ЕН.01 МАТЕМАТИКА Методические указания по выполнению практических работ для обучающихся по специальностям СПО 26.02.03 Судовождение
учебно-методическое пособие по математике (11 класс)

Департамент образования и науки Тюменской области

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение

Тюменской области

«Тюменский колледж водного транспорта»

ЕН.01 МАТЕМАТИКА

Методические указания

по выполнению практических работ

для обучающихся по специальностям СПО

26.02.03 Судовождение  и

26.02.05 Эксплуатация судовых энергетических установок

(базовая подготовка)  очной формы обучения

Тюмень,

2019 г.

Методические указания по выполнению практических работ составлены в соответствии с рабочей программой дисциплины ЕН.01 Математика. Методические указания предназначены для обучающихся специальностей 26.02.03 Судовождение и  26.02.05 Эксплуатация судовых энергетических установок

Составители:

Валишина Р.Г.,, преподаватель ГАПОУ ТО «Тюменский колледж водного транспорта»,

Рецензенты:

Филипенко О.В., преподаватель ГАПОУ ТО «Тюменский колледж водного транспорта»,

Содержание

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Рабочим учебным планом специальностей 26.02.03 Судовождение и  26.02.05 Эксплуатация судовых энергетических установок  по  ЕН.01 Математика предусмотрено 22 часа практических занятий, из которых 4 часа – контрольные работы по разделам и 2 часа – дифференцированный зачет.

Методические указания по выполнению практических работ способствуют формированию у обучающихся  умения поиска оптимальных вариантов ответов, решений; развитию навыков работы с учебной и научной литературой,  творческого профессионального мышления, профессиональной и познавательной мотивации, инициативности, уверенности.

Содержание и объём практических работ соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта по специальности, реализуемого в пределах основной профессиональной образовательной программы с учётом технического профиля получаемого образования.

        В методические указания включено содержание 8 практических занятий: краткий теоретический материал по темам практических занятий, задания и примеры их выполнения.

        Практические занятия по дисциплине ЕН.01 Математика позволят обучающимся:

• закрепить теоретические знания;
• познакомиться с приемами и способами вычисления пределов, отыскания решений  дифференциальных уравнений;
• отработать правила и формулы нахождения производных функций, в том числе и второго, третьего порядка.
• приобрести опыт использования основных понятий и методов математического анализа при решении профессиональных задач.

        Материалы данных методических указаний по выполнению практических  работ позволяют выполнять задания в урочное и внеурочное время.

Ход выполнения практической работы.

   Практические работы необходимо выполнять в рабочих тетрадях с указанием номера, темы и цели практической работы.

Ход работы:

1.        Познакомиться с теоретическим материалом

2.        При необходимости сделать краткий конспект теоретического материала в рабочих тетрадях (основные понятия, определения, формулы, примеры)

3. Выполнить задания для самостоятельной работы.

4.        Сдать преподавателю тетради на проверку.

Критерии оценивания практических работ

       Оценка «5» ставится, если верно и рационально решено 90%-100% предлагаемых заданий, допустим 1 недочет, неискажающий сути решения.

       Оценка «4» ставится при  безошибочном решении 80% предлагаемых заданий, допустим 1 недочет, неискажающий сути решения.

       Оценка «3» ставится, если выполнено 70% предлагаемых заданий, допустим 1 недочет.

       Оценка «2» - решено мене 70% предлагаемых заданий.

Практическая работа № 1

Тема: Вычисление пределов функции. Исследование функции на непрерывность. (2 часа)

Цель работы: учиться вычислять пределы функций в точке и на бесконечности и в точке

В результате выполнения практической работы обучающийся

должен знать: понятия и методы вычисления предела функции в точке, на бесконечности;

должен уметь: применять методы вычисления предела функции в точке, на бесконечности, раскрывать неопределенности вида .

Форма проведения работы: практикум.

Краткие теоретические сведения по теме

Предел функции  в точке  - это величина  (конечная или бесконечная), к которой стремится значение функции  если аргумент функции  стремится к данному числу .
Обозначение: .

Если функция  непрерывна в точке , то

Пример 1: Найти предел функции  в точке .

Решение. Запишем предел функции  в точке : . Чтобы найти этот предел подставим вместо переменной  число 2, получим:.

Пример 2: Вычислить .                                                         

Решение. Подставим вместо переменной  число -8, получим:.

Предел функции  на  - это величина  (конечная или бесконечная), к которой стремится значение функции  если аргумент функции  стремится к .

Обозначение: .

Пример 3: Вычислить .                                                 
Решение. В функцию вместо подставим , получим:.

Для раскрытия неопределенности вида  необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень числителя или знаменателя.

Пример 4: Вычислите .

Решение. В функцию вместо подставим , получим неопределенность . Для раскрытия такой неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень числителя или знаменателя, т.е. на , получим:
=
сократим каждую дробь и вновь вместо подставим , получим
.

Пример 5: Вычислите предел функции  при  и .

Решение. Запишем предел функции  при : .

Чтобы найти этот предел вместо переменной  подставим , получим:

=

Применим свойство степеней , получим . Делаем вывод, что степень при бесконечном увеличении показателя приближается к бесконечно малому значению, т.е. стремится к 0:

.

Теперь запишем предел функции  при : .

Чтобы найти этот предел вместо переменной  подставим , получим:

=

Делаем вывод, что при бесконечном увеличении показателя степень  бесконечно увеличивается, т.е. стремится к :

.

Задания на практическую работу:

1. Вычислить пределы функций в точке:

а) ;                в) ;                д) ;

б) ;                г) ;                и) .

2. Вычислить пределы функций на бесконечности:

а) ;              в) ;             д) ;              ж) ;

б) ;     г) ;             е) ;              з) .

Порядок проведения работы (инструктаж):

1. Запишите в тетради тему занятия.
2. Внимательно прочитайте краткие теоретические сведения и выполните соответствующие записи в тетради. Разберите примеры устно.
3. Выполните в тетради задания на практическую работу. Записи в тетради должны содержать номер задания, формулировку задания и подробное решение.

Содержание отчета:

Тема занятия, краткие теоретические сведения, выполненные практические задания.

Контрольные вопросы:

1. Что называют пределом функции в точке?
2. Как вычислить предел функции в точке?
3. Что называют пределом функции на бесконечности?
4. Как раскрыть неопределенность вида ?
5. Чему равен предел отношения:
   а) константы к б.б. величине;
   б) константы к б.м. величине?

Практическая работа № 2

Тема: Применение производной для приближенных вычислений, решения прикладных задач. (2 часа)

Цель работы: учиться вычислять дифференциалы функций, и применять их в приближенных вычислениях.

