистанционных технологий https://edu.gov.ru/distance

Слайд 18

Центр информационных технологий городского округа Тольятти https://clck.ru/MfRMs

Слайд 19

Центр информационных технологий городского округа Тольятти https://clck.ru/MfRMs

Слайд 1

Понятие первообразной. Неопределенный интеграл

Слайд 2

Понятие первообразной Задача. Известен закон изменения скорости тела , требуется найти закон изменения координаты x(t) данного тела. Решение: Скорость – это производная от пройдённого пути ( физический смысл производной ). Таким образом, для решения задачи необходимо по заданной функции ( производной ) восстановить функцию. Дано: Найти: Решение: Проверка: Общая же постановка вопроса такова: в распоряжении есть некоторая функция f(x) и возникает потребность выяснить, от какой функции она произошла. То есть, необходимо найти ТАКУЮ функцию F(x) , чтобы .

Слайд 3

Определение. Функцию называют первообразной для функции на заданном промежутке Х , если для любого выполняется равенство Пример : Функция является первообразной для функции на промежутке , так как для любого х из этого промежутка выполняется равенство Теорема. Пусть F(x) какая-нибудь первообразная для функции f(x) на некотором промежутке . Тогда функция F(x) + C , где С – произвольная константа, тоже будет первообразной функции f(x) на этом промежутке. Пример. Так для функции первообразной будет являться любая функция из множества , где C = const ( просто подстав- ляйте конкретные числовые значения). Так как

Слайд 4

умножение деление сложение вычитание возведение в степень извлечение корня дифференцирование интегрирование Взаимно-обратные операции процесс нахождения производной процесс нахождения первообразной

Слайд 5

Основная задача интегрирования : записать все первообразные для данной функции. Решить её- значит представить первообразную в таком общем виде: F(x)+C Пример 1. Найти все первообразные для заданных функций. Проверка: Проверка: Постоянный множитель выносится за знак первообразной Первообразная суммы равна сумме первообразных

Слайд 6

Пример 2. Для функции найдите первообразную , которая принимает данное значение в указанной точке. Решение. 1. Найдем общий вид первообразных для функции f(x) Первообразной для функции служит функция 2. Чтобы найти значение постоянной С, воспользуемся начальными условиями 5 0 3. Одна из первообразных имеет вид

Слайд 7

Определение. Множество всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом - подынтегральная функция - подынтегральное выражение Сам процесс отыскания множества первообразных - интегрированием Интегрирование – это восстановление функции по её производной (обратное действие по отношению к дифференцированию).

Слайд 8

Правила интегрирования

Слайд 9

Таблица неопределенных интегралов

Слайд 10

Пример. Найти неопределенный интеграл Решение: Воспользуемся первым и вторым правилом интегрирования Теперь воспользуемся таблицей интегралов

Слайд 11

Пример. Найти неопределенный интеграл Решение: Воспользуемся третьим правилом интегрирования

Слайд 1

Вычисление объемов тел вращения

Слайд 2

У х O Пусть функция y = f(x) определена, неотрицательна и непрерывна на отрезке [a; b], тогда график кривой у= f(x) на [a; b], ось OX, прямые x = a, x = b образуют криволинейную трапецию. Рассмотрим тело, образованное вращением этой криволинейной трапеции вокруг оси OX и найдем его объем. a b Задача на нахождение объема тела вращения

Слайд 3

у х O Разобьем отрезок [ a ; b ] на n частей произвольным образом, через каждую точку деления проведем плоскость, перпендикулярную к оси ОХ и найдём площади полученных поперечных сечений. 1. Очевидно, что любое поперечное сечение тела вращения – круг. a b 2.Радиус этого круга равен значению функции в точке 3. Площадь этого круга равна Эти плоскости разбивают тело на п частей

Слайд 4

Построим на каждом промежутке цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси ОХ, а основанием является сечение - круг. y r Если сечение тела – круг, то объем тела, выделенного на рисунке равен приближенно объему цилиндра с основанием и высотой Обозначим площадь основания Находим объем цилиндра

Слайд 5

объем всего тела равен сумме объёмов всех цилиндров. Предел полученной интегральной суммы, который существует в силу непрерывности функции S ( x ), при n → ∞ называется объемом заданного тела и равен определенному интегралу: Приближенное значение V объема тела тем точнее, чем больше п и, следовательно, меньше

Слайд 6

Тогда объем тела вращения вокруг оси ОХ: Предел полученной интегральной суммы, при n → ∞ равен определенному интегралу: x y=f(x) y Если тело образовано вращением криволинейной трапеции, образованной функцией у= f(x) на отрезке [a;b] ,вокруг оси ОХ, то его объём можно найти по формуле:

Слайд 7

Задача. Пусть тело образовано вращением параболы у=х 2 на отрезке [ 0; 2] вокруг оси ОХ. Найдите объём тела вращения. у=х 2 у О х 2

Слайд 8

Задача. Пусть тело образовано вращением функции у= 0,5x на отрезке [ 0; 4] вокруг оси ОХ. Найдите объём тела вращения. y O x 4

Слайд 9

R x объём конуса y h O r Пусть дан конус с объемом V , радиусом основания R и вершиной в точке О. Введем ось ОХ так, как показано на рисунке. Рассмотрим произвольное сечение конуса ,плоскостью, перпендикулярной оси ОХ. Это круг с центром в точке М и радиуса r . Обозначим площадь сечения S (x) , где х – абсцисса точки М М А C B Из подобия треугольников ОМА и ОСВ : или Находим площадь сечения

Слайд 1

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Слайд 2

Определение криволинейной трапеции Пусть в декартовой системе координат дана фигура, ограниченная : 1) Осью х 2) Прямой х = а 3) Прямой х = b 4) Графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [a; b] функции y = f(x) Криволинейная трапеция

Слайд 3

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции х у У = f (x) Разобъем отрезок [a;b] на п равных частей точками Из этих точек восставим перпендику-ляры до пересечения с графиком функции Тогда криволинейная трапеция разобьется на п узких столбиков. Рассмотрим k –й столбик основанием кото- рого служит отрезок и высотой, равной Обозначим длину отрезка Заменим все столбики прямоугольниками с основаниями … и высотами соответственно Площадь каждого прямоугольника равна Площадь всей фигуры приближенно равна сумме площадей все прямоугольников Это приближенное равенство тем точнее, чем больше п Искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности

Слайд 4

Понятие определенного интеграла Этот предел называют определенным интегралом функции y = f(x) по отрезку [a;b] и обозначают так: читают: интеграл от а до b эф от икс дэ икс а – нижний предел b – верхний предел

Слайд 5

Множество всех первообразных для функции y = f(x) на промежутке Х называют неопределенным интегралом и обозначают называют определенным интегралом от y = f(x) по отрезку [a;b] и обозначают :

Слайд 6

ТЕОРЕМА. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [ a;b ] . то справедлива формула где F(x) – первообразная для функции y = f(x) Формула Ньютона - Лейбница На практике вместо записи используют эту запись называют двойной подстановкой

Слайд 7

Формула Ньютона - Лейбница Вычислить определенный интеграл, значит: найти первообразную подынтегральной функции y = f(x) ; выполнить двойную подстановку

