МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ по дисциплине: Математика
методическая разработка по математике

Министерство образования и науки Самарской области

государственное автономное профессиональное

образовательное учреждение Самарской области

"Жигулевский государственный колледж"

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ

По дисциплине: Математика

Курс:2

Для специальности: 22.02.06 Сварочное производство

Жигулевск, 2018 г.

Составитель:   Гусенкова Е.С., преподаватель, ГАПОУ СО «ЖГК»

Эксперт: Ханмурзина Е.В., преподаватель, ГАПОУ СО «ЖГК»

Содержание:

Введение

Математика изучается как профильный учебный предмет при освоении специальности СПО  22.02.06 Сварочное производство.

Выполнение самостоятельных работ поможет студентам освоить обязательный минимум содержания дисциплины, подготовиться к сдаче экзамена.

Самостоятельные работы проводятся после изучения теоретического материала. Обучающиеся должны иметь методические рекомендации по выполнению самостоятельных работ, конспекты лекций, измерительные и чертежные инструменты, средство для вычислений.

 Критерии оценки

Общие положения о самостоятельной работе студентов:

Самостоятельная работа  - планируемая учебная работа студентов, выполняемая во внеаудиторное  время по заданию и при методическом руководстве преподавателя, но без его непосредственного участия (при частичном непосредственном участии преподавателя, оставляющем ведущую роль за  работой студентов).

Самостоятельная работа студентов - вид деятельности, при котором в условиях систематического уменьшения прямого контакта с преподавателем студентами выполняются учебные задания.

Любой вид занятий, создающий условия для зарождения самостоятельной мысли, познавательной и творческой активности студента связан с самостоятельной работой. В широком смысле под самостоятельной работой понимают совокупность всей самостоятельной деятельности студентов, как в учебной аудитории, так и вне нее, в контакте с преподавателем и в его отсутствие.

Целью самостоятельной работы: является овладение фундаментальными знаниями, умениями и навыками учебной деятельности по дисциплине.

Тема 1.1. Пределы, их свойства

Краткие теоретические сведения:

Определение: Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.

Обозначение: y = f(x),

где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))

Способы задания функции.

1. аналитический способ (с помощью математической формулы);
2. табличный способ (с помощью таблицы);
3. описательный способ (с помощью словесного описания);
4. графический способ (с помощью графика).

Основные свойства функции.

1. Четность и нечетность

Функция называется четной, если
      – область определения функции симметрична относительно нуля
      – для любого х из области определения f(-x) = f(x)

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если
      – область определения функции симметрична относительно нуля
      – для любого х из области определения f(-x) = –f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2.Периодичность

Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

3. Монотонность (возрастание, убывание)

Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1)< f(x2).

Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, чтоx1 < x2 выполнено неравенство f(x1) > f(x2).

Предел функции

Определение. Число А называется пределом функцииy = f(x) при х стремящихся к х0(или в точке х0 , если для любого ε > 0 существует такое δ>0, что для всех x, удовлетворяющих условиям

|x– х0|< δ , x ≠ х0 , имеет место неравенство | f(x) –А|< ε.

или  

Геометрическая интерпретация предела функции дана на рисунке

Определение. Число А называется пределом функцииf(x), при х →∞

если для любого ε > 0 существует, что если х>М, то

Основные теоремы о пределах функций

Если функции f(x) и q(x) определены в некоторой окрестности точки а, возможно, за  исключением самой точки а, и существуют пределы,   то

Пример 1. Вычислить

Здесь f(x)=5x+2 и q(x) = х–5.  Так как q(3) = 3–5 = –2 ≠ 0, то

Пример 2. Вычислить    

Пример 3. Вычислить предел                

Здесь f(x)=5x+2 и q(x) = 1 – x

Пример 4. Вычислить предел

Применяем замечательный предел                   ,

где е*>2,7182Н.. – иррациональное число (основание натурального логарифма).

Преобразуем функцию:

Областью определения функции называется множество значений переменной , при которых данная функция имеет смысл.

Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Функции f(x) называется возрастающей в точке ,если при любом достаточно малом h>0 выполняется условие

Функция f(x) называется убывающей в точке  , если при любом достаточно малом h>0 выполняется условие  (рис.2).

Функция f(x) называется возрастающей в интервале ]a, b[, если для любых двух точек  и  из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству <, выполняется неравенство .

Функция f(x) называется убывающей в интервале ]a, b[, если для любых точек  и  из указанного интеграла, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Признаки возрастания и убывания функции.

Если ,то функция f(x) возрастает в точке .

Если ,то функция f(x) убывает в точке .

Значение называется максимумом функцииf(x), если при любом достаточно малом h>0 выполняются условия  и. Точка  называется в этом случае точкой максимума функции f(x) (рис. 3).

Значение  называетсяминимумом функции f(x), если при любом достаточно малом h>0 выполняются условия  и . Точка  называется в этом случае точкой минимума функции f(x) (рис. 4).

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. Точка максимума или минимума функции называется точкой ее экстремума.

Необходимое условие экстремума.Если функция f(x) в точке  имеет экстремум, то производная f'() обращается в нуль или не существует.

Точка , в которой , называется стационарной точкой. Точки, в которых  или не существует, называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Достаточные условия экстремума.

Правило 1.Если  -критическая точка функции f(x) и при произвольном достаточно малом h>0 выполняются неравенства , , то функция f(x) в точке  имеет максимум; если же , , то функция f(x) в точке  имеет минимум.

Если знаки  и одинаковы, то функция f(x) в точке  экстремума не имеет.

Правило 2.Если ,, то функция f(x) в точке  имеет экстремум, а именно максимум, если  , и минимум, если .

Правило 3. Пусть ,,…, , . В этом случае функция f(x) имеет в точке  экстремум, если n-четное число, а именно максимум при   и минимум при , если же n-нечетное число, то функция f(x) в точке  экстремума не имеет.

Алгоритм нахождения промежутков монотонности и точек экстремума:

1)Находим ;

2)  Решая уравнение , находим критические точки;

3) Наносим критические точки на числовую ось и определяем знак  на каждом числовом     промежутке;

4) Там, где  функция возрастает, а где  функция убывает;

5)  Если при переходе через критическую точку ( там, где ) производная меняет свой знак, то - абсцисса точки экстремума.

 Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

Определение: График непрерывно дифференцируемой функции ,

называется выпуклым вверх на интервале , если производная  убывает на  А если  возрастает на , то график этой функции называется выпуклым вниз.

Определение: Интервалы, на которых график функции выпуклый вверх или вниз, называются интервалами выпуклости графика функции.

Достаточное условие выпуклости графика функции.

Теорема: Пусть функция , имеет первую и вторую производные. Тогда, если  для всех , то на интервале  график функции  выпуклый вверх, если же  для всех , то график функции  выпуклый вниз на .

Условие знакопостоянства второй производной, является достаточным условием выпуклости (вверх или вниз) графика функции, не является вместе с тем необходимым условием.

Определение: Точка графика дифференцируемой функции, абсцисса которой является одновременно концом интервала выпуклости вверх и концом интервала выпуклости вниз, называется точкой перегиба графика функции.

Теорема: (необходимое условие). Пусть функция  на интервале  имеет непрерывную производную второго порядка. Тогда, если точка с абсциссой  является точкой перегиба графика функции, то .

Теорема: (достаточное условие). Пусть функция  на интервале имеет производную второго порядка. Тогда, если  меняет знак при переходе аргумента через , то  является абсциссой точки перегиба данной функции.

Алгоритм нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба:

1.Находим ;

2.  Решая уравнение , находим критические точки;

3.  Наносим критические точки на числовую ось и определяем знак  на каждом числовом промежутке;

4.Если, то на этом интервале график функции выпуклый вниз, если же , то     выпуклый вверх.

5.  Если при переходе через критическую точку ( там, где ) производная меняет свой знак, то - абсцисса точки перегиба

Асимптоты графика функции.

Асимптоты – это прямые, к которым неограниченно приближается график функции.

Различают 3 вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальная асимптота графика функции - это прямая . Обычно эти асимптоты сопровождают точки разрыва 2-го рода. Если функция непрерывна, то вертикальных асимптот нет.

Наклонная асимптота графика функции - это прямая , если

и .

Вертикальная асимптота графика функции - это прямая , если .

Образец решения задач

 Провести полное исследование и построить график функции.

Пример 1.

Решение:

1)  Найдём область определения функции:

2) Найдём точки пересечения графика функции с осями координат:

    А) с осью ОХ: у=0

. Сгруппируем:

Т.е. (1;0) – точка пересечения с осью ОХ.

  Б) с осью ОУ: х=0

Т.е. (0;-1) - точка пересечения с осью ОУ.

3)  Асимптот нет, так как нет точек разрыва функции.

4)  Исследуем функцию на монотонность и найдём точки экстремума:

,   /:3

критическая точка функции по первой производной.

Отметим эту точку на координатной прямой и найдём знак в первой производной в каждом из интервалов, на которые разбивается координатная прямая данной точкой.

                                                  +

----------------------------------------------------------------------

Т.е. функция возрастает при . Экстремума нет.

5)   Исследуем функцию на выпуклость и найдём точки перегиба:

критическая точка функции по второй производной.

Отметим эту точку на координатной прямой и найдём знак второй производной в каждом из интервалов, на которые разбивается координатная прямая данной точкой.

       -                    1                         +

----------------------------------------------------------------------------------

                                                     т.п.

Т.е. функция выпукла вверх при ,

       функция выпукла вниз при

, т.е. (1;0)-точка перегиба.

6)  Построим график функции:

Самостоятельная работа № 1

«Свойства функций»

Цель: закрепить свойства функции

Задания для самостоятельной работы

Самостоятельная работа № 2

«Исследование функций»

Цель: отработать схему исследования функций

Задания для самостоятельной работы

Самостоятельная работа № 3-4

« Вычисление пределов»

Цель: отработать нахождение пределов

Задания для самостоятельной работы

Самостоятельная работа № 5

«Замечательные пределы»

Цель: отработать нахождениезамечательных пределов

Задания для самостоятельной работы

Тема 1. 2.  Производная и дифференциал функции, правила дифференцирования, таблица дифференциалов

Краткие теоретические сведения:

Пусть величина у зависит от аргумента х как у = f(x). Если f(x) была зафиксирована в двух точках значениях аргумента: x1, x2, то мы получаем величины у1= f(x1), и у2= f(x2). Разность двух значений аргумента x2, x1 назовём приращением аргумента и обозначим как Δx= x2-x1. Если аргумент изменился на Δx= x2-x1 , то функция изменилась (приросла) как разность двух значений функции

у1 = f(x1), у2 =f(x2) на величину приращения функции Δf. Записывается обычно так: Δf= у1 – у2 =  f(x2) - f(x1) .  Считается, что если величины x2 и x1, бесконечно близки по величине друг к другу, тогда   Δx= x2– x1, - бесконечно мало.

Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции Δf в этой точке к приращению аргумента Δх, когда последнее стремится к нулю (бесконечно мало).

Нахождение производной называется дифференцированием. Функция f, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на данном промежутке.

Правила дифференцирования(и,   v,   w— функции аргумента х, по которому производится дифференцирование, с - постоянная).

1.        Производная алгебраической суммы

2.        Производная произведения

3.        Производная частного (дроби )

4.  Производная  сложной  функции    (функции от функции).    

Если    

Таблица основных формул дифференцирования

Пример 1. Найдите производную функции: 1);  2)

3)

Пример 2. Вычислите значение производной функции

в точках х = 4 и х = 0,01.

Пример 3. Найдите значения х, при которых  производная функции  равна 0.

Пример 4. Найдите производную функции: 1)

2)

Общая схема исследования и построения графика функции

При построении графиков функций  можно примерно придерживаться следующейсхемы:

1. Найти область определения функции, выявить точки разрыва, если они есть.

2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной.

3. Выяснить, является ли функция периодической.

4. Найти точки пересечения графика с осями координат (нули функции).

5. Найти асимптоты графика.

6. Вычислить производную функции f'(x) и определить критические точки.

7. Найти промежутки монотонности функции.

8. Определить экстремумы функции f(x).

9. Вычислить вторую производную f''(x).

10. Определить направление выпуклости графика и точки перегиба.

11. Построить график, используя полученные результаты исследования.

    Следует иметь в виду, что при построении графика функции можно не всегда следовать указаннойсхеме. Например, не всегда можно найти нули функции, даже если они существуют. Для построения графиков функций в ряде случаев пункты 9 и 10 можно пропустить.

Иногда для более точного построения дополнительно находят координаты некоторых точек графика.