В результате выполнения самостоятельной работы обучающийся

должен знать: понятие дифференциала функции, метод применения дифференциала функции в приближенных вычислениях;

должен уметь: применять дифференциал функции в приближенных вычислениях.

Краткие теоретические сведения по теме

Рассмотрим функцию  и предположим, что в некоторой точке  аргумент получает приращение , которое называется дифференциалом независимой переменной , т.е. .

Функция  имеет дифференциал в точке , если ее приращение можно представить в виде суммы двух слагаемых:

,

где коэффициент  не зависит от , а величина  имеет более высокий порядок малости относительно приращения , то есть  при .

В записанной формуле главная линейная часть приращения называется дифференциалом функции  в точке  и обозначается как .

В этом выражении коэффициент  равен значению производной  в точке .

Т.о. дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал независимой переменной: .

В силу того, что второе слагаемое  является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому .

А так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике.

Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:

                (*)

Выражение производной через дифференциалы .

Пример 1. Вычислить .

Используем формулу

В данном случае , , ,

,

, ;

Таким образом: .

Ответ: .

Пример 2. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно ln 1,01.

Решение. Число  является одним из значений функции  . Формула (*) в данном случае примет вид

Положим , тогда .

Следовательно,

что является очень хорошим приближением: табличное значение .

Пример 3. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно

Решение. Число является одним из значений функции

Так как производная этой функции

то формула (*) примет вид .

Полагая  и  получаем:
. (табличное значение ).

Производной от функции  по аргументу  называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю: или .

Формулы дифференцирования

Правила дифференцирования

1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: , где  - постоянный множитель,  – функция.
2. Производная суммы равна сумме производных: .
3. Производная произведения: .
4. Производная частного: .
5. Производная сложной функции: .

Пример 1: Вычислите производные функций:

а) ;        б) ;        в) .

Решение. а) .

б)

.

в)

.

Порядок проведения работы (инструктаж):

1. Запишите в тетради тему занятия.
2. Внимательно прочитайте краткие теоретические сведения и выполните соответствующие записи в тетради. Разберите примеры устно.
3. Выполните в тетради задания на практическую работу. Записи в тетради должны содержать номер задания, формулировку задания и подробное решение.

Задания на практическую работу:

1. Вычислить производные функций:

а) ;                в) ;        д) ;

б) ;        г) ;        е) .

2. Вычислить приближенно, заменяя приращения функции ее дифференциалом:

а) ;                б) ;                в) ;                г) .

3. Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в зависимости от скорости  км/ч при движении на четвертой передачи приблизительно описывается функцией ; . При какой скорости расход горючего будет наименьший? Найдите этот расход.

4. Бак формы прямоугольного параллелепипеда должен вмещать 2400 литров воды. Каковы должны быть размеры бака, чтобы поверхность его (без крышки) была наименьшей?

Порядок проведения работы (инструктаж):

1. Запишите в тетради тему занятия.
2. Внимательно прочитайте краткие теоретические сведения и выполните соответствующие записи в тетради. Разберите примеры устно.
3. Выполните в тетради задания на практическую работу. Записи в тетради должны содержать номер задания, формулировку задания и подробное решение.

Содержание отчета:

Тема занятия, краткие теоретические сведения, выполненные практические задания.

Контрольные вопросы:

1. Что называют производной функции?
2. Какими законами необходимо руководствоваться при вычислении производных элементарных функций?
3. По какой формуле находится дифференциал функции?

Практическая работа № 3

Тема: Определенный интеграл. Вычисление определенных интегралов (2 часа)

Цель работы: повторить вычисление неопределенных и определенных интегралов.

В результате выполнения практической работы обучающийся

должен знать: понятие неопределенного и определенного интеграла, формулы и правила интегрирования;

должен уметь: применять различные методы при вычислении неопределенных интегралов.

Форма проведения работы: практикум.

Краткие теоретические сведения по теме

Функцию  называют первообразной для функции  на заданном промежутке X, если для всех х из X выполняется равенство .

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается

.

Выражение  называют подынтегральным выражением, а  – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции .

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

1. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

, где k – произвольная константа.

2. Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

.

Таблица первообразных (неопределенных интегралов).

В основе интегрирования методом подстановки лежит формула

.

Рассмотрим этот метод.

Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки:

1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
4. Производят замену под интегралом.
5. Находят полученный интеграл.
6. В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверять дифференцированием.

Рассмотрим примеры.

Примеры. Найти интегралы:

1) ;

Введем подстановку:

Дифференцируя это равенство, имеем: .

Выразив отсюда , получим: . Подставив в данный интеграл вместо  и  их выражения, получим:

.

2)

3)

4).

5).

6)

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) – первообразная функции f (x) на [a, b], то.

Задания на практическую работу:

1. Вычислите интегралы:

а) ;                        в) ;                д) ;

б) ;                г) ;                е) .

     2. Вычислите:

а) ;                б) ;                в) ;                г) .

Порядок проведения работы (инструктаж):

1. Запишите в тетради тему занятия.
2. Внимательно прочитайте краткие теоретические сведения и выполните соответствующие записи в тетради. Разберите примеры устно.
3. Выполните в тетради задания на практическую работу. Записи в тетради должны содержать номер задания, формулировку задания и подробное решение.

Содержание отчета:

Тема занятия, краткие теоретические сведения, выполненные практические задания.

Контрольные вопросы:

1. Что называют первообразной функции?
2. Что называют неопределенным интегралом функции?
3. Какими законами необходимо руководствоваться при вычислении неопределенных интегралов функций?
4. Какие методы интегрирования Вы использовали?
5. Что вычисляют по формуле Ньютона-Лейбница?

Практическая работа № 4

Тема: Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площади плоской фигуры, объем тела с помощью интеграла. Решение прикладных задач (2 часа)

Цель работы: повторить вычисление определенных интегралов и их применения, учиться применять определенные интегралы к решению геометрических и физических задач.

В результате выполнения практической работы обучающийся

должен знать: формулу Н-Лейбница для вычисления определенного интеграла, формулы, правила и методы интегрирования;

должен уметь: применять различные методы при вычислении неопределенных интегралов.

Форма проведения работы: практикум.

Краткие теоретические сведения по теме

Определенный интеграл обозначается:       (3), где f(x)  – подынтегральная функция, х – переменная интегрирования

Теорема. Если F(x)  – первообразная для непрерывной функции , то имеет место формула:               (4). Эта формула Ньютона-Лейбница – основная формула интегрального исчисления, устанавливающая связь между определенным и неопределённым интегралом.