Слайд 8

Пример 1. Вычислить определенный интеграл Решение:

Слайд 9

Пример 2. Вычислить определенный интеграл Решение:

Слайд 1

Первообразная Задание №7 Площадь фигур

Слайд 2

Определение первообразной

Слайд 3

Геометрический смысл определенного интеграла

Слайд 4

1. На рисунке изображён график функции y = F ( x ) — одной из первообразных функции f ( x ), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f ( x )=0 на отрезке [−2; 4]. Решение. По определению первообразной: Решениями уравнения f ( x )=0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F ( x ) ( или точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс .Таких точек 12. Из них на отрезке [−2;4] лежат 10 точек. Ответ: 10

Слайд 5

2. На рисунке изображён график некоторой функции (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F (8) − F (2), где F ( x ) — одна из первообразных функции f ( x ). Решение:

Слайд 6

3. На рисунке изображён график функции y = f ( x ). Функция одна из первообразных функции y = f ( x ). Найдите площадь закрашенной фигуры Решение: Ответ: 6

Слайд 7

4. На рисунке изображен график некоторой функции Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл Решение: Ответ: 12

Слайд 8

Площадь криволинейной трапеции Пример типовой задачи Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: Первый и важнейший момент решения – построение чертежа . Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО .

Слайд 9

Нетипичное расположение фигуры Если криволинейная трапеция расположена под осью Ох Если фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости Если фигура не является криволинейной трапецией

Слайд 10

Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Если криволинейная трапеция расположена под осью Ох, то ее площадь находится по формуле

Слайд 11

Внимание! Не следует путать два типа задач Если нужно решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным. Если предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

Слайд 12

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ВАЖНО!!! при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение: Этим способом лучше, по возможности, не пользоваться . Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».

Слайд 13

Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями А теперь рабочая формула : Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми , , можно найти по формуле: Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, и, грубо говоря, важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ .

Слайд 14

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Слайд 15

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом! Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов.

Слайд 16

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 1) На отрезке [-1;1] над осью Ох расположен график прямой у = х + 1 2) На отрезке [1;3] над осью Ох расположен график гиперболы 3)

Слайд 1

Пирамида Правильная пирамида

Слайд 2

Среди изображенных тел выберите номера тех, которые являются пирамидами 1 2 3 4 5 6 7 8 9 пирамидами являются тела под номерами 3, 6, 7

Слайд 3

SABCDEF - пирамида Определение. Многогранник, составленный из п – угольника и п треугольников, называется пирамидой

Слайд 4

C K B S D A E F M SABCDEF - пирамида п –угольник ABCDEF основание точка S вершина отрезки SA, SB, SC, SD, SE, SF боковые ребра треугольники SAB, SBC, SCD, SDE, SEF, SAF боковые грани перпендикуляр SK , проведенный из вершины пирамиды к ПЛОСКОСТИ основания высота пирамиды перпендикуляр SM , проведенный из вершины треугольника к СТОРОНЕ основания высота боковой грани

Слайд 5

Правильная пирамида Определение. Пирамида называется правильной , если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Все боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равнобедренными треугольниками О О О О О О Центром правильного многоугольника называется центр вписанной в него ( или описанной около него) окружности

Слайд 6

Апофема правильной пирамиды Апофема - это высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины пирамиды к стороне основания МН – апофема правильной пирамиды

Слайд 7

Свойство точки, равноудаленной от вершин многоугольника М А О В С Если точка, не лежащая в плоскости выпуклого многоугольника, равноудалена от вершин многоугольника, то основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, является центром окружности, описанной около многоугольника. Если прямая, перпендикулярная плоскости многоугольника, проходит через центр описанной около многоугольника окружности, то каждая точка этой прямой равноудалена от вершин многоугольника. 1. Если и то т.О – центр описанной около него окружности 1. Если и т.О – центр описанной около него окружности, то

Слайд 8

Пирамиды, в которых: М А О В С D 1) высота проходит через центр описанной около основания окружности. 2) Все боковые ребра равны 3) Все боковые ребра образуют равные углы с плоскостью основания 4) Все боковые ребра образуют равные углы с высотой пирамиды Если пирамида обладает хотя бы одним из перечисленных свойств, то она обладает и остальными.

Слайд 9

B S C O M N K A Свойство точки, равноудаленной от сторон многоугольника Если точка, не лежащая в плоскости выпуклого многоугольника, равноудалена от сторон многоугольника, то основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, является центром окружности, вписанной в многоугольник. Если прямая, перпендикулярная плоскости многоугольника, проходит через центр вписанной в многоугольник окружности, то каждая точка этой прямой равноудалена от сторон многоугольника. K C

Слайд 10

Пирамиды, в которых: 1) высота проходит через центр вписанной в основание окружности . B S C O M N K K C 3) Все двугранные углы при основании равны 2) Все высоты боковых граней равны 4) Высота пирамиды образует равные углы с плоскостями всех боковых граней Если пирамида обладает хотя бы одним из перечисленных свойств, то она обладает и остальными. 5) Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведенную из вершины A

Слайд 11

Площадь поверхности пирамиды Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней (т.е. основания и боковых граней), а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней.

Слайд 12

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. h

Слайд 13

Для правильных п – угольников: R - радиус описанной около п – угольника окружности r - радиус вписанной в п – угольник окружности а – сторона основания правильного п – угольника п – количество строн правильного п – угольника

Слайд 14

Задача 1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6 , а высота пирамиды равна 8 . Найти а) боковое ребро пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды. А В С М Н О Дано: МАВС – правильная пирамида, МО = 8 , АВ = 6 , Найти: а) МС , б) Решение: 1. Так как пирамида правильная по условию, то АВ = ВС = АС = 6 2. Для нахождения длины бокового ребра проведем отрезок ОС ( радиус описанной около треугольника АВС окружности) и рассмотрим треугольник МОС. прямоугольный 3. Найдем ОС. 4. В треугольнике МОС по т. Пифагора найдем МС

Слайд 15

А В С М Н О 5. Для нахождения апофемы проведем отрезок ОН – ( радиус вписанной в треугольник АВС окружности) и рассмотрим треугольник МОН прямоугольный 6. Найдем ОН. 7. В треугольнике МОН по т. Пифагора найдем МН Ответ:

Слайд 1

использование формул приведения для доказательства тождеств и решении уравнений

Слайд 2

формулы приведения

Слайд 3

1. Укажите номера функций, которые можно упростить, используя формулы приведения 1) 3) 5) 2) 4) 6) 2. Замените тригонометрической функцией угла t 3. Вычислите:

Слайд 4

4. Докажите тождество: применим свойство четности (нечетности) тригонометрических функций используем формулы приведения определим знак дроби - сократим дробь вспомним, что и сократим дробь тождество доказано

Слайд 5

Решить уравнение № 26.21 в) используем формулы приведения приведем подобные слагаемые умножим обе части уравнения на -1 решаем простейшее тригонометрическое уравнение записываем ответ Ответ:

