Рабочая программа по математике
рабочая программа по математике (5, 6, 7, 8, 9 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное  учреждение

средняя общеобразовательная школа № 7 г. Охи

имени Героя Советского Союза  Дмитрия Михайловича Карбышева

                                      РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ  ПРОГРАММА

                                                              МАТЕМАТИКА

5-9 классы

                                                      Сроки реализации: 5 лет

                                                                   г. Оха  

                                                    2019 -2020 учебный год

СТРУКТУРА РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ

    Титульный лист.

    Структура рабочей программы                                                                                                - 2 стр.

• Планируемые предметные результаты освоения учебного предмета «Математика»  - 3 стр.
• Содержание учебного предмета «Математика»                                                               - 9 стр.
• Тематическое планирование                                                                                            - 14стр.

• Планируемые предметные результаты освоения учебного предмета «Математика»

Личностные:

у обучающихся будут сформированы:

1) ответственное отношение к учению;

2) готовность и способность обучающихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию;

3) умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры;

4) начальные навыки адаптации в динамично изменяющемся мире;

5) экологическая культура: ценностное отношение к природному миру, готовность следовать нормам природоохранного, здоровьесберегающего поведения;

6) формирование способности к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений;

7) умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

у обучающихся могут быть сформированы:

1) первоначальные представления о математической науке как сфере человеческой деятельности, об этапах её развития, о её значимости для развития цивилизации;

2) коммуникативная компетентность в общении и сотрудничестве со сверстниками в образовательной, учебно-исследовательской, творческой и других видах деятельности;

3) критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания, отли-чать гипотезу от факта;

4) креативность мышления, инициативы, находчивости, активности при решении арифметических задач.

Метапредметные:

Регулятивные:

выпускник научится:

1) формулировать и удерживать учебную задачу;

2) выбирать действия в соответствии с поставленной задачей и условиями её реализации;

3) планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач;

4) предвидеть уровень усвоения знаний, его временных характеристик;

5) составлять план и последовательность действий;

6) осуществлять контроль по образцу и вносить необходимые коррективы;

7) адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, её объективную трудность и собственные возможности её решения;

8) сличать способ действия и его результат с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;

выпускник получит возможность научиться:

1) определять последовательность промежуточных целей и соответствующих им действий с учётом конечного результата;

2) предвидеть возможности получения конкретного результата при решении задач;

3) осуществлять констатирующий и прогнозирующий контроль по результату и по способу действия;

4) выделять и формулировать то, что усвоено и что нужно усвоить, определять качество и уровень усвоения;

5) концентрировать волю для преодоления интеллектуальных затруднений и физических препятствий.

Познавательные:

выпускник научится:

1) самостоятельно выделять и формулировать познавательную цель;

2) использовать общие приёмы решения задач;

3) применять правила и пользоваться инструкциями и освоенными закономерностями;

4) осуществлять смысловое чтение;

5) создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства, модели и схемы для решения задач;

6) самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем;

7) понимать сущность алгоритмических предписаний и уметь действовать в соответствии с предложенным алгоритмом;

8) понимать и использовать математические средства наглядности (рисунки, чертежи, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;

9) находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, и представлять её в понятной форме; принимать решение в условиях неполной и избыточной, точной и вероятностной информации;

выпускник получит возможность научиться:

1) устанавливать причинно-следственные связи; строить логические рассуждения, умозаключения (индуктивные, дедуктивные и по аналогии) и выводы;

2) формировать учебную и обще пользовательскую компетентности в области использования информационно-коммуникационных технологий (ИКТ-компетентности);

3) видеть математическую задачу в других дисциплинах, в окружающей жизни;

4) выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки;

5) планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера;

6) выбирать наиболее рациональные и эффективные способы решения задач;

7) интерпретировать информации (структурировать, переводить сплошной текст в таблицу, презентовать полученную информацию, в том числе с помощью ИКТ);

8) оценивать информацию (критическая оценка, оценка достоверности);

9) устанавливать причинно-следственные связи, выстраивать рассуждения, обобщения;

Коммуникативные:

выпускник научится:

1) организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками: определять цели, распределять функции и роли участников;

2) взаимодействовать и находить общие способы работы; работать в группе: находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учёта интересов; слушать партнёра; формулировать, аргументировать и отстаивать своё мнение;

3) прогнозировать возникновение конфликтов при наличии разных точек зрения;

4) разрешать конфликты на основе учёта интересов и позиций всех участников;

5) координировать и принимать различные позиции во взаимодействии;

6) аргументировать свою позицию и координировать её с позициями партнёров в сотрудничестве при выработке общего решения в совместной деятельности.