Основные свойства определенного интеграла:

• При перестановке пределов изменяется знак интеграла:            (5)
•  Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:                                  (6)
• Отрезок интегрирования можно разбивать на части      (7)      

• Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов.

• Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
• Если функция всегда на отрезке, то                     (8)
• Если всюду на отрезке , то                    (9)

Геометрический смысл определенного интеграла:

          Определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=а; х=b; у=0 и частью графика функции, взятой со знаком плюс, если функция положительна, и со знаком минус, если функция отрицательна (рисунок 1)

Основные случаи расположения плоской  фигуры

Пример1.  Найти площадь фигуры, заключённой между линиями  y = x3 , x = -1. x = 2 и осью OX 

Решение: найдем точки пересечения  графика функции  с осью ОХ(см. рис 4):

y = x3;    y = 0     x = 0;  Вычислим производную функции:    y’ = 3x2;         y’ = 0      x = 0 . Найдем значение второй производной в точке х=0:    y” = 6x;     y” (0) = 0. Вычислим     y”(-1) = -=6;    y”(1) = 6;  Т.к.  y” меняет знак при переходе через х =0    т. (0;0)  – точка перегиба.  Искомая площадь состоит из двух частей, поэтому:

 (кв.ед.)

Физические приложения интеграла

Пример 2 Дано ускорение скорости движения тела. Найти путь тела, за первые 3 с .

                                                                    Решение:

Уравнение пути s(t) находится интегрированием:

 ( м)

Вычисление объема тела

 - формула объема тела по площади параллельных сечений

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = f(х) ≥ 0, отрезком а ≤ х ≤ b и прямыми х = а и х = b (рис 7). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Oх), есть круг с радиусом у = f(х). Следовательно, S(x)=y.

Применяя формулу  объема тела по площади параллельных сечений, получаем: .

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции  и прямыми , ,  , то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой , равен .

Пример 1: Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , , вокруг оси Оу.

Решение: По формуле

находим: .

Механические приложения определенного интеграла

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(х), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (а находится по формуле

.

Пример 2. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?

Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т. е. , где k - коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растягивает пружину на х = 0,01 м; следовательно, , откуда ; следовательно, .

Искомая работа на основании формулы

Равна A =

Пример 3. Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты Н м и радиусом основания R м.

Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна . Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова.

Для решения поставленной задачи введем систему координат.

1. Работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя жидкости толщиной х (0 ≤ х ≤ Н), есть функция от х, т. е. А = А(х), где  (0 ≤ х ≤ Н)( A(0) = 0, A(H) =  А0).

 2. Находим главную часть приращения ΔA при изменении х на величину Δх = dx, т. е. находим дифференциал dА функции А(х).

Ввиду малости dх считаем, что “элементарный” слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара). Тогда dА = dрх, где dр - вес этого слоя; он равен g АV, где g - ускорение свободного падения,  - плотность жидкости, dv - объем “элементарного” слоя жидкости (на рисунке он выделен), т. е. dр = g. Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен , где dx— высота цилиндра (слоя),  - площадь его основания, т.е. dv = .

Таким образом, dр = . и

3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н, находим

A

Путь, пройденный телом

Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью . Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от t до t2. 

Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении “скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени”, т. е. . Отсюда следует, что dS = v(t)dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от  до , получаем

.

Пример 4. Найти путь, пройденный телом в течение  4-й секунды движения, если скорость тела  (м/с).

Решение: Если v(t) = 10t + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от начала 4-й секунды  до конца 4-й секунды , равен

 (м).

Порядок проведения работы (инструктаж):

1. Запишите в тетради тему занятия.
2. Внимательно прочитайте краткие теоретические сведения и выполните соответствующие записи в тетради. Разберите примеры устно.
3. Выполните в тетради задания на практическую работу. Записи в тетради должны содержать номер задания, формулировку задания и подробное решение.

Задания для практической работы № 5

Задание 1. Вычислите методом прямоугольников:        а) , ;                б) ,

Задание 2. Вычислите методом трапеций:        а) , ;                б)  ,

Задание 3. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

1.   

Задание 4. Решить задачу.

1.Скорость точки задана уравнением  (м/с). Найти её путь за третью секунду движения.

2.Скорость точки задана уравнением  (м/с). Найти путь, пройденный телом за время от начала движения до остановки.

3. Дана криволинейная трапеция: , , , . Найти площадь данной трапеции и объём тела, полученного при вращении её вокруг оси абсцисс.

4. Вычислить работу, которую нужно затратить на сжатие пружины на 3 см, если сила в 2 Н сжимает эту пружину на 1 см.

5. Найдите площадь, ограниченную одной волной синусоиды  и осью абсцисс, и площадь поверхности, полученной вращением этой волны вокруг оси ординат.

6. Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения, если скорость тела  (м/с).

Контрольные вопросы:

1. В  чем геометрический смысл определенного интеграла?
2. Как вычислить объем тела по площади параллельных сечений?
3. Как вычислить работу по перемещению тела произведенную некоторой силой?
4. Как вычислить путь пройденный телом с некоторой переменной скоростью?

Практическая работа № 5

Раздел 1.   Основы математического  анализа

Контрольная работа №1

1вариант

1. Вычислить предел функции:  (4x2 – x + 4)
2. Вычислите производную .
3. Точка движется по закону х(t) = 2t2 – t (м). Чему равна  скорость в момент времени t = 10 (c)?
4. Найдите максимальное значение функции  у = 12х – 3х2 +5.
5. Вычислите приближенное значение   с помощью производной.
6. Вычислить определенный интеграл .
7. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=, y=0, x=1, x=4.

2вариант

1. Вычислить предел функции:  (8x3 + x  - 3)
2. Вычислите производную .
3. Точка движется по закону х(t) = 3t2 + t (м). Чему равна скорость в момент времени t = 10 (c)?
4. Найдите максимальное значение функции  у = 8х – 2х2 - 7.
5. Вычислите приближенное значение   с помощью производной.
6. Вычислить определенный интеграл .
7. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=, y=0, x=1, x=3.

Практическая работа № 6

Тема: Решение дифференциальных уравнений первого порядка. (2часа)

Цель работы: учиться решать дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

В результате выполнения практической работы обучающийся

должен знать: метод решения дифференциальных уравнений с разделенными переменными;

должен уметь: применять метод решения дифференциальных уравнений с разделенными переменными.

Форма проведения работы: практикум.

Краткие теоретические сведения по теме

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида:

,                (1)
которое называется уравнением с разделенными переменными.

Пусть найдено некоторое его решение . При подстановке  в дифференциальное уравнение (1) оно обратится в тождество и, интегрируя его, имеем

,    (2) 
где C - произвольная постоянная.