Слайд 6

Решить уравнение № 26.28 а) используем формулы приведения решаем уравнение методом замены переменной пусть решаем получившееся квадратное уравнение проверяем принадлежность получившихся корней отрезку [-1 ; 1] возвращаемся к переменной x согласно замене решаем простейшее тригонометрическое уравнение записываем ответ Ответ:

Слайд 7

Формулы синуса и косинуса суммы и разности аргументов

Слайд 8

Решить уравнение № 24.21 г) используем формулу косинуса суммы аргументов решаем простейшее тригонометрическое уравнение записываем ответ Ответ:

Слайд 9

Решить уравнение № 24.21 г) используем формулу синуса разности аргументов можно вынести за скобку общий множитель выполним умножение: и раскроем скобки решаем простейшее тригонометрическое уравнение записываем ответ Ответ:

Слайд 1

Решение уравнений с использованием формул двойного аргумента и формул понижения степени

Слайд 2

Формулы двойного аргумента

Слайд 3

ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО АРГУМЕНТА

Слайд 4

Назад +

Слайд 5

Для функции в левой части уравнения применим формулы приведения Применим формулу косинуса двойного аргумента Перенесем cosx в левую часть уравнения. изменив его знак на противоположный Решим полученное уравнение методом введения новой переменной Пусть Согласно замене Ответ: Решите уравнение:

Слайд 6

Назад +

Слайд 7

Решите уравнение: Для функции в левой части уравнения применим формулы приведения Применим формулу синуса двойного аргумента Перенесем cosx в левую часть уравнения. изменив его знак на противоположный Решим полученное уравнение, разложив левую часть на множители произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой имеет смысл или Ответ:

Слайд 8

а) Решите уравнение: Воспользуемся формулой косинуса двойного аргумента Приведем подобные слагаемые Умножим обе части уравнения на (-1) Решим полученное уравнение методом введения новой переменной Пусть Согласно замене б) Найти все корни на промежутке Выполним отбор корней на промежутке х у Ответ:

Слайд 9

Формулы понижения степени

Слайд 10

Формулы понижения степени ( они же формулы половинного аргумента)

Слайд 11

Решить уравнение: Воспользуемся формулой Можно использовать основное свойство пропорции Разделим обе части уравнения на 4 Слагаемое 1 перенесем в правую часть равенства, изменив знак на противоположный Решаем простейшее тригонометрическое уравнение Ответ:

Слайд 12

Решить уравнение Найти все корни, принадлежащие промежутку Перепишем уравнение и применим формулу понижения степени Выполним возведение в степень Каждую дробь можно сократить Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые 2 Можно применить формулу понижения степени еще раз

Слайд 13

Найдем все корни, принадлежащие промежутку В этом случае отбор корней удобнее выполнить с помощью двойного неравенства Ответ:

Слайд 1

Синус и косинус суммы и разности аргументов

Слайд 2

Повторение

Слайд 3

Простой и удобный способ запоминания формул приведения. 1) Надо поставить знак, который имела бы первоначальная функция (при условии, что t принадлежит первой четверти) 2) Выяснить, меняется ли функция на «кофункцию» ( “ лошадиное правило ” ). Основная ошибка : неправильно поставленный знак. Поэтому лучше начинать именно с него. назад Алгоритм

Слайд 4

Знаки тригонометрических функций. I II III IV I II III IV I II III IV назад

Слайд 5

Пример №1 + Название функции меняем Вычислить с помощью формул приведения Ответ: правило

Слайд 6

Вычислить с помощью формул приведения Решение: + + Ответ: -14

Слайд 7

синус и косинус суммы аргументов С их помощью можно вывести практически все основные формулы тригонометрии

Слайд 8

синус и косинус разности аргументов Воспользуемся тем, что х – у = х + ( - у) +

Слайд 9

Вычислить

Слайд 10

Формулы можно применять как слева направо, так и справа налево = = назад

Слайд 11

Вычислить Решение: вспомним формулу Вычислить

Слайд 12

Вычислить Заметим, что и

Слайд 1

Формулы приведения.

Слайд 2

Содержание. 1) Вывод некоторых формул приведения. 2) Правило. 3) Примеры использования правила

Слайд 3

Вывод формул приведения. знаки

Слайд 4

Вывод формул приведения. знаки

Слайд 5

Вывод формул приведения. Сколько же всего таких формул?!! знаки

Слайд 6

Простой и удобный способ запоминания формул приведения. Формулы применяются для упрощения выражений вида У где - границы координатных четвертей t - угол I четверти!!! то есть

Слайд 7

Простой и удобный способ запоминания формул приведения. 1) Надо поставить знак, который имела бы первоначальная функция (при условии, что t принадлежит первой четверти) 2) Выяснить, меняется ли функция на «кофункцию» ( “ лошадиное правило ” ). Основная ошибка : неправильно поставленный знак. Поэтому лучше начинать именно с него. знаки Алгоритм

Слайд 8

“ Правило ослика”. Спросим , надо ли менять название функции, если в формуле содержится числа π , 2 π , 3 π , 4 π …? находим число π на Ох и водим по оси головой. Получилось отрицание (не надо). Надо ли менять название функции, если в формуле содержится числа , …? находитм число π /2 на О y и водим по оси головой. Получилось согласие (надо). назад

Слайд 9

Знаки тригонометрических функций. содержание I II III IV I II III IV I II III IV назад

Слайд 10

Как работает правило?. Пример №1 + Название функции меняем знаки правило

Слайд 11

Как работает правило?. Пример №2 - Название функции не меняем знаки правило

Слайд 12

Как работает правило?. Пример № 3 + Название функции меняем знаки правило

Слайд 13

Как работает правило?. Пример № 4 + Название функции не меняем Перепишем условие знаки правило

Слайд 14

Для тренировки воспользуйся задачником. № 26.1 - №26.4 а)б)

Слайд 1

Тангенс и котангенс любого числа. Линия тангенсов. Линия котангенсов

Слайд 2

Повторим Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему

Слайд 3

Тангенс и котангенс любого числа (определение) Для любого ли числа определен тангенс? тангенс не определен для чисел вида Для любого ли числа определен котангенс? котангенс не определен для чисел Какие значения может принимать тангенс(котангенс)? тангенс и котангенс могут принимать любые значения

Слайд 4

Знаки тангенса и котангенса I II III IV I II III IV I II III IV Из определения следует, что тангенс и котангенс положительны в тех четвертях, в которых знаки синуса и косинуса совпадают

Слайд 5

Геометрическая интерпретация тангенса. или «Как его увидеть?» Как «увидеть» синус и косинус мы уже знаем Проведем касательную через конец радиуса окружности, параллельную оси Оу

Слайд 6

Линия тангенсов Используем геометрические соображения Треугольник АВС подобен треугольнику А 1 В 1 С Таким образом, tgt это ордината точки А 1 на нашем чертеже ЛИНИЯ ТАНГЕНСОВ

Слайд 7

Линия тангенсов. Линия тангенсов поможет нам определять значения тангенсов чисел двух макетов без вычислений. Значения тангенсов чисел двух макетов: Найдите значение тангенса.