Выпускник получит возможность научиться:
• учитывать и координировать отличные от собственной позиции и других людей в сотрудничестве;
• учитывать разные мнения и интересы и обосновывать собственную позицию;
• брать на себя инициативу в организации совместного действия (деловое лидерство);
• оказывать поддержку и содействие тем, от кого зависит достижениецели в совместной деятельности;
• осуществлять коммуникативную рефлексию как осознание основанийсобственных действий и действий партнёра;
• устраивать эффективные групповые обсуждения и обеспечиватьобмен знаниями между членами группы для принятия эффективныхсовместных решений;
• в совместной деятельности чётко формулировать цели группы ипозволять её участникам проявлять собственную энергию для достиженияэтих целей.

Предметные:

Математика. Алгебра. Геометрия.

Натуральные числа. Дроби. Рациональные числа.
Выпускник научится:
• понимать особенности десятичной системы счисления;
• оперировать понятиями, связанными с делимостью натуральных чисел;
• выражать числа в эквивалентных формах, выбирая наиболееподходящую в зависимости от конкретной ситуации;
• сравнивать и упорядочивать рациональные числа;
• выполнять вычисления с рациональными числами, сочетая устные иписьменные приёмы вычислений, применение калькулятора;
• использовать понятия и умения, связанные с пропорциональностьювеличин, процентами, в ходе решения математических задач и задач изсмежных предметов, выполнять несложные практические расчёты.

Выпускник получит возможность:
• познакомиться с позиционными системами счисления с основаниями,отличными от 10;
• углубить и развить представления о натуральных числах и свойствахделимости;
• научиться использовать приёмы, рационализирующие вычисления,приобрести привычку контролировать вычисления, выбирая подходящий дляситуации способ.
Действительные числа.
Выпускник научится:
• использовать начальные представления о множестве действительныхчисел;
• оперировать понятием квадратного корня, применять его ввычислениях.

Выпускник получит возможность:
• развить представление о числе и числовых системах от натуральныхдо действительных чисел; о роли вычислений в практике;
• развить и углубить знания о десятичной записи действительных чисел(периодические и непериодические дроби).

Измерения, приближения, оценки.
Выпускник научится:
• использовать в ходе решения задач элементарные представления,связанные с приближёнными значениями величин.
Выпускник получит возможность:

• понять, что числовые данные, которые используются дляхарактеристики объектов окру-жающего мира, являются преимущественноприближёнными, что по записи приближённых значений, содержащихся винформационных источниках, можно судить о погрешности приближения;
• понять, что погрешность результата вычислений должна бытьсоизмерима с погрешностью исходных данных.

Алгебраические выражения.
Выпускник научится:
• оперировать понятиями «тождество», «тождественное преобразование», решать задачи, содер-жащие буквенные данные; работать с формулами;
• выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целыми показателями и квадра-тные корни;
• выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил дейст-вий над многочленами и алгебраическими дробями;
• выполнять разложение многочленов на множители.

