РАЗВИТИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ АКТИВНОСТИ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ
статья по математике

РАЗВИТИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ АКТИВНОСТИ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ

Горшкова Юлия Михайловна,

МОУ СОШ №16

Учитель математики и информатики

г. Электрогорск

Аннотация.  В статье рассматривается возможность развития познавательной активности  учащихся в области геометрии. Для этой цели предложен алгоритм вычисления объема многогранников, на основе разбиения многогранников на тетраэдры. В процессе вычислений возникает проблема - сложные системы нелинейных уравнений. Решение данной проблемы состоит в привлечении межпредметных связей, в частности владением современных информационных технологий.

Ключевые слова:  образовательная среда, учитель математики, межпредметные связи, объемы многогранников, комбинаторное строение, математическая компьютерная  программа  Mathematica.

В области изучения школьного курса геометрии, как известно, одним из важнейших требований является развитие пространственного воображения. Поэтому при решении задач в курсе геометрии необходимо акцентировать внимание учащихся на построенных моделях геометрических фигур. Моделирование фигур на уроках геометрии позволяет расширить кругозор при изучении различных объектов, реализовать основные  принципы обучения (доступность, наглядность, последовательность и систематичность  изложения учебного материала).

На изучение объемов многогранников, построение которых осуществляется с помощью математической компьютерной  программы Mathematica, можно проследить связь курсов алгебры, информатики и других наук.

Например, на уроках геометрии по изучению объемов многогранников можно с использованием компьютерной графики весьма просто продемонстрировать вычисление объема многогранников путем разбиения на различные более простые многогранники. В этом случае школьники познакомятся с проекциями граней, комбинаторным строением и т.д. и смогут лучше понимать задачи на вычисление объемов  многогранников со сложным комбинаторным строением.

Хорошо известно, что многогранником в трехмерном пространстве называется сумма конечного числа плоских многоугольников, такая, что каждая сторона любого из многоугольников есть сторона другого, но только одного, называемого смежным с первым по этой стороне. Такие многоугольники – грани, а их стороны – ребра, вершины - вершины многогранника. Особое внимание следует уделить  тому, что из каждой грани многогранника можно дойти до любой другой грани, многократно переходя от одной грани к смежной с ней грани.

Выпуклым многогранником называется многогранник, лежащий по одну сторону от плоскости любой его грани, где грани также выпуклы. Выпуклый многогранник делит пространство на две части – внешнюю и внутреннюю. Тогда объемом многогранника называется объем его внутренней части.

Комбинаторное строение многогранника представляет собой множество вершин многогранника с указанием, какие пары вершин являются ребрами, и какие наборы ребер определяют грани. Если задан многогранник в трехмерном пространстве, то его комбинаторное строение определяется естественным образом. При этом существуют различные многогранники с одним и тем же комбинаторным строением. Комбинаторное строение удобно задавать с помощью плоской диаграммы многогранника.

Выпуклой многогранник можно трансформировать так, чтобы одна из его граней стала много больше остальных (при трансформации, предполагается, что вершины переходят в вершины, ребра в ребра, грани в грани). Спроектируем многогранник на плоскость  большой грани. В итоге получим на плоскости большой многоугольник, разбитый на несколько многоугольников, полученных путем проектирования остальных граней. Полученный таким образом плоский граф называется плоской диаграммой многогранника. Основное внимание следует уделить тому факту, что один и тот же многогранник может характеризоваться различными плоскими диаграммами в зависимости от  объявления большой грани (плоские диаграммы тетраэдра, куба, четырехугольной пирамиды, трехгранной призмы и других многогранников с различными вариантами плоских диаграмм).

Изложение учебного материала на вычисление многогранников на основе моделирования геометрических объектов в компьютерной системе Mathematica позволит проводить уроки в нестандартной форме, применять новые педагогические технологии, что будет способствовать вовлечения учащихся в учебный процесс. Тем более  в настоящее время, современных компьютерных технологий многие учащиеся не представляют свою жизнь без компьютера и этот факт необходимо использовать. Использование знаний  работы с компьютером и современных информационных компьютерных технологий при изучении геометрии в школе обеспечивает накопление обобщенных знаний по геометрии и информатике. При этом межпредметные связи выступают как главное дидактическое условие, способствующее значительному повышению уровня познавательной деятельности учащихся. Реализация такой связи информатики и математики позволяет за урок рассмотреть больше  учебного материала, который будет усваиваться прочнее, акцентировать внимание на  свойствах и признаках геометрических фигур, развивать грамотную математическую речь и пространственное воображение, что будет способствовать   положительной и устойчивой мотивация к изучению геометрии в школе.

Рассмотрим вычисление объема многогранника по их комбинаторному строению  и заданным ребрам. Если  многогранник можно разбить на тетраэдры, то объем исходного многогранника можно представить как сумму объемов тетраэдров, входящих в его состав. Разбиение многогранника возможно путём разбиения его граней диагоналями, которые входят в состав ребер полученных тетраэдров. Вычисляя диагонали граней исходного многогранника можно применить различные формулы для нахождения объема треугольных пирамид, которые входят в его состав. Для вычисления диагоналей  необходимо  составить нескольких уравнений (неизвестными переменными будут диагонали), которые объединим в систему. Для решения таких систем удобно использовать компьютерную систему Mathematica, в которой самые сложные вычисления можно решить за несколько секунд.

Существуют задачи на вычисления объемов многогранников, где не требуется вводить дополнительные диагонали граней.

Возьмем плоскую диаграмму тетраэдра, где один треугольник  разобьем на 3 треугольника. Любой из 5 получившихся треугольников можно разбить еще, например, на 3 треугольника. В результате к одной грани тетраэдра присоединяем другие тетраэдры и получаем новые многогранники, которые сложно изобразить, но можно вычислить их объемы.

Таким образом, уроки геометрии с использованием информационных технологий, в частности,  универсальной  компьютерной системы Mathematica позволяют  поднять методику преподавания на новый уровень, расширяют и  повышают интеллектуальный потенциал школьников и мотивируют на исследовательскую деятельность.

«Список литературы»

Теоретические и прикладные проблемы науки и образования в 21 веке: сборник научных трудов по материалам международной заочной научно-практической конференции 31 января 2012г.: в 10 частях. Часть 5; Мин образования и науки Рос. Федерации. Тамбов: Изд-во ТРОО «Бизнес-наука-Общество», 2012.163с.

Симметрии: теоретический и методический аспекты: Сборник научных трудов 3 Международного симпозиума/Науч. ред.: Н.В. Аммосова, Б.Б. Коваленко.-Астрахань: Изд-во ОГОУ ДПО «АИПКП», 2009.-256с.