Слайд 8

Найдите значение тангенса. Линия тангенсов. Значения тангенсов чисел двух макетов:

Слайд 9

Аналогичные рассуждения приводят к геометрической интерпретации котангенса. Проведем касательную через конец радиуса окружности, параллельную оси Ох Линия котангенсов. Абсцисса точки А – значение котангенса числа t на нашем чертеже Линия котангенсов

Слайд 10

Линия котангенсов. Найдите значение котангенса. Значения котангенсов чисел двух макетов: Линия котангенсов

Слайд 11

Каждой точке окружности соответствует бесконечно много чисел Ответ: Решить уравнение

Слайд 12

уравнение Число а может принимать любые значения

Слайд 13

Решение уравнения имеет вид

Слайд 14

Каждой точке окружности соответствует бесконечно много чисел Ответ: Решить уравнение

Слайд 15

уравнение Число может принимать любые значения

Слайд 16

Решение уравнения имеет вид

Слайд 17

Пример 1 Решить уравнение Решение: Ответ: Вычислить значения арктангенса в данном случае мы не можем, поэтому запись решения уравнения оставляем в получившемся виде

Слайд 18

Домашнее задание № 22.12 а)б) № 22.13 а)б) № 22.14 а)б) № 22.15 а)б)

Слайд 1

Способы решений тригонометрических уравнений. Метод введения новой перменной

Слайд 2

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений или Частные случаи или Частные случаи Частных случаев нет Частных случаев нет

Слайд 3

Работа над ошибками в домашнем задании Применяем развернутую формулу Ответ: Если применить вторую формулу, то:

Слайд 4

Применим формулу Теперь вспоминаем, что Ответ:

Слайд 5

Применяем формулу Теперь вспоминаем, что или

Слайд 6

Все шаги выполнены верно! НО!!!! Формула корней уравнения имеет вид Верный ответ:

Слайд 7

Метод замены переменной Этот метод хорошо известен, он часто применяется при решении различных уравнений. Покажем на примерах его применение при решении тригонометрических уравнений

Слайд 8

Решим уравнение: Решение: Пусть Согласно замене: Ответ:

Слайд 9

Решим уравнение: Воспользуемся тригонометрической единицей отсюда Решение: Пусть Согласно замене: или Частный случай Ответ:

Слайд 10

Решить уравнение 2 tg 2 x + 3tg x - 2 = 0. Решение. Введем новую переменную t = tg x, тогда уравнение примет вид: 2 t 2 + 3t - 2 = 0. Далее получаем : t 1 = - 2; t 2 = 1/2. Возвращаясь к переменной х получаем два уравнения: tg x = -2 или tg x = 1/2. Из первого уравнения находим: x = - arctg 2 + П n. Из второго уравнения находим: x = arctg 1/2 + П n. Ответ: x = - arctg 2 + П n. x = arctg 1/2 + П n.

Слайд 11

Решим уравнение: Воспользуемся тем, что Тогда Решение: Пусть t -любое число! Согласно замене: или Ответ:

Слайд 1

Решение простейших тригонометрических уравнений. Шахова Т. А. МОУ гимназия №3 г. Мурманска.

Слайд 2

05/13/20 Чтобы успешно решать простейшие тригонометрические уравнения необходимо следующее: 2) уметь определять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для точек числовой окружности ; 4) знать понятие арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса и уметь отмечать их на числовой окружности. 1) уметь отмечать точки на числовой окружности ; 3) знать свойства основных тригонометрических функций ;

Слайд 3

у х 0 1 -1 Арксинусом числа а называют такое число из отрезка [- П/2; П/2 ] , синус которого равен а . arcsin а П/2 - П/2 а arcsin (-a)=-arcsin a -а -arcsin а Арксинус и решение уравнений sin t=a.

Слайд 4

Решим при помощи числовой окружности уравнение sin t=a . Арксинус и решение уравнений sin t=a. 1) I а I> 1 Нет точек пересечения с окружностью. Уравнение не имеет решений.

Слайд 5

Решим при помощи числовой окружности уравнение sin t=a . Арксинус и решение уравнений sin t=a. 2 ) I а I =1 sin t=1 t= П /2 +2П k sin t=-1 t=- П /2 +2П k Частный случай.

Слайд 6

Решим при помощи числовой окружности уравнение sin t=a . Арксинус и решение уравнений sin t=a. 3 ) а =0 t= П k Частный случай.

Слайд 7

Решим при помощи числовой окружности уравнение sin t=a . Арксинус и решение уравнений sin t=a. 4 ) I а I< 1 Общий случай. arcsin а П- arcsin а Корни, симметричные относительно Оу могут быть записаны : t=(-1) k arcsin a+ П k или а

Слайд 8

у х 0 1 -1 П 0 arccos а Арккосинусом числа а называют такое число из промежутка [0 ;П ] , косинус которого равен а а arccos (-a)=- П- arccos a - а П- arccos a Арккосинус и решение уравнений соs t=a.

Слайд 9

Решим при помощи числовой окружности уравнение cos t=a . 1) I а I> 1 Нет точек пересечения с окружностью. Уравнение не имеет решений. Арккосинус и решение уравнений соs t=a.

Слайд 10

Решим при помощи числовой окружности уравнение cos t=a . 2 ) I а I =1 cos t=1 t= 2П k cos t=-1 t= П+2П k Частный случай. Арккосинус и решение уравнений соs t=a.

Слайд 11

Решим при помощи числовой окружности уравнение cos t=a . 3 ) а =0 t= П /2+ П k Частный случай. Арккосинус и решение уравнений соs t=a.

Слайд 12

Решим при помощи числовой окружности уравнение cos t=a . 4 ) I а I< 1 Общий случай. arccos а - arccos а Корни, симметричные относительно О x могут быть записаны : t= ± arccos a+2 П k или а Арккосинус и решение уравнений соs t=a.

Слайд 13

Арктангенсом числа а называют такое число из интервала (-П/2;П/2), тангенс которого равен а у х 0 1 -1 arctg a а П/2 - П/2 arctg (-a)=-arctg a -а - arctg a Арктангенс и решение уравнений tg t=a.

Слайд 14

05/13/20 Арктангенс и решение уравнений tg t=a. Решим при помощи числовой окружности уравнение tg t=a . arctg a а a – любое число. Частных случаев нет. t=arctg a+ П k .

Слайд 15

у х 0 1 П 0 Арккотангенсом числа а называют такое число из интервала (0;П), котангенс которого равен а -а arcctg a arcctg (-a)= П -arc с tg a а П- arcctg a Арккотангенс и решение уравнений сtg t=a.

Слайд 16

05/13/20 Решим при помощи числовой окружности уравнение с tg t=a . arcctg a а a – любое число. Частных случаев нет. t=arcctg a+ П k . Арккотангенс и решение уравнений сtg t=a.

Слайд 17

Наша задача: свести любое тригонометрическое уравнение к простейшему виду.

Слайд 18

Примеры уравнений. Уравнение уже имеет простейший вид , однако можно применить формулы приведения и упростить его. Это частный вид уравнения cos t=a a=0 Разделим обе части на 4. О : t t

Слайд 19

Характерная ошибка Учащиеся делят обе части на 4 и получают следующее : Грубая ошибка.