Выпускник получит возможность научиться:
• выполнять многошаговые преобразования рациональных выражений,применяя широкий на-бор способов и приёмов;
• применять тождественные преобразования для решения задач изразличных разделов курса (например, для нахождения наибольшего/наименьшего значения выражения).
Уравнения.
Выпускник научится:
• решать основные виды рациональных уравнений с одной переменной,системы двух уравнений с двумя переменными;
• понимать уравнение как важнейшую математическую модель дляописания и изучения разно-образных реальных ситуаций, решать текстовыезадачи алгебраическим методом;
• применять графические представления для исследования уравнений,исследования и решения систем уравнений с двумя переменными.
Выпускник получит возможность:
• овладеть специальными приёмами решения уравнений и системуравнений; уверенно применять аппарат уравнений для решенияразнообразных задач из математики, смежных предметов, практики;
• применять графические представления для исследования уравнений, систем уравнений, содер-жащих буквенные коэффициенты.
Неравенства.
Выпускник научится:
• понимать и применять терминологию и символику, связанные сотношением неравенства, свойства числовых неравенств;
• решать линейные неравенства с одной переменной и их системы;решать квадратные неравенства с опорой на графические представления;
• применять аппарат неравенств для решения задач из различныхразделов курса.
Выпускник получит возможность научиться:
• разнообразным приёмам доказательства неравенств; уверенноприменять аппарат неравенств для решения разнообразныхматематических задач и задач из смежных предметов, практики;
• применять графические представления для исследования неравенств,систем неравенств, содержащих буквенные коэффициенты.
Основные понятия. Числовые функции.
Выпускник научится:
• понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины,символические обозначения);
• строить графики элементарных функций; исследовать свойствачисловых функций на основе изучения поведения их графиков;
• понимать функцию как важнейшую математическую модель для описания процессов и явле-ний окружающего мира, применять функциональный язык для описания и исследования зависимостей междуфизическими величинами.
Выпускник получит возможность научиться:
• проводить исследования, связанные с изучением свойств функций, втом числе с использованием компьютера; на основе графиков изученныхфункций строить более сложные графики (кусочно-заданные, с«выколотыми» точками и т. п.);
• использовать функциональные представления и свойства функций длярешения математических задач из различных разделов курса.
Числовые последовательности.
Выпускник научится:
• понимать и использовать язык последовательностей (термины,символические обозначения);
• применять формулы, связанные с арифметической и геометрическойпрогрессией, и аппарат, сформированный при изучении других разделовкурса, к решению задач, в том числе с контек-стом из реальной жизни.
Выпускник получит возможность научиться:
• решать комбинированные задачи с применением формул n-го члена и суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессии,применяя при этом аппарат уравнений и нера-венств;
• понимать арифметическую и геометрическую прогрессию как функции натурального аргу-мента; связывать арифметическую прогрессию слинейным ростом, геометрическую — с экспоненциальным ростом.
Описательная статистика.
Выпускник научится:

-использовать простейшие способы представления ианализа статистических данных.
Выпускник получит возможность:

