Конкурсная работа по математике для учащихся 11 класса
олимпиадные задания по математике (11 класс)

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №59»

Дзержинского района города Новосибирска

Работу выполнил:

учитель математики Шахов Денис Эдуардович

Контактный телефон: 89134597618

Электронная почта: shakhovdenis.1993@yandex.ru

Конкурсная работа по математике для учащихся 11 класса

Уважаемые коллеги, предлагаю вариант конкурсной работы по математике для учеников 11 класса. Данная работа содержит 15 задач, большинство из которых могут предлагаться учащимся не в 11 классе, а гораздо раньше. То, что работа адресована выпускникам объясняется охватом многих тем, изучаемых в разных классах, в основном, с 6 по 9. Последнее задание предполагает применение определённого интеграла, то есть рассчитано только на одиннадцатиклассников. К каждому заданию приводится решение, примерные критерии оценивания, а также формируемые и проверяемые умения учеников. Эти задания можно использовать по-разному: в виде домашней олимпиадной работы; в виде бонусных задач; при проведении математических игр; индивидуально предлагаться ученикам, проявляющим интерес к математике и т.д. Кроме того, выбирая отдельные задачи, учитель может скомпоновать работу для учеников не 11, а, скажем, 9 класса.

Задача 1. Расположить в порядке убывания числа  

Решение

Представим все числа в виде степени с основанием 2:

Отсюда немедленно получается ответ:

Ответ:  

Критерии оценивания

Задача оценивается в 2 балла

Формируемые и проверяемые умения учеников

Умение переходить от одного основания степени к другому; умение сравнивать степени с одинаковыми основаниями; умение выделять общий признак двух или нескольких предметов или явлений и объяснять их сходство.

____________________________________________________________________

Задача 2. В магазине продаются канцелярские наборы по 350 рублей. Во время распродажи они продаются со скидкой 10%. У покупателя имеется карта, предполагающая скидку 10%. С какой скидкой (в рублях) покупатель приобретёт канцелярский набор во время акции?

Решение

Цена набора во время акции равна рублей. Предъявляя карту, покупатель платит  рубля. Следовательно, покупатель сэкономит  рублей.

Ответ:  рублей.

Критерии оценивания

Задача оценивается в 3 балла

Формируемые и проверяемые умения учеников

Умение находить процент от числа; умение производить арифметические расчёты; умение ориентироваться в содержании текста, понимать целостный смысл текста.

___________________________________________________________________

Задача 3. Решить в целых числах уравнение

Решение

Перепишем уравнение в следующем виде:

Так как необходимо найти целочисленные решения, полученное уравнение эквивалентно следующей совокупности систем:

Ответ:

Критерии оценивания

Задача оценивается в 3 балла

Формируемые и проверяемые умения учеников

Умение раскладывать многочлены на множители; умение решать системы уравнений и их совокупности.

___________________________________________________________________

Задача 4. На столе лежит 9 яблок. Вася берёт любые 4 яблока и заменяет их апельсинами. Далее он опять берёт 4 фрукта – яблоки заменяет апельсинами, а апельсины - яблоками. И так неограниченное количество раз. Удастся ли Васе все 9 яблок заменить апельсинами?

Решение

Сопоставим каждому апельсину, лежащему на столе, число -1, а каждому яблоку – число 1. Изначально на столе 9 апельсинов – произведение соответствующих чисел даёт -1. Замена 4 фруктов по соответствующему правилу даёт умножение изначального произведения на , то есть на 1. Следовательно, указанная операция не меняет это произведение. А если бы все апельсины были бы заменены яблоками, соответствующее произведение стало бы равно 1.

Ответ: нет.

Критерии оценивания

Задача оценивается в 3 балла

Формируемые и проверяемые умения учеников

Умение обозначать символом (знаком) предмет или явление; умение абстрагироваться от конкретной ситуации; умение определять инвариантную величину в условии задачи.

____________________________________________________________________

Задача 5. Доказать неравенство , справедливое для любых значений .

Решение

Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим для любых положительных чисел, можем записать:

Почленно перемножая эти неравенства, получим требуемое.

Критерии оценивания

Задача оценивается в 4 балла

Формируемые и проверяемые умения учеников

Умение «видеть» в неравенстве сумму или произведение нескольких известных (классических) неравенств; умение проводить базовые преобразования над неравенствами; умение обозначать символом (знаком) предмет или явление.

____________________________________________________________________

Задача 6. В четырёх заданных точках на плоскости расположены точечные прожекторы, каждый из которых может освещать прямой угол. Стороны этих углов могут быть направлены на север, юг, запад или восток. Доказать, что эти прожекторы можно направить так, что они осветят всю плоскость.