Слайд 20

Уравнение переносом слагаемого и делением обеих частей легко сводится к простейшему. Разделим обе части на 4. О : t Примеры уравнений.

Слайд 21

О : Уравнение уже имеет простейший вид Это частный вид уравнения cos t=a a=0 Примеры уравнений.

Слайд 22

О : Уравнение уже имеет простейший вид , однако , можно использовать четность функции cos, применить формулы приведения и упростить его. Примеры уравнений.

Слайд 23

О : Здесь уместно использовать формулу косинуса разности аргументов : Теперь уравнение имеет простейший вид. Решение удобнее разбить на два. Примеры уравнений.

Слайд 24

1 вариант 2 вариант Потренируйся.

Слайд 25

Спасибо за то, что стараешься!

Слайд 1

Призма. Площадь поверхности призмы

Слайд 2

Определение призмы Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А 1 А 2 …А n и В 1 В 2 …В n , расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой. А 1 А 2 А n B 1 B 2 B n B 3 А 3 рис.1 n -угольная призма. Многоугольники Параллелограммы основания призмы . боковые грани призмы

Слайд 3

1. Среди изображенных тел выберите те, которые являются призмами. 1 2 3 4 5 6 Призмами являются многогранники под номерами 1 и 6

Слайд 4

2 . Назовите для призмы: Вершины точки: Боковые ребра отрезки Боковые грани параллелограммы Основания многоугольники Противоположные грани Диагонали граней отрезки Диагонали призмы отрезки

Слайд 5

Виды призм

Слайд 6

Прямые призмы

Слайд 7

Наклонные призмы Треугольная наклонная призма Четырехугольная наклонная призма

Слайд 8

Виды призм

Слайд 9

Площадь поверхности призмы

Слайд 10

Рассмотрим прямую треугольную призму и ее развертку Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней

Слайд 11

h h P oc н Рассмотрим прямую шестиугольную призму и ее развертку

Слайд 12

Задача № 229(а) Дано: правильная треугольная призма. =10 см. =15 см. Найти: , 10 15 Решение 1) Так как призма правильная, то в ее основании лежит правильный треугольник , значит АВ = ВС = АС = 10 см и 2) Тогда периметр основания Р = 10·3=30 см. S бок=30·15=450 см2 Ответ: 3) Площадь основания найдем по формуле

Слайд 13

Задача. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6см., а диагональ боковой грани равна 10см. Найти площадь боковой и полной поверхности призмы. 6 10 Дано: правильная треугольная призма. = 6 см. = 10 см. Найти: , Решение 1) Так как призма правильная, то в ее основании лежит правильный треугольник , значит АВ = ВС = АС = 6 см и 2) Найдем периметр основания и его площадь: 3) Для нахождения высоты призмы. рассмотрим 4) По условию призма прямая, значит , В по т. Пифагора находим Ответ:

Слайд 1

Простейшие тригонометрические уравнения.

Слайд 2

Арккосинус. Определение и свойство Арккосинусом числа а называют такое число из промежутка [0 ; π ] , косинус которого равен а Область значений: Область определения: Свойство:

Слайд 3

Арксинус. Определение и свойство Арксинусом числа а называют такое число из промежутка [ - π /2 ; π /2] , синус которого равен а Область значений: Область определения: Свойство:

Слайд 4

Свойство: Арктангенс. Определение и свойство Арктангенсом числа а называют такое число из промежутка (- π /2 ; π /2 ), тангенс которого равен а Область значений: Область определения:

Слайд 5

Арккотангенс. Определение и свойство Арккотангенсом числа а называют такое число из промежутка ( 0 ; π ), котангенс которого равен а Область значений: Область определения: Свойство:

Слайд 6

Ответ: Решение уравнения cost=a Точки, симметричные относительно Ох могут быть записаны в виде…

Слайд 7

Ответ: Решение уравнения sint=a Точки, симметричные относительно Оу могут быть записаны в виде…

Слайд 8

Ответ: Решение уравнения tgt=a

Слайд 9

Ответ: Решение уравнения сtgt=a

Слайд 10

Наша задача: привести уравнение к простейшему виду

Слайд 11

Пример 1. Решить уравнение Решение: Введем новую переменную Тогда уравнение примет вид Возвращаемся к переменной х Осталось умножить обе части каждого равенства на 4 Уравнение уже является простейшим Со временем, при наличии опыта, промежуточную переменную можно не вводить

Слайд 12

Пример 2. Решить уравнение Решение: Мы знаем, что решения уравнения имеют вид Уравнение является простейшим. Применяем формулу для частного случая Для данного примера это означает, что Разделим обе части этого равенства на 4 Ответ:

Слайд 13

Пример 3. Решить уравнение Решение: Приведем уравнение к стандартному виду. Для этого разделим обе части равенства на 2. Решениями уравнения Являются числа видв Воспользуемся тем, что

Слайд 14

Домашнее задание № 22.18 а)б) № 22.19 а) № 22.20 б) № 22.21 б)

Слайд 1

Уравнение sint = a

Слайд 2

Определение синуса sin t 0 x M(t) y cos t Если точка М числовой окружности соответствует числу t , то ординату этой точки называют синусом числа t и обозначают sin t. Если M ( t) = M ( x;y) , то y = sin t

Слайд 3

0 x y Уравнение sin t = a Уравнение sin t = a имеет решение при Пример: Ответ: решений нет -1 1

Слайд 4

sin t = a, a > 0 0 x y a A M P C AM: AP: Так как 0 AM = PC AP = AC - PC АМ = arcsin a AC =

Слайд 5

sin t = a, a < 0 0 x y a A C M P AM: AP: AM = PC AP = AC - PC Так как АМ = - arcsin a AC =

Слайд 6

Общая формула уравнения sin t = a при k = 2n при k = 2n + 1

Слайд 7

Особо важны частные случаи!!! 0 x y 1 -1 0 а = 1 а = -1 а = 0 sin t = 1 sin t = 0 sin t = - 1

Слайд 8

Пример 1 0 x y Ответ:

Слайд 9

№ 23.9 в) Вынесем общий множитель sin x за скобку или

Слайд 10

Домашнее задание № 23.6 - №23.8 № 23.9 а)б) № 23.10

Слайд 1

Формулы двойного аргумента

Слайд 2

Повторение Установите истинность или ложность утверждений: у 2. Найдите значение выражений: 1 0,5 3. Заполните пропуски так, чтобы получилось верное высказывание

Слайд 3

4. Верна ли формула ?. Если да, то при каких значениях переменной она справедлива? 5. Найдите значение выражения: -1

Слайд 4

Формулы тригонометрии, позволяющие выразить через называют формулами двойного аргумента Рассмотрим формулу и заменим в ней у на х получим формулу синуса двойного аргумента Рассмотрим формулу и заменим в ней у на х получим формулу косинуса двойного аргумента

Слайд 5

Рассмотрим формулу Заменим в правой части равенства Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые получаем еще одну формулу косинуса двойного аргумента Заменим в правой части равенства Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые получаем еще одну формулу косинуса двойного аргумента