• приобрестипервоначальный опыторганизации сбора данных при проведении опроса общест-венного мнения, осуществлять их анализ, представлять результаты опроса в виде таблицы,диаграммы.
  Случайные события и вероятность.
  Выпускник научится:
•  находить относительную частоту и вероятностьслучайного события.
  Выпускник получит:
• возможность приобрести опыт проведенияслучайных экспериментов, в том числе с помощью компьютерногомоделирования, интерпретации их результатов.
  Комбинаторика.
  Выпускник научится:
•  решать комбинаторные задачи на нахождение числаобъектов или комбинаций.
  Выпускник получит:
•  возможность научиться некоторым специальнымприёмам решения комбинаторных задач.
  Наглядная геометрия.
  Выпускник научится:
  • распознавать на чертежах, рисунках, моделях и в окружающем мире плоские и пространствен-ные геометрические фигуры;
  • распознавать развёртки куба, прямоугольного параллелепипеда, правильной пирамиды, цили-ндра и конуса;
  • строить развёртки куба и прямоугольного параллелепипеда;
  • определять по линейным размерам развёртки фигуры линейныеразмеры самой фигуры и наоборот;
  • вычислять объём прямоугольного параллелепипеда.
  Выпускник получит возможность:
  • научиться вычислять объёмы пространственных геометрическихфигур, составленных из прямоугольных параллелепипедов;
  • углубить и развить представления о пространственныхгеометрических фигурах;
  • научиться применять понятие развёртки для выполнения практическихрасчётов.
  Геометрические фигуры.
  Выпускник научится:
  • пользоваться языком геометрии для описания предметов окружающегомира и их взаимного расположения;
  • распознавать и изображать на чертежах и рисунках геометрические фигуры и их конфигурации;
  • находить значения длин линейных элементов фигур и их отношения,градусную меру углов от 0° до 180°, применяя определения, свойства ипризнаки фигур и их элементов, отношения фигур(равенство, подобие,симметрии, поворот, параллельный перенос);
  • оперировать с начальными понятиями тригонометрии и выполнятьэлементарные операции над функциями углов;
  • решать задачи на доказательство, опираясь на изученные свойствафигур и отношений между ними и применяя изученные методыдоказательств;
  • решать несложные задачи на построение, применяя основныеалгоритмы построения с помощью циркуля и линейки;
  • решать простейшие планиметрические задачи в пространстве.
  Выпускник получит возможность:
  • овладеть методами решения задач на вычисления и доказательства:методом от противного, методом подобия, методом перебора вариантов иметодом геометрических мест точек;
  • приобрести опыт применения алгебраического и тригонометрического аппарата и идей дви-жения при решении геометрических задач;
  • овладеть традиционной схемой решения задач на построение спомощью циркуля и линейки: анализ, построение, доказательство иисследование;
  • научиться решать задачи на построение методом геометрическогоместа точек и методом подобия;
  • приобрести опыт исследования свойств планиметрических фигур спомощью компьютерных программ;
  • приобрести опыт выполнения проектов по темам «Геометрические преобразования на плоско-сти», «Построение отрезков по формуле».
  Измерение геометрических величин.
  Выпускник научится:
  • использовать свойства измерения длин, площадей и углов при решениизадач на нахождение длины отрезка, длины окружности, длины дугиокружности, градусной меры угла;
  • вычислять площади треугольников, прямоугольников, параллелограмммов, трапеций, кругов и секторов;
  • вычислять длину окружности, длину дуги окружности;
  • вычислять длины линейных элементов фигур и их углы, используяформулы длины окружности и длины дуги окружности, формулы площадейфигур;
  • решать задачи на доказательство с использованием формул длиныокружности и длины дуги окружности, формул площадей фигур;
  • решать практические задачи, связанные с нахождением геометрическихвеличин (используя при необходимости справочники и техническиесредства).
  Выпускник получит возможность научиться:
  • вычислять площади фигур, составленных из двух или болеепрямоугольников, параллелограммов, треугольников, круга и сектора;
  • вычислять площади многоугольников, используя отношения равновеликости и равносоставленности;
  • применять алгебраический и тригонометрический аппарат и идеидвижения при решении задач на вычисление площадей многоугольников.
  Координаты.
  Выпускник научится:
  • вычислять длину отрезка по координатам его концов; вычислятькоординаты середины отрезка;
  • использовать координатный метод для изучения свойств прямых иокружностей.
  Выпускник получит возможность:
  • овладеть координатным методом решения задач на вычисления идоказательства;
  • приобрести опыт использования компьютерных программ для анализа частных случаев вза-имного расположения окружностей и прямых;
  • приобрести опыт выполнения проектов на тему «Применениекоординатного метода при решении задач на вычисления идоказательства».
  Векторы
  Выпускник научится:
  • оперировать с векторами: находить сумму и разность двух векторов,заданных геометрически, находить вектор, равный произведению заданноговектора на число;
  • находить для векторов, заданных координатами: длину вектора,координаты суммы и разности двух и более векторов, координатыпроизведения вектора на число, применяя при необходимостисочетательный, переместительный и распределительный законы;
  • вычислять скалярное произведение векторов, находить угол междувекторами, устанавливать перпендикулярность прямых.
  Выпускник получит возможность:
  • овладеть векторным методом для решения задач на вычисления идоказательства;
  • приобрести опыт выполнения проектов на тему «применениевекторного метода при решении задач на вычисления и доказательства».

II. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА «МАТЕМАТИКА»

     Содержание курсов математики 5—6 классов, алгебры и геометрии 7—9 классов объединено как в исторически сложившиеся линии (числовая, алгебраическая, геометрическая, функциональная и др.), так и в относительно новые (стохастическая линия, «реальная математика»). Отдельно представлены линия сюжетных задач, историческая линия.

СОДЕРЖАНИЕ КУРСОВ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ:

(Содержание, выделенное курсивом, изучается на углублённом уровне)

Элементы теории множеств и математической логики.
Согласно ФГОС ООО в курс математики введён раздел «Логика», который не предполагает дополнительных часов на изучение, встраивается в различные темы курсов математики и информатики и предваряется ознакомлением с элементами теории множеств.
Множества и отношения между ними.

Множество, характеристическое свойство множества, элемент множества, пустое, конечное, беско-нечное множества. Подмножество. Отношение принадлежности, включения, равенства. Элементы множества, способы задания множеств, распознавание подмножеств и элементов подмножеств с
использованием кругов Эйлера.
Операции над множествами.

Пересечение и объединение множеств. Разность множеств, дополнение множества. Интерпретация операций над множествами с помощью кругов Эйлера.
Элементы логики.