Получили уравнение (2), которому удовлетворяют решения дифференциального уравнения (1). Оно содержит все решения дифференциального уравнения (1) и называется общим интегралом уравнения (1). Из него при определенных условиях можно выразить y от x, и такая функция будет называться общим решением уравнения.

Задача поиска решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши, а найденное таким образом решение называется частным решением. Для его поиска достаточно в найденное общее решение подставить заданные  и  и вычислить соответствующее значение , т.е. решение примет вид:.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

xdx+ydy=0.

Решение. Переменные здесь разделены, то есть коэффициенты при дифференциалах dx и dy являются соответственно функциями только от x и y, следовательно, интегралом уравнения будет
 или  или .

Выразим  через : , ,
Ответ:,  -произвольная постоянная.

Пример 2. Найти частные решения дифференциального уравнения

 при , .

Решение. Сначала необходимо найти общее решение данного уравнения. Оно уже было найдено в примере 1. Воспользуемся этим решением: .

Подставим в него заданные  и  и вычислим соответствующее значение :

 или .

Тогда частным решением уравнения  при заданных начальных условиях   будет .

Ответ: .

Дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными называют уравнения вида

.

Прежде чем продолжить, напомним, что  когда y является функцией аргумента x.

В дифференциальных уравнениях  или  переменные могут быть разделены, проведением преобразований. Такие ОДУ называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Соответствующее ДУ с разделенными переменными запишется как .

При разделении переменных следует быть очень внимательными, чтобы проводимые преобразования были эквивалентными (чтобы f2(y) и g1(x) не обращались в ноль на интервале интегрирования). В противном случае можно потерять некоторые решения.

Пример. Найти все решения дифференциального уравнения .

Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными, так как мы можем разделить x и y:

Для нулевой функции y=0 исходное уравнение обращается в тождество , поэтому, y = 0 является решением дифференциального уравнения. Это решение мы могли упустить из виду.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение с разделенными переменными :
 

В преобразованиях мы заменили C2 - C1 на С.

Мы получили решение ДУ в виде неявно заданной функции . На этом можно закончить. Однако в нашем случае функцию y можно выразить явно, проведя потенцирование полученного равенства:
.

Ответ: , .

Задания на практическую работу:

1. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

а) ;        б) ;        в) ;        г) .

2. Найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

а) , при , ;                б)  при , .

      3. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

а) ;                б) ;        в) ;                г) .

Порядок проведения работы (инструктаж):

1. Запишите в тетради тему занятия.
2. Внимательно прочитайте краткие теоретические сведения и выполните соответствующие записи в тетради. Разберите примеры устно.
3. Выполните в тетради задания на практическую работу. Записи в тетради должны содержать номер задания, формулировку задания и подробное решение.

Содержание отчета:

Тема занятия, краткие теоретические сведения, выполненные практические задания.

Контрольные вопросы:

1. Уравнения, какого вида называют уравнениями с разделенными переменными?
2. Что называют общим решением дифференциального уравнения?
3. Как найти общее решение дифференциального уравнения с разделенными переменными?
4. В чем заключается задача Коши?
5. Что называют частным решением дифференциального уравнения при заданных начальных условиях?
6. Как найти частное решение дифференциального уравнения?

Практическая  работа № 7

Тема: Применение  дифференциальных уравнений в прикладных задачах. (2часа)

Цель: - овладеть навыками решения дифференциальных уравнений с разделенными и разделяющимися переменными,  задачи Коши.

В результате выполнения практической работы обучающийся

должен знать: метод решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка;

должен уметь: применять метод решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Форма проведения работы: практикум.

Краткие теоретические сведения

1. Основные понятия дифференциального уравнения

           Дифференциальные уравнения – равенство, содержащее производные или дифференциалы неизвестной функции.

          Общий вид дифференциального уравнения: F(x,y,y’,y ,,…)=0, где x – независимая переменная, y – неизвестная функция,  y, - её производная первого порядка и т.д.

          Решение дифференциального уравнения – функция, подстановка которой в это уравнение обращает его тождество.

           Общее решение – решение дифференциального уравнения, содержащее столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

           Частное решение – это решение, получающееся из общего решения при конкретных определенных значениях произвольных постоянных C 

           Для нахождения частных решений задают начальные условия. 

           Порядок дифференциального уравнения – наивысший порядок производных или дифференциалов, входящих в это уравнение.

           Интегральная кривая -  график y=F(x), построенный на плоскости xOy,являющийся решением дифференциального уравнения.

           Общему решению y=F(x,C) соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от постоянной С.

           Теорема Коши: Если функция f(x,y) непрерывна и имеет непрерывную производную то решение дифференциального уравнения y’=f(x,y) при начальном условии f(x0)=y0 существует и единственно т.е. через точку (x0,у0) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения.

Пример 1. Найти общие интегралы уравнения:

(x + 1)3 dy – (y – 2)2dx = 0.

Решение:   Разделим переменные в данном уравнении, деля его обе части на  (x + 1)3 (y – 2)2.

        dy      – dx     = 0.                      

     (y – 2)2  (x + 1)3

  перенесли второе слагаемое с противоположным знаком, получили уравнение с разделенными переменными. Полученное уравнение проинтегрируем, получим искомое общее решение:  

Пример2 Найти частное решение дифференциального уравнения  или решить задачу Коши                                          dy = (x – 1 )dx  при x0 = 2, y0 = 5.                                                                                            

         y

Решение:

dy = xdx – dx;

y

 ∫dy = ∫xdx - ∫dx;

   у

ln|y| = 0,5x2 – x + lnC.

         Есть правило: если в решении содержится логарифм, то константу интегрирования С также записываем как lnC. Умножим (0,5х2 – х) на  lne, (lne = 1)

ln|y| = ln   + lnC;

                                                                       |y| = C ·  

– это общее решение дифференциального уравнения. Найдём частное решение. Для этого вычислим С при х0 = 2 и у0 =  5.

5 = Се2 - 2=>С = 5.

Частное решение      

у = 5 .

Пример3   Решить уравнение 2ydy +      dx      = 0.

                                                                                              х + 2

Решение: Это уравнение с разделяющимися переменными. Проинтегрируем оба слагаемых:

y2 + ln|x + 2| = C.

Порядок проведения работы (инструктаж):

1. Запишите в тетради тему занятия.
2. Внимательно прочитайте краткие теоретические сведения и выполните соответствующие записи в тетради. Разберите примеры устно.
3. Выполните в тетради задания на практическую работу. Записи в тетради должны содержать номер задания, формулировку задания и подробное решение.