Решение

Пусть направления осей в декартовой системе координат совпадают с направлениями на восток (ось OX)  и на север (ось OY), тогда , соответственно, противоположные им направления – на запад и юг. Рассмотрим четыре произвольных точки плоскости. Выберем из них точку A, лежащую северо – западнее остальных. Тогда из неё лучи прожектора необходимо направить на юг и на восток. Из точки B, лежащей северо – восточнее остальных, лучи направим на юг и запад. Аналогично поступим с точками, лежащими южнее рассмотренных точек. Расположенные таким образом прожекторы осветят всю плоскость.

Замечание.  Задача является обобщением тривиальной задачи для одномерного пространства.

 Пусть на прямой стоят два прожектора, которые светят лишь в направлении луча. Доказать, что эти прожекторы можно направить так, что они осветят всю прямую.

Отметим также, что предложенная задача сама имеет обобщение:

В восьми заданных точках пространства расположены точечные прожекторы, каждый из которых может освещать октант. Доказать, что эти прожекторы можно направить так, что они осветят всё пространство.

Критерии оценивания

Задача оценивается в 2 балла

Формируемые и проверяемые умения учеников

Умение переводить текстовую информацию в графическую; умение применять воображение для синтезирования реальных моделей (процессов).

____________________________________________________________________

Задача 7. Имеется бесконечная клетчатая доска, на которой стоит фишка. Ход фишки заключается в перемещении на 7 клеток по горизонтали и 1 клетку по вертикали. Может ли фишка сделать ровно 2017 ходов и вернуться в клетку, соседнюю с исходной (по стороне)?

Решение

Допустим, что может. Раскрасим доску в шахматном порядке. Заметим, что перемещение по горизонтали и по вертикали на нечётное число клеток (в нашем случае это соответственно 7 и 1) не изменяет цвета клетки, на которой фишка была изначально. То есть, если фишка стояла на чёрной клетке, то сделав любое число ходов, она будет оставаться на чёрной клетке, и наоборот, если фишка стояла на белой клетке, то сделав любое число ходов, она будет оставаться на белой клетке. А любые две соседние по стороне клетки окрашены в разные цвета. Противоречие.

Ответ: нет.

Критерии оценивания

Задача оценивается в 3 балла

Формируемые и проверяемые умения учеников

Умение абстрагироваться от конкретной ситуации; умение определять инвариантную величину в условии задачи; умение применять «нужный» способ раскраски.

____________________________________________________________________

Задача 8. Манго содержит 80% воды, а приготовленные из него сухофрукты – 5%. Сколько килограммов манго потребуется для получения 36 кг сухофруктов?

Решение

Составляющие манго, отличные от воды, будем называть сухим веществом. Итак, сухофрукты содержат 95% сухого вещества. В данном случае это составит  (кг). В манго это 20% от общей массы, поэтому манго потребуется 171 кг.

Ответ: 171 кг.

Критерии оценивания

Задача оценивается в 2 балла

Формируемые и проверяемые умения учеников

        Умение определять основное содержание текста; умение находить процент от числа; умение находить число по его процентам.

____________________________________________________________________

Задача 9. З пирожка и 2 бублика стоят 100 рублей, а 2 пирожка и 5 бубликов стоят 150 рублей. Сколько стоят 8 пирожков и 9 бубликов?

Решение

Обозначим: П – пирожок, Б – бублик. Тогда, по условию, можем составить систему:

Заметим, что если первое уравнение умножить на 2 и прибавить ко второму, получим соотношение:

Это соотношение и даёт ответ на вопрос задачи.

Ответ: 350 рублей.

Критерии оценивания

Задача оценивается в 3 балла

Формируемые и проверяемые умения учеников

Умение использовать знаки и символы для абстрагирования от конкретной ситуации; умение составлять системы уравнений; умение выполнять базовые преобразования над системами уравнений; умение переводить символьную информацию в текст (переход от формул к словесному содержанию).

____________________________________________________________________

Задача 10. Не приводя к общему знаменателю, сравните дроби    и    .

Решение

Представим первое число в виде

 ,

а второе – в виде

Ясно, что   . Следовательно, второе число больше.

Ответ: второе число больше.

Критерии оценивания

Задача оценивается в 3 балла

Формируемые и проверяемые умения учеников

        Умение выделять сходство предметов (явлений); умение находить рациональный способ решения задачи; умение сравнивать дроби с одинаковым числителем.