Определение. Утверждение. Аксиома и теорема. Доказательство. Доказательство от противного. Теорема, обратная данной. Пример и контрпример. Высказывание. Истинность и ложность высказывания. Сложное и простое высказывания. Операции над высказываниями с использованием логических связок: и, или, не. Условное высказывание (импликация).
Натуральные числа и нуль. Натуральный ряд чисел и его свойства.

Натуральное число, множество натуральных чисел и его свойства, изображение натуральных чисел точками на числовой прямой. Использование свойств натуральных чисел при решении задач.
Запись и чтение натуральных чисел.

Различие между цифрой и числом. Позиционная запись натурального числа, поместное значение
цифры, разряды и классы, соотношение между двумя соседними разрядными единицами, чтение и запись натуральных чисел.
Округление натуральных чисел.

Необходимость округления. Правило округления натуральных чисел.
Сравнение натуральных чисел, сравнение с числом 0.

Понятие о сравнении чисел, сравнение натуральных чисел друг с другом и с нулём, математическая запись сравнений, способы сравнения чисел.
Действия с натуральными числами. Сложение и вычитание, компоненты сложения и вычитания, связь между ними, нахождение суммы и разности, изменение суммы и разности при изменении компонентов сложения и вычитания. Умножение и деление, компоненты умножения и деления, связь между ними, умножение и сложение в столбик, деление уголком, проверка результата с помощью прикидки и обратного действия.
Переместительный и сочетательный законы сложения и умножения, распределительный закон умножения относительно сложения, обоснование алгоритмов выполнения арифметических действий.
Степень с натуральным показателем.

Запись числа в виде суммы разрядных слагаемых, порядок выполнения действий, вычисление значений выражений, содержащих степень.
Числовые выражения.

Числовое выражение и его значение, порядок выполнения действий.
Деление с остатком.

Деление с остатком на множестве натуральных чисел, свойства деления с остатком.  Практические задачи на деление с остатком.
Свойства и признаки делимости.

Свойство делимости суммы (разности) на число. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Признаки делимости на 4, 6, 8, 11. Доказательство признаков делимости. Решение практических задач с применением признаков делимости.
Разложение числа на простые множители.

Простые и составные числа, решето Эратосфена. Разложение натурального числа на множители, разложение на простые множители. Количество делителей числа, алгоритм разложения числа на простые множители, основная теорема арифметики.
Алгебраические выражения.

Использование букв для обозначения чисел, вычисление значения алгебраического выражения, применение алгебраических выражений для записи свойств арифметических действий, преобразование алгебраических выражений.
Делители и кратные. Делитель и его свойства, общий делитель двух и более чисел, наибольший общий делитель, взаимно простые числа, нахождение наибольшего общего делителя. Кратное и его свойства,
общее кратное двух и более чисел, наименьшее общее кратное, способы нахождения наименьшего общего кратного.
Дроби. Обыкновенные дроби.

Доля, часть, дробное число, дробь. Дробное число как результат деления. Правильные и неправильные дроби, смешанная дробь (смешанное число). Запись натурального числа в виде дроби с заданным знаме-нателем, преобразование смешанной дроби в неправильную дробь и наоборот. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение обыкновенных дробей. Сложение и вычитание обыкновенных дробей. Умножение и деление обыкновенных дробей. Арифметические действия со смешанными дробями. Арифметические действия с дробными числами. Способы рационализации вычислений и их применение при выполнении арифметических действий.
Десятичные дроби.

Целая и дробная части десятичной дроби. Преобразование десятичных дробей в обыкновенные. Сравнение десятичных дробей. Сложение и вычитание десятичных дробей. Округление десятичных дробей. Умножение и деление десятичных дробей. Преобразование обыкновенных дробей в десятичные дроби. Конечные и бесконечные десятичные дроби.
Отношение двух чисел.

Масштаб на плане и карте. Пропорции. Свойства пропорций, применение пропорций и отношений при решении задач.
Среднее арифметическое чисел.

Среднее арифметическое двух чисел. Изображение среднего арифметического двух чисел на числовой прямой. Решение практических задач с применением среднего арифметического. Среднее арифметическое нескольких чисел.
Проценты.

Понятие процента. Вычисление процентов от числа и числа по известному проценту, выраже-ние отношения в процентах. Решение несложных практических задач с процентами.
Диаграммы.

