Нестандартные приемы быстрых вычислений без калькулятора
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (11 класс)

«Нестандартные приемы быстрых вычислений  без калькулятора»

(Некоторые практические приемы при вычислениях на ЕГЭ и ОГЭ из элективного курса «Арифметика рациональных чисел»)

Задания на ГИА полны сюрпризов, в частности задачи с параметром, «экономические» задачи, задания первой части ЕГЭ, геометрические задачи и требуют хорошо отработанные вычислительные навыки. Тем проще они будут, тем лучше!

 Сразу хочу заметить, что для изучения, отработки метода быстрого счета не требует математического склада ума. Каждый может овладеть им. И такой подход помогает ребятам полноценно и качественно подготовиться к экзаменам по математике, особенно если  он проводится в форматке ЕГЭ и ОГЭ.  

Рассмотрим некоторые темы занятий  курса «Арифметика рациональных чисел».

Тема1.  Умножение чисел от 1 до 10: основной алгоритм

Начнем с того, что научимся умножать всевозможные числа от 1 до 10. Алгоритм умножения рассмотрим на примере:  9 × 6.

 Запишем 9 × 6 =               54

                 -     -                              

Рис.1             *        =4

                     =5

Число 10 назовем опорным числом. Рассмотрим первый из множителей,

1 шаг: от 9  до 10  1- вписываем его в первый овал;

2 шаг: от 6 до 10   4- вписываем его во второй овал;

Комментарий: Производим вычитание накрест, в точности

3 шаг: 9-4=5 или 6-1=5 (в дальнейшем вычитание можно производить однажды) – полученная разность 5 является первым числом ответа.

Комментарий: Теперь перемножим числа в овалах.

4 шаг:1*4=4 – полученное число является вторым числом  ответа.

Формулируем ответ: 50+4=54

На рисунке 1 изображена схема исполнения данного алгоритма.

Самостоятельная работа:

Советую решить каждый из примеров, даже если вы и так помните таблицу умножения. Ведь речь идет о базовом методе, которым вы будете пользоваться в дальнейшем при перемножении чисел. Особенно обратите внимание на последний пример. Пробуем решить примеры устно.

Тема 2. Умножение чисел, близких к 100

Очевидно, что произведение  пары двухзначных чисел от 32 до 99 будет четырехзначное число

Найдем произведение 96*97=

За опорное число принимаем  

1 шаг: от 96  до 100  4- вписываем его в первый овал;

2 шаг: от 97 до 100   3- вписываем его во второй овал;

3 шаг: 96-3=93  – полученная разность 93 является первой парой ответа. Вписываем цифры числа 93 в первые две клетки.

4 шаг:3*4=12 – полученное число 12 второй парой. Вписываем цифры числа 12 в третью и четвертую клетки.

Формулируем ответ: 9312 (схема решения на рис. 2)

96. ×  97 =          

                  =   12                            Рис. 2

            =93

После проведения ряда уроков тренировок становится эффективность данного алгоритма. Самое главное в данном алгоритме – простота и точность.

Самостоятельная работа:

a) 93 × 92 =        в) 95 × 95 =        д) 99 × 94 =          ж) 98 × 93 =

б) 96 × 94 =        г) 97 × 93 =        е) 95 × 94 =          з) 94 × 93 =

Тема 3. Умножение чисел от 10 до 20: основной алгоритм

Рассмотрим, как работает метод для умножения чисел от 10 до 20.  В качестве примера возьмем 15 × 17, пусть 10 –  опорного  число.

И 15, и 17 больше опорного числа 10, поэтому рисуем овалы над множителями. Произведение будет трехзначным числом.    

    =20      20*10=200

       *           =      35

15  *  17     = 200+35= 235  Рис.3 Этот пример решили с помощью схемы.

Следует запомнить: Если число, которое перемножаем, больше (выше) опорного, мы помещаем овал над числом. Если число меньше (ниже) опорного, мы рисуем овал под числом.

Сформулируем правило: если числа в овалах выше множителей, мы складываем накрест, если же они ниже, тогда вычитаем накрест.

Самостоятельная работа:

a) 12 × 13 =                б) 17 × 15 =               в)  12 × 12 =              г) 13 × 13 =

д) 13 × 14 =                е) 11 × 11 =               ж) 14 × 14 =              з) 15 × 15 =      

Обратите внимание на примеры г),  е), ж), з).  Что особенного можете выделить. Об этом поговорим на очередном занятии.                  