Слайд 6

Формулы двойного аргумента можно применять и в тех случаях. когда место аргумента х занимает более сложное выражение. Например: Аналогично доказывается формула тангенса двойного аргумента докажите дома самостоятельно

Слайд 7

ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО АРГУМЕНТА

Слайд 8

Пример1. Вычислить: выражение представляет собой левую часть формулы косинуса двойного аргумента выполним умножение получаем

Слайд 9

Пример 2. Вычислить: выражение представляет собой левую часть формулы синуса двойного аргумента, но без множителя 2 введем этот множитель применим формулу синуса двойного аргумента выполним умножение получаем

Слайд 10

Пример 3. Упростить выражение: Вынесем общий множитель 2 за скобку выражение в скобках представляет собой левую часть формулы косинуса двойного аргумента выполним умножение представим дробь в виде суммы дробей и применим формулу приведения

Слайд 11

Пример 4. Упростить выражение: для тригонометрического выражения очень важно добиться того, чтобы, входящие в него тригонометрические функции были ОДНОГО аргумента применим формулу синуса двойного аргумента заменим полученную дробь можно сократить Ответ:

Слайд 12

Рассмотрим еще один интересный пример здесь нужно догадаться умножить и разделить выражение на применим формулу синуса двойного аргумента в числителе левая часть формулы синуса двойного аргумента, но без множителя 2 умножим числитель и знаменатель дроби на 2 применим формулу синуса двойного аргумента еще раз заметим, что выразим и воспользуемся формулами приведения Ответ: 0,25

Слайд 1

Формулы половинного угла. Формулы понижения степени

Слайд 2

Повторение Установите истинность или ложность утверждений: 1 2 3 5 7 8 6 4 9 неверно верно верно верно верно верно неверно неверно неверно

Слайд 3

1. Примените формулы двойного аргумента к следующим выражениям: 2. Упростите выражение, а затем вычислите:

Слайд 4

Формулы понижения степени Рассмотрим формулу косинуса двойного аргумента Слагаемое ( -1) перенесем в правую часть равенства, изменив знак на противоположный Разделим обе части равенства на 2 Получаем первую формулу Рассмотрим формулу косинуса двойного аргумента Слагаемое ( -1) перенесем в правую часть равенства, изменив знак на противоположный Разделим обе части равенства на - 2 Получаем вторую формулу

Слайд 5

Формулы половинного аргумента Заметим, что аргумент х составляет ровно половину аргумента 2 х. Если в каждой формуле заменить х на и 2 х на х , то получим: х х При применении этих формул будьте внимательны: степень понижается, зато аргумент удваивается!

Слайд 6

Формула тангенса половинного аргумента

Слайд 7

Формулы понижения степени ( они же формулы половинного аргумента)

Слайд 8

Воспользуемся формулой № 27.19 б) Вычислить с помощью формул половинного аргумента Сначала найдем Найдем значение Дробь запишем в виде суммы двух дробей Получаем Чтобы найти , нужно извлечь квадратный корень из суммы Заметим, что аргумент 22,5 является углом первой координатной четверти, поэтому косинус этого аргумента – положительное число Ответ:

Слайд 9

Упростить выражение: Воспользуемся формулой Сократим дробь на 2 Приведем подобные слагаемые Получаем Ответ: 1

Слайд 10

Дано: Вычислить: Представим каждое слагаемое в виде квадрата Воспользуемся формулами понижения степени Возведем в квадрат числитель и знаменатель каждой дроби Обратите внимание, что при возведении в квадрат числителей, нужно использовать формулу квадрата разности и формулу квадрата суммы соответственно Найдем сумму дробей с одинаковыми знаменателями и упростим числитель Воспользуемся начальным условием Ответ:

Слайд 1

Исследование функции с помощью производной Дифференцирование показательной и логарифмической функции

Слайд 2

Немного теории х у а b c y = f(x) Теорема 2 . Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f′(x) ≤0 (причём равенство f′(x)=0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция y=f(x) убывает на промежутке X. Теорема 1 . Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f′(x) ≥ 0 (причём равенство f′(x)=0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция y =f(x) возрастает на промежутке X. y = f(x) х y

Слайд 3

Выводы: Если существует производная функции на интервале ( a;b ) и в данном интервале: , то функция в нем не убывает, , то функция в нем не возрастает, 3) , то функция в нем возрастает, , то функция в нем убывает.

Слайд 4

Немного теории Теорема 3. Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке x = а, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует. Для удобства условимся внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю , называть стационарными , а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, — критическими. Итак, чтобы определить экстремумы (минимумы и максимумы) функции f(x), сначала нужно найти критические точки, в которых f'(x)=0 или же производная не существует (и которые принадлежат области определения функции). Тогда легко определить интервалы, в которых у производной неизменный знак. (Критические (стационарные) точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.)

Слайд 5

Теорема 4 если производная функции в критической точке 1) меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка локального минимума; 2) меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка локального максимума; 3) не меняет знак, то в этой точке нет экстремума. Алгоритм исследования непрерывной функции y=f(x) на монотонность и экстремумы: 1. найти производную f'(x). 2. Найти стационарные и критические точки. 3. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках. 4. Опираясь на теоремы 1, 2 и 4, сделать выводы о монотонности функции и о её точках экстремума

Слайд 6

1. Исследовать функцию на монотонность Найти область определения функции -1 3 х -1 3 + + - Найти производную функции ( ) / 1 lnx = x 1 Производная обращается в нуль в точке х=1 и не существует в точках х=-1 и х=3, но они не принадлежат области определения функции, значит, ни стационарных, ни критических точек у функции нет Найти стационарные и критические точки функции Исследовать функцию на монотонность на области определения х -1 3 + - Функция убывает на Функция возрастает на

Слайд 7

2. Исследовать на монотонность и экстремумы функцию Найти производную Найти стационарные и критические точки при и Это стационарные точки, критических точек нет Отметить точки на числовой прямой, найти знак производной х + + - Найти максимум и минимум функции

Слайд 8

3. Исследовать с помощью производной функцию Построить схематический график. ( ) / / / uv v u uv + = при х + + - Стоить отметить, что экспотенциальная функция принимает только положительные значения, а, значит, на знак производной этот множитель не влияет Мы нашли две ключевые точки для построения графика 0 x y -2

Слайд 9

Домашнее задание 11 Б №1631, №1639,

Слайд 10

Домашнее задание 11 А №№19.18, №19.36

Слайд 1

Производная показательной и логарифмической функции 11 класс

Слайд 2

0 x y 45 0 Функция Это экспонента, отличающаяся от других экспонент (графиков показательных функций с другими основаниями) тем, что угол между касательной к графику в точке x=0 и осью абсцисс равен 45°. Число e — иррациональное, т. е. представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь: e=2,7182818284590...; на практике обычно полагают, что e≈2,7.