Столбчатые и круговые диаграммы. Извлечение информации из диаграмм. Изображение диаграмм по числовым данным.
Рациональные числа. Положительные и отрицательные числа.

Изображение чисел на числовой  (координатной) прямой. Сравнение чисел. Модуль числа, геометрическая интерпретация модуля числа. Действия с положительными и отрицательными числами. Множество целых чисел.
Понятие о рациональном числе.

Первичное представление о множестве рациональных чисел. Действия с рациональными числами.
Решение текстовых задач.

Единицы измерений длины, площади, объёма, массы, времени, скорости. Зависимости между единицами измерения каждой величины. Зависимости между величинами: скорость, время, расстояние; производительность, время, работа; цена, количество, стоимость.
Задачи на все арифметические действия.

Решение текстовых задач арифметическим способом. Использование таблиц, схем, чертежей, других средств представления данных при решении задачи.
Задачи на покупки, движение и работу.

Решение несложных задач на движение в противоположных направлениях, в одном направлении,

СОДЕРЖАНИЕ КУРСОВ МАТЕМАТИКИ В 7-9 КЛАССАХ

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА АЛГЕБРЫ В 7—9 КЛАССАХ.
(Содержание, выделенное курсивом, изучается на углублённом уровне)

Числа. Рациональные числа.

Множество рациональных чисел. Сравнение рациональных чисел. Действия с рациональными числами. Представление рационального числа десятичной дробью.
Иррациональные числа.

Понятие иррационального числа. Распознавание иррациональных чисел. Примеры доказательств в алгебре. Иррациональность числа.

2 . Применение в геометрии. Сравнение иррациональных чисел. Множество действительных чисел.
Тождественные преобразования. Числовые и буквенные выражения.

Выражение с переменной. Значение выражения. Подстановка выражений вместо переменных.
Целые выражения.

Степень с натуральным показателем и её свойства. Преобразования выражений, содержащих степени с натураль-
ным показателем. Одночлен, многочлен. Действия с одночленами и многочленами (сложение, вычитание, умно-жение). Формулы сокращённого умножения: разность квадратов, квадрат суммы и квадрат разности.  Разложение многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка, применение формул сокращённого умножения. Квадратный трёхчлен, разложение квадратного трёхчлена на множители.
Дробно-рациональные выражения.

Степень с целым показателем. Преобразование дробно-линейных выражений: сложение, умножение, деление. Алгебраическая дробь. Допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях. Сокращение алге-браических дробей. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Действия с алгебраическими
дробями: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. Преобразование выражений, содержащих знак  модуля.
Квадратные корни.

Арифметический квадратный корень. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни: умножение, деление, вынесение множителя из-под знака корня, внесение множителя под знак корня.
Уравнения и неравенства.
Равенства. Числовое равенство. Свойства числовых равенств. Равенство с переменной.
Уравнения. Понятия уравнения и корня уравнения. Представление о равносильности уравнений. Область определения  уравнения (область допустимых значений переменной).
Линейное уравнение и его корни.

Решение линейных уравнений. Линейное уравнение с параметром. Количество корней линейного уравнения. Решение линейных уравнений с параметром.
Квадратное уравнение и его корни.

Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения. Дискриминант квадратного уравнения. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Теорема, обратная теореме Виета. Решение квадратных уравнений: использование формулы для нахождения корней, графический метод решения, разложение на множители, подбор
корней с использованием теоремы Виета. Количество корней квадратного уравнения в зависимости от его дискриминанта. Биквадратные уравнения. Уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным. Квадратные уравнения с параметром.
Дробно-рациональные уравнения.

Решение простейших дробно-линейных уравнений. Решение дробно-рациональных уравнений. Методы решения уравнений: методы равносильных преобразований, метод замены переменной, графический метод. Использование
свойств функций при решении уравнений. Простейшие иррациональные уравнения вида f x a ( )= , f x ( ) =
= g x ( ) . Уравнения вида x n = a. Уравнения в целых числах.
Системы уравнений.

Уравнение с двумя переменными. Линейное уравнение с двумя переменными. Прямая как графическая интерпретация линейного уравнения с двумя переменными. Понятие системы уравнений. Решение системы уравнений.
Методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными: графический метод, метод сложения, метод подстановки. Системы линейных уравнений с параметром.
Неравенства.

Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств. Проверка справедливости неравенств  при заданных значениях переменных. Неравенство с переменной. Строгие и нестрогие неравенства. Область определения неравенства (область допустимых значений переменной). Решение линейных неравенств. Квадратное неравенство и его решения. Решение квадратных неравенств: использование свойств и графика квадратичной функции, метод интервалов. Запись решения квадратного неравенства. Решение целых и дробно-рациональных неравенств методом интервалов.
Системы неравенств.

Системы неравенств с одной переменной. Решение систем неравенств с одной переменной: линейных, квадратных. Изображение решения системы неравенств на числовой прямой. Запись решения системы неравенств.
Функции. Понятие функции.

Декартовы координаты на плоскости. Формирование представлений о метапредметном понятии «координаты». Способы задания функций: аналитический, графический, табличный. График функции. Примеры функций, получаемых в процессе исследования различных реальных процессов и решения задач. Значение функции в точке. Свойства функций: область определения, множество значений, нули, промежутки знакопостоянства,   чётность/нечётность, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения. Исследование функции по её графику. Представление об асимптотах. Непрерывность функции. Кусочно заданные функции.
Линейная функция.

Свойства и график линейной функции. Угловой коэффициент прямой. Расположение графика линейной функции в зависимости от её углового коэффициента и свободного члена. Нахождение коэффициентов линейной функции по
заданным условиям: прохождение прямой через две точки с заданными координатами, прохождение прямой через данную точку и параллельно данной прямой.
Квадратичная функция. Свойства и график квадратичной функции (параболы). Построение графика квад-ратичной функции по точкам. Нахождение нулей квадратичной функции, множества значений, промежутков знакопостоянства, промежутков монотонности.
Обратная пропорциональность.

Свойства функции y kx= . Гипербола.
Графики функций.

Преобразование графика функции y = f (x) для построения графиков функций вида y = af(kx+ b) + c. Графики функций y a k x b = + +, y x = , y x =3, y = |x |.
Последовательности и прогрессии.

Числовая последовательность. Примеры числовых последовательностей. Бесконечные последовательности. Арифметическая прогрессия и её свойства. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий. Сходящаяся геометрическая прогрессия.
Решение текстовых задач.
Задачи на все арифметические действия.

Решение текстовых задач арифметическим способом. Использование таблиц,  схем, чертежей, других средств представления данных при решении задач.
Задачи на покупки, движение и работу.

Анализ возможных ситуаций взаимного расположения объектов при их движении, соотношения объёмов выпол-няемых работ при совместной работе.
Задачи на части, доли, проценты.

Решение задач на нахождение части числа и числа по его части. Решение задач на проценты и доли. Применение пропорций при решении задач.

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ В 7—9 КЛАССАХ.
(Содержание, выделенное курсивом, изучается на углублённом уровне)

Геометрические фигуры. Фигуры в геометрии и в окружающем мире.

Геометрическая фигура. Формирование представлений о метапредметном понятии «фигура». Точка, линия, отрезок, прямая, луч, ломаная, плоскость, угол. Биссектриса угла и её свойства, виды углов, многоугольники, круг. Осевая симметрия геометрических фигур. Центральная симметрия геометрических фигур.
Многоугольники.

Многоугольник, его элементы и его свойства. Распознавание некоторых многоугольников. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. Правильные многоугольники. Треугольники. Высота, медиана, биссектриса, средняя линия треугольника. Равнобедренный треугольник, его свойства и признаки. Равносторонний треугольник. Прямоугольный, остро угольный, тупоугольный треугольники. Внешние углы треу-гольника. Неравенство треугольника. Четырёхугольники. Параллелограмм, ромб, прямоугольник, квад-рат, трапеция, равнобедренная трапеция. Свойства и признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата.
Окружность, круг.

Окружность, круг, их элементы и свойства; центральные и вписанные углы. Касательная и секущая к окружности, их свойства. Вписанные и описанные окружности для треугольников, четырёхугольников, правильных многоугольников.
Геометрические фигуры в пространстве (объёмные тела).
Многогранник и его элементы. Названия многогранников с разным положением и количеством граней. Первичные представления о пирамиде, параллелепипеде, призме, сфере, шаре, цилиндре, конусе, их элементах и простейших свойствах.
Отношения. Равенство фигур.