Тема 4. Умножение чисел меньших и больших 10                        

Рассмотрим произведение 9*18=

                 =17      17*10=170            9*(-2)=-18

8  *  19=170-18=152

Тема 5. Умножение множителями

Легко умножать на 20,30 и т.д., поскольку 20 равно 2 × 10, на которые умножать очень легко. Речь идет об умножении по множителям, а 10 и 2 являются множителями числа 20: 10 × 2 = 20

Рассмотрим пример  27 × 25 =       за опорное число принимаем 20

27 и 25 больше, чем опорное число 20, поэтому рисуем овалы над множителями. Воспроизведем то, какие операции совершаем в голове: складываем накрест, как раньше: 27 + 5 = 32. Теперь умножим полученный ответ на опорное число 20. Для этого умножим сначала на 2, а потом на 10:

32 × 2 = 64      64 × 10 = 640. Теперь перемножаем числа в овалах и прибавляем к промежуточному результату 540, получим:

7 × 5 = 35       640 + 35 = 675.   Ответ:675

       (+7)*(+5)=12

        25  ×  27  =                     27+5=32      32*10= 320                                 

               320 *2  =   640             640+35=675    ответ:675

Для быстрых и точных вычислений при решении заданий ЕГЭ (а это задания с нахождением дискриминанта квадратного уравнения,  применение теоремы Пифагора, и другие вычисления) нужно знать приемы быстрого извлечения квадратного корня.

Тема 17. Извлечения квадратного корня

Пример: =2

Выделим в числе 576 пары справа: первая пара 05, вторая – 76. Число 5- целый квадрат равный или близкий к 5 это 22 . Запомним, число 2.  Удвоенное число2 ( т.е. число 4)перенесем в левую часть вертикальной линии. Из 5 вычтем 4, получим 1. Перенесем к 1 пару 76, получим число 176 (действия как при делении «столбиком»).

576    24

          4

   44    176             Как получить число 4?  17:4=4

     4    176

      0

Быстрое извлечение на ЕГЭ особенно нужен, если надо извлечь из 4-значного и более чисел.

Например,  =458

                      16

              85      497                                                

                5      425

                 908     7264                                          

                     8     7264

                               0

Данный алгоритм вычисления квадратного корня является универсальным. Есть еще более «простые» приемы быстрого вычисления, быстрой проверки полученного результата. Формат доклада не позволяет более подробно рассмотреть все секреты быстрого вычисления.

Таким образом, возможность распознавать ошибки параллельно выполнению вычислений дарит лишнюю мотивацию тому, кто выполняет вычисления   и позволяет существенно экономить время.

  Прямое умножение

Я применяю данный прием в тех случаях, когда вычисления производятся с большими числами с  проверкой полученного результата.

193*342=         Заметим, что должно быть шесть разрядов

1.1*3=3                                           030000

2.1*4+9*3=                                       31000

3.1*2+9*4+3*3=42                             4700

3. 9*2+3*4=30                                       300

4.3*2=06                                                  06

                                                           66006

Проверка:

1+9+3=4         

3+4+2=9    

4*9=36                  3+6=  9– код для проверки

6+6+0+0+6=18            1+8=9

Получили, 9=9 . Результат верный. Ответ:66006

Самостоятельная работа: Сначала попробуйте решить их на бумаге, а затем сразу назвать ответ, выполнив расчеты в уме.

a) 127 × 445          б) 203 × 439=        в) 523 × 318 =        д) 727 × 313 =

Ответы: a) 56515        б) 89117      в) 166314     д) 227551

 Тема.Умножение на число 5

Требуется найти, например 652=  

Алгоритм: 1 шаг. За цифрой 6 в идет число 7, тогда находим 6*7=42-это первые цифры ответа, второй парой всегда будет 25. Получили ответ:4225

Заключение.

 Применение методов быстрого счета, нестандартная проверка результатов вычислений способствует обучающемуся действовать быстро и безошибочно. Конечно, отработка приемов требует соблюдения закона ППП (трех П- постепенно, последовательно, постоянно). Каждая новая тема начинается с повторения пройденного.  И  удивляйте быстротой вычислений окружающих.

Используемая литература:

1. Хэндли, Б. Быстрая математика: секреты устного счета / Б. Хэндли ; пер. с англ. Е. А. Самсонов. — Минск : Попурри, 2014. — 304 с.