Олимпиадные задания по математике для 11 класса школьный тур
олимпиадные задания по математике (11 класс)

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике

2019-2020 уч. год

11 класс

Ответы

Задача 1. Большой деревянный куб, все грани которого окрашены, распилили на 1000 маленьких равных кубиков. Определите, сколько потребуется краски, чтобы покрасить все неокрашенные грани маленьких кубиков, если на окраску одной грани  большого куба было потрачено 100 граммов краски. Ответ дайте в килограммах.

Решение. Чтобы получить 1000 одинаковых кубиков, нужно исходный куб распилить в каждом из трёх взаимно перпендикулярных направлений на десять равных пластов. Тогда получаем 8 кубиков (угловых) с тремя окрашенными гранями,   кубиков (вдоль рёбер) с двумя окрашенными гранями,  кубика (по граням) с одной окрашенной гранью и  кубиков (внутри куба) без окрашенных граней. В сумме получаем  неокрашенных граней. Одна грань большого куба включает 100 граней маленьких кубиков и на неё тратится 100 г краски, поэтому на все неокрашенные грани будет истрачено 5400 г краски. Ответ: кг.

Задача 2. Найти четырехзначное число, у которого две первые цифры, так же как и две последние, одинаковы, а само оно совпадает с квадратом целого числа.

Решение: Пусть х — число, которое требуется найти. Тогда , где  Число х делится на 11, поскольку .

По условиям задачи х – квадрат целого числа. Следовательно, если число х делится на 11, то оно делится и на 121, поэтому число  делится на 11. Но тогда  делится на 11, а поскольку , то . Таким образом, , откуда следует, что существует натуральное число m такое, что . Учитывая, что  получаем , тогда .

Ответ:

Задача 3. Дан параллелограмм ABCD, в котором . Известно также, что центры окружностей, описанных около треугольников  и  расположены на . Чему равен ?

Решение: Может быть 2 возможных случая:

1. Центры окружностей совпадают. В этом случае получаем, что вокруг параллелограмма можно описать окружность, откуда получаем, что параллелограмм является прямоугольником и значит
2. Центры окружностей различны (). Так как центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров и сторона АС данных треугольников – общая, то , откуда ABCD – ромб и .

Ответ:

Задача 4. Решите неравенство

Решение. Преобразуем неравенство:

Решим неравенство 

Исключая из полученного набора точки 1 и 4, получаем множество решений исходного неравенства: 

Ответ: 

Задача 5. В школьной олимпиаде по математике участвовало 100 человек, по физике — 50 человек, по информатике — 48 человек. Когда каждого из учеников спросили, в скольких олимпиадах он участвовал, ответ «по крайней мере в двух» дали в два раза меньше человек, чем ответ «не менее, чем в одной», а ответ «в трех» — втрое меньше человек, чем ответ «не менее, чем в одной». Сколько всего учеников приняло участие в этих олимпиадах?

Решение. Пусть  учеников ответили «не менее, чем в одной», значит, они могли участвовать в одной, или в двух, или в трех олимпиадах. Заметим, что это количество и требуется найти в задаче. Пусть  учеников ответили «по крайней мере в двух», значит, они могли участвовать в двух или в трех олимпиадах.

Пусть  учеников ответили «в трех», значит, они участники всех трех олимпиад. По условию  и 

Заметим, что если сложить всех участников математической олимпиады, всех участников физической олимпиады и всех участников олимпиады по информатике, то мы посчитаем участников всех трех олимпиад по три раза, участников ровно двух олимпиад по два раза, а участников ровно одной олимпиады — один раз. Точно то же самое мы получим, сложив числа  Получается уравнение:  Отсюда  Решая, получаем, что

Ответ: 108.