Задача 11. Решить уравнение  где    наибольшее целое число, не превосходящее , а

Решение

Заметим, что  Значит, имеет место оценка  Так как  целое число, возможны только два варианта:

Ответ: .

Критерии оценивания

Задача оценивается в 2 балла

Формируемые и проверяемые умения учеников

Умение оценивать величины; умение определять числа, попавшие в данный диапазон.

____________________________________________________________________

Задача 12. Можно ли разбить числа 1,2,3,…,45 на 15 троек так, чтобы в каждой тройке одно число равнялось сумме двух других? (Тройка – группа из трёх чисел)

Решение

Предположим, что мы разбили числа таким образом. Пусть это будут следующие тройки:  Тогда сумма всех этих чисел равна  В то же время, . Противоречие.

Ответ: нельзя.

Критерии оценивания

Задача оценивается в 3 балла

Формируемые и проверяемые умения учеников

        Умение определять чётность как инвариант; умение «узнавать» в числовой последовательности арифметическую прогрессию и находить её сумму; умение доказывать утверждения методом от противного.

____________________________________________________________________

Задача 13. На единичной окружности отмечено 2017 точек. Доказать, что на этой окружности можно найти такую точку, что сумма расстояний от неё до всех отмеченных точек будет больше 2017.

Решение

Выберем на окружности любые две диаметрально противоположные точки, не совпадающие с отмеченными. Ясно, что сумма расстояний от этих двух точек до некоторой отмеченной точки больше 2 (в силу неравенства треугольника). Тогда сумма расстояний от этих двух точек до каждой из отмеченных точек превосходит 4034. Следовательно, сумма расстояний от каждой из отмеченных точек до одной из выбранных точек больше 2017.

Критерии оценивания

Задача оценивается в 5 баллов

Формируемые и проверяемые умения учеников

        Умение находить нестандартный подход к решению задачи; умение применять правило треугольника.

____________________________________________________________________

Задача 14. Имеются две бесконечно глубокие бочки, заполненные водой. Можно ли, пользуясь двумя ковшами ёмкостью  л  и  л, перелить из одной бочки в другую ровно 1 литр воды?

Решение

Пусть из одной бочки в другую было совершено    переливаний ковшом ёмкостью   л и   переливаний ковшом ёмкостью  л.

Всего было перелито  литров воды. Согласно условию,  Ясно, что равенство невозможно, так как  – натуральные числа.

Ответ: нет.

Критерии оценивания

Задача оценивается в 2 балла

Формируемые и проверяемые умения учеников

        Умение рационально вводить знаки и символы для решения задачи; умение составлять соотношения между величинами; умение определять рациональность (иррациональность) числа.

____________________________________________________________________

Задача 15. Дана криволинейная трапеция, ограниченная параболой  и осью абсцисс. Прямая  разделяет эту трапецию на две части одинаковой площади. Чему равно ?

Решение

Рассмотрим рисунок. Площадь прямоугольника, вписанного в параболический сегмент, очевидно, равна . В силу симметрии сегмента, площади фигур, прилежащих к прямоугольнику слева и справа, равны между собой и равны

Значит, площадь фигуры, расположенной под прямой, равна

Площадь фигуры, расположенной над прямой, равна

Следовательно, получаем уравнение

Сделаем замену:  Уравнение преобразуется к виду:

2

Ответ:.

Критерии оценивания

Задача оценивается в 5 баллов

Формируемые и проверяемые умения учеников

        Умение связывать интеграл и площади криволинейных фигур; умение работать с графиками функций; умение составлять и решать уравнения; умение применять свойство аддитивности площадей.

Литература

1. Алфутова Н.Б. Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ –М.: МЦНМО, 2009 – 336 с.

2. Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад –М.: Наука, 1974 – 112 с.

3. Гальперин Г.А., Толпыго А.К. Московские математические олимпиады: Кн. для учащихся / Под ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 1986. – 303 с., илл.      

4. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах –М.: Наука, 1983 – 64 с., илл.

5. Голубев В.И., Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. 11 класс –М.: Просвещение, 1991 – 384 с.

6. Грейтцер С.Л., Коксетер Г.С.М. Новые встречи с геометрией –М.: Наука, 1978 – 224 с.

7. Далингер В.А. Задачи в целых числах – Омск: Амфора, 2010 – 132 с.

8. Коровкин П.П. Неравенства –М.: Наука, 1974 – 72 с., илл.

9. Маркушевич А.И. Возвратные последовательности –М.: Наука, 1983 – 48 с., илл.

10. Хонсбергер Р. Математические изюминки –М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1992 – 176 с., илл.