Содержание отчета:

Тема занятия, краткие теоретические сведения, выполненные практические задания.

Задания для практической работы

Задание 1. Решить дифференциальное уравнение с разделенными переменными.

1) (х2+1)dx =dy                       2) 3dy=(9x2+3)dx

 3) sin(5x+1)dx – dy=0           4) xdx+2ydy=0

 5)  3xdx=3y2dy                       6) dx=(4y3-3)dy

Задание 2. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

1. y’y2=x(1+x2)            2. y’=cosx                    3.    y2y’ =4x3+cosx

4. 2xdy-3ydx=0         5. x2dy=y3dx                 6. x -2dy=y -3dx  

7. dy=                    8.           9. ydx=

Задание 3. Найдите частное решение  дифференциального уравнения или решите задачу Коши.

1. y’=x5                          y(1)=2                              2. y’=  6cosx-5sinx    y( )=0      

Контрольные вопросы:

1. Что такое дифференциальное уравнение?
2. Что такое решение дифференциального уравнения?
3. Что такое общее решение дифференциального уравнения?
4. Что такое частное  решение дифференциального уравнения?
5. Сформулируйте теорему Коши.
6. Что такое порядок дифференциального уравнения?
7. Сформулируйте  известные вам виды дифференциальных  уравнений  и способы их решения.

Практическая работа №8

Раздел 2.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения

Контрольная работа № 2

Вариант 1

1. Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений:

1.y=c1e-5x+c2ex, y’’+4y’-5y=0

2.y=c1ex+c2xex, y’’+2y’+y=0

2. Решить задачу Коши: y’=4x3-2x+5, y(1)=8

3. Решить дифференциальные уравнения первого и второго порядка

1. y’=

2. y’= - 6y

3. y’-3y+5=0

Вариант 2

1. Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений:

1) ,        ;

2)  у,  

2. Решить задачу Коши: y’=3x2-2x+6, y(2) = 19

3. Решить дифференциальные уравнения первого  порядка

1. y’=

2.

3. y’-7y - 3=0

Практическая работа № 9

Тема: Вычисление вероятностей случайных событий по определению.

Вычисление вероятностей случайных событий комбинаторными методами в прикладных задачах (2 часа)

Цель работы: учиться вычислять количества комбинаций по правилам и формулам комбинаторики.

В результате выполнения практической работы обучающийся

должен знать: приемы и формулы для подсчета количества комбинаций;

должен уметь: применять приемы и формулы для подсчета количества комбинаций.

Форма проведения работы: практикум.

Краткие теоретические сведения по теме

Комбинаторика – раздел математики, который изучает различные комбинации, составленные из элементов данного конечного множества и удовлетворяющие определенным условиям.

Правило суммы

Если элемент A может быть выбран m способами, а элемент B – n способами, то выбор «A или B» может быть осуществлен  способами.

Правило произведения

Если элемент A может быть выбран m способами, и после каждого такого выбора элемент B может быть выбран n способами, то выбор «A и B» может быть осуществлен  способами.

Пример 1: Пусть в магазине имеется 5 видов игрушечных машин и 3 вида кукол. Сколькими способами можно выбрать подарок: а) состоящий из одной игрушки; б) из одной машины и одной куклы?

Решение:

Машину мы можем выбрать 5 способами, а куклу – 3 способами.

а) Подарок будет состоять из одной машины или куклы. По правилу суммы:  способов.

б) Подарок будет состоять из одной машины и куклы. По правилу произведения:  способов.

Размещениями из  элементов по  называются упорядоченные наборы, содержащие  элементов из данных  .

Пример 2: Сколькими способами в группе из 18 человек можно выбрать актив, состоящий из 2 человек: старосты и профорга.

Решение:

Количество таких способов равно числу упорядоченных наборов содержащих по 2 элемента из данных 18.

.

Перестановками из  элементов называются упорядоченные множества, содержащие  данных элементов.

Пример 3: Сколькими способами можно расставить на полке 7 книг.

Решение:

Каждый такой способ представляет собой перестановку из 7 элементов.

.

Сочетаниями из  элементов по  называются неупорядоченные наборы, содержащие  элементов из данных  .

Пример 4: Сколькими способами в группе из 25 человек можно выбрать 3 делегатов на профсоюзную конференцию.

Решение:

Число таких способов равно числу сочетаний из 25 элементов по 3.

.

Раздел математики, посвященный исследованию количественных оценок случайных событий, называют теорией вероятностей.

Основные понятия теории вероятностей

Случайное событие (событие) — это некоторое множество (набор) элементарных событий (исходов), которые являются результатом случайного опыта (эксперимента).

Элементарное событие (исход) — это событие, которое нельзя разделить на более простые события.

Пример элементарного события: при одном бросании игральной кости выпало четыре очка.

Пример случайного события: при одном бросании игральной кости выпало четное число очков. Данное событие можно разбить на элементарные события: «выпало два очка», «выпало четыре очка», «выпало шесть очков».

Вероятностью случайного события называют число, выражающее шансы наступления этого события (числовая мера его правдоподобия). Это число равно отношению числа опытов, в которых событие А произошло, к общему числу проведенных равновозможных опытов:

Рассмотрим примеры:

Событие G «Лампочка никогда не перегорит» — невозможное событие, его вероятность 0. Событие Q «Летом пойдет снег» — практически невозможное, его вероятность ближе к 0. Событие Z «Завтра я найду на улице миллион рублей» — маловероятное.

Событие М «Бутерброд падает всегда маслом вниз» — случайное событие, его вероятность ?, как и вероятность выпадения герба при бросании монеты (Событие N).

Событие А «Лампочка рано или поздно перегорит» — достоверное событие, с вероятностью 1.

Событие В «Зимой бывает снег» — достоверное, его вероятность близка к 1.

Посмотрим, как будут данные события располагаться на вероятностной шкале:Замечание 1. Если число равновозможных событий равно N, то вероятность каждого из них 1/N.

Замечание 2. Если результат случайного эксперимента — три элементарных события a,b,c, а вероятности этих событий Р(a),Р(b),Р(c), то сумма вероятностей всех элементарных события в каждом опыте равна 1, т.е. Р(a) + Р(b) + Р(c) = 1.

Пусть случайное событие А состоит из элементарных событий. Эти элементарные события называют благоприятствующими случайному событию А. Все прочие элементарные события данного опыта, не благоприятствующие событию A, в совокупности представляют новое событие, не благоприятствующее событию А, которое называется событием противоположным событию А (). События А и  называют взаимно противоположными событиями.

Замечание 3. Взаимно противоположные события одновременно произойти не могут, но какое-либо из них происходит обязательно. Поэтому Р(А) + Р() = 1.

