Олимпиады по математике 5-11 кл.
олимпиадные задания по математике (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс)

                 Шифр____________

Районный (отборочный) тур муниципального этапа Всероссийской

олимпиады школьников по математике.

5 класс

Время выполнения – 90 мин

Максимальное количество баллов – 35

Задание  1

Расставьте в записи 4∙12+18:6+3 скобки так, чтобы получился наименьший возможный результат.

Задание  2

Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Без Мышки все остальные не могут вытащить репку, а вместе с Мышкой – могут. Сколько мышек надо собрать вместе, чтобы эти мышки смогли вытащить репку сами?

Задание  3

Сколько раз к наибольшему двузначному числу надо прибавить наибольшее трехзначное число, чтобы получить наибольшее пятизначное?

Задание  4

У каждого марсианина по 3 руки. Могут ли 13 марсиан взяться за руки так, чтобы не оставалось свободных рук?  Почему?

Задание  5

Прямоугольник  ABCD  разбит на квадраты. Найдите периметр прямоугольника, если сторона закрашенного квадрата 3см.

                 Шифр____________

Районный (отборочный) тур муниципального этапа Всероссийской

олимпиады школьников по математике.

6 класс

Время выполнения – 90 мин

Максимальное количество баллов – 35

Задание 1

Найдите удвоенную четверть числа 32.

Задание 2

На кабинках колеса обозрения написаны номера 1, 2, 3, 4, ... и т.д. Когда кабинка с номером 25 находится в верхней точке колеса, кабинка с номером 8 находится в самой нижней точке. Сколько кабинок на колесе обозрения?

Задание 3

Ежедневно в полдень отправляется пароход из Гавра через Атлантический океан в Нью-Йорк, и в то же самое время пароход той же компании отправляется  из Нью-Йорка в Гавр. Переезд в том и другом направлении совершается ровно 7 дней. Сколько судов своей компании, идущих в противоположном направлении, встречает пароход на пути из Гавра в Нью-Йорк?

Задание 4 

Для подготовки к олимпиаде учитель на лето задал 1001 задачу. За каждую решенную задачу он начислял по 2 балла, а за каждую неправильно решенную – отнимал 1 балл, а за каждую задачу, которую школьник не решал, штрафовал на 50 баллов. Павел правильно решил меньше 900 задач и набрал 1514 баллов. Сколько задач правильно решил Павел?

Задание  5

Разрежьте квадрат на 7 меньших квадратов (не обязательно одинаковых). 

                 Шифр____________

Районный (отборочный) тур муниципального этапа Всероссийской

олимпиады школьников по математике.

7 класс.

Время выполнения –120 мин

Максимальное количество баллов – 35

Задание   1

Цифры от 1 до 9 нужно разместить в фигуре на рис.1 так, чтобы одна цифра была в центре восьмиугольника, другие – у концов каждой диагонали и сумма каждого ряда составляла 15.

рис.1

Задание  2

Разрезать прямоугольник по прямой линии на две части, из которых можно сложить треугольник.

Задание  3

Банк ОГОГО меняет рубли на тугрики по 3000 рублей за тугрик, и еще берет 7000 рублей за право обмена независимо от меняемой суммы. Банк ЙОХОХО берет за тугрик 3020 рублей, а за право обмена берет 1 тугрик (тоже независимо от меняемой суммы). Турист установил, что ему все равно, в каком из банков менять деньги. Какую сумму он собирается менять?

Задание  5

На ступеньках дома сидят рядышком мальчик и девочка.

– Я мальчик, – говорит ребёнок с чёрными волосами.

– А я девочка, – говорит ребёнок с рыжими волосами.

Если, по крайней мере, один из детей говорит неправду, то кто из них мальчик, а кто девочка?

                 Шифр____________

Районный (отборочный) тур муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике.

8 класс.

Время выполнения –120 мин

Максимальное количество баллов – 35

Задание 1

Три ученика А, В и С участвовали в беге на 100м. Когда А прибежал к финишу, В был позади него на 10м. Когда В финишировал, С был позади него на 10м. На сколько метров на финише А опередил C?

Задание  2

В квадрате 5X5 клеток закрасьте наименьшее число клеток так, чтобы в любом внутреннем квадрате размером 3Х3 было закрашено ровно 4 клетки.