Пример.

 Исследовать функцию f (x) = x3–3x2 и построить ее график.

Решение:

1. Область определения функции - вся числовая ось.

2. Функция f (x) = x3–3x2 непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.

3. Четность, нечетность, периодичность:

f(–x) = (–x)3–3(–x)2 = –(x3+3x2) ≠ f(x) и f(–x) = (–x)3–3(–x)2 = –(x3+3x2) ≠ –f(x)

Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат:

Ox: y=0,x3–3x2=0,x2(x–3)=0 ⇒x=0, x=3. Значит (0;0), (3;0) - точки пересечения с осью Ox.

Oy: x = 0 ⇒y = 0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Oy.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

y'=0 ⇒ 3x2–6x =0 ⇒ 3x(x–2) = 0 ⇒x = 0, x = 2 - критические точки.

Промежутки монотонности, где функция возрастает или убывает, показаны в таблице стрелками. Экстремумы функции занесены в таблицу.

7*. Вычисление второй производной: y''=0, 6x–6 = 0,x = 1.

8*.Промежутки выпуклости и точки перегиба:
Направление выпуклости графика и точки перегиба занесены в таблицу.

(Пункты 7* и 8* не являются обязательными).

9. Найдем значение функции в дополнительной точке:

f(–1) = (–1)3– 3(–1)2 = –1–3 = –4.

10. Искомый график функции.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке [a;b].

Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

1. Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [a;b].
2. Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке [a;b] (обычно такие точки всречаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.
3. Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a;b]. Для этого, находим производную функции, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
4. Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также при x=a и x=b.
5. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции соответственно.

Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=

• на отрезке [1;4];
• на отрезке [-4;-1].

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть . Оба отрезка попадают в область определения.

Находим производную функции по правилу дифференцирования дроби:
=

Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков [1;4] и

[-4;-1].

Стационарные точки определим из уравнения= 0

Единственным действительным корнем является x=2. Эта стационарная точка попадает в первый отрезок [1;4].

Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1, x=2 и x=4:

Следовательно, наибольшее значение функции достигается при x=1, а наименьшее значение – при x=2.

Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1] (так как он не содержит ни одной стационарной точки):

Следовательно, .

Графическая иллюстрация.

Самостоятельная работа № 6

«Вычисление производной»

Цель: отработать нахождение производной

Задания для самостоятельной работы

                Самостоятельная работа № 7- 8

«Применение производной к исследованию функций»

Цель: разобрать применение производной к исследованию функций

Задания для самостоятельной работы:

Тема 1. 3.Неопределенный и определенный интегралы и их свойства. Применение определенного интеграла к решению прикладных задач

Краткие теоретические сведения:

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если функция f(x) является производной функции F(x).

У одной и той же функции f(x) много первообразных. Если F(x) - первообразная функции f(x) , то и любая функция F(x)+C, где C- число, является первообразной той же функции.

Неопределенным интегралом функции f(x) называется множество первообразных этой функции.

Неопределенный интеграл функции f(x) обозначается символом .

причем f(x) называется подынтегральной функцией,
f(x)dx— подынтегральным выражением,
x — переменной  интегрирования,
∫ — знаком неопределенного интеграла.
Таким образом, по определению  еслиF'(x)=f(x).

Чтобы найти интеграл от данной функции, нужно найти любую ее первообразную и прибавить к ней произвольное число C. Так, , и т. д.

На основании свойств производной можно сформулировать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

1.Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции:

2.Неопределенный интеграл производной функции равен сумме самой функции и произвольной константы:

3.Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла:

, где k – произвольная константа.

4.Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций:

первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;

второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.

Примеры

1. Выясните, является ли  первообразной для функции на R?

Решение.  Находим

.

Следовательно, по определению  является первообразной для функции  на R.

2. Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Решение. По основному свойству первообразных любая первообразная функции  записывается в виде . Координаты точки  графика искомой первообразной должны удовлетворять уравнению:

.

Отсюда находим, что

,

С = 2.

Следовательно, уравнение искомой первообразной имеет вид:

Самостоятельная работа № 10

«Вычисление неопределенных интегралов»

Цель: отработать нахождение первообразной

Задания для самостоятельной работы:

Самостоятельная работа № 11

«Вычисление неопределенных интегралов»

Цель: отработать вычисление неопределенных интегралов

Задания для самостоятельной работы:

Тема 1. 4.  Дифференциальные уравнения

Краткие  теоретические сведения:

Определение:Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая обращает данное уравнение в тождество.

Определение:Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

Определение:Уравнение вида называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Иногда уравнение (2), (1) записывают в дифференциалах:.

Определение:Всякое отдельно взятое решение дифференциального уравнения называется его частным решением.

Определение:Дифференциальное уравнение называется уравнением  с разделяющимися переменными, если имеет следующий вид:

Образец решения примера:

Найти частное решение уравнения еслипри.

Решение.  Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде.

Отсюда  интегрируя обе части последнего равенства, находим т.е. С- общее решении.  Подставив начальные значения , найдем С:  т.е. С = 9

Следовательно, искомый частный интеграл будет , или

Ответ:

Образец решения примера:

Найти общее решение уравнения .

Решение. Разделим переменные. Для этого преобразуем данное уравнение следующим образом:или  (полагая здесь ).

Проинтегрируем обе части последнего равенства:, отсюда

Для удобства потенцирования представим  в виде  и постоянную,  интегрирования  в виде. Имеем .

 Потенцируя, получимили .

Ответ:или .

Однородные дифференциальные  уравнения первого порядка.

Определение:Дифференциальные уравнения первого порядка  называются однородными, если  - однородная функция нулевого измерения:, где  - однородные функции одинакового измерения.

Однородное дифференциальное уравнение приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными подстановкой, где  - новая неизвестная функция.

Образец решения примера:

Найти решения уравнения.

.

Решение. В данном уравнении функции  - однородные второго измерения, следовательно, данное уравнение является однородным.

Положим, откуда. Подставляем эти выражения  и в данное уравнение, т.е., или .

Разделяем переменные (считая);

. Интегрируем это уравнение (учитывая, что)

, откуда, т.е..

Возвращаясь к прежней функции, находим общий интеграл.

Ответ:

Образец решения примера:

Найти общее решение уравнения .

Решение. Записав данное уравнение в виде  - однородное уравнение второго измерения.