Пример 1.Студент не успел выучить 3 билета из 30. Какова вероятность, что он сдаст экзамен?

Решение. По определению вероятности: p = k / n , где k — число благоприятных событий (исходов), n — общее число событий (исходов).k = 30 - 3 = 27, n = 30. Тогда искомая вероятность р = 27 / 30 = 0,9

Второй способ: 3 / 30 = 0,1 — вероятность, что студент не сдаст экзамен, тогда вероятность, что сдаст 1 – 0,1 = 0,9.

Пример 2.Какова вероятность, стоя с закрытыми глазами перед географической картой мира, выбрать точку на суше, показав на нее указкой, если площадь суши 149,1 млн. км2, а площадь океанов 361,1 млн. км2?

Решение. Надо знать какую часть всей площади Земли занимает суша. 149,1 + 361,1 = 510,2 млн. км2. Отношение этих площадей и даст искомую вероятность: 149,1 : 510,2 = 0,29.

Геометрическое определение вероятности. Р(А) = S(A) / S(G), где G — произвольная область, А — любая подобласть области G.

Операции с вероятностями

1. Сложение вероятностей. Событие А  В наступает, если наступают оба события А и В одновременно.

Пусть А и В — два события одного случайного опыта. Рассмотрим те элементарные события, которые благоприятствуют событию А, и те элементарные события, которые благоприятствуют событию В. Все вместе эти элементарные события благоприятствуют новому событию, которое называется объединением событий А и В.

Событие А  В наступает, если наступает хотя бы одно из событий А или В. Это означает, что наступает либо А, либо В, либо А и В вместе.

Пусть А и В — два события одного случайного опыта. Рассмотрим элементарные события, которые благоприятствуют и событию А и событию В. Все вместе эти элементарные события благоприятствуют новому событию, которое называется пересечением событий А и В.

 Если события А и В не имеют общих благоприятствующих элементарных событий, то они не могут наступить одновременно в ходе одного и того же опыта (еще говорят взаимоисключающие). Такие события называют несовместными, а их пересечение — пустое событие.

А) Если события А и В несовместны, то Р(А  В) = Р(А) + Р (В)

Б) Если А и В — любые события, то Р(А  В) = Р(А) + Р (В) - Р(А  В)

Пример 3.Мишень представляет три области. Для данного стрелка вероятность попасть в первую область 0,15, во вторую — 0,25, в третью — 0,4.

а) Какова вероятность стрелку попасть с первого выстрела в какую-нибудь из трех областей?

б) Какова вероятность промазать с первого выстрела?

Решение.

а) Одновременно попасть в две (три) области при одном выстреле нельзя, т.е. имеем дело с несовместными событиями, поэтому Р = Р1 + Р2 + Р3 = 0,15 + 0, 25 + 0,4 = 0,8.

б) Событие «промазать» противоположно событию «попасть куда-нибудь». Поэтому = 1 – Р = 1 – 0,8 = 0,2.

Пример 4.Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что оба раза выпало разное число очков?

Решение. Событие А состоит в том, что в первый раз выпало больше очков, чем во второй. Событие В состоит в том, что во второй раз выпало больше очков, чем в первый.

Выделим в таблице элементарные события, благоприятствующие А (15 штук ) розовым цветом, а В (15 штук) — голубым. Общее число элементарных событий 36. Р(А) = Р (В) = 15/36 = 5/12Общих элементарных событий у событий А и В нет, т.е. события А и В несовместны, тогдаР(А  В) = Р(А) + Р (В) = 5/12 + 5/12 = 10/12 = 5/6Второй способ: Обозначим  событие «оба раза выпало одинаковое число очков», являющееся противоположным событию А  В. Ему соответствуют 6 не закрашенных ячеек таблицы. Р()= 6/36 = 1/6. Тогда Р(AB) = 1 - Р() = 1 – 1/6 = 5/6.

2. Умножение вероятностей.

 Случайный выбор — это выбор наудачу одного предмета из группы предметов.

Выбор наудачу — это разновидность случайного опыта с равновозможными элементарными событиями. Элементарным событием в таком опыте является извлечение одного предмета из группы. Если в группе N предметов, то каждый из них может быть выбран с вероятностью 1/N. После выбора одного предмета случайный выбор можно продолжить, выбрав второй, третий и т. д. предметы или сразу взять наудачу нужное количество предметов. Собранную таким образом группу называют случайной выборкой.

Независимые события — это события, которые не связаны друг с другом, т.е. по наступлению одного из них нельзя судить о вероятности другого. Например, при бросании двух костей результат бросания первой кости не влияет на результат бросания второй. Если события А и В независимы, то Р(А  В) = Р(А) · Р(В).

Пример 5.Какова вероятность, что при бросании двух игральных костей выпадут две шестерки.

Решение. Пусть событие А — «на первой кости выпала шестерка», событие В — «на второй кости выпала шестерка», заметим, что Р(А) = Р(В) = 1/6. Общее число элементарных событий 36. Выпадение двух шестерок — новое событие, являющееся пересечением независимых событий А и В. Р(А  В) = 1/36. Получаем, что Р(А  В) = 1/6 · 1/6 = 1/36 = Р(А) · Р(В).

Пример 6.Бросают две игральные кости. Какова вероятность, что на первой кости выпало более трех очков, а на второй — менее трех?

Решение. Событие А состоит в том, что «на первой кости выпало более 3 очков», а событие В, что «на второй кости выпало меньше 3 очков».Выделим в таблице элементарные события, благоприятствующие А (18 штук) розовым цветом, а В (12 штук) — голубым, а события, благоприятствующие и А и В (6 штук) — зеленым. Общее число элементарных событий 36.Р(А) = 18/36 = 1/2; Р (В) = 12/36 = 1/3, Р(А  В) = 6/36 = 1/6.Т.к. события А и В независимые, то Р(А  В) = 1/2 · 1/3 = 1/6 = Р(А) · Р(В).

Порядок проведения работы (инструктаж):

1. Запишите в тетради тему занятия.
2. Внимательно прочитайте краткие теоретические сведения и выполните соответствующие записи в тетради. Разберите примеры устно.
3. Выполните в тетради задания на практическую работу. Записи в тетради должны содержать номер задания, формулировку задания и подробное решение.

Содержание отчета:

Тема занятия, краткие теоретические сведения, выполненные практические задания.