Задание  3

Перед бабой Ягой и Кощеем Бессмертным лежат две кучки мухоморов: в одной кучке 10 штук, а в другой - 13. Эти персонажи по очереди берут грибы из куч. За один ход можно взять от 1 до 5 грибов из одной из кучек, пропускать ход нельзя. Выигрывает тот, после хода которого грибов не останется. Первой ходит Баба Яга. Кто из игроков выиграет при правильной игре?

Задание 4

В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла равна одному из отрезков, на которые она разделила противоположную сторону. Докажите, что она вдвое длиннее второго из этих отрезков.

Задание 5

Петя и Вася сделали в тире по 5 выстрелов. Первыми тремя выстрелами они выбили поровну, а последними тремя Петя выбил в три раза больше очков, чем Вася. На мишени остались пробоины в 10, 9, 9, 8, 8, 5, 4, 4, 3, 2 очков. Куда попал каждый из них третьим выстрелом? Приведите все варианты ответа и докажите, что других нет.

               Шифр____________

Районный (отборочный) тур муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике.

9 класс.

Время выполнения –120 мин

Максимальное количество баллов – 35

Задание  1

Решите уравнение:   2х²+у² +  2ху + 2х + 1 = 0.

Задание  2

Сколько нужно взять сливок жирностью 36% и жирностью18%, чтобы получить 90 кг сливок с содержанием 30% жира?

Задание  3

 Пусть a и b – катеты прямоугольного треугольника, а с – гипотенуза. Что больше: a³ + b³ или  с³?

Задание  4

 На столе стоят 16 стаканов, один из них вверх дном. Можно ли все стаканы поставить правильно, если можно одновременно переворачивать по 4 стакана?

Задание  5

В треугольнике АВС отрезок АМ – медиана, точка N –её середина, прямая  ВN пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС?

Шифр____________

Районный (отборочный) тур муниципального этапа Всероссийской

олимпиады школьников по математике.

10 класс.

Время выполнения –180 мин

Максимальное количество баллов – 35

Не допускается использование мобильных телефонов, иных средств связи и электронно-вычислительной техники, учебных или справочных материалов.

Задание 1

Найдите все значения числового параметра  а, при которых корни уравнения  положительны.

Задание 2

На  доске написаны числа 18 и 19. К уже написанным на доске числам разрешается  дописать число, равное сумме любых двух из уже написанных. Можно ли, повторяя эту операцию, добиться того,  чтобы на доске оказалось написано число 1994?

Задание 3

Возрастающая арифметическая прогрессия содержит два натуральных числа и квадрат меньшего из них. Докажите, что она содержит и квадрат второго числа.

Задание 4

В окружность вписан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ. На большем катете ВC взята точка D так, что АС=BD, а точка Е – середина дуги АВ, содержащей точку С. Найдите угол DEC.

Задание 5

Двое играют в следующую игру. Есть три кучки камней.  В первой из них 7 камней,  во второй – 9 камней,  в третьей – 11 камней. Ходят по очереди. За один ход разрешается либо взять из любой кучки один камень, либо взять по одному камню из любых двух кучек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто может выиграть в этой игре независимо от ходов соперника?

               Шифр____________

Районный (отборочный) тур муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике.

11 класс.

Время выполнения –180 мин

Максимальное количество баллов – 35

Задание  1

Брат и сестра по очереди их одного пакета берут конфеты: брат – одну конфету, а сестра – две, брат – три конфеты, а сестра – четыре, брат – пять, а сестра – шесть и т.д. Когда конфет в пакете осталось меньше, чем должен взять тот, чья очередь наступила, брат забрал все оставшиеся. Сколько конфет было в пакете, если у брата в итоге оказалась 101 конфета?

Задание  2

Числа x , y , z и t таковы, что  x > y3 ,  y > z3 , z > t3 ,  t > x3 . Докажите, что

xyzt > 0 .

Задание  3

Квадратный трёхчлен f (x) таков, что каждое из уравнений f (x) = х-1 и

f (x) = 2-2x имеют ровно по одному решению. Докажите, что трёхчлен f (x) не имеет корней.

Задание  4

 Пусть  – плоские углы трехгранного угла. Докажите, что числа

sin ,sin ,sin    являются длинами сторон некоторого треугольника.

Задание  5

 В клетках квадрата 77 расставлены действительные числа. Оказалось, что

сумма чисел в любом уголке, состоящем из трёх клеток (повёрнутом как угодно), положительна. Обязательно ли сумма чисел во всем квадрате также положительна?