Положим , откуда . Подставляя значения  и в уравнения, имеем (при , 1-z≠0) . Интегрируя, получаем - , откуда , или Ответ: .

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение:  Дифференциальное уравнение первого порядка  называется линейным, если имеет следующий вид:…(1), где  и Q(х) - заданные функцией от х.

Образец решения примера:

Найти общее решение уравнения .

Решение. Разделив все члены данного уравнения на, приведём его к виду (1)

 …(2)

Здесь Положим, откуда .

Подставим эти значения  и в уравнение (2): сгруппируем члены, содержащие, например, v, и вынесем v за скобку . Выберем функцию  так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. чтобы

Тогда уравнение (3) примет вид .

Решим уравнение (4),  как уравнение с разделяющимися переменными (при u≠0): , т.е. .  Интегрируя, получаем , откуда . Подставив значение функции  в уравнении (5), найдём , т.е. , откуда .

Заменив в подстановке , функции  и  их выражениями из равенства (6) и (7), получим искомое общее решение данного уравнения:, .

Ответ:

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида , где - некоторые числа. Если , то уравнение называется линейным однородным. Оно имеет вид

Если - частные решения, причём , то функция , где - произвольное, является общим решением этого уравнения.

Решается это уравнение следующим образом.

Составляется характеристическое уравнение. Заменим. Тогда общее решение дифференциального уравнения строится в зависимости от корней  и характеристического уравнений.

Если, то . Общее решение:

Если , то . Общее решение:

Если , то  и  комплексно – сопряженные: .

 Общее решение:

Образец решения примера:

Решить дифференциальное уравнение, найти частные решения, удовлетворяющие данным условиям

Решение. Составляем характеристическое уравнение,  получаем уравнение

Найдём общее решение по формуле

- общее решение уравнения.

Дифференцируя общее решение, имеем

Подставим теперь начальные данные в выражения дляи :

- частное решение уравнения.

Ответ: - общее решение уравнения.

- частное решение уравнения.

Образец решения примера:

Найти частное решение уравнение , если  и

 при

Решение. Так как характеристического уравнения  имеет равные действительные корни , то общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде .

Дифференцируя общее решение, имеем: .

Подставив начальные данные и выражений для  и  получим систему уравнений  или  откуда  и  .

Следовательно, искомое частное решение имеет вид .

Ответ: - общее решение уравнения.

- частное решение уравнения.

Самостоятельная работа № 15

«Однородные  дифференциальные уравнения»

Цель: отработать решения дифференциальных уравнений

Задания для самостоятельной работы:

Самостоятельная работа № 16

«Дифференциальные уравнения первого порядка»

Цель: отработать решения дифференциальных уравнений первого порядка

Задания для самостоятельной работы:

Самостоятельная работа № 17

«Дифференциальные уравнения  второго порядка»

Цель: отработать решение дифференциальных уравнений второго порядка

Задания для самостоятельной работы:

Самостоятельная работа № 18

«Линейные  дифференциальные уравнения»

Цель: отработать решение линейных дифференциальных уравнений

Задания для самостоятельной работы:

Тема 2.1. Основные понятия дискретной математики. Закон больших чисел. Теория вероятностей

Краткие  теоретические сведения:

Математическая логика – это раздел математики, посвященный анализу методов рассуждений, при этом в первую очередь исследуются формы рассуждений, а не их содержание, т.е. исследуется формализация рассуждений? Это разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.

Основное неопределяемое понятие математической логики этовысказывание.Подвысказываниемпонимают предложение, которое может принимать только два значения «истина» или «ложь». Обозначаются высказывания малыми латинскими буквами:a,b, ,…,х,…. или большими латинскими буквами A, B, C…

В математической логике не рассматривается смысл высказываний, определяется только их логическое значение – «истина» или «ложь». Известному немецкому математику и логику Эрнесту Шредеру пришло в голову предложить в качестве знака для обозначения ложного суждения цифру 0, что, конечно, привело к обозначению истины цифрой 1.

Исчисление высказываний – вступительный раздел математической логики, в котором рассматриваются логические операции над высказываниями.

Предикат – логическая функция от п переменных, которая принимает значения истинности или ложности.

Исчисление предикатов – раздел математической логики, объектом которого является дальнейшее изучение и обобщение исчисления высказываний.

Теория булевых алгебр (булевых функций) положена в основу точных методов анализа и синтеза в теории переключательных схем при проектировании компьютерных систем.

Образец решения примера:

1. «Река Кола впадает в Кольский залив» – высказывание (истинное).
2. «Число 32 кратно 3» – высказывание (ложное).
3. «Может быть, сегодня пойдет снег» – не высказывание.
4. «5х– 9 = 7» – не высказывание (неопределенное высказывание или высказывательная форма).

С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами «и», «или», связками «не», «следует» и др. Операции над высказываниями можно описывать при помощи некоторого математического аппарата.

Основные логические операции  над высказываниями.

Отрицаниемвысказыванияхназывается высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда высказываниехложно. Отрицание обозначается или  ¬х(читается: «нех»).

Логические операции можно задавать при помощитаблиц истинности, показывающих соответствие значений истинности высказываний. Для высказыванийxи эта таблица имеет вид:

Конъюнкциейдвух высказыванийхиyназывается высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказыванияхиy. Конъюнкция обозначается:хy,илих&y(читается: «хиy»). Таблица истинности дляхyимеет вид:

Дизъюнкциейдвух высказыванийхиyназывается высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказыванияхиyложны. Дизъюнкция обозначаетсяхy(илиx+y)(читается: «хилиy»). Таблица истинности дляхyимеет вид:

С помощью введенных операций можно строить различные булевы функции. Порядок выполнения операций указывается скобками. Для упрощения записи принят ряд соглашений:

1. для отрицания скобки опускаются;
2.  имеет приоритет перед ,,;
3.  имеет приоритет перед ,

Образец решения примера:

Определим  таблицу истинности булевой функции

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событиемназывается событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит.Невозможнымназывается событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместнымив данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет за собой появление события А.

В урне находится 8 пронумерованных шаров (на каждом шаре поставлено по одной цифре от 1 до 8). Шары с цифрами 1, 2, 3 красные, остальные – черные. Появление шара с цифрой 1 (или цифрой 2 или цифрой 3) есть событие, благоприятствующее появлению красного шара. Появление шара с цифрой 4 (или цифрой 5, 6, 7, 8) есть событие, благоприятствующее появлению черного шара.

Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группуP(A)=mn(1)

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0≤P(A)≤10≤P(A)≤1 .

Образец решения примеров:

1. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 10?

Решение.

Пусть событие А = (Номер вынутого шара не превосходит 10). Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу всех возможных случаев m=n=10. Следовательно, Р(А)=1. Событие А достоверное.

2. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые?

Решение.

Вынуть два шара из десяти можно следующим числом способов:.Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно

.Искомая вероятность

.

3. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

Решение. 

Так как синих шаров в урне нет, то m=0, n=15. Следовательно, искомая вероятность р=0. Событие, заключающееся в вынимании синего шара, невозможное.

4. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Решение.

 Количество элементарных исходов (количество карт) n=36. Событие А = (Появление карты червовой масти). Число случаев, благоприятствующих появлению события А, m=9. Следовательно,.

5.В кабинете работают 6 мужчин и 4 женщины. Для переезда наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц три женщины.

Решение.

Общее число возможных исходов равно числу способов, которыми можно отобрать 7 человек из 10, т.е.

.

Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: трех женщин можно выбрать из четырех  способами; при этом остальные четыре человека должны быть мужчинами, их можно отобрать способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно .

Искомая вероятность  

Рассмотрим дискретную случайную величину, закон распределения которой определяется таблицей

Определение.Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможныхзначений на соответствующие им вероятность:   .

Сформулированное определение математического ожидания применяется в том случае, когда множество значений случайной величины конечно. Если  множество значений случайной величины счетно, т.е. закон распределения случайной величины задается:

то математическим ожиданием дискретной случайной величины называется ряд,при условии, что этот ряд абсолютно сходится.

Если рассматривается непрерывная случайная величина с заданной дифференциальной функцией   распределения, то математическим ожиданиемнепрерывной случайной величины называется несобственный интеграл первого рода,при условии, что этот интеграл абсолютно сходится.

Математическое ожидание   является величиной постоянной, т.е. представляет числовую характеристику случайной величины, которая имеет размерность, совпадающую с размерностью случайной величины.

С вероятной точки зрения математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим дискретную случайную величину, закон распределения которой задается

Обозначим  через наименьшее, а через  наибольшее из всех возможных значений случайной величины. Тогда для любого  выполняется неравенство     .

Умножим записанные неравенства соответственно на  и сложим все полученные неравенства, имеем .

Так как постоянный множитель можно выносить за знак суммирования, то из последних неравенств находим,откуда с учетом равенства  

 получаем  .

Образец решения примеров:

Найти математическое ожидание случайной величиныразмера выигрыша в лотереи, если закон ее распределения задан таблицей

Решение: М(Х)= 0

Свойства математического ожидания:

1.Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной величине     .

2.Постоянный множитель можно выносить за знак математическогоожидания

.

3.Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их  математических  ожиданий

.

4.Математическое ожидание суммы случайных величин   равно сумме их математических  ожиданий

.    

5.Математическое ожидание разности случайных величин  и равно разности их ожиданий    .

6.Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

.

7.Математическое ожидание произведения независимых случайных величин  равно произведению математических  ожиданий

.    

8.Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю

.

9.Математическое ожидание среднего арифметического значения случайных величин равно среднему арифметическому значению их математических ожиданий

. (Это свойство объясняет, почему математическое ожидание часто называют центром распределения случайной величины.)

Замечание.Отметим, что свойства 3 и 4 имеют место как для независимых, так и для зависимых случайных величин, а свойства 5 и 6 справедливы только для независимых случайных величин.

Определение: Разность  называется отклонением случайной величины  от ее математического ожидания.

Из определения следует, что отклонение случайной величины  является случайной величиной.

Образец решения примеров:

Случайные величины  и заданы законами распределения

Найти математическое ожидание случайной величины .

Решение:  М(Х)=

М(Y)=

М(Z)=

Дисперсия и ее свойства

Важное значение для характеристики случайных величин имеет дисперсия.

Определение:Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

.

Слово «дисперсия» означает «рассеяние», т.е. дисперсия характеризует рассеяние (разбросанность) значений случайной величины около ее математического ожидания.

Из определения следует, что дисперсия – это постоянная величина, т.е. числовая характеристика случайной величины, которая имеет размерность квадрата случайной величины.

С вероятной точки зрения, дисперсия является мерой рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания.

Действительно, рассмотрим дискретную случайную величину, которая имеет конечное множество значений. Тогда, согласно определению, дисперсия вычисляется по формуле

.(2)

Если  дисперсия мала, то из формулы (2) следует, что малы слагаемые .  Поэтому, если не рассматривать значения , которым соответствует малая вероятность (такие значения практически невозможны), то все остальные значения  мало отклоняются от математического ожидания . Следовательно, при малой дисперсии возможные значения случайной величины концентрируются около ее математического ожидания (за исключением, может быть, сравнительно малого числа отдельных значений). Если дисперсия  велика, то это означает большой разброс значений случайной величины, концентрация значений случайной величины около какого-нибудь центра исключается.

Образец решения примеров:

Пусть случайные величины  и имеют следующее законы распределения

Найти математические ожидания и дисперсии этих случайных величин.

Решение: Воспользовавшись формулой для вычисления математических ожиданий, находим

.

.

С помощью формулы (2) вычислим дисперсии заданных случайных величи.

Из полученных результатов делаем вывод: математические ожидания случайных величин  и одинаковы, однако дисперсии различны. Дисперсия случайной величины  мала и мы видим, что ее значение сконцентрированы около ее математического ожидания . Напротив, значения случайной величины  значительно рассеяны относительно , а поэтому дисперсия  имеет большое значение.  

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат    .

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий   .

4. Дисперсия суммы независимых случайных величин  равна сумме их дисперсий .  

5. Дисперсия разности двух случайных независимых величин равна сумме дисперсий этих величин .

6. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию

квадрата этой величины минус квадрат ее математического ожидания

. (Эта формула применяется для вычисления дисперсии)

Определение:Математическое ожидание произведения отклонений случайных величин  и  от их математических ожиданий называется корреляционным моментом этих величин.

Если случайные величины, величины  и независимы, то, воспользовавшись свойствами 6 и 7 математических ожиданий, находим

.

Поэтому  из формулы 3 имеем,откуда окончательно следует.    