Задания на практическую работу:

1. В классе 7 девочек и 8 мальчиков. Сколькими способами можно выбрать 1 человека для работы у доски?
2. В классе 7 человек имеют «5» по математике, 9 человек – «5» по истории, 4 человека имеют «5» и по математике и по истории. Сколько человек имеют пятерку по математике или по истории?
3. На вершину горы ведут 5 дорог. Сколькими способами можно подняться на гору и спуститься с нее?
4. Из 10 коробок конфет, 8 плиток шоколада и 12 пачек печенья выбирают по одному предмету для новогоднего подарка. Сколькими способами это можно сделать?
5. Абонент забыл последние 3 цифры номера телефона. Какое максимальное число номеров ему нужно перебрать, если он вспомнил, что эти последние цифры разные?
6. В команде 6 человек. Сколькими способами они могут построиться для приветствия?
7. В почтовом отделении продают 5 видов интернет-карт. Сколькими способами можно купить в нем 3 различные карты?
8. Сколькими способами можно закодировать дверь?
9. Какова вероятность выпадения трех шестерок подряд при бросании кости?
10. В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.
11. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
12. Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?
13. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными.
14. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
15. В Корзине 8 шаров: 3 белых и 5 черных. Какова вероятность, что вынутые наугад два шара окажутся: а) белые, б) черные,в) одного цвета.
16. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,2; вероятность выхода из строя второго элемента равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать.

Порядок проведения работы (инструктаж):

1. Запишите в тетради тему занятия.
2. Внимательно прочитайте краткие теоретические сведения и выполните соответствующие записи в тетради. Разберите примеры устно.
3. Выполните в тетради задания на практическую работу. Записи в тетради должны содержать номер задания, формулировку задания и подробное решение.

Содержание отчета:

Тема занятия, краткие теоретические сведения, выполненные практические задания.

Контрольные вопросы:

1. Что такое комбинаторика?
2. Сформулируйте правила суммы и произведения для подсчета количества комбинаций
3. Какие еще формулы используют при подсчете количества комбинаций?
4. Что такое случайное событие? элементарное событие? независимые  события?
5. Что такое вероятность случайного события. Запишите формулу вероятности случайного события?
6. Перечислите  операции с вероятностями.

Практическая работа № 10

Тема: Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная статистические совокупности. Выборочный метод. Вычисление числовых характеристик (2 часа)

Цель работы: учиться вычислять вероятности случайных событий комбинаторными методами.

В результате выполнения практической работы обучающийся

должен знать: приемы и формулы для вычисления вероятностей случайных событий комбинаторными методами;

должен уметь: применять приемы и формулы для вычисления вероятностей случайных событий комбинаторными методами.

Форма проведения работы: практикум.

Краткие теоретические сведения по теме

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Некоторое событие называется случайным по отношению к данному опыту, если в результате опыта оно может произойти, а может не произойти.

Некоторое событие называется невозможным, по отношению к данному опыту, если оно никогда не произойдет в результате данного опыта.

Некоторое событие называется достоверным, по отношению к данному опыту, если оно всегда произойдет в результате данного опыта.

Классическое определение вероятности

Пусть в результате некоторого опыта было зафиксировано  элементарных событий; среди них случайному событию  благоприятствуют  элементарных событий.

Вероятностью события  называется число: .
Т.к. , то .
Если событие достоверное, то .
Если событие невозможное, то .

Пример 1: Пусть в урне находится 7 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что вынутый наудачу шар – черный.

Решение:

Событие  - вынули черный шар.

,

,

, .

Пример 2: Из той же урны вынули 2 белых шара. Найти вероятность этого события.

Решение:

Событие  - вынули 2 белых шара.

,

,

, .

Пример 3: На празднике гости (10 человек) рассаживаются за круглым столом по жребию. Какова вероятность того, что в этой ситуации два конкретных человека (Таня и Юра) окажутся сидящими рядом?

Решение:

Событие  – Таня и Юра сидят рядом.

Таня может сесть на любое из 10 мест. При этом Юра может сесть от нее с 2 сторон: .

После этого оставшиеся гости могут различными способами занять 8 мест:

,

, .

Виды выборок

Генеральная совокупность – это совокупность объектов, из которой производится выборка.

Выборочная совокупность (выборка) – это совокупность случайно отобранных объектов.

Объем совокупности – это число объектов этой совокупности. Объем генеральной совокупности обозначается N, выборочной – n.

 Пример:

Если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n = 100.

 При  составлении выборки можно поступить двумя способами: после того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. Т.о. выборки делятся на повторные и бесповторные.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.

 Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Выборка должна быть репрезентативной (представительной).

В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществлять случайно.

 Если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается; в предельном случае, когда рассматривается бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объем, это различие исчезает.

Пример. В американском журнале «Литературное обозрение» с помощью статистических  методов было проведено исследование прогнозов относительно исхода предстоящих выборов президента США в 1936 году. Претендентами на этот пост были Ф.Д. Рузвельт и А. М. Ландон. В качестве источника для генеральной совокупности исследуемых американцев были взяты справочники телефонных абонентов. Из них случайным образом были выбраны 4 миллиона адресов., по которым редакция журнала разослала открытки с просьбой высказать свое отношение к кандидатам на пост президента. Обработав результаты опроса, журнал опубликовал социологический прогноз о том, что на предстоящих выборах с большим перевесом победит Ландон. И … ошибся: победу одержал Рузвельт. 
Этот пример можно рассматривать, как пример нерепрезентативной выборки. Дело в том, что в США в первой половине двадцатого века телефоны имела лишь зажиточная часть населения, которые поддерживали взгляды Ландона.

3.      Способы отбора

На практике применяются различные способы отбора, которые можно разделить на 2 вида:

1. Отбор не требует расчленения генеральной совокупности на части (а) простой случайный бесповторный; б) простой случайный повторный).

2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. (а) типичный отбор; б) механический отбор; в) серийный отбор).

Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекаются по одному из всей генеральной совокупности (случайно).

Типичным называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типичной» части. Например, если деталь изготавливают на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности. Таким отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных «типичных» частях генеральной совокупности.

Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20 % изготовленных станком деталей, то отбирают каждую 5-ую деталь; если требуется отобрать 5 % деталей- каждую 20-ую и т.д. Иногда такой отбор может не обеспечивать репрезентативность выборки (если отбирают каждый 20-ый обтачиваемый валик, причем сразу же после отбора производится замена резца, то отобранными окажутся все валики, обточенные затупленными резцами).

Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергают сплошному обследованию. Например, если изделия изготавливаются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков.

На практике часто применяют комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы.

4.      Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение x1–наблюдалось  раз, x2-n2  раз,…  xk - nk раз. n = n1+n2+...+nk– объем выборки. Наблюдаемые значения  называются вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке- вариационным рядом. Числа наблюдений    называются частотами (абсолютными частотами), а их отношения к объему выборки   - относительными частотами или статистическими вероятностями.