Слайд 3

Свойства функции 1. 2. 3. Не является ни четной, ни нечетной. 4. Возрастает. 5. Не ограничена сверху, ограничена снизу. 6. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения 7. Дифференцируема Формула для отыскания производной

Слайд 4

Натуральный логарифм. Функция Если основанием логарифма служит число e, то говорят, что задан натуральный логарифм График функции y = ln x симметричен графику относительно прямой у = х

Слайд 5

Свойства функции 1. 2. 3. Не является ни четной, ни нечетной. 4. Возрастает на 5. Не ограничена ни сверху, ни снизу. 6. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения 7. Дифференцируема

Слайд 6

Свойства натурального логарифма

Слайд 7

для любого значения x > 0 справедлива формула дифференцирования Пример1: Пример2:

Слайд 8

Докажем, что справедлива формула дифференцирования Пусть дана функция Используя основное логарифмическое тождество, представим Найдем производную этой функции Получим равенство

Слайд 9

Пусть теперь дана логарифмическая функция Найдем формулу дифференцирования этой функции Используя основную формулу перехода логарифма к новому основанию, получаем

Слайд 10

Пример

Слайд 11

Домашнее задание для 11 А № 19.23 - №19.28 а)б)

Слайд 12

Домашнее задание для 11 Б № 1633 - №1636 а)б) № 1649 - №1650 а)б)

Слайд 1

Наибольшее и наименьшее значение функции Задание № 12 (ЕГЭ профильный уровень)

Слайд 2

наибольшее значение наибольшее значение наименьшее значение наименьшее значение a b a b Предположим, что функция f не имеет на отрезке [а; b] критических точек. Тогда она возрастает (рис. 1) или убывает (рис. 2) на этом отрезке. Значит, наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; b] — это значения в концах а и b. функция возрастает функция убывает Рис.1 Рис.2

Слайд 3

наименьшее значение наибольшее значение наибольшее значение наименьшее значение наименьшее значение a b a b Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; b] конечное число критических точек. Наибольшее и наименьшее значения функция f может принимать в критических точках функции или в точках а и b. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее. Примеры c n c наибольшее значение

Слайд 4

Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 27x на отрезке [0; 4] 1. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 1) y (0) = 0 y (4) = 4 3 – 27 4 = – 44 2) y / = 3x 2 – 27 = 3(x 2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) x = 3 [0; 4] x = –3 [0; 4] y ( 3 ) = 3 3 – 27 3 = – 54 3 х 1 0 х 1 2 - 5 4 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. 3 -3

Слайд 5

Этапы 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 27x на отрезке [0; 4] 1) y / = 3x 2 – 27 2) y / = 3x 2 – 27 = 3(x 2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) 3 -3 x = 3 [0; 4] x = –3 [0; 4] y (4) = 4 3 – 27 4 = – 44 y ( 3 ) = 3 3 – 27 3 = – 54 3 х 1 0 х 1 2 - 5 4 3) y (0) = 0 Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно.

Слайд 6

наибольшее значение наименьшее значение a b a b Предположим, что функция f имеет на отрезке [а; b] одну точку экстремума. Если это точка минимума, то в этой точке функция будет принимать наименьшее значение. Если это точка максимума, то в этой точке функция будет принимать наибольшее значение.

Слайд 7

Этапы 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 27x на отрезке [0; 4] 1) y / = 3x 2 – 27 2) y / = 3x 2 – 27 = 3(x 2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) 3 -3 y ( 3 ) = 3 3 – 27 3 = – 54 3 х 1 0 х 1 2 - 5 4 3) Другой способ решения + + – x y \ y -3 3 0 4 min Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка. Этот способ будет удобно вспомнить, когда вычисления значений функции в концах отрезка будет сложным.

Слайд 8

x = – 1 [ -2 ; 0 ] Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 1) y (0) = 4 y (-2) = (-2) 3 – 3 (-2) +4 = 2 2) y / = 3x 2 – 3 = 3(x 2 – 1 ) = 3(x – 1 )(x + 1 ) x = 1 [ -2 ; 0 ] y (-1) = (-1) 3 – 3 (-1) + 4 = 6 3 х 1 0 х 1 2 6 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. 1 -1 Найдите наибольшее значение функции y = x 3 – 3 x + 4 на отрезке [ – 2 ; 0 ] 2.

Слайд 9

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 1) y (1) = 1 – 2 + 1 + 3 = 3 y (4) = 4 3 – 2 4 2 + 4 + 3 = 39 2) y / = 3x 2 – 4 x + 1= y ( 1 ) = 3 3 х 1 0 х 1 3 3 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 2 x 2 + x +3 на отрезке [ 1; 4 ] 3. 3x 2 – 4 x + 1 = 0 3 1 3(x – 1)(x – ) [1; 4] [1; 4]

Слайд 10

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ -3 ; 3 ] 4 . x = – 3 [ -3 ; 3 ] Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. x = 3 [ -3 ; 3 ] y (-3) = 11 3 х 1 0 х 1 2 1 1 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. y (-3) = -25

Слайд 11

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 1 ; 9 ] 5. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 3 х 1 0 х 1 2 1 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. [ 1 ; 9 ] 2

Слайд 12

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [ 1 ; 9 ] 6. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 3 х 1 0 х 1 2 - 3 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. [ 1 ; 9 ] 2 Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде

Слайд 13

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 1 ; 9 ] 7. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка . 3 х 1 0 х 1 2 3 7 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде x = – 6 [ 1 ; 9 ] x = 6 [ 1 ; 9 ] x = 0 D ( y) x = 0 D ( y): 2 / 1 1 х х        

Слайд 14

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 3 ; 10 ] 8. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка . 3 х 1 0 х 1 2 1 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. x = 7 [ 3 ; 10 ]   / / / uv v u uv   1). Первое число меньше 1, т.к. знаменатель e 4 > 5 . 2). Второе число – отрицательно e. 3). Значит, наибольшее число 1. 7 1

Слайд 15

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [ 1 ; 7 ] 9. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка . 3 х 1 0 х 1 2 - 4 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. x = 2 [ 1 ; 7 ]   / / / uv v u uv   Наименьшее число – 4, т.к. первые два положительные. x = 8 [ 1 ; 7 ] 8 2 1

Слайд 16

– + x y \ y -5 -4 – + Найдите наибольшее значение функции y = ln(x+5) 5 – 5x на отрезке [-4,5; 0] 3 х 1 0 х 1 2 2 0 10. -4,5 0 max Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.   / 1 lnx  x y = 5ln(x+5) – 5x 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее. x = -4 [-4,5; 0] 0 Можно рассуждать иначе Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде

Слайд 17

Найдите наибольшее значение функции y = ln( 11 x ) – 11 x + 9 на отрезке 3 х 1 0 х 1 2 8 11. max Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.   / 1 lnx  x 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. – + x y \ y 1 11 5 22 1 22 [ ; ] 1 22 5 22 1 11 x = [ ; ] 1 22 5 22 0

Слайд 18

Найдите наименьшее значение функции y = 2х 2 – 5x + lnx – 3 на отрезке 3 х 1 0 х 1 2 - 6 12. min Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.   / 1 lnx  x 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. – + x y \ y 1 7 6 5 6 [ ; ] 5 6 7 6 x = 1 [ ; ] 5 6 7 6 0

Слайд 19

Найдите наибольшее значение функции y = 7cosx +16x – 2 на отрезке 3 х 1 0 х 1 2 5 13. Функция на всей области определения возрастает. Нетрудно догадаться, что у / > 0 . Тогда наибольшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0. 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.   / cosx  – sinx Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наибольшее. 0

Слайд 20

Критических точек нет. Тогда наибольшее значение функция будет принимать в одном из концов отрезка. Можно было и раньше догадаться, что наибольшее значение будет именно в левом конце отрезка! Как? 6 5 sin          6 sin           3 х 1 0 х 1 2 3 2 Найдите наибольшее значение функции y = 10sinx – x + 7 на отрезке 14. 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.   / sinx  cosx 0 36 2 1  6 sin     6 5 sin          Формула приведения Синус –нечетная функция

Слайд 21

Функция на всей области определения убывает. Нетрудно догадаться, что у / < 0 . Тогда наименьшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0. 3 х 1 0 х 1 2 9 Найдите наименьшее значение функции y = 5 cosx – 6x + 4 на отрезке 15. 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.   / cosx  – sinx 1 0 Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наименьшее.