С помощью метода математической индукции это свойство может быть распространено на случай любого конечного числа независимых случайных величин.

Самостоятельная работа № 19

«Элементы математической логики: операции дизъюнкции, конъюнкции, отрицания»

Цель: научиться решать задачи с элементами математической логики.

Задания для самостоятельной работы:

Самостоятельная работа № 20

«Элементы математической логики: операции дизъюнкции, конъюнкции, отрицания»

Цель:научиться решать задачи с элементами математической логики.

Задания для самостоятельной работы:

Самостоятельная работа № 21

«Случайные события и операции над ними»

Цель: отработать решение различных примеров

Задания для самостоятельной работы:

Самостоятельная работа № 22

Классическое определение вероятности события»

Цель: формирование умений решать задачи, используя классическую формулу вероятности.

Задания для самостоятельной работы:

1 вариант

1.В урне находится 15 белых, 5 красных и 10 чёрных шаров. Наугад извлекается 1 шар, найти вероятность того, что он будет: а) белым, б) красным, в) чёрным.

 2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

3.Цифры 1, 2, 3, …, 9, выписанные на отдельные карточки складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке: а) четное; б) двузначное.

4.На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.

2 вариант

 1. В коробке лежат 8 зеленых, 7 синих и 15 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

2.Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 3 места.

3.В магазин поступило 30 холодильников, пять из которых имеют заводской дефект. Случайным образом выбирают один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта?

4.На каждой из пяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: "а", "м", "р", "т", "ю". Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех вынутых по одной карточке можно прочесть слово "юрта".

3 вариант

1. В одной коробке находится 4 белых и 8 черных шаров, а в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой коробки вынули по шару. Вычислить вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

2.Абонент забыл последние 2 цифры телефонного номера, но помнит, что они различны и образуют двузначное число, меньшее 30. С учетом этого он набирает наугад 2 цифры. Найти вероятность того, что это будут нужные цифры.

3.На шахматную доску случайным образом поставлены две ладьи. Какова вероятность, что они не будут бить одна другую?

4.Ребенок имеет на руках 5 кубиков с буквами: А, К, К, Л, У. Какова вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла"?

Самостоятельная работа № 23

«Математическое ожидание случайной величины»

Цель: научиться решать задачи на математическое ожидание случайной величины.

Задания для самостоятельной работы:

1 вариант

1. Пусть случайная величина Х – число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найдите закон распределения случайной величины Х.

2. Закон распределения случайной величины Х задан таблицей

Найдите математическое ожидание Х.

3.Найдите дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

2 вариант

1.В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается 1 выигрыш в 5000 руб. и 10 выигрышей по 100 руб. Найдите закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.

2. Найдите математическое ожидание случайной величины Х, зная закон её распределения:  

3. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайных величин

3 вариант

1.Производятся два выстрела с вероятностями попадания в цель, равными

. Найдите математическое ожидание общего числа попаданий.

2. Известны дисперсии двух независимых случайных величин Х, Y: D(X) = 4,

D(Y) = 3. Найдите дисперсию суммы этих величин.

3. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайных величин

Самостоятельная работа № 24

«Нахождение чисел комбинаторики, вероятности события»

Цель: закрепление умений решать задачи, используя определения и формулы разных видов комбинаций без повторений и с повторениями; решать задачи, используя правила комбинаторики.

Задания для самостоятельной работы:

1 вариант

1. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему три вопроса?

2.На карточках написаны целые числа от 1 до 15 включительно. Наудачу извлекаются две карточки. Какова вероятность того, что сумма чисел, написанных на карточках, равна десяти?

3. В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 1,2,3,4,5. Какова вероятность вынуть шар с номером 15?

2 вариант

1. Студент знает 10 из 20 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему пять вопросов?

2.На карточках написаны целые числа от 1 до 12 включительно. Наудачу извлекаются три карточки. Какова вероятность того, что сумма чисел, написанных на карточках, равна десяти?

3. В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 5,6,7,8,9. Какова вероятность вынуть шар с номером 65?

3 вариант

1. Студент знает 5 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему два вопроса?

2.На карточках написаны целые числа от 1 до 8 включительно. Наудачу извлекаются две карточки. Какова вероятность того, что сумма чисел, написанных на карточках, равна шести?

3. В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 2,3,6,5,4. Какова вероятность вынуть шар с номером 42?

Самостоятельная работа № 25

Нахождение чисел комбинаторики, вероятности события»

Цель: отработать решения задач с использованием правил комбинаторики и вероятности  события

Задания для самостоятельной работы:

1 вариант

1.Найти число размещений:

2.Вычислить:  

а) +;  б)  ;   в) .

3. Решить уравнение:  .

2 вариант

1.Найти число размещений:

2.Вычислить:  

а) ;б)  ;   в) .

3. Решить уравнение:  .

3 вариант

1.Найти число размещений:

2.Вычислить:  

а);  б);   в) .

3. Решить уравнение:  .

Самостоятельная работа № 26  

«Закон больших чисел»

Цель: решать задачи с использованием неравенства Чебышева

Задания для самостоятельной работы:

1 вариант

1. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, найдите вероятность того, что среди четырех новорожденных два мальчика.

2. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия p=0,6. Найдите математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

2 вариант

1. Найдите математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.

2.Найдите дисперсию случайной величины Х – числа появлений события А в 100 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события А равна 0,7.

3 вариант

1. Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события  А равна 0,6. Найдите дисперсию случайной величины Х – числа появлений события А в этих испытаниях.

2. Найдите дисперсию случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если М(Х)=0,8.

Тема 3.1. Матрицы и определители

Краткие  теоретические сведения:

 Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей с помощью формул разложения. 

Минор матрицы A ― определитель квадратной матрицы порядка k (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице A на пересечении строк с номерами  и столбцов с номерами .

Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые k строк и первые k столбцов ―угловым или ведущим главным.

Дополнительный минор элемента матрицы n-го порядка есть определитель порядка (n-1), соответствующий той матрице, которая получается из матрицы путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Базиснымминором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимойподсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Например, есть матрица:

Предположим, надо найти дополнительный минор . Этот минор — определитель матрицы, получающейся путем вычеркивания строки 2 и столбца 3:

Получаем

Образец решения примера:

Решение:

Алгебраическим дополнением элемента матрицыназывается число

,

Где  — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы путем вычёркивания i-й строки и j-го столбца.