Если количество вариант велико или выборка производится из непрерывной генеральной совокупности, то вариационный ряд составляется не по отдельным точечным значениям, а по интервалам значений генеральной совокупности. Такой вариационный ряд называется интервальным. Длины интервалов при этом должны быть равны.

Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (суммы частот, попавших в этот интервал значений)

 Точечный вариационный ряд частот может быть представлен таблицей:

Аналогично можно представить точечный вариационный ряд относительных частот.

Пример:

Число букв в некотором тексте Х оказалось равным 1000. Первой встретилась  буква «я», второй- буква «и», третьей- буква «а», четвертой- «ю». Затем шли буквы  «о», «е», «у», «э», «ы».

Выпишем места, которые они занимают в алфавите, соответственно имеем: 33, 10, 1, 32, 16, 6, 21, 31, 29.

После упорядочения этих чисел по возрастанию получаем вариационный ряд: 1, 6, 10, 16, 21, 29, 31, 32, 33.

Частоты появления букв в тексте: «а» - 75, «е» -87, «и»- 75, «о»- 110, «у»- 25, «ы»- 8, «э»- 3, «ю»- 7, «я»- 22.

Составим точечный вариационный ряд частот:

Пример:

Задано распределение частот выборки объема n = 20.

Составьте точечный вариационный ряд относительных частот.

Решение:

Найдем относительные частоты:

 Порядок проведения работы (инструктаж):

1. Запишите в тетради тему занятия.
2. Внимательно прочитайте краткие теоретические сведения и выполните соответствующие записи в тетради. Разберите примеры устно.
3. Выполните в тетради задания на практическую работу. Записи в тетради должны содержать номер задания, формулировку задания и подробное решение.

Содержание отчета:

Тема занятия, краткие теоретические сведения, выполненные практические задания.

 Задания на практическую работу:

1. В мешке лежат 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Охарактеризуйте следующие события:

а) из мешка вынули 4 шара, и все они синие;

б) из мешка вынули 10 шаров, из которых 3 синих, 3 белых и 4 красных;

в) из мешка вынули 3 шара, и все они оказались разного цвета;

г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета.

2. Ученику предложили написать на доске любое двузначное число. Найдите вероятность того, что это число:

а) оканчивается нулем;

б) состоит из одинаковых цифр;

в) больше 27 и меньше 46;

г) не является квадратом целого числа.

3. В темном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы вытаскиваете 3 билета. Найдите вероятность того, что:

а) все билеты выигрышные;

б) есть ровно 1 проигрышный билет;

в) есть ровно 1 выигрышный билет;

г) есть хотя бы 1 выигрышный билет.

4. Из колоды в 36 карт одновременно вытаскивают 2 карты. Найдите вероятность того, что:

а) обе они черной масти;

б) обе они пики;

в) обе они трефы;

г) одна из них пиковой масти, а другая трефовой масти.

5. В урне 10 белых и 25 черных шаров. Из урны вынимают сразу два шара. Найдите вероятность того, что оба шара будут белыми.
6. К концу дня в палатке осталось 70 арбузов, из которых 55 спелых. Покупатель выбирает два арбуза. Какова вероятность того, что оба выбранные арбуза спелые?

Порядок проведения работы (инструктаж):

1. Запишите в тетради тему занятия.
2. Внимательно прочитайте краткие теоретические сведения и выполните соответствующие записи в тетради. Разберите примеры устно.
3. Выполните в тетради задания на практическую работу. Записи в тетради должны содержать номер задания, формулировку задания и подробное решение.

Содержание отчета:

Тема занятия, краткие теоретические сведения, выполненные практические задания.

Контрольные вопросы:

1. Что такое теория вероятностей?
2. Какое событие н6азывают случайным, достоверным, невозможным?
3. Сформулируйте классическое определение вероятности.

Практическая работа № 11

Дифференцированный зачет (2 часа)

Перечень вопросов

Теоретические вопросы:

1. Раскройте суть  предела функции в точке, приведите примеры.
2. Дайте определение непрерывности функции в точке, приведите примеры
3. Дайте определение непрерывности функции на интервале, приведите примеры.
4. Перечислите  неопределенности, которые встречаются при вычислении пределов.
5. Дайте определение производной функции.
6. Раскройте физический смысл производной.
7. Раскройте геометрический смысл производной.
8. Сформулируйте признаки возрастания и убывания функции.
9. Дайте определение критическим точкам функции. Сформулируйте необходимое условие экстремума.
10. Сформулируйте признаки максимума и минимума функции, дайте им геометрическую интерпретацию.
11. Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.
12. Дайте определение дифференциала функции. Раскройте его применение.
13. Дайте  определение первообразной функции, приведите примеры.
14. Сформулируйте  основное свойство первообразной, ее геометрический смысл.
15. Раскройте суть определенного интеграла.
16. Сформулируйте определение криволинейной трапеции. Запишите  формулу вычисления площади криволинейной трапеции.
17. Сформулируйте формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла. Перечислите возможности ее использования.
18. Запишите формулу вычисления объема с помощью определенного интеграла.
19. Сформулируйте основные правила комбинаторики (сумма и произведение).
20. Дайте определение размещению. Запишите формулу, приведите пример её использования.
21. Дайте определение сочетанию. Запишите формулу, приведите пример её использования.
22. Дайте определение перестановкам. Запишите формулу, приведите пример её использования.
23. Дайте определение случайному событию, приведите примеры.
24. Раскройте классическое определение вероятности.
25. Раскройте понятия «выборочная» и «генеральная совокупность». Объем выборки.
26. Приведите способы первичной обработки статистических данных.

Практические задания:

1. Вычислить значения пределов.
2. Вычислить  производную функции.
3. Исследовать функцию.
4. Вычислить неопределенные интегралы.
5. Вычислить значение определенного интеграла.
6. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями.
7. Вычислить объем  фигуры с помощью определенного интеграла.
8. Решить  задачу из раздела комбинаторики.
9.  Решить задачу на вычисление вероятностей случайных событий.

Список рекомендованной литературы:

1. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования / И.Д. Пехлецкий. – 7-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. –

304 с.

2. Никольский С.М. Элементы математического анализа: Учеб. пособие для студ. ссузов. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Дрофа, 2002. – 272 с.: ил.
3. Кожухов И.Б., Прокофьев А.А. Универсальный справочник по математике. М.: Лист Нью, Вече, 2002. – 544 с.
4. Мордкович А.Г., Смирнова И.М. Математика. 11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2005. – 379 с.: ил.