Слайд 22

3 х 1 0 х 1 2 1 2 Найдите наибольшее значение функции y = 12 cosx + 6 x – 2 + 6 на отрезке 16. 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Но нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок

Слайд 23

3 х 1 0 х 1 2 1 2 Найдите наибольшее значение функции y = 12 cosx + 6 x – 2 + 6 на отрезке 16. 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Убедимся, что данная точка является точкой максимума на заданном промежутке. Значит, наибольшее значение функция достигает именно в этой точке. Тогда значения функции в концах отрезка можно не считать. – + 3 x y \ y 2 0 Можно рассуждать иначе max

Слайд 24

3 х 1 0 х 1 2 4 Найдите наименьшее значение функции y = 11 + – х – cosx на отрезке 17. 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Но нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок Можно убедиться, что данная точка является точкой минимума на заданном промежутке. Значит, наименьшее значение функция достигает именно в этой точке. Тогда значения функции в концах отрезка можно не считать. + – 6 x y \ y 2 0 min

Слайд 25

3 х 1 0 х 1 2 1 Найдите наименьшее значение функции y = 4 tgx – 4x – 4 + 5 на отрезке 18. 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок   / tgx  cos 2 x 1 0 3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений сделаем выбор наименьшего.

Слайд 26

3 х 1 0 х 1 2 5 Найдите наибольшее значение функции y = 3 tgx – 3 x + 5 на отрезке 19. 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок   / tgx  cos 2 x 1 0 3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений сделаем выбор наибольшего. -1 0

Слайд 27

Решая задания на наибольшее и наименьшее значение функции, я применяла различные способы. Если вы решаете задания своим способом и всегда попадаете в правильный ответ, не стоит переучиваться.

Слайд 1

Отбор корней в тригонометрическом уравнении

Слайд 2

Отбор корней тригонометрического уравнения на промежутке при помощи решения неравенства в целых числах

Слайд 3

Допустим при решении некоторого тригонометрического уравнения у нас получилась одна из серий корней и нужно отобрать корни, принадлежащие заданному промежутку черновик Ответ:

Слайд 4

При решении тригонометрического уравнения может получиться несколько серий корней. Тогда необходимо данную операцию повторить для каждой серии

Слайд 5

Пример. Найти корни уравнения на заданном промежутке Решение: а) Сначала решим уравнение.

Слайд 6

Выполним отбор корней для каждой серии корней уравнения на промежутке Ответ:

Слайд 7

ОТБОР КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ НА ПРОМЕЖУТКЕ ПРИ ПОМОЩИ числовой окружности

Слайд 8

0 x y черновик Ответ:

Слайд 1

Вычисление площадей плоских фигур. 05/13/20

Слайд 2

05/13/20 Определение криволинейной трапеции Если на отрезке [a;b] функция f(x) не меняет знак, то фигура, ограниченная графиком f(x) , осью Ох и прямыми х=а , х= b , называется криволинейной трапецией.

Слайд 3

05/13/20 На рисунке представлена фигура, которая не является криволинейной трапецией, но составлена из двух криволинейных трапеций. Определение криволинейной трапеции

Слайд 4

05/13/20 Геометрический смысл определенного интеграла При х ϵ [a;b] f(x)≥0. При х ϵ [a;b] f(x)≤0.

Слайд 5

05/13/20 При решении задач на нахождение площадей плоских фигур необходимо выяснить, какая фигура задана условиями задачи. Часто бывает достаточно схематического рисунка или здравого смысла.

Слайд 6

05/13/20 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: Задача №1 Решение: f(x)≥0 Ответ: Выясним, о какой фигуре идет речь. Схематично изобразим график.

Слайд 7

05/13/20 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: Задача №2 Решение: Попробуем обойтись без построения графика. Используем здравый смысл. Ответ: На своей области определения функция знак не меняет (у >0 ) и разрывов не имеет. Таким образом даже без графика можно сделать вывод, что речь идет о криволинейной трапеции первого типа.

Слайд 8

05/13/20 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: Задача №3 Решение: Ответ: Данная функция меняет знак на своей области определения ( R ) . Выясним, о какой фигуре идет речь. Построим график. Криволинейная трапеция второго типа. (график функции y=cosx растянут от Ох в два раза).

Слайд 9

05/13/20 Как найти площадь фигуры, ограниченной двумя графиками и прямыми х=а, х= b ( см. рис. ) 1 случай. Фигура расположена в верхней полуплоскости. Площадь можно найти как разность площадей двух криволинейных трапеций первого типа. разность интегралов равна интегралу разности = >

Слайд 10

05/13/20 Как найти площадь фигуры, ограниченной двумя графиками и прямыми х=а, х= b ( см. рис. ) 2 случай. Фигура расположена в нижней полуплоскости. Площадь можно найти как разность площадей двух криволинейных трапеций второго типа. разность интегралов равна интегралу разности = >

Слайд 11

05/13/20 Как найти площадь фигуры, ограниченной двумя графиками и прямыми х=а, х= b ( см. рис. ) 3 случай. Фигура расположена в двух полуплоскостях. Площадь можно найти как сумму площадей двух криволинейных трапеций. Таким образом, для решения данной задачи не имеет значения, где расположена фигура. разность интегралов равна интегралу разности = >

Слайд 12

05/13/20 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: Задача №4 Решение: Ответ: Построим фигуру. Воспользуемся рассмотренным правилом.

Слайд 13

05/13/20 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: Задача №5 Решение: Ответ: Построим фигуру. Пределы интегрирования – абсциссы точек пересечения данных графиков. Особенность задачи в том, что не указаны пределы интегрирования х=2 и х=4 Воспользуемся правилом. Не забывайте, что графический способ требует проверки и подумайте, как быть, если точки пересечения графиков - не целые (следующая задача).

Слайд 14

05/13/20 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: Задача №5 Решение: Построим фигуру. Найдем пределы интегрирования: Здесь разумно использовать приемы рационального счета. Про калькулятор надо забыть!

Слайд 15

05/13/20 Мы рассмотрели основные типы задач на нахождение площадей плоских фигур. Сформулируй условие для каждого типа и составь алгоритмы. Затем отработай алгоритмы воспользовавшись задачником. При необходимости обращайся за помощью.