Свойства

Название «алгебраическое дополнение» связано с формулами разложения определителя матрицы по строке (по столбцу):

Лемма о фальшивом разложении определителя утверждает, что

при и .

Из этих утверждений следует алгоритм нахождения обратной матрицы:

1.заменить каждый элемент исходной матрицы на его алгебраическое дополнение;

2.транспонировать полученную матрицу - в результате будет получена союзная матрица;

3.разделить каждый элемент союзной матрицы на определитель исходной матрицы.

Образец решения примера:

Решение:

Определитель

Введем определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным, то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка , нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка . Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.

Определитель квадратной матрицы будем обозначать  или det .

Определение 1.Определителем квадратной матрицывторого порядка называется число .

Определителемквадратной матрицы порядка, , называется число 

Где - определитель матрицы порядка, полученной из матрицы вычеркиванием первой строки и столбца с номером .

Для наглядности запишем, как можно вычислить определитель матрицы четвертого порядка:

Замечание. Реальное вычисление определителей для матриц выше третьего порядка на основе определения используется в исключительных случаях. Как правило, вычисление ведется по другим алгоритмам, которые будут рассмотрены позже и которые требуют меньше вычислительной работы.

Замечание. В определении 1 было бы точнее сказать, что определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядка и принимающая значения в множестве чисел.

Замечание. В литературе вместо термина "определитель" используется также термин "детерминант", имеющий тот же самый смысл. От слова "детерминант" и появилось обозначение det .

Рассмотрим некоторые свойства определителей, которые сформулируем в виде утверждений.

Утверждение 1.При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть .

Утверждение 2.Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть .

Утверждение 3.Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.

Утверждение 4.Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

В дальнейшем нам потребуется складывать строки и умножать строку на число. Эти действия над строками (столбцами) мы будем выполнять так же, как действия над матрицами-строками (матрицами-столбцами), то есть поэлементно. Результатом будет служить строка (столбец), как правило, не совпадающая со строками исходной матрицы. При наличии операций сложения строк (столбцов) и умножения их на число мы можем говорить и о линейных комбинациях строк (столбцов), то есть суммах с числовыми коэффициентами.

Утверждение 5.Если строку матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число.

Утверждение 6.Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

Утверждение 7.Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.

Утверждение 8.Пусть в матрице i-ая строка имеет вид . Тогда , где матрица получается из матрицы заменой i-ой строки на строку , а матрица - заменой i-ой строки на строку .

Утверждение 9.Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.

Утверждение 10.Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.

Определение 2.Алгебраическим дополнением к элементу  матрицы называется число, равное , где - определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Алгебраическое дополнение к элементу матрицы обозначается .

Пример. Пусть . Тогда

Замечание.Используя алгебраические дополнения, определение 1 определителя можно записать так:

Обратная матрица и ее вычисление.

Обратная матрица - это матрица результатом умножения на которую исходной матрицы является единичная матрица.

Самостоятельная работа № 27

«Определители 2-го и 3-го порядка, вычисление определителей»

Цель: научиться вычислять определители 2-го и 3-го порядка.

Задания для самостоятельной работы:

1 вариант

1.Вычислите определители

а) ,                                б)

в) ,                            г)

2 вариант

1.Вычислите определители

а) ,                                б)

в) ,                   г)

3 вариант

1.Вычислите определители

а) ,                         б)

в) ,                  г)

Самостоятельная работа № 28

«Операции над матрицами»

Цель: научиться производить действия над матрицами

Задания для самостоятельной работы:

1 вариант

1. Найдите сумму матриц

  и

2. Найдите матрицу А+2В, если   А=,   В=

3.Вычислите произведение матриц  АВ, если  А=,  В=

2 вариант

1. Найдите сумму матриц

  и

2. Найдите матрицу А+2В, если   А=,   В=

3.Вычислите произведение матриц  АВ, если  А=,  В=

3 вариант

1. Найдите сумму матриц

  и

2. Найдите матрицу А+2В, если   А=,   В=

3.Вычислите произведение матриц  АВ, если  А=,  В=

Самостоятельная работа № 29

«Миноры и алгебраические дополнения»

Цель: научиться определять миноры

Задания для самостоятельной работы:

1 вариант

1. Сколько миноров второго порядка будет иметь матрицы

2 вариант

1. Сколько миноров второго порядка будет иметь матрица

                                              б)

3 вариант

1. Сколько миноров второго порядка будет иметь матрица

                                            б)

Самостоятельная работа № 30

«Обратная матрица»

Цель:научиться вычислять обратные матрицы

Задания для самостоятельной работы:

1 вариант

1. Вычислить

 а)  б)

2. Вычислите матрицы, обратные данным

а)                                     б)

2 вариант

1. Вычислить

 а)  б)

2. Вычислите матрицы, обратные данным

а)                                     б)

3 вариант

1. Вычислить

 а)   б)

2. Вычислите матрицы, обратные данным

а)                                     б)

Самостоятельная работа № 31

«Элементарные преобразования матрицы. Ступенчатый вид матрицы»

Цель: научиться производить  элементарные преобразования матрицы

Задания для самостоятельной работы:

1 вариант

1. Найдите сумму матриц

  и

2. Найдите матрицу 3А- В, если   А=,   В=

3.Вычислите произведение матриц  АВ, если  А=,  В=

2 вариант

1. Найдите сумму матриц

  и

2. Найдите матрицу 3А- В, если   А=,   В=

3.Вычислите произведение матриц  АВ, если  А=,  В=

3 вариант

1. Найдите сумму матриц

  и

2. Найдите матрицу А+2В, если   А=,   В=

3.Вычислите произведение матриц  АВ, если  А=,  В=

Тема 3.2. Системы линейных уравнений

Краткие  теоретические сведения:

Решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Будем называть пару чисел, которая каждое уравнение этой системы обращает в верное числовое равенство.

Способ подстановки: этот способ заключается в том, что из одного уравнения данной системы выражают какую – либо из переменных через другую переменную и найденное для этой переменной выражение подставляют в другое уравнение системы, в результате чего получают уравнение с одной переменной.

Способ алгебраического сложения:этот способ состоит в том, что все члены каждого из уравнений умножают на соответственно подобранные множители так, чтобы коэффициенты при одной и той же переменной в обоих уравнениях оказались противоположными числами, а затем уравнения почленно складывают, в результате чего получают уравнение, содержащее только одну переменную.