Свойства равных треугольников. При знаки равенства треугольников.
Параллельность прямых.

Признаки и свойства параллельных прямых. Аксиома параллельности Евклида. Теорема Фалеса.
Перпендикулярные прямые.

Прямой угол. Перпендикуляр к прямой. Наклонная, проекция. Серединный перпендикуляр к отрезку.
Свойства и признаки перпендикулярности.
Подобие.

Пропорциональные отрезки, подобие фигур. Подобные треугольники. Признаки подобия.
Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей.
Измерения и вычисления.
Величины. Понятие величины. Длина. Измерение длины. Единицы измерения длины. Величина угла. Градусная мера угла. Понятие о площади плоской фигуры и её свойствах. Измерение площадей. Еди-ницы измерения площади. Представление об объёме и его свойствах. Измерение объёма. Единицы измерения объёмов.
Измерения и вычисления. Инструменты для измерений и построений; измерение и вычисление углов, длин (расстояний), площадей. Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике. Тригонометрические функции тупого угла. Вычисление элементов треугольников с использованием тригонометрических соотношений. Формулы площади треугольника, параллелограмма и его частных видов, формулы длины окружности и площади круга. Сравнение и вычисление площадей. Теорема Пифагора. Теорема синусов. Теорема косинусов.
Расстояния. Расстояние между точками. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между фигурами.
Геометрические построения. Геометрические построения для иллюстрации свойств геометрических фигур. Инструменты для построений: циркуль, линейка, угольник. Простейшие построения циркулем
и линейкой: построение биссектрисы угла, перпендикуляра к прямой, угла, равного данному. Построение треугольников по трём сторонам, двум сторонам и углу между ними, стороне и двум прилежащим к ней углам. Деление отрезка в данном отношении.
Геометрические преобразования.
Преобразования. Понятие преобразования. Представление о метапредметном понятии «преобразование». Подобие.
Движения. Осевая и центральная симметрии, поворот и параллельный перенос. Комбинации движений на плоскости и их свойства.
Векторы и координаты на плоскости
Векторы. Понятие вектора, действия над векторами, использование векторов в физике, разложение вектора на составляющие, скалярное произведение векторов.
Координаты. Основные понятия, координаты вектора, расстояние между точками. Координаты середины отрезка. Уравнения фигур. Применение векторов и координат для решения простейших
геометрических задач.
История математики.
Возникновение математики как науки, этапы её развития. Основные разделы математики. Выдающиеся математики и их вклад в развитие науки. Бесконечность множества простых чисел.Числа и длины отрезков. Рациональные числа. Потребность в иррациональных числах. Школа Пифагора. Зарождение алгебры в недрах арифметики. Ал-Хорезми. Рождение буквенной символики. П. Ферма, Ф. Виет, Р. Де карт. История вопроса о нахождении формул корней алгебраических уравнений степеней, больших четырёх. Н. Тарталья, Дж. Кардано, Н. Х. Абель, Э. Галуа.Появление метода координат, позволяющего переводить геометрические объекты на язык алгебры. Появление графиков функций.
Р. Декарт, П. Ферма. Примеры различных систем координат.Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи) о кроликах, числа Фибоначчи. Задача о шахматной доске. Сходимость геометрической прогрессии. Истоки теории вероятностей: страховое дело, азартные игры. П. Ферма, Б. Паскаль, Я. Бернулли, А. Н. Колмогоров.От земледелия к геометрии. Пифагор и его школа. Фалес,Архимед. Платон и Аристотель. Построение правильных многоугольников. Трисекция угла. Квадратура круга. Удвоение куба. История числа π. Золотое сечение. «Начала» Евклида. Л. Эйлер, Н. И. Лобачевский. История пятого постулата.
Геометрия и искусство. Геометрические закономерности окружающего мира. Астрономия и геометрия. Что и как узнали Анаксагор, Эратосфен и Аристарх о размерах Луны, Земли и Солнца. Расстояния
от Земли до Луны и Солнца. Измерение расстояния от Земли до Марса. Роль российских учёных в раз-витии математики: Л. Эйлер,Н. И. Лобачевский, П. Л. Чебышев, С. В. Ковалев ская, А. Н. Колмогоров.
Математика в развитии России: Пётр I, школа математических и навигацких наук, развитие россий-ского флота, А. Н. Крылов.Космическая программа и М. В. Келдыш.