Если в системе двух линейных уравнений   оба свободных члена  и равны нулю, то система называется однородной.

Пример:  система однородная, её решение (0;0).

Если хотя бы один из свободных членов  и не равен нулю, то система

называется неоднородной.        

Пример:  система неоднородная, её решение (4;3).

Определитель второго порядка вычисляется по формуле:

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле:

Пример.

Формулы Крамера: ;

Образец решения примера:

Найти решение системы уравнений:

Методом Гаусса является способ решения системы линейных уравнений путем последовательного  исключения переменных и сведения ее к треугольной системе уравнений.

Подробно и последовательно изложим решение системы трех уравнений с тремя переменными методами Гаусса на примере системы уравнений ():

1) Из данной системы получим уравнение, не содержащие х.

Умножим уравнение () на 3 и (β) на (–2), получим:

2) Сложим полученные уравнения (δ) и (ε):

6х – 12у + 9z= 3

 +

–6х + 2у – 10z = –4

– 10у –z = – 1.

3) Из исходной системы получим уравнение, не содержащие х и у. Уравнение (γ) умножим на (– 2):

х – 2у + 4z = 3 │∙ (– 2)

–2х + 4у – 8z = – 6                            (ƍ)

4) Сложим уравнения  и (ƍ):

                                                            2х – 4у + 3z = 1

                                                           +

                                                          –2х + 4у – 8z = –6

                                                                         – 5z = – 5.

5) Получена треугольная система

6) Из () находим z:   z = 1.

7) Из () находим у:    – 10у – 1 = –1; у = 0.

8) Из () находим х:  2х – 0 + 3 = 1; х = – 1.

Ответ:х = – 1, у = 0, z= 1.

Образец решения примера:

Решить систему уравнений методом Гаусса          

Решение:              1)             х + 7у – 5z= – 9 │∙ 2

                                              2х + 14у – 10z = – 18;

 2)                           –2х + 5у – 6z = –8

                                          +  

                                 2х + 14у– 10z = – 18

                                         19у – 16z = – 26.                                            (ƛ)

 3)                    х + 7у – 5z= – 9   │∙(– 4)

                   – 4х – 28у + 20z= 36.

            4)                            –4х –28 y+ 20z = 36

                                               +  

                                             4х + 2у –z= – 12

                                                  – 26у + 19z = 24.                                                 ( ɥ)

Т. О., получили два уравнения (ƛ) и (ɥ), содержащие у и z. Умножим (ƛ) на 26:

19у– 16z = –26  │∙ 26

 494у – 416 z = –676,    ( ѵ)

а (ɥ) на 19:

– 26у + 19z = 24     │∙19        

–494у + 361z = 456.                                                     (ξ)

Сложив (ѵ) и (ξ), получим

494у – 416z = –676

+

–494у + 316z = 456

– 55 z = –220.

             5)            

6)  

 7) 19у– 16∙4 = 26:   у = 2.

8) –2х + 5∙2 – 6∙4 = –8 :х = – 3.            Ответ: х = –3, у = 2, z = 4.

Самостоятельная работа № 32

«Однородные  системы линейных уравнений»

Цель: научиться решать однородные системы уравнений

Задания для самостоятельной работы:

1 вариант

1. Решить системы уравнений        

а)                   б)

2 вариант

1. Решить системы уравнений

а) б)

3 вариант

1. Решить системы уравнений

а) б)

Самостоятельная работа № 33

« Неоднородные системы линейных уравнений»

Цель:научиться решать неоднородные системы уравнений

Задания для самостоятельной работы:

1 вариант

1. Решить системы уравнений

а)                    б)

2 вариант

1. Решить системы уравнений

а)  б)

3 вариант

1. Решить системы уравнений

а)  б)

Самостоятельная работа № 34

«Решение систем по  правилу  Крамера»

Цель: научиться решать системы методом Крамера.

Задания для самостоятельной работы:

1 вариант

1. Решите систему уравнений с помощью формул Крамера:

2.Приведите систему уравнений к стандартному виду и решите её с помощью формул Крамера:

3.Решите систему уравнений:

2 вариант

1.Решите систему уравнений с помощью формул Крамера:

2.Приведите систему уравнений к стандартному виду и решите её с помощью формул Крамера

3.Решите систему уравнений:

3 вариант

1.Решите систему уравнений с помощью формул Крамера:

2.Приведите систему уравнений к стандартному виду и решите её с помощью формул Крамера:

3. Решите систему уравнений:

Самостоятельная работа № 35

«Решение систем по  правилу  Крамера»

Цель: научиться решать системы методом Крамера.

Задания для самостоятельной работы:

1 вариант

1.Решите систему уравнений с помощью формул Крамера:

2.Приведите систему уравнений к стандартному виду и решите её с помощью формул Крамера

3.Решите систему уравнений:

2 вариант

1.Решите систему уравнений с помощью формул Крамера:

2.Приведите систему уравнений к стандартному виду и решите её с помощью формул Крамера

3.Решите систему уравнений:

3 вариант

1.Решите систему уравнений с помощью формул Крамера:

2.Приведите систему уравнений к стандартному виду и решите её с помощью формул Крамера

3.Решите систему уравнений:

Самостоятельная работа № 36

«Решение систем методом Гаусса»

Цель: научиться решать системыметодом Гаусса

Задания для самостоятельной работы:

1 вариант

1. Решите систему с применением метода Гаусса:

2 вариант

1. Решите систему с применением метода Гаусса:

                               б)

3 вариант

1. Решите систему с применением метода Гаусса:

                                       б)  

Литература:

1. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике. — М.: Высшая школа, 2007г.
2. Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для студентов. — М.: Издательский центр «Академия», 2002 г.
3. Шипачёв В. С. Задачник по высшей математике. — М.: Высшая школа, 1998г.
4. Дадаян А.А. Математика. Профессиональное образование. – М. ФОРУМ – ИНФРА – М 2005
5. Данко П. А., Попов А. Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т 1-2.- М.: Высшая школа, 1999г.
6. Кудрявцев Л. Д. и другие. Сборник задач по математическому анализу – С.-П., 1997г.
7. Пак.В.В., Носенко Л.Ю. Высшая математика. г. Донецк – 1997г.
8. Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